2026年新高考全国乙卷数学平面向量基础卷含解析

2026年新高考全国乙卷数学平面向量基础卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若向量a=(1,k)与向量b=(3,-2)平行，则实数k的值为()A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/32.向量u=(1,2)在向量v=(-1,1)上的投影长度的平方为()A.5/2B.5/3C.10/3D.10/53.已知向量a=(1,√3)，向量b的模长为2，且a⊥(b-a)，则向量b的坐标为()A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)4.设i，j是互相垂直的单位向量，若向量u=2i-3j，向量v=-i+λj，且u与v的夹角为120°，则实数λ的值为()A.-1B.1C.√3D.-√35.已知向量a=(1,-1)，向量b=(x,3)，若|a+b|=√17，则x的值为()A.-2B.2C.-3D.36.不等式|a-2b|≤|a|+|2b|恒成立的充要条件是向量a与b的关系为()A.a与b同向B.a与b反向C.a与b的夹角为90°D.以上都不对7.已知点A(1,2)，点B(-3,0)，点P在直线AB上，且满足3|AP|=2|PB|，则点P的坐标为()A.(5/3,4/3)B.(-5/3,-4/3)C.(7/5,4/5)D.(-7/5,-4/5)8.若向量a=(m,1)与向量b=(1,m)共线，则实数m的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{-1}D.{0}9.已知向量a=(2,1)，向量b=(1,k)，若a+b与a-b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是()A.k<-3或k>1/3B.k<-1/3或k>3C.k∈ℝ且k≠±1/3D.k∈ℝ且k≠110.在平行四边形ABCD中，向量AB=a，向量AD=b，若向量a的坐标为(3,0)，向量b的坐标为(0,2)，则向量AC·向量BD的值为()A.-6B.6C.-12D.12二、多项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有选错的得0分。11.下列说法中，正确的有()A.若|a|=|b|，则a=±bB.若a•b=0，则a=0或b=0C.若a与b共线，则存在唯一的实数λ使得b=λaD.若a²=b²，则|a|=|b|12.已知向量u=(x,y)，向量v=(y,-x)，若|u+v|=√10且u与v的夹角为锐角，则实数x,y满足的条件为()A.x²+y²=5B.xy>0C.x+y=0D.x-y=013.已知向量a=(1,1)，向量b=(1,-1)，向量c=(2,t)，若向量a+b与c共线，且向量a-b与c也共线，则实数t的值为()A.3B.-3C.1/3D.-1/314.在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足|OP|=2，则向量OP与向量i+j(其中i，j是坐标轴上的单位向量)的夹角θ的取值范围是()A.[0,π/4]B.[π/4,3π/4]C.[3π/4,π]D.[0,π/4]∪[3π/4,π]15.已知向量a=(1,0)，向量b=(cosθ,sinθ)，其中θ∈(π/2,π)，则下列不等式恒成立的是()A.|a-b|>|a+b|B.a•b<0C.|a+b|²≤|a-b|²D.(cosθ,sinθ)与(0,1)的夹角为θ三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知向量a=(3,-1)，向量b=(m,4)，且2a-3(b+a)与b-2a垂直。（1）求实数m的值；（2）求|a+b|的值。17.（本小题满分12分）在△ABC中，点A(0,0)，点B(4,0)，点C(1,3)。（1）求向量AB与向量AC的夹角θ的余弦值；（2）若向量AD=(1/2,1/2)，其中点D在直线BC上，求点D的坐标。18.（本小题满分12分）已知向量u=(x,1)，向量v=(1,x)，且u与v的夹角为钝角。（1）求实数x的取值范围；（2）若向量u在向量v上的投影长度的平方等于1/2，求实数x的值。19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B(0,1)，点P是直线x+y=1上的动点，向量AP=(p₁,p₂)，向量BP=(1-p₁,p₂-1)。（1）试用p₁或p₂表示向量AP与向量BP的数量积；（2）设向量AP与向量BP的夹角为α，求sinα的最大值。20.（本小题满分12分）已知向量a=(1,k)，向量b=(k+1,-3)，向量c=(1,1)。（1）若向量a+2b与c平行，求实数k的值；（2）若存在实数λ使得a+λb与c共线，求实数λ的取值范围。试卷答案一、选择题1.A2.B3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.A10.B二、多项选择题11.CD12.AB13.AB14.CD15.AB三、解答题16.解：（1）由题意，向量2a-3(b+a)=2(3,-1)-3[(m,4)+(3,-1)]=(6,-2)-3(m+3,3)=(6,-2)-(3m+9,9)=(-3m-3,-11)。向量b-2a=(m,4)-2(3,-1)=(m,4)-(6,-2)=(m-6,6)。因为2a-3(b+a)与b-2a垂直，所以它们的数量积为0：(-3m-3)(m-6)+(-11)×6=0。-3m²+15m-18-66=0。-3m²+15m-84=0。m²-5m+28=0。(m-7)(m-3)=0。解得m=7或m=3。（注：检查发现原题干中向量b的坐标为(m,4)，若为(m,3)则解为m=4。此处按原模拟卷设定m=7或m=3。若严格按标准答案模式，通常选择唯一解或题目有歧义时需进一步明确。此处按计算结果给两个解。若必须单选，需确认题目或标准答案是否有特定隐含条件。为符合模拟卷常模，暂保留两个解。若改为“若m=3，则...”形式则可唯一。）假设题目意在单选，需确认是否有笔误，常见情况为m=3。此处按计算结果。若题目无歧义，则解为m=3或m=7。按标准答案格式，若题目无特殊说明，通常选择一个或隐含唯一性，此处按计算结果给两个。若必须单选，需题目明确。此处按计算结果列出。若按常见模拟卷设置，可能期望唯一解，原题可能存在笔误。若假设笔误应为(m,3)，则m=4。现按原题(m,4)计算结果给m=7或3。）（2）当m=3时，向量b=(3+1,-3)=(4,-3)。向量a+b=(3,-1)+(4,-3)=(7,-4)。|a+b|=√(7²+(-4)²)=√(49+16)=√65。当m=7时，向量b=(7+1,-3)=(8,-3)。向量a+b=(3,-1)+(8,-3)=(11,-4)。|a+b|=√(11²+(-4)²)=√(121+16)=√137。（注：因（1）中得m=3或7，未指定哪个m值，故分别计算。若（1）的答案需唯一，则此问需调整为给定m值。按标准答案模式，通常（1）的解是唯一的，此处按计算结果给两个m值对应的答案。）17.解：（1）向量AB=B-A=(4,0)-(0,0)=(4,0)。向量AC=C-A=(1,3)-(0,0)=(1,3)。设向量AB与向量AC的夹角为θ。cosθ=(AB•AC)/(|AB||AC|)=(4×1+0×3)/(√(4²+0²)×√(1²+3²))=4/(4×√10)=1/√10。（2）设点D(x,y)，因为D在直线BC上，直线BC的斜率为k_bc=(3-0)/(1-4)=-1。所以直线BC的方程为y-0=-1(x-4)，即y=-x+4。又向量AD=(x,y)-(0,0)=(x,y)。由题意，向量AD=(1/2,1/2)。所以x=1/2，y=1/2。将x=1/2,y=1/2代入直线BC的方程y=-x+4，得(1/2)=-(1/2)+4，即1=-1+8，等式成立。因此，点D的坐标为(1/2,1/2)。18.解：（1）向量u=(x,1)，向量v=(1,x)。向量u与v的夹角为钝角，意味着它们的数量积小于0：u•v=x×1+1×x=2x<0。解得x<0。（还需考虑u与v不共线的情况。u与v共线当且仅当存在唯一实数λ使得x=λ和1=λx，即x=λ且1=λx。解得x²=1，即x=1或x=-1。）当x=1时，u=(1,1)，v=(1,1)，此时u与v同向，夹角为0°，不是钝角。当x=-1时，u=(-1,1)，v=(1,-1)，此时u与v反向，夹角为180°，不是钝角。所以，x不能等于1或-1。综上，实数x的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0)。（2）向量u在向量v上的投影长度的平方等于1/2。投影长度公式为|u|cos<0xE1><0xB5><0xA3>=|u||v|cos<0xE1><0xB5><0xA3>=|u•v|/|v|。投影长度的平方为(|u•v|/|v|)²=(1/2)。u•v=2x。|v|=√(1²+x²)=√(1+x²)。所以，(2x)²/(1+x²)=1/2。4x²/(1+x²)=1/2。8x²=1+x²。7x²=1。x²=1/7。解得x=√(1/7)或x=-√(1/7)。即x=±1/√7=±√7/7。19.解：（1）点P在直线x+y=1上，设P的坐标为(p₁,p₂)，则p₁+p₂=1，即p₂=1-p₁。向量AP=(p₁,p₂)=(p₁,1-p₁)。向量BP=(p₁,p₂)-(0,1)=(p₁,1-p₁)-(0,1)=(p₁,-p₁)。向量AP与向量BP的数量积为：AP•BP=p₁×p₁+(1-p₁)×(-p₁)=p₁²-p₁(1-p₁)=p₁²-p₁+p₁²=2p₁²-p₁。（2）向量AP=(p₁,1-p₁)，向量BP=(p₁,-p₁)。设向量AP与向量BP的夹角为α。cosα=(AP•BP)/(|AP||BP|)=(2p₁²-p₁)/(√(p₁²+(1-p₁)²)×√(p₁²+(-p₁)²))。|AP|=√(p₁²+(1-p₁)²)=√(p₁²+1-2p₁+p₁²)=√(2p₁²-2p₁+1)。|BP|=√(p₁²+(-p₁)²)=√(p₁²+p₁²)=√(2p₁²)=√2|p₁|。cosα=(2p₁²-p₁)/(√(2p₁²-2p₁+1)×√2|p₁|)=(2p₁-1)/(√(2(p₁-1/2)²+1/2)×√2|p₁|)。因为p₁+p₂=1，且p₂=1-p₁，所以p₁∈(-∞,1)。要使sinα最大，需使cosα最小。令f(p₁)=(2p₁-1)/(√(2(p₁-1/2)²+1/2)×√2|p₁|)。当p₁>0时，|p₁|=p₁。f(p₁)=(2p₁-1)/(√(2(p₁-1/2)²+1/2)×√2p₁)。令g(p₁)=(2p₁-1)/(p₁√(2(p₁-1/2)²+1/2))。要使g(p₁)最小，考虑分子分母同时除以p₁(p₁>0)：g(p₁)=2-1/p₁/√(2(p₁-1/2)²+1/2)。要使g(p₁)最小，需要分子2-1/p₁尽可能小，且分母√(2(p₁-1/2)²+1/2)尽可能大。分母√(2(p₁-1/2)²+1/2)在p₁∈(0,1)时单调递减，在p₁∈(1,+∞)时单调递增。整体上，分母在p₁>0时总大于√(1/2)。分子2-1/p₁在p₁>0时是增函数。当p₁→0⁺时，2-1/p₁→-∞，g(p₁)→-∞。当p₁=1/2时，g(p₁)=2-1/(1/2)/√(2(1/2-1/2)²+1/2)=2-2/√(1/2)=0/(√2/2)=0。当p₁>1/2时，2-1/p₁>0。要使g(p₁)最小且非负，需分子2-1/p₁=0，即p₁=1/2。当p₁=1/2时，cosα=0/(√(2(1/2-1/2)²+1/2)×√2|1/2|)=0/(√(1/2)×√2×1/2)=0/(1/2)=0。所以sinα=√(1-cos²α)=√(1-0²)=1。因此，sinα的最大值为1。20.解：（1）向量a=(1,k)，向量b=(k+1,-3)，向量c=(1,1)。向量a+2b=(1,k)+2(k+1,-3)=(1+2k+2,k-6)=(2k+3,k-6)。因为向量a+2b与c平行，所以存在实数μ使得：(2k+3,k-6)=μ(1,1)。即2k+3=μ且k-6=μ。解得2k+3=k-6。k=-9。（2）若存在实数λ使得a+λb与c共线，所以存在实数ν使得：a+λb=νc。(1,k)+λ(k+1,-3)=ν(1,1)。(1+λ(k+1),k-3λ)=(ν,ν)。解得方程组：