第1课时角平分线的性质与判定（课件）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册1.5第1课时

角平分线的性质与判定第一章

三角形的证明北师大版数学八年级下册1.5第1课时

角平分线的性质与判定

练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“角平分线的性质与判定”核心内容设计，侧重角平分线的定义、性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、判定方法（到角两边距离相等的点在角的平分线上）及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握角平分线的基本特征，能运用性质判断线段相等、运用判定方法确定角平分线，规范书写解题步骤，规避性质与判定混淆、距离判断错误等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于角平分线的定义，正确的是（

）A.把一个角分成两个角的射线叫做这个角的平分线B.把一个角分成两个相等角的线段叫做这个角的平分线C.把一个角分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线D.过角的顶点且垂直于角的一边的射线叫做这个角的平分线2.角平分线的核心性质是（

）A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.到角两边距离相等的点在角的平分线上C.角平分线是角的对称轴D.角平分线垂直于角的两边3.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD=3cm，则PE的长度为（

）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm4.下列说法中，正确的是（

）A.角平分线是一条线段B.角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是线段长度C.到角两边距离相等的点只有一个D.角的平分线有无数条5.下列条件中，不能判定射线OC是∠AOB的平分线的是（

）A.∠AOC=∠BOCB.点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PEC.∠AOB=2∠AOCD.OC垂直于AB，且平分AB二、填空题（每题4分，共20分）1.从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的________，叫做这个角的平分线。2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两条________的________相等。3.角平分线的判定：到一个角的两条边的________相等的点，在这个角的________上。4.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若PM=5cm，ON=3cm，则PN=________cm，△PON的面积为________cm²。5.若点P到∠AOB两边的距离都为4cm，则点P在∠AOB的________上。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用角平分线的性质与判定，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE；（2）已知：点P是∠AOB内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB；（3）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=2cm，求点P到OB的距离及OP的长度。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合角平分线的知识点）。（1）判断：角平分线上的点到角的顶点的距离相等；（2）解题：如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OC是∠AOB的平分线；（3）推导：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，该推导正确。四、拓展题（10分）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD，求证：AB=AC（提示：结合角平分线性质和全等三角形判定求解）。五、应用题（10分）如图，在某小区内有一个角形区域AOB，现要在区域内修建一个健身器材点P，使点P到OA、OB两边的距离相等，且到点A的距离为50m，已知∠AOB=45°，求点P到OA的距离（结果保留根号），并说明点P的位置如何确定。参考答案提示：一、1.C2.A3.B4.B5.D；二、1.两个相等，射线2.边，距离3.距离，平分线4.5，7.55.平分线；三、1.（1）证明：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO中，$\begin{cases}PD=PE\\OP=OP\end{cases}$，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴OP平分∠AOB；（3）∵OC平分∠AOB，∴点P到OB的距离=PD=2cm，在Rt△POD中，∠AOP=30°，∴OP=2PD=4cm；2.（1）不正确，改正：角平分线上的点到角两边的距离相等，而非到顶点的距离，错误原因：混淆“到两边距离”与“到顶点距离”；（2）不正确，改正：需补充点P在∠AOB内部，才能判定OC是∠AOB的平分线，错误原因：未明确点P的位置，若点P在角外部，满足条件也不能判定；（3）正确；四、证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases}BD=CD\\DE=DF\end{cases}$，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC；五、点P在∠AOB的平分线上（确定方法：作∠AOB的平分线，在平分线上截取PA=50m，点P即为所求）；设点P到OA的距离为xcm，∵∠AOP=22.5°，PD⊥OA，∴在Rt△POD中，可求得x=25√2cm（具体计算结合等腰直角三角形性质）。角平分线的性质11.操作测量：取点

P

的三个不同的位置，分别过点

P

作

PD⊥OA，PE⊥OB，点

D、E

为垂足，测量

PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段

PD

与

PE

的大小关系：____PDPE第一次第二次第三次PD=PECOBAPDE实验：OC是∠AOB

的平分线，点

P

是射线

OC

上的任

意一点.结论证明已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E。求证：PD=PE。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°。∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).BADOPEC12∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1

=∠2.∵OP=OP，性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：证明线段相等.BADOPEC应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，知识要点角平分线的判定2你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。尝试思考在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.结论证明已知：如图，点

P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D、E，且

PD=PE.求证：点

P在∠AOB的平分线上.∴

OP平分∠AOB.∵PD=PE

，OP=OP，证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为

D，E，∴∠ODP

=∠OEP

=90°.∴Rt△DOP≌Rt△EOP

(HL).∴∠1

=∠2(全等三角形的对应角相等).BADOPEC12判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：(1)位置关系：点在角的内部；(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点

P在∠AOB的平分线上.知识要点例1

如图，在△ABC中，∠BAC

=60°，点

D

在

BC

上，AD

=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为

E，F，且DE

=

DF，求

DE

的长.ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且

DE

=DF，∴AD

平分∠BAC

(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).又∵∠BAC=60°，∴∠BAD

=30°.在Rt△ADE

中，∠AED

=

90°，AD=

10，ABCDEF∴DE

=

AD

=

×10=5

(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(

)A．4B．3C．2D．1C返回2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(

)A．PC＝PD

B．OC＝ODC．CD垂直平分OP

D．PO平分∠CPDC返回3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8cm，AD＝5cm，DE⊥AB，则AE＝________cm。4返回4．(4分)[教材P37随堂练习T1变式]如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置。解：如图，点M即为水厂的位置。返回5．(4分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。返回6．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(

)A．∠MOC＝∠NOC

B．PA＝PBC．OA＝OB

D