公式法第1课时（课件）数学新教材北师大版八年级下册

4.3公式法

第四章

因式分解第1课时学

习

目

标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点）知识回顾1.提公因式法因式分解时，公因式既可以是一个

的形式，也可以是一个

的形式.单项式多项式2.提公因式法因式分解的步骤：(1)观察；(2)适当

；(3)确定公因式；(4)提取公因式.变形情境引入填空：（1）（x+5）（x-5）=

；（2）（3x+y）（3x-y）=

；（3）（3m+2n）（3m–2n）=

．它们的结果有什么共同特征？以上都是用平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2计算得出来的.整式的乘法

如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？尝试将上面算式的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴进行交流.新知探究

探究一：用平方差公式因式分解（x+5）（x-5）（3m+2n）（3m–2n）

（3x+y）（3x-y）

因式分解你能由此得到什么结论？新知探究用平方差公式因式分解：知识归纳把乘法公式(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来，就得到a2-b2＝(a+b)(a-b).语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.新知探究解：（1）25-16x2

=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)；方法归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b;第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式.

新知探究解:(1)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2).(2)9(m+n)2-(m-n)2

=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).

把下列各式因式分解：（1）2x3-8x；

（2）9(m+n)2-(m-n)2.还能继续分解吗？有公因式的要先提公因式,再进一步分解.新知探究

运用平方差公式因式分解的注意事项：知识归纳新知探究

探究二：用平方差公式因式分解的应用

如图所示，在一张边长为

acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为

bcm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b)(cm2).当a=3.6，b=0.8时，(a+2b)(a-2b)=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=5.2×2=10.4(cm2).新知探究解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝200×2＝400.

方法归纳：利用平方差公式因式分解后，可以简化计算.典例分析

运用平方差公式进行因式分解:(1))2a2b2-50；

(2)4x3y-36xy3;(3)4(a-b)2-(a+b)2.例1解：(1)2a2b2-50=2(a2b2-25)=2[(ab)2-52]=2(ab+5)(ab-5).(2)

4x3y-36xy3＝4xy(x2-9y2)＝4xy(x+3y)(x-3y).(4)4(a-b)2-(a+b)2=[2(a-b)]2-(a+b)2=[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)]=(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b)=(3a-b)(a-3b).

先因式分解，再求值：4a2(x+7)-(x+7)，其中a=-5，x=3.例2典例分析解:(1)4a2(x+7)-(x+7)=(x+7)(4a2-1)=(x+7)(2a+1)(2a-1).当a=-5，x=3时，原式=(3+7)×(-10+1)×(-10-1)=990.巩固练习1.多项式x2-4因式分解的结果是(

)A.(x+2)(x-2)B.(x-2)2C.(x+4)(x-4)D.x(x-4)2.下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是(

)A.a2+b2B.2a-b2C.a2-b2D.-a2-b23.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”(如4=22-02,12=42-22)。在1~100这100个数中,“神秘数的个数是()A.10C.12D.13B.11ACD4.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为(

)A.a2-b2=(a-b)2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.(a-b)2=a2-2ab+b2巩固练习C巩固练习7.若x2-9=(x+a)(x+3),则a=

.

6.因式分解:2a2-18=

.

-32(a+3)(a-3)5.下列各式能用平方差公式因式分解的是

.①a2+b2；②-x2-y2；③-x2+4；④x2-y4；⑤a4-1；⑥(x-y)2-(x+y)2.③④⑤⑥8.若a+b＝3，a-b＝7，则b2-a2的值为

.-219.计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12=

.5050巩固练习10.把下列各式因式分解:(1)(x+y)2-4；

(2)2a2(n-m)+8(m-n)；(3)(2x+y)2-(x+3y)2;(4)-a4b4+16.解:(1)(x+y)2-4=(x+y)2-22=(x+y+2)(x+y-2).(2)2a2(n-m)+8(m-n)=2(n-m)(a2-4)=2(n-m)(a-2)(a+2).(3)(2x+y)2-(x+3y)2=(2x+y+x+3y)(2x+y-x-3y)=(3x+4y)(x-2y).(4)-a4b4+16=16-a4b4=42-(a2b2)2=(4+a2b2)(4-a

2b2)=(4+a2b2)(2+ab)(2-ab).巩固练习11.当n为自然数时,(n+5)2-(n-3)2能被16整除吗?请说明理由.解:能.理由如下:因为(n+5)2-(n-3)2=(n+5+n-3)(n+5-n+3)=16(n+1),又因为n是自然数,所以(n+5)2-(n-3)2能被16整除.巩固练习

解:由图可得,草坪的面积是(a2-4b2)平方米.当a=13.6，b=1.8时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.6+2×1.8)×(13.6-2×1.8)=17.2×10=172,即草坪的面积是172平方米.巩固练习13.已知a，b，c是△ABC的三边长.(1)分别将多项式

a2c2-b2c2，a4-b4因式分解;(2)若

a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状并说明理由.解:(1)a2c2-b2c2=c2(a2-b2)=c2(a+b)(a-b);a4-b4

=(a2-b2)(a2+b2)=(a+b)(a-b)(a2+b2).巩固练习(2)△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由:∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a²+b²),∴c²(a+b)(a-b)-(a-b)(a+b)(a²+b2)=0,∴(a+b)(a-b)(c2-a²-b²)=0.∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b≠0,∴a-b=0或c2-a2-b2=0，∴a=b或c2=a2+b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角