奇偶性与对称性及应用-2026高考数学一轮常考题

3.奇偶性与对称性及应用

一.基本原理

1.奇偶性的定义：需要熟练掌握

2.奇偶性的判定：

①.定义法

②.性质法：奇x奇为偶；奇x偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可.

③.一个特殊的性质：

己知函数/(X)的定义域为R.

(1)求证：函数g(x)=/(x)+/(-x)为R上的偶函数；

(2)求证：函数〃(x)=〃x)-"-X)为R上的奇函数；

(3)试判断：定义在R上的函数/*)能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

解析：(1)证明:因为函数/(K)的定义域为R.所以函数式刈=/(#+/(-X)的定义域为R,

又g(-x)=f(-x)+/[-(-A)]=/(x)+/(-A)=g(x),所以函数g(x)=/(A-)+/(-x)为R上的偶

函数；

(2)证明：因为函数/(X)的定义域为R.所以函数/心)=/*•)-/(一)的定义域为R,又

〃(一幻=/(-x)-f[-(-v)]=-[/(X)-f(-x)]=-/?(.r),所以函数IM=为R上的奇

函数;

(3)因为函数/(x)的定义域为R.令G(x)=/*)?(—”),“⑴则

G(x)+“(x)=/(")?(T)+/(x)；/(T)=八x),又由(1)得G(X)=/a)?(T)为R上的偶函数,

由(2)得"⑴="二一｝)为R上的奇函数,且G(x)+”(x)=f(x),所以定义在R上的函数

"X)可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间.

比如./(X)=log"g(x)=log>0,6/工1)都是奇函数.

1+X1-X

I—r

证明：令/?")=log.(14-x),/(x)=log,--=log,(l-x)-logjl+x)=A(-x)-A(x)

\+x(

]+T

g(x)=log----=log(14-x)-log(1-x)=h(x)-h(-x),由基本原理(2)可证.

a1-xtf

类似，还可以判断下列函数的奇偶性

1

②./(X)=log”Sx+Jl+〃2"2),m>()。/1)是奇函数.

③•/(X)=bga(a",+1)-gx(。>。且。01)是偶函数.

对数型奇偶性证明通常需从/W+/(-幻=0或/(戈)-/(-/)=0来完成.

(4)与指数有关的复合函数：假设。>0且。W1.

kk

①./(幻二7——:为奇函数

kk

②•/(幻二一一+W为奇函数

ci—12

③.f(幻=可转化为②或③

a-1

4.奇偶性与对称性

(1).轴对称：函数图象关于一条垂直于工轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点

区)),(乙,/(8))到直线x=q的距离相等且函数值/(^)=/(^2)吐我们就称函数

V=/(x)关于x=a对称.

代数表示:⑴.f(a+x)=f(a-x)(2).f(x)=f(2a-x)

(2).中心对称：函数y=f(x)上任意一点()关于点(。,份对称的点(々，/(々))

也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点(〃/)对称的中心对称图像，点(出方)为对称

中心.

用代数式表示：(1).j\a+x)+f\a-x)=2h(2)./(x)+f(2a-x)=2b

(3).已知/(x)是定义在R上的函数，若/(x+4)(46R)是奇函数，则/(x)的图像关于

点4。,0)对称.

(4).已知是定义在R上的函数，若/(工+。)(。£尺)是偶函数，则/(x)的图像关于

直线工=。对称.

5.奇偶性(对称性)与导函数

若f(a+x)=f(a-x)f(a+x)=-f(a-x),即轴对称函数的导函数为中心对称函数,

反之亦然，若f(a+x)=-/(a-x)=>f(a+x)=f(a-x)

2

6.奇偶性的应用类型

(1).奇偶性加单调性解不等式

(2).利用奇偶性求解析式

(3).常见奇函数与奇偶性的运算性质

(4).奇函数中一个重要的结论

(5).奇偶性与单调性综合

(6),从奇偶性到对称性(对称性的判别)

(7).对称性的综合应用

(8).基于奇偶(对称性)的凸凹反转

二.真题速递

1.(2023•全国•高考真题乙卷)已知/(幻=小二是偶函数，则。=()

e"-1

A.-2B.-1ClD.2

解析：因为/(X)=/为偶函数，则—二旦="[.一.3]=0,

又因为X不恒为0,可得e-e(J"=0,即e*=e("Tx,贝疗=(。一1卜，即1=々一1,解得。=2.

故选：D.

2.(2023•全国•高考真题新高考2卷)若〃x)=(x+a)lnJ为偶函数，则。=().

A.-1B.0C.D.1

解析：因为/“)为偶函数，则/(l)=/(T),，(l+4)lng=(-l+a)ln3,解得〃=0,

当〃=0时，=(2X-1)(2A+1)＞0,解得上＞；或则其定义殴

一打片或工＜-；)，关于原点对称.

/(-x)=(T)ln2仪-!=(_加=f(x)

八，lJ2(-A)+1'72x-\')\2x+\)2x+l八7f

故此时/(x)为偶函数.故选：B.

3.(2023•全国•高考真题甲卷)若/(x)=(l『+ax+sin1+5)为偶函数，贝I".

解析：因为)，=/(x)=(%-l『+ai+sin[x+B=(x—l)，ax+cosx为偶函数，定义域为R,

\乙)

3

<\2/\2

贝|]五4=—+1---I=271,故4=2,此时/。）=（工-1）~+2x+COSX=X?+1+C0SX,

\2/\2）

所以/（r）=（r）2+l+cos（-x）=x2+]+cosx=/（x）,又定义域为R,故/（x）为偶函数，

所以〃=2.故答案为：2.

4.（2021年新高考1卷）已知函数/（力=丁（。2-27）是偶函数，则。=.

解析：因为“力=丁（。-2,-27）,故/（一）=一/32--2）因为〃力为偶函数，故

/（-x）=/（x）,时仁3个—2-'）=_/,・2_—2）整理得到（。-1）（2'+2-"）=0,故。=1,

故答案为：1

5.（2021年全国乙卷）设函数/Cr）=F，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A./（X—1）—1B.,/'（%-1）+1C.y（x+l）-1D./1）+1

1-r?

解析：由题意可得/（外=丁」=-1+广，

1+X1+X

2

对于A,1=-—2不是奇函数；

x

2

对于B,+是奇函数；

X

2

对于Cf（x+l）-l=T-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

人I乙

2

对于D,/（x+l）+l=T，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B

2

6.（25届高三八省联考）已知曲线C：），二V一一，两条直线/口/,均过坐标原点O,4和C

交于M、N两点，4和C交于P、Q两点，若三角形AOPM的面积为拉，则三角形△MNQ

的面积为.

9

解析：由于（x,y）和（一，-），）都符合y=V-：,XH0,所以曲线c的图象关于原点对称，当

x>o时，函数y=V-士单调递增，由此画出曲线C的大致图象如下图所示，

4

HA

两条直线4、4均过坐标原点0,所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，

根据对称性，不妨设M，N,P.Q位置如图，可知|OH=|C⑼」OM=|ON|,4OM=4Q0N,

所以4OPM=△OQN,所以S△3=S,w=0，而QQM和△OQN等底等高，面积相同，

所以S△版“=&，所以S/WNQ=2VL故答案为：2&

7.(2024年新课标全国2卷)设函数/(力=〃(%+1)2-1,g(x)=cosx+皿当xw(T,1)时,

曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.3c.iD.2

分析：图像交点问题常转化成两个函数解析式组成的方程组的公共解，倘若能够观察到

fM与g(x)表达式中有一个公共项2ax,此题函数很容易突破的！

解析：令43=/(工)-8(月=奴2+。一］一cosx,xw(-l,l),原题意等价于Mx)有且仅有

一个零点，因为〃(一x)=。(一X)"+6/-1-cos(-x)=ax2+a-i-cosx=,

则Mx)为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为0,即/?(0)=4-2=0,解

得〃=2,若0=2,则〃(x)=2/+I-cosx,xe(-1,1),又因为2/zoj—cosxNO当且仅

当*=0时，等号成立,可得〃(x)N0,当且仅当x=0时.等号成立，即有且仅有一个

零点0,所以。=2符合题意；故选：D.

8.(2024年高考全国甲卷数学(理))函数/(刈=-/+3-尸卜iiu•在区间［-2.8,2.8］的大

致图像为()

5

解析：/(t)=+(e-x-ev)sin(-x)=-x2+(ev-ev)sinx=/(x),又函数定义域为

[-2.8,2.8],故该函数为偶函数，可排除A、C,又

==故可排除D.故选：B.

\e7\eJ622e42e

三.对点训练

1.奇偶性加单调性解不等式

类型：已知y=/(x),xe。，求解类似于/(a*))+/(%(x))之。的不等式.

解法：利用奇偶性转化为：/(•­•)>/(•••)，再利用单调性求解与自变量有关的不等式.

例1.已知函数/(x)=J"+d-2x,则使得〃x)>/(2x)成立的x的取值范围是.

解析：因为/3=产，/-2工=』71+(/一|)2一1,贝(jf(x+i)=阴+/一1,

令8(%)=/+/一],则/")的图象是由g(x)的图象向右平移1个单位得到，

又g(—x)=』M+(—x)2—l=eW+x2_i=g&),即8(6=3可+/—1为偶函数，

且当丘0时g(x)=e'+xLl,所以g(x)在[0,+8)上单调递增，则g(x)在(□,())上单调递

减，所以在(1,+00)上单调递增，在(F,1)上单调递减，且关于1=1对称，所以

〃力/⑵)时，<|x-l|>|2x-l|,解得0<x<|,故答案为：(0,|、

除此之外，在利用奇偶性和单调性解不等式时，还需注意到下面的问题

若/(x)=x2=>nif(x)=f(4m-x){m>0)

若f(x)=x3=>inf(x)=f(yfm-x)

6

若/(%)=优=〃*)=/(加㈤

例2.已知/*)是定义在R上的奇函数，且当时，/(1)=/，对任意的xe⑵-3,2f+3],

不等式/(2x-f)23/(幻恒成立，那么实数,的取值范围是()

A.[>/3,+oo)B.[3,”)C.(-oo,-V3]D.(^o,-3]

解析：是定义在R上的奇函数，且当.CO时，=.•.当xvO,有r>0,

x?x20

/(-X)=(-X)2,-/(X)=A-2,即/。)=-2,・・./(幻=｛；―・・・/(幻在R上是单调

-X",A<0

递增函数，且满足3/*)=/(61),・・・不等式/(21一注3/。)=/(66在[2-3,2，+3]恒成

立，・二2XT2百x在[2，-3,2，+3]恒成立，)(2+75)/在12/-3,2/+3]恒成立，

・・・2r-3N(2+g)f,解得石，则实数t的取值范围是(-双-6],故选；C

2.利用奇偶性求解析式

例3.已知是定义在R上的奇函数，且当北0时，f(x)=2'+x+〃?,贝厅(-3)=.

解析：因为/("是定义在R上的奇函数，所以/(0)=2°+〃?=0,解得m=-1,贝IJ

/(x)=2'+x-l,故/(-3)=-〃3)=-10.故答案为：-10

例5.已知/(力,g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足/(力+g(x)=T.若

g(/(x)-a”O恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-oo,l)B.(«/]C.(1,+co)D.[1,-Ko)

解析：因为/(x),g。)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以/(一幻=/(幻，

g(-x)=-g(x),因为.f(x)+g(x)=2'，①，所以f(-x)+g(-x)=2T,所以/(x)-g(x)=2T,

9A4-or>_0-T

②，①+②得/(])=三—，g(x)=」^_,因为y=2,在定义域R上单调递增，尸2一”

在定义域R上单调递减，所以双幻二胃一在R上单调递增，又冢0)=0,

若g(〃x)-恒成立，则q(/(x)i"g(O)恒成立，所以/(刈-。之0恒成立，

所以/(工)2。恒成立，所以只需。4/(x)min，因为2、>0，TX>0,所以

7

2l+2-^2VFr7=2(当且仅当2、=2一"，即x=0时取等号)，所以〃X)=三二之1(当

且仅当x=0时，取等号)，所以所以。的取值范围为(-8,小故选：B.

3.常见奇函数与奇偶性的运算性质

例4.已知/小、人[lo仁gx㈠-2x+,…x>0<。是奇函数，则》=()

35

A.—B.0C.-D.4

22

解析：因为/(X)是奇函数，设x<0,则T>0,所以/(-x)=log“(r)+2x=-/(x),

h_

gp/(x)=-loga(-x)-2x=logl(-x)-2xf所以厂2,即,则〃+64_2=卫.

«,c/C22

b=-2[b=-2

故选：A.

例5.若/(力=皿。+」+〃是奇函数，贝lj〃=_________.

I一工

解析：因为/*)=lna+/匚+。是奇函数，.•./(X)定义域关于原点对称，

1-x

由。+上力。,可得(1一力仅一公+1)，。，所以工工1且加但，所以但二-1,解得。=一\

1-xaa2

所以函数的定义域为(-%-1)5一】，1)51，内)，则/(。)=。，即〃0)=ln-；+l卜6=0,

解得〃=ln2,此时/(x)=ln-4+^-+ln2=ln手，

21-x1-x

/,(r)=lnA=-In手=-/(x)符合题意，所以b=ln2.故答案为：ln2.

1+X1-X

4.奇函数中一个重要的结论

若/(x)为奇函数，则〃r)+/(x)=0对定义域内的任意实数x恒成立，那么设

g(x)=/(x)+〃，则g(T)+g(x)=2。，特别地，g(x)a+g(6min=2".

例6.(2018年全国卷)已知函数/(工)=但@+七一力+[,仆)=4,贝]/(-〃)=.

解析：设g")=ln(CT7,r),由上述讨论可知：所以£(x)为奇函数，而.f(x)=g(x)+l,

所以〃。)+“一动=2,故/(_〃)=2—"〃)=—2.

5.奇偶性与单调性综合

例7.已知偶函数/⑶在]0,+oo)上单调递减，若a=/(log°jU.2),/?=/(O.202),c=/(-0.3°1),

8

贝IJ（）

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<h<a

解析：y=log<"在（。，+8）上单调递减，故log°.3（）.2>log”.3（）3=l,y=02'在R上单调递

减，故0.严«0。2。）=（0,1）,y=-03在R上单调递增，故《3°屋（~0.3°.0）=（-1,0）,则

2j_12j_2

03。e（0.1）,且0.3°3=0.3布=（0.3、）而=0.027记，0.2°?=0.2历=（0.22）正=0.04记，

因为0.027*<0.04^，所以。3°°<0.202，故喻、。2>0.2Q2>0,30J,因为偶函数/*）在［0,+8）

上单调递减，故“-0.3°3）=/（0.3°3）,由于/（啕3。.2）<八0.202）</（（）.303）,所以

a203

/（log0J0.2）</（0.2）</（-O.3）,即"〃<c.故选：C

6.从奇偶性到对称性（对称性的判别）

例8.已知函数/⑺关于x=l对称，当1<%<与时，［/（/）-/（占）］（毛-内）>0恒成立，

设〃=/（—9，b=f［^］tc=/（3），贝Ua,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

解析：因为函数/（X）关于x=l对称，所以函数/（X+1）的图象关于x=0对称，

即函数/（工+1）为偶函数，所以/（x+l）=/（「r+l）,所以/（一；）=/（|），因为当1<X<电

时，［〃占）-〃与）］仇—菁）>。恒成立，所以函数在。，+8）上单调递增，

X|<|<3,所以呜卜/（|卜〃3）,所以〈V”。，故选：A.

7.

8.对称性的综合应用

例9.（2016年全国卷文科）

已知函数/（x）（xcR）满足/（x）=/（2—x）,若函数），=|/一21一3|的图象与函数

y=fM的图象的交点为（x,,凹）,（々,必），•••（4，%），则£茗=（）

I=I

A.0B.inC.2mD.4/zz

例10.（2016年全国卷理科）

X+［

已知函数fM（xeR）满足f（-x）=2-/（x）,若函数>=—与y=f（x）图像的交点为

x

9

区》）,（/，%）…，（•%，%），则

；=|

A.0B.mC.2/7?D.4，〃

解析：若两函数y=/（x）,y=g。）的图象分别关于直线尤=。轴对称或者关于点（〃中）中

心对称，则函数），=fW,y=g（x）的图象的所有的交点也都关于直线x=。轴对称或者关

于点（，几〃）中心对称.于是两题均选B.

8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转

例11.（2017年全国3卷）已知函数/3）=/-2x+a（exA+6一.）有唯一零点,则a=

解析：此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，

可能就做不出来！注意到《1+"刈的构造，跟偶函数e'+e-'长得很像，所以我们会发现

ei+e-x+i是关于直线x=l对称的，而/一2戈也是关于直线x=l对称的，这样的话，

/（工）=0。-/+2工=〃（/7+6-刈），如此/（工）的唯一零点便在x=l处取得，代入可

得：a=\,

例12.己知函数/（工）=8秣-4，+1）,若/（X）在（一1』）有唯一的零点，则4=（）

A.1B.2C.3D.4

解析：由于/（-X）=cos（-x）-a[（r『+1=cosx-fl（x2+l）=/（x）,所以/（力是偶函数，

要使/（x）在（一1,1）有唯一的零点，则/（0）=0,即/（0）=1-1=0,解得a=l,故选：A

三.习题演练

1.已知/（x）=ln（x+Vi7?）,贝11/（丁—8）+/（2x）N0的解集为（）

A.{.r|-2<x<4}

B.{x\-4<x<2]

C.{x|xN4或x?2）

D.{x\x>2gt,x<-4}

解析：由/（-.r）=ln[-x+.Jl+（-x）2]=ln（Vl+x2-x）=-\n（>l\+x2+x）=-f（x）,且定义域为

R,根据）1=八,）,■二Ji+人2在（°，+30）上递增,则/=J]十X，十x在（。,+8）上递增,又y-In/在

10

(0,+8)上递增，则/(x)=ln(x+Vm)在(0,内)上递增，结合奇函数性质且函数在R上连

续，则/(“在R上递增，由

/(x2-8)+/(2x)>0=>/(x2-8)>-/(2x)=/(—2x)nV—8N—2x,所以

X2+2X-8=(X+4)(X-2)>0,解集为W%N2或x«-4}・故选:D

2.已知函数/(x)为定义在R上的奇函数，且在［0,”)上单调递减，满足

/(，Og20-/(，Ogl0)~2/(3),则实数a的取值范围为()

2

A.((),：)B.：,8C.(0,8］D.［8,+oc)

IL8」

解析：函数/*)为定义在R上的奇函数，且在［。,田)上单调递减，所以/@)在R上是减

函数,f(log2a)-f(loS1a)<2f(3)f即/(i0g,〃)+/(log,a)W2/(3),所以/(log,a)V八3),

2

所以log2〃之3=log?2,所以，亚8,即实数a的取值范围为［8,*O)・故选：D.

/、llud,0<142一,、.、

3.设/(力=,JA，4,若方程〃"=，〃有四个不相等的实根%。=123,4)，则

a+七『+后+x；的取值范围为

T

解析:当2Vx<4时，〃X)=〃4),则/(X)的图象关于“2对称,不妨设％<X,<<x4,

如图所示：由图象知：Xj+x4=x2+x3=4f-InX)=Inx2,所以不勺=L苦=’,t

X2X2

X3=4-X2，所以(3+£)2+¥+H=X；+X；+2%•%+X；+X：，

—7+x；+2+(4-马+

(.写).故答案为:

则/?(r)=2/一8f+30=2(f-2『+22w22

II

4.已知定义域为R的函数/(x)=；(〃eR)有最大值和最小值,且最大值与

最小值的和为8,贝壮等于()

A.1B.2C.4D.8

3工b班,/\2〃+ocosx+sinxsinx迅、sinx讪

解析：因为/(力=---------------=--------+%设&"()=：；------，贝U

2+cosx2+cosx2+cosx

11

g(T)=「iM：)\=一5n=_g(.r),所以，g(*)=J"为R上的奇函数.根据奇

2+cos(-x)2+cosx2+cosx

函数的性质可知，g(H0m+8(力,=°,所以

/(x)E=g(x)m+0+8(4^+。=方=8,所以，a=4.故选：C.

5.已知函数/(力=加+如+/+5-2023,且/(10)=6,贝iJ/(-10)=

解析：由/(x)=aP+加+X2+5-2023,得or7+ZzP+cr=/(x)-x2+2023,构建函数

/?(x)=ax1+bx^+cx=f(^)-x2+2023,定义域为R,

贝lj/7(r)=a(-J+Z?(-x/+c(-x)=-(av7+力./+“)=-刈”,即〃(x)是奇函数，

于是〃(-10)=-/?(10),所以/(一10)-(一10『+2023=-[/(10)-1()2+2023],

可得〃-1。)=一/'(10)-3846,又/(10)=6,因此/(TO)=-3852.故答案为：—3852

6.已知函数“x)=ad+