数据的离散程度（4基础题型+2提升题型+培优）-八年级数学下册题型专练【含答案】

20.3数据的离散程度

求离差平方和

,.Lg/求数据的方差

A基础达标题一

/------一~-y根据方差求未知数的值

/\利用方差判断稳定性

/根据一组数据的方差求另外一组数据的方差

数据的离散程度/雎力圜邀Y-策

C拓展培优题

基础达标题

题型一求离差平方和

1.已知一组数据为2,3,4,5,6,则该组数据的离差平方和为（）

A.2B.4C.6D.10

2.“强省会•劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会

夺得机关组冠军.若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7,7,8,8,9,9,则这六

位队员得分的离差平方和为（）

A.1B.2C.4D.8

3.已知一组数据不，々，…，毛的方差是3,则这组数据的离差平方和是.

4.在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位：分）分别为8,7.5,

9.5,8.5,8.5,9,则小华此次演讲比赛评分的离差平方和为.

题型二求数据的方差

5.一组数据：0,1,2的平均数是1,则这组数据的方差是（）

12-

A.-B.-C.1D.2

33

6.投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏.某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5

名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6,8,

5,9,7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（）

A.2B.3C.4D.5

试卷第1页，共6页

7.数据5,6,7,8,9的方差等于.

8.一组数据7,5,2,x,8的平均数为5,则这组数据的方差为.

题型三根据方差求未知数的值

9.一组数据：3,5,7,8,10,若加入一个数〃后，方差变小，则〃最可能为()

A.4B.5C.6D.7

10.已知某组数据方差为S2=；[(2-q『+(3-k)2+(3-q)2+(g-k)[,则〒的值为()

A.4B.5C.6D.7

11.若1、2、3、4、x与2、3、4、5、6两组数据方差相同，则x=.

12.已知一组数据的方差不=1(4-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(〃♦9)2+(〃-9)[,则

m+〃=.

题型四利用方差判断稳定性

13.在一次投篮训练中，甲，乙，丙，丁四人各进行】0次投篮，每人投篮成绩的平均数都

是8,方.差分别为枭=0.56,Si=0.48,=0.45,S；=0.72,成绩最稳定的是()

A.甲B.乙C.丙D.T

14.“无体育，不南开”.南开中学历来重视体育，并积极选派学生参加各类赛事.已知甲、

乙、丙、丁四位同学在为期一周的封闭训练之后，进行了五次跳远测试.他们跳远成绩的平

均分相同，方差分别是对=3.5,S：=4.3,S京=6.8,耳=7.2.学校想选择一名发挥稳定的学

生参加某个比赛，你认为最合适的人选是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

15.某农科院为某地选择合适的水果玉米种子，通过种植发现，甲、乙、丙、丁四种水果玉

米种子每亩平均产量都是1500kg,方差分别为*=0.02,=0.04,5-.-0.03,

・4=0.01.这四种水果玉米种子中,产量最稳定的是(埴“甲”“乙”“丙”或“丁

16.某市端午节举办的国际龙舟邀请赛中，甲、乙两队队员的身高统计如图所示，两队队员

的平均身高较为接近，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是队.

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题型一根据一组数据的方差求另外一组数据的方差

17.已知一组数据演,超/3，七/5的方差为4,则另一组数据2$+3,24+3,25+3,2%+3,2/+3

的方差为（）

A.11B.9C.16D.4

18.一组数据5,7,8,9,11的方差为另一组数据6,7,8,9,1（）的方差为寸，那

么（）

A.B.C.5,2>S；D.无法确定

19.已知为,工2,…x”的方差为5,则2再+3,2/+3,…2x”+3的方差为

20.已知数据再,42，/，％4..的平均数为3,方差为2，贝ij数据2再十3,2%2十3,2/十3,

2匕+3……的平均数为，方差为.

21.一组数据X1,x2,x3,……，七的方差是“，平均数是A则另一组数据3七+2,

3々+2,3七+2,……,3x”+2的方差是,平均数是.

题型二运用方差做决策

22.从甲，乙，丙，丁四人中选一个人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是

9环，方差分别是$=。.25,吆=03$=0.32,咛=0.38.从成绩稳定性上看，最合适去

参加的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

23.甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次100m选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差

（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运

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动员参加比赛，应选择（）

个方差

4

3444^1

2

丙；■T

1

OV910.010.110.210.3平均成绩

A.甲B.乙C.丙D.7

24.二仙坡是黄土高原“中国苹果优势产业带”的核心区，培育的12000多亩绿色果品基地•该

基地引进培育了甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树•为了了解每种苹果树的产量情况，从每

个品种中随机抽取10棵进行采摘，经统计每种苹果树10喋产量的平均数7和方差/如下表:

若从这四个品种中选出一种产量既高乂稳定的苹果树进行种植，应选的品种为.

甲乙丙T

平均数双相）194196188191

方差/9.28.68.99.7

25.当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整

且竞争力强的产业链，成K起批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型

新能源汽车进行续航性能则试，测试结果记录了4B,C,。四款车型在满电状态下的平

均续航里程（单位：km）与续航里程的方差：

车型ABCD

平均续航里程（km）420420410400

方差().030.060.030.05

根据表中数据•，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选

择.

26.求一组数据方差的算式为：5-2=1X^（6-X）2+（8-4+（8-X）2+（6-X）2+（7-X）2].由

试卷第4页，共6页

算式提供的信息，下列说法错误的是()

A.该组数据的众数是6

B.该组数据的平均数是7

C.〃的值是5

D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小

27.数据占，丫2,…,。的平均数是总方差的计算公式是

2222

5=i[(x,-X)+(x2-x)+-4-(Xn-X)],现有一组数据的平均数是明方差

52=42(7-4)2+(6-4+3(9-疗+3(8-小+(1()-«|21,贝匹=________.

10L-

28.五个互不相等的正偶数％,x2,刍，七，天的平均数和中位数都是力，且六个数Xj

%,不，玉，/，〃，的众数是6,平均数还是力，则这五个互不相等的正偶数不，吃，当，

Z，毛的方差为.

29.某公司统计3个部门的月销售额(单位：万元)：

部门4：15,20,18.

部门〃：30,25,35,40.

部门C：10,12,8.

求所有部门的组内离差平方和(除不尽的结果保留小数点后两位).

30.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm),数据如下：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,

175.

(1)求这16名学生身高的平均数和众数:

(2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据

此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？

甲组学生的身高/cm162165165166166

乙组学生的身高/cm161162164165175

(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168cm,168cm,

172cm,他们的身高的方差为豆，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与

试卷第5页，共6页

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定

的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别

为和.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法.

先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可.

【详解】解：一组数据为2,3,4,5,6,

平均数为（2+3+4+5+6）X』=4,

5

这组数据的离差平方和为（2-4）2+（3-4『+（4-4）2+（5-4）z+（6-4）2=10,

故选：D.

2.C

【分析】本题考查求离差平方和，先计算数据的平均值，再求每个数据与平均值之差的平方

和即可.

【详解】解：••・平均数为，。+7+8+8+9+9）=8,

6

离差平方和=（7-8）2+（7-8f+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（9-8）2=1+1+（）+0+1+1=4.

故选C.

3.

15

【分析】利用方差乘以数据个数即可求由离差平方和.本题主要考查离差平方和的计算，熟

练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键.

【详解】解：•••数据个数*=5,方差/=3,

则离差平方和为/x〃=3x5=15.

故答案为：15.

4.2.5

【分析】本题考查离差平方和，掌握离差平方和的求法是解题的关键.先求出小华此次演讲

比赛得分的平均数，再运用离差平方和的定义即可求解.

【详解】解：小华此次演讲比赛得分的平均数为8+75+9.5：8.5+8.5+9=g.5（分），

0

则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为

（8-8.5）2+（7.5-8.5）2+（9.5-8.5）2+（8.5-8.5）2+（8.5-8.5）2+（9-8.5）2=2.5.

故答案为：2.5.

5.B

答案第1页，共12页

【分析】本题考查了方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式.

先明确方差公式，再将数据代入公式计算.

2222

【详解】5=1xr(xI-x)+(x2-x)4-(x3-x)'|=1x(H-0+l)=|,

故选B.

6.A

【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题关键，根据方差的公式计算即可.

【详解】解：这组数据的方差为：1X[(6-7)2+(8-7)24-(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2]=2.

故选：A.

7.

2

【分析】本题考查了数据方差的计算，解决本题的关键是先计算平均值，再代入公式求解.

计算数据的方差，需先求平均值，再求各数据与平均值的差的平方，最后求这些平方的平均

值.

【详解】解：数据5,6,7,8、9的平均值为5+6+；+8+9=5=7,

JJ

各数据与平均值的差分别为-2,-1,0,1,2,平方后为4J0,1,4,

这些平方的平均值为4+1+；+1+4=晟=2.

JJ

故答案为:2.

8.5.2

【分析】本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键.

【详解】解：•.•一组数据7,5,2,x,8的平均数是5,

_7+5+2+X+8

5=-------------,

解得x=3,

222222

.•.5=1X^(7-5)+(5-5)+(2-5)+(3-5)+(8-5)]=5.2.

故答案为：5.2.

9.D

【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键.先求出原数据的平均数,

再根据方差性质，分析加入数。后方差变小的条件，进而确定。的可能取值.

答案第2页，共12页

3+5+7+8+10”

【详解】解：由题意，原数据的平均数为-------------=6.6,

5

3+5+7+8+10+〃33+〃

加入一个数a后，原数据的个数变为6,平均数为,要使加入a

66

后方差变得更小，那么。应该更接近原数据的平均数6.6,

在各选项中，：[4一6.6|=2.6,|5—6.6|=1.6,|6—6.6|=0.6,|7—6.6|=0.4,又2.6>1.6>0.6>0.4,

.•・。=7时最接近平均数6.6,此时方差最小,

・•・a最可能为7,

故选：D.

10.A

【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可.

【详解】解:根据方差公式可知，这组数据分别是：2,3,3,8；

,2+3+3+8/

x=-------------=4,

4

故选：A.

【点睛】本题考查了方差公式的理解和求平均数，解题关键是明确方差公式的意义，确定每

个数据，准确进行计算求平均数.

11.0或5

【分析】本题主要考查了方差，解一元二次方程，

先求出第二组数据的方差，再根据方差相等求出解即可.

.应=-X[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,

5

l+2+3+4+x_1()+工

V5二丁，

C21.10+QK10+X.2C10+X\,10+x、。.10+x.,..

•••=-x[(r/l———)-+(2———)-+(3———)-+(4———)-+(x———)-]=2,

设—-=a,则x=5a-10,

(l-a)2+(2-t/)2+(3-tz)24-(4-«)2+(5^-10-tf)2=10,

整理，得/一5。+6=0,

解得a=2或。=3,

10+x„10+x

即Hn一--二2或一--二3,

答案第3页，共12页

解得x=()或x=5,

所以x=0或5.

故答案为：0或5

12.25

【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设〃个数据网,当，…，居的平均数为亍，则方差

22

=l[(x,-x)+(x2--4-(xn-x)],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波

动性越大，反之也成立.

根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9,从而利用平均数的定

义求解.

【详解】解：由方差公式S2T(4-9『+(7-9)2+(9-9)2+(〃1-9『+(〃-9)[可知，

该绢数据的平均数为9,

整理得4+7+9+〃?+〃=45,

即20+m+〃=45,

所以m+n=25.

故答案为：25.

13.C

【分析】本题主要考查了方差的意义，直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量,

方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越

小，稳定性越好，进而分析即可.

[详解】解：=酣=0.56,Si=0.48,S京=0.45,S*=0.72,

2

二.其<<S帝<sr,

・•・内的方差最小，成绩最稳定，

故选：C.

14.A

【分析】本题考查了根据方差判断稳定性.

方差越小表示成绩越稳定，因此选择方差最小的甲.

答案第4页，共12页

【详解】解：•・$=3.5,S：=4.3司=6.8,S：=7.2,且3.5<4.3<6.8<7.2,

甲方差最小，成绩最稳定，

即最合适的人选是甲.

故选：A.

15.T

【分析】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关犍.

根据方差的定义，方差越小，数据越稳定.

【详解】解：比较四种水果玉米种子的方差：4=0.02,52=0.04,sj=0.03,4=0.01,

其中芹=0.01最小，故产量最稳定的是丁.

故答案为：丁.

16.甲

【分析】本题考查折线统计图以及方差，解题的关键是掌握一般地设〃个数据，阳，下,…％

的平均数为。则方差$2'®-守+区-丁>+...+（X,-可］,它反映了一组数据的波动

n

大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.本题直接根据方差的定义进行分析即可.

【详解】解：由题意可知，参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是甲队.

故答案为：甲.

17.C

【分析】本题考查方差的变换规律，涉及的知识点是“方差的性质：若一组数据内,々，…，匕

的方差为$2,则数据。匕+6的方差为（常数%/,不影响方差的倍数变化，仅/影

响）解题方法是直接利用方差的变换公式计算新数据的方差；解题关键是牢记方差的变

换规律，区分“加减常数不改变方差，乘除常数对方差的影响是平方倍易错点是混淆方差

与平均数的变换规律，误将常数人的影响计入方差.解题思路为：根据已知数据的方差，结

合新数据的变换形式（乘2加3）,利用方差变换公式计算新方差.

【详解】已知原数据//2，/，》4，修的方差为4.

对于新数据2芭+3,

根据方差的性质：若原数据方差为

答案第5页，共12页

则数据。为+力的方差为

此处4=2,6=3,

因此新数据的方差为：22X4=4X4=16

故选C.

18.C

【分析】此题考查了平均数及方差的知识，正确掌握方差的求法是解题关键.

分别计算该组数据的平均数、方差后，进而比较大小得出答案.

【详解】解：一组数据5,7,8,9,II的方差为

22222

t-=5+74-8+9+ll=8^=1^5-8)+(7-8)+(8-8)+(9-8)+(11-8)]=4；

另一组数据6,7,8,9,10的方差为力，

,-=6+7+8+9+10=8^邑2=；[(6一8『+(7-8)2+(8—8)2(9一8/+(10一8)1=2；

22

.*.5]>S2

故选：C.

19.20

【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数,

方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘

以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍.

先设这组数据内,乙/3，(，…,X”的平均数为工，方差S?=5,则另一组新数据

2玉+3,2/+3,2七+3-21+3的平均数为2亍+3,方差为S；,代入公式

S2=l[(x,-J)2+&_可：+…+(x”―可[计算即可.

【详解】解：设这组数据知&，知…毛的平均数为三，

则U+X2+W+…+x”，

n

2$+3+2/+3+2.+3+…+2x”+32(^+x+x+...+_^+x+x+...+

-------------=-------------------------------=----------2-----3-=Z23+J,

n-------------------n--------------------------------n

则另一组新数据2$+3,2电+3,2/+3,…2x”+3的平均数为2r+3,

222

v^^-Rx.-x)+(x2-A)+...+(^,-X)]=5,

答案第6页，共12页

•••另一组数据的方差为S；=：［（2再+3-2元一3）2+（2占+3-2亍—3）2+~+（2%+3-25一3）1

22

=—4（%1-x）+4（X2-X）"+...+4（XZI-^）"|

=4x5

=20,

故答案为：20.

20.98

【分析】此题考查了方差和平均数，当数据都乘上一个数时，平均数也乘上这个数，方差变

为这个数的平方倍，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减上这个数,

方差不变，即数据的波动情况不变.根据平均数和方差的计算公式或者根据平均数和方差的

变化规律，即可得出答案.

【详解】解：•.•数据》"2，/,七……的平均数是3,

即■+―口+…+L=3,

n

（2$+3）+（2/+3）+（2七+3）+……+（2茗,+3）

n

2（x）+x2+x3+...+xn；+3/7

n

=2再+3+3+•••・••+5］3

n

=2x34-3=9,

即数2玉+3,20+3,2&+3,2.V4+3……的平均数是3x2+3=9；

•・•数据项,％2户3/4...的方差是2,

即（再-3）一+（占-3）,+仁-3）-+...+（居-31_2,

n

.（2%+3-9）'+（2占+3-9）'+（2&+3-9）'+……+（25+3-9）'

n

_也西-3『+（与-3『+（上一3『+……+（.—3）［

n

=4x2=8,

2

.•.数2X（+3,2々+3,2反+3,2X4+3....的方差是2x2=8；

答案第7页，共12页

故答案为：9,8.

21.9a3b+2

【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式.

按照平均数和方差的计算公式，计算化简即可.

【详解】解：•••天，x2,z............的平均数是人

二再+吃+/+...+xn=nb,

.-.3x,+2,3X2+2,3占+2,……,3乙+2的平均数

—(3X1+2+3X2+2+3.q++3xn+2)=—(3nh+2/z)=3/>4-2,

,:X、，X2,Xj,.......,X”的方差是4,

.,•(X1-b)~+(x2-b)~+(x3-by++(x“-b)~=na,

3X|+2,3X2+2,3X3+2,.......,3x〃+2的方差

—[(3*+2—3b—2『+(3超+2—3方-2)~+(3七+2-38—2)++(3x“+2—3Z>—2)~=—(内-b)~+(x,—8)一+(戈3

故答案为：®9a,②"+2.

22.A

【分析】此题考查方差的意义，方差越小表示数据波动越小，成绩越稳定，据此即可求解.

【详解】解：•••$[=0.25,欧=0.3,s1=0.32,s】=0.38,且0.25<0.3<0.32<0.38,

••・甲的方差最小，成绩最稳定.

故选：A

23.C

【分析】本题考查了用平沟数，方差做决策，首先比较平均数，平均数较小的用时较少，平

均数相同时选择方差较小的参加比赛即可.

【详解】解：•.・甲和丙的平均数较小，用时较短

•••从甲和丙中选择一人参加竞赛，

•••丙的方差较小，

二.选择丙参加比赛，

故选：C.

答案第8页，共12页

24.乙

【分析】本题考杳了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这

组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度

越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.先比较平均数

得到甲组和乙组的产量较好，然后比较方差得到乙品种既高产乂稳定.

【详解】解：因为丙、丁的平均数比甲、乙的平均数小，

而乙的方差比甲的小，

所以乙的产量既高产又粒定，

所以产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是乙；

故答案为：乙.

25.A

【分析】本题主要考杳了平均数和方差.根据表格中四种车型的平均数和方差即可解答.

【详解】解：•根据平均数可得四种车型中平均续航里程长的是4和8,根据方差可得四种

车型中续航表现稳定的车型是A和C,

•••要选择•款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择4

故答案为：A.

26.A

【分析】根据方差算式，数据为6,8,8,6,7,计算平均数、众数、〃值，并验证加入数

据后的方差变化.

本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键.

【详解】算式中有五个平方项，对应数据点6,8,8,6,7,

A、•••数据中6和8均出现2次，7出现1次，

•••众数为6和8,并非仅6,故选项A错误.

B、；数据总、和为6十8+8+6+7=35,〃=5,

••・平均数亍=3琶5=7,选项B正确.

C、〃=5,选项C正确.

D、•••原始方差

52=1［（6-7）2+（8-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2=1x（l+i+l+l+0）=0.8,

加入两个7后，数据为6,8,8,6,7,7,7,平均数仍为7,

答案第9页，共12页

新方差，

,S,2=-r(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(7-7)21=-x(l+l+l+l+0+0+0)«0.571<0.8

7L」7

•••方差变小，选项D正确.

故选：A.

27.史

10

【分析】本题考杳了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键.通过方差表达式中的系数可

知数据的频数，从而计算平均数.

【详解】解：从方差表达式/q[2(7-a『+(6-小+3(9-〃)2+3(8-a)2+(10-〃)[中的

系数可知，数据组中包含2个7,1个6,3个9,3个8,1个10,共10个数据，

这些数据的和为2x7+6+3x9+3x8+10=14+6+27+24+10=81.

Q1

所以平均数。啖.

故答案为：

28.8

【分析】本题考杳数据的教字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键,

根据题意得到〃?=4,再根据占，x2,七，七，七是五个互不相等的正偶数，且X1,与，

%3，%，x$,小的众数是6,可得到m=4=6,进而推算出x1，x2,&，Z，对应的五

个耳不用等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案.

【详解】解：••,不，X4,%的平均数是力，

%,+x2+x3+x4+x5=5J,

/，M，X4,加的平均数还是力，

X]+x2+X3+X4+/+m=6A,

•••m=A,

：X[,x2,x3,x4,毛是五个互不相等的正偶数，且X1，x2,x3,x4,占，阳的众数是6,

答案第10页，共12页

：%,x2,x3,x4,对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4