云南宣威市某中学2025-2026学年上学期期末考试高三数学试卷

云南宣威市第一中学2025-2026学年上学期期末考试试卷高三

数学

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知集合力={xeZ|-3Vx<2},^={A-eZ|x>0},则/()

A.{0,1,2}B.{-2,0,1}C.{0}D.{0,1}

2.若函数f(x)在R上可导，且〃x)>/(x),则当时，下列不等式成立的是()

A.e"/S)>e"/(b)B.e"(a)>e"/®

C.ehf(b)>^f(a)D.eV(6)>e7(a)

3.函数/(x)=cos24x-3sii/4x的最小值和最小正周期分别为()

A.-35B.-I，7C.-3,JD.

8448

4.在心48C中，内角力，8,。的对边分别为*b,J/=?,aSb=2,则C=

()

n-兀-5兀一冗

A.—B.-C.—D.—

64122

5.已知正三棱锥P-48C的体枳为3m③，侧面积为2m，底面积等于1m"则这个正三棱锥

内切球的体积为()

4.

A.36花B.12兀m,C.108兀m'D.—Jirn'

6.在平面直角坐标系中，尸为椭圆二+与=1(。>6>0)的右焦点，过少的直线与圆

(Tb"

/十切丁点(2,1),则椭圆的离心率为()

A.在B.@C.正D.-

3553

7.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为小也心心，且i>=l，则下面四

种情形中，对应样本的标准差最小的一组是()

A.P,=0,1,p1=0.2,p3=0.3,p4=0.4B.=0.4,p2=0.3,pi=0.2,p4=0.1

C.Pi=p4=O.I,p,=p3=0.4D.p,=P4=O.4,P2=P3=O.I

试卷第1页，共4页

8.设力GM，趴/，为），定义余弦距离e（48）=l-ss停胸）（O为原点）.若

一广，小则e（%N）的最小值为（）.

A.41B.1C.1--D.0

2

二、多选题

9.已知复数4，Z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2J则下列说法正确的有（）

A.若4-Z2<0,则4<z?

B.若z：+z；=0,则lzj=|z?l

C.^1z)+z2l=lz)-zj,则说.垣=0

D.若鬲_L区，则44=0

10.下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝|/>力2B.若a>6,则/

C.若111!ja-t-->b+—D.若a>5>0,MOa-b>——

abab

11.已知Sin23+Qcos23-看0>0）与函数g（x）=tanx的周期相同，则下列

说法正确的是（）

A./（戈）在区间仅含上单调递减

B./（戈）在区间［一3,膏］内只有1个极值点

C.直线x=g是曲线y=/（x）的对称轴

D.直线y=#-x是曲线y=/a）的切线

三、填空题

12.函数=一3,'：0的零点是（写出满足条件的一个零点即可）.

-2+ln.r,x>0

13.已知向量£与右方向相同，«=（V2,-V6）,|Z>|=2,贝—司=.

试卷第2页，共4页

14.在cfe/lBC中，J=j,点M满足~AM=2MC，设N48时=a,NCBM二4，若sina=3sin/?,

则sinC=.

四、解答题

15.数列｛%｝满足：《=2,%=34+2〃—l,〃eN，.

(1)数列也｝满足:%=4+〃,试判断也｝是否是等比数列，并说明理由：

⑵数列也｝满足：c”=(-l)Z，求数列｛%｝的前2〃项和

16.甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”

和“普通用户”.根据统计数据，活跃用户有70%能完成健身计划，普通用户仅20%能完成健

身计划.记活跃用户与普通用户的人数比值为〃伏＞0).

(1)若£=2,从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率：

(2)甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益，从每个未完成健身计划的用户

处可获得20元收益，对每个活跃用户要承担。元维护成本，对•每个普通用户要承担b元维

护成本.设一个用户给甲公司带来的净利润(净利润:收益一维护成本)为Z元，当满足

什么关系时•，Z的数学期望与〃值无关？

17.如图，在棱长为2的王方体力中，/、£分别是CQ1、44的中点，点产

在线段CM上，"V/平面/出C0.

(1)证明：尸是的中点：

(2)求直线)与平面8cM所成角的正弦值.

18.已知函数/(戈)=e“+cosx.

(1)求曲线=/(x)在点9/'(0))处的切线方程;

(2)讨论/(幻在区间(-兀,+2)上的零点个数；

试卷第3页，共4页

⑶若/(，〃)=〃，其中〃7>0,求证：n-ni>2.

19.记斜山4BC的内角内角。的对边分别为a,b,c,已知

(//+c2一/卜inBcosB=^-bccos(B+C)>且B=G.

⑴求角8：

(2)E为边力C的中点，若BE=§,求&48C的面积：

(3)如图所示，。是稔力)。外一点，若/BAC二/DAC=O，且4£>C=,记△Z7CO的周长

为/(。)，求/(。)的取值范围.

试卷第4页，共4页

《云南宣威市第一中学2025-2026学年上学期期末考试试卷高三数学》参考答案

题号12345678910

答案DDCDAACCBCBCD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据4={2,1,0,1),即可根据交运算求解.

【详解】J={XGZ|-3<A<2}={-2-1,0,1),故彳05={0,1},

故选：D

2.D

【分析】构造函数力“尸e'/(x)、g(x尸坐，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.

e

【详解】令力(x)=eV(x),则/x)=e*[/(x)+/V)],而/(x)十/'(x)正负不确定，

则函数应x)的单调性不确定,当。>方时，M。),贴)的大小关系不确定,AC错误;

令g(x尸与，由/(x)>/'(x),得g'(x)=3三△*<0,函数g(x)为R上的单调递减,

ee

由空方,得g3)vg(b),即(?/(〃)<c“/(〃)，B错误,D正确.

故选：D

3.C

【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简/(X)，再根据三角函数的性质求解即可.

【详解】因为/(x)=cos24x-3sin24x=cos24x-3(1-cos24x)

=4cos24x-3=2(2cos24,v-1)-1=2cos8x-i,

所以当cos8x=-1时，函数/(x)取最小值-3,

函数/(x)的最小正周期为丁=系=；.

故选：C

4.D

【分析】由正弦定理、三侑形内角和定理即可求解.

.25/3_2

【详解】由正弦定理得，一三二一彳，即访一^^,解得sin4=

sinAsinB—2

2

答案第1页，共12页

因为所以8=m，C=f.

62

故选：D.

5.A

【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径,

再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积.

【详解】囚为正三棱锥尸一月6C的体枳为3m\侧面枳为2m°,底面枳等于1mL如图：

设()为三榜锥的内切球的球心，则连接04080COP,

三棱锥被分成四个三棱锥，这四个一棱锥的高均为内切球的半径小

由等体积法可得Pp-X8c=%-ABC+Y()-APC+y()-PBC+y°-ABP

3=§S/8c.「+§,厂+§S^PBC.'+Q.r♦

+S“pc+S/8c+S.ABP)=3，1r(2+1)=3,解得r=3

44

内切球体积r=^7tr5=^K-3?=367i(m3).

故选：A.

6.A

【分析】由点4(2,1)代入圆方程求出再由心力”=-1求出J再根据。=历/求出。

即可求解.

【详解】设点4(2.1),由题意可得62=2、12=5且。4_4歹，F(c,O).

所以|一,：0=_]=<=4,所以。=必/=些，

2-02-c22

所以椭圆的离心率为e=£=?xj=坐.

a2363

故选：A.

答案第2页，共12页

【分析】由题意，分别求出选项中的方差，根据方差的大小即可判断标准差的大小，结合选

项即可求解.

【详解】对于A：^(^)=1x0.1+2x0.2+3x0.3+4x0.4=3

D(y)=(l-3)2x0.1+(2-3)2x0.24-(3-3)2X0.3+(4-3)2X0.4=1,

所以〃=JO(X)=1,

对于B：E(X)=1x0.4+2x0.3+3x0.2+4x0.1=2

D(A,)=(1-2)2X0.4+(2-2)2X0.3+(3-2)2X0.24-(4-2)2X0.1=I,

所以Ss=jQ(X)=l,

对于C：E(>)=1x0.1+2x0.4+3x0.4+4x0.1=2.5

22

D(%)=(1-2.5尸x0.1+Q—2.5fx04+(3_2,5)x0.4+(4—2.5)x0.1=0.65,

所以Sc=\/ZXX)=>/^，

对于D：E(X)=1x0.4+2x0.1+3x0.1+4x0.4=2.5

O(X)=(1—2.51x0.4+(2—2.5-xO.l+(3—25)2x0.1+(4—2.5)2x0.4=l.85,

所以s°=Jax)=1^,

故选：C

8.C

【分析】分析可得M在半圆/+^=1(工20)上，结合图象确定NA/ON的最小值，即可得

解.

【详解】贝MJT7)2+-=1,且^^20，

，〃在半圆f+y=1(》")上，

答案第3页，共12页

如图，当历在(0,1)时，NMON取最小值，最小值为5，cos沛取得最大值日,

此时e(M,N)取最小值，最小值为］

【分析】由复数不能比较大小，即可判断A,由复数的模长公式即可判断BC,举出反例即

可判断D.

【详解】z,-z2<0,如4=l+i,z2=2+i,此时z与z无大小关系，A错.

z；+z；=。z；=—z；,.，Jz；卜卜,「.㈤=㈤,二.匕卜㈤，B对.

Z1=a+/)i,z2=c+di(a,b,c,dGR),|z)+z2|=\z{-z2|,

即J(a+e)2+(/)+d)2=+(l)一d『，

则ac+8d=0,OZxOZ2=ac+bd=0,C对.

设函=(1,1),运=(1,-1),此时西•返=0但44=2/0,D错，

故选：BC.

10.BCD

【分析】取特值可判断A：利用函数单调性判断BC；作差法判断D.

【详解】对于A,当。=1乃=-2时，不等式不成立，故A是假命题；

对于B,因为函数y=F在R上单调递增，若八葭则/>〃，故B是真命题；

对于C,若a>b>l,因为函数y=x+1在(l,,+oo)上单调递增，

X

所以故C是真命题；

ab

对于D,若4>8>0,则=：=?-bj1+0,

\ab)°ab\ab)

答案第4页，共12页

所以《故D是真命题.

故选：BCD.

11.ABD

【分析】根据题意，求得函数〃x)=sin(2x+4],根据三角函数的性质，可判定A正确;

nIIn7C5冗、

由xe---,——时，求得2x+-^c,结合正弦函数的性质，可得判定B正确：由

I1212~iF,

/(yJ=0,可判定C错误；求得y'=2cos(2x+=-1,得至l]cos(2工十专)；，得到

x=E或戈=]+依,keZ,进而求得曲线y=/(x)在点0,处的切线的斜率，得出切线

方程，可判定D正确.

[详解】I±l/(x)=-gsin2tyr+\5"cos;:公-匹-！~sin2m+匹os2<wr=sin2*

(ox+—>

2223

因为函数或x)=tanx的最小正周期为兀，所以"=%所以行|,

所以/(x)=sin(2x+引

兀5乃।_r2兀2O7t型、'兀3兀

对于A中，当xe匕，五时，可得2»丁

317不(22

由正弦函数y=sin〃的性质，可得歹=/(x)在月寄上单调递减，所以A正确;

\*'乙)

对于B中，当xe,花岩2兀715兀

时，可得

2X+}-€5司

由正弦函数ksin〃的性质，可得y=/(x)在(-赤詈|上只有1个极值点,

\'乙I/，

由2%+?=与，解得户57r，即为5n函数"X)在[-j詈]上的唯一极值点，所以B

T712/ix1Zry

正确:

对于C中.当"牛时.2x+号=4冗,/([

0.

33\3y

所以直线》=与不是曲线/(X)的对称轴，所以C错误;

对于D中，由y'=2cos(2x+g)=-1,得cos(2x+g卜

2

则2x+—=—+2kit或2x+—=—+2kjt、kGZ,可得工=依或x=^+%7t,%€Z,

33333

所以曲线y=/G)在点0.处的切线的斜率A=y'ko=2cos曰=-1

答案第5页，共12页

所以切线方程为y-弓=-（x-O），即y=*-x,所以D正确.

故选：ABD.

12.x=-3(或填x=e2,答案不唯一)

【分析】求出函数/（x）的零点，写出一个即可.

［详解］当x40时，/(x)=W+2x—3=(x+3)(x—l)=0,解得工二一3,

当x>0时，/(.r)=-2+lnx=0,解得x=e：

故答案为：x=-3（或填x=M,答案不唯一）

13.2

【分析】利用坐标求出|£|,结合已知可得】=拒心进而求得答案.

【详解】由£=（五,-〃），得|£|=2近，而向量）与否方向相同，|6|=2,

则3=JS，所以|收3-同=|昨2.

故答案为：2

14.争口

【分析】设利用正弦定理，可得二BMxRM

MC=x,结合题设条件，即

sinasinA,sinpsinC'

可求出答案.

【详解】

如图，设A/C=x,则4W=2x,

2xBMxBM

在和ACBM中，由正弦定理可得,

sinasinAsin〃sinC

皿两3式3相正除人，-可rz得H：辞2sin£=sin=C

2sin2sin°_枢

因sina=3sin/7,J=j,代入解得sinC=

sina3

答案第6页，共12页

故答案为：立.

3

15.⑴是,理由见解析

33

⑵x9"f

44

【分析】(1)依题意可得以讨=34,结合等比数列的定义即可说明；

(2)由(1)可知乩=3",从而得到q=(-3)””.(-1)间,再由分组求和法及并项求和法计

算可得.

【详解】(1)也｝是等比数列，理由如下：

因为勺+1=3%+2/7-1,/zeN*,故an+]+(曾+1)=3(/+〃)，

又4=%+〃，故"+1=3",

因为q=2,所以4二3=0,故｛"｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

(2)由(1)可知"=3",所以％=3"-〃，

所以q=(—1)”.(3"-〃)=(-3)"+〃.(—1)，，+，,

所以应=[(-3)+(-3)2+…+(—3广]+[1+(-2)+3+(-4)+-一+(2〃_1)_2〃]

「口-㈠户]入9f上

1-(-3)44

4

16.(Dy

(2)。-/)=20时，Z的数学期望与左值无关

【分析】(1)应用全概率公式计算未完成计划的用户中普通用户的条件概率.

(2)建立净利润的期望表达式，整理化简消去火，即可得到关系.

【详解】＜1)记“抽取的为活跃用户”为事件4则“抽取的为普通用户”为事件。

因为％=2,则活跃用户占比为产(4)=:，普通用户占比为尸(可=]

记“用户未完成计划”为事件B，则“用户完成计划”为事件).

活跃用户未完成计划的概率为P(8M)="O.7=O.3,普通用户未完成计划的概率为

P(5M)=l-0.2=0.8.

则未完成计划的总概率为

答案第7页，共12页

P（B）=P（/1B）+P0B）=P（Bg|Z）P40.3+i<0.8=

是普通用户且未完成健身计划的概率为尸（初）=卜0.8=2.

/一\4

/-、P（AB\4

则不述）=加请|5力

15

（2）由（1）知，活跃用户完成健身计划概率P（方健）=0.7,此时净利润为（60-4）,

未完成健身计划玳8|力）=0.3,此时净利润为（20-〃），

则活跃用户的净利润的数学期望片=0.7（60-a）+0.3（20-a）=48-a.

普通用户完成健身计划概率产⑻可=0.2,此时净利润为（60-8），

未完成健身计划尸（8|力）=0.8,此时净利润为（20-〃）,

则普通用户的净利润的数学期望&=0.2（60-与+0.8（20-力）=28-%.

设活跃用户人数为h，普通用户人数为「则总用户人数为（4+l）x.

E（Z）=^^&+^^£=_L（4j）+-L（28叫

'）（4+l）x'（A+l.2k+V）k+Vfk+\

因为Z的数学期望与上值无关，则48-a=28-b,

即=20时，Z的数学期望与々值无关.

17.（1）证明见解析

⑵辿

25

【分析】（1）根基线面平行的向量表示，设出产的坐标，根据线面平行，说明E是A/C的

中占

（2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量方法，求出线面角的正弦值.

【详解】（1）

答案第8页，共12页

如图所示，以。为坐标原点，分别以。4OC,。。为轴，建立空间直角坐标系.

因为正方体的棱长为2,则E(2,0,l),C(0,2,0),A/(0,l,2),

设尸(xj,z),#=/1^而，

x=0

而三Q,y—2,z),南三(0,-1,2),可得(x，N2,z)=^0,1,2),解得)，=2A,

z=2/l

可得F(0,2—42/1),则际=(-2,2-4,24-1)设平面/8CD的一个法向量万=(0,0,1),

则而切=0,得22-1=0,解得4=；,所以尸是MC的中点.

(2)

一___1-3

如图所示,5(2,2,0),5C=(-2,0,0),CA/=(0,-l,2),当他=5时,EF=(-2,-,0),

m-BC=0f-2a=0

设面BCM的法向量加=(a,6,c),则〈——，即〈入c八，

rn-CM=0[-A+2r=0

a=0

令6=2,解得"=2,面3C2的一个法向量而=(0,2,1),

c=1

答案第9页，共12页

设直线EF与平面BCM所成角为。，则411^=cos<EF,而>=至5=后，

2

所以直线EF与平面BCM所成角的正弦值为处.

25

18.⑴x-y+2=0

(2)1

(3)证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化

简转化可得所求：

(2)分当x>()和-兀<x«0两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零

点个数，从而得结论；

(3)设g(")=/(x)-求导确定函数g(x)的单调性与取值情况,从而可得结论.

【详解】(1)由/(x)=e'+cosx,得/(())=2且f'(x)=e'-sinx,所以/(0)=1,

所以曲线y=在(0/(0))处的切线方程为：y-/(0)=r(o)(x-o),即％-)，+2=o.

(2)①当x>0时，ex>1♦-1<cosx<l,所以/(x)>0.

所以fM在区间(0,包)上无零点；

②当一7i<xW0时，ev>0,sinx<0,所以/'(x)=e'-sinx>0,

所以/(-t)在区间(-冗,0］上单调递增，

又/(-冗)=尸-1<0,/(0)=2>0,

所以/(x)在区间(-兀、0］上仅有一个零点，

综上，/(x)在区间(一冗,+8)上的零点个数为1.

(3)设g(x)=/(x)->0),BPg(x)=ev+cosx-x-2,

所以g'(x)=e*-sinx-1.

设g'(x)=，Kx)，h\x)=cx-cosx,

因为x>0时，er>1»-l<cosx<1,所以〃'(x)>0,

所以h(x)在区间(0,转)上单调递增，

即g(x)在区间(0,+o。)上单调递增，

故><(0)=0,所以冢外在区间(0,内)上单调递增.

答案第10页，共12页

故g(x)>g(O)=O,所以/(%)-％-2>0.

因为〃7〉0,所以/(〃?)一加一2>0,

又/(〃?)=〃，所以〃

19.（1）8=?

⑵?

O

⑶（0,36）

【分析】（1）根据余弦定理可得化简后sin24=-立，故求8；

2

（2）根据中线向量求模后结合余弦定理可求*