云南省石屏县某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷

云南省石屏县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合A={—2,—1,0,3},8={-3,-1,0,4},则内的元素个数是（）

A.9B.8C.7D.2

2.已知a>l,b>2,（。一1）（〃-2）=2,则a+Z?的最小值为（）

A.3&B.2x/3C.3+2&D.2+3上

3.下列函数既是奇函数又在（O,+e）上单调递增的是（）

A.y=x2B.y=sinr

C.y=x3D.y=ln|x|

4.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若〃=石，A=60°，8=45°,

则力的长为（）

A.岑B.IC.x/2D.2

5.已知复数z,a=1，则忖=（）

A.3亚B.3C.2逐D.2

6.已知一个圆锥的底面半径为1,母线长为4,则圆锥的侧面展开图的圆心角为（）

A.四B.四C.幺D.

3236

7.下图是我国2018〜2023年纯电动汽车销星统订情况，下列说法错误的是（）

2018-2023年中国纯电动汽车销量统计

A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势

B.这六年销量第60百分位数为536.5万辆

C.这六年增长率最大的为2019年至2020年

D.2020年销量高于这六年销量的平均值

二、多选题

8.下列计算结果为5的是（）

A.2sin75°cos75°B.cos74鞍in14-sin74鞍os14

八tan22.5°

C.l-2sin2150D.-----；-----

1-tair22.5°

9.如图，处垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A3的任意一点，则下列

A.PA1PCB.BC_L平面PACC.ACYPBD.PC1BC

10.已知随机事件48满足尸（A耳）=P（,B）=；,P（A+B）=1,则下列结论正确的是（）

A.P（A）=P（8）B.?（A）=[

C.P（A）=（D.团=g

三、填空题

11.已知向量〃=（1,3）/=（2,1）,且（4-2〃）〃（2a+"力），则pa+〃7力卜,

12.已知复数z=（l—i）（2+ai）（aeR）为纯虚数，则〃=；

13.设正方体的所有棱长都为。，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为.

四、解答题

14.化简求值

（1）已知cosa=-：,。在第二象限，求sina和tana的值；

试卷第2页，共4页

sina+cosa

(2)已知tana=2,求的值.

sina-3cosa

15.在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知

甲答题正确的概率是%乙答题错误的概率畤乙、丙两人都答题正确的概率是，假设

每人答题正确与否是相互独立的.

⑴求丙答题正确的概率；

⑵求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率.

16.已知A,8,C分别为V/WC三边所对的角，向量"?=(sinAsinB),〃=(cos8,cos4),

H.m-n=sin2C•

(1)求角C的大小：

(2)^sinA+sin13=2sinC,_£LCA-^AB-AC^=18,求边c的长.

17.已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且回=J2,z?的虚部为2.

⑴求复数z；

(2)设复数z、z」z-z?在复平面上对应点分别为A、B、C,求48MC的值.

18.如图，正方体的极长为a，E尸分别是棱的中点，截面户将该

正方体分成两部分，这两部分的体枳分别为匕匕，且匕〉匕.

⑴求KM；

(2)求点A到平面AEF的距离.

19.己知函数/0)=2'一提.

⑴若4=log?3,求/(a)的值;

(2)根据函数单调性的定义证明函数/*)在R上单调递增;

⑶若存在X£[4,16],使得不等式/（（1082力2-〃?1。82工+1）—工+一之。成立，求实数机的取值

范围.

试卷第4页，共4页

《云南省石屏县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CCCCDBI)ADBDABD

1.C

【分析】根据并集的定义即可求解.

【详解】由题意可得Au8={-3,—2,-1,013,4},则AI8有7个元素.

故选：C.

2.C

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】因为a>l,b>2,（a—1）（〃—2）=2,

所以八2"（吁］）3_2）=&,.“+bN3+2叵,

当且仅当a—1=〃-2,即0=1+&,。=2+及时取等号.

故选：C.

3.C

【分析】根据函数的单调性与奇偶性直接判断即可.

【详解】对A,），=/为偶函数，故A错误：

对B,y=sinx在（0,+巧上不为增困数，故B错误；

对C,y=V既是奇函数又在（。,+8）上单调递增，故C正确；

对D,），二111凶为偶函数，故D错误.

故选：C

4.C

【分析】由正弦定理易得》二竺芋，然后代值计算即可.

sinA

,.R

【详解】由正弦定理可得：二二=，所以匕=竺彳=一屋-=&.

sinAsinBsinAJ3

T

故选:c.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，侧重考杳对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

答案第1页，共9页

5.D

【分析】根据复数的运算法则求得z,再求复数的模即可.

【详解】由题意z=(l—iy=l+i2—2i=—2i,

则|Z|=J()2+(_2)2=2.

故选：D.

6.B

【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角.

【详解】圆锥的侧面展开图为扇形，

扇形的弧长等于圆锥的底面周长2口=2兀，扇形的半径等于圆锥的母线长/=4,

所以圆锥的侧面展开图的圆心角为半=守=].

故诜：B.

7.D

【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可.

【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对；

B：由6x60%=3.6,故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对；

C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%,其它都不超过100%,对;

D：由-------------------------------------=410,35>291.6,错；

6

故选：D

8.AD

【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，2sin75飞os75。=sin150。=1,A选项正确.

2

B选项，cos74鞍in14-sin74鞍os14

=sin14°cos740-cos14°sin74°

=sin(14°-74°)=-sin60°=-,B选项错误.

C选项，1-2疝215。=8530。=3,C选项错误.

2

—tan22.5°12tan22.5°1.,1>3存十心

D选项，；----=7-----------TTT-^=Ttan45°o=-,D选项正确.

1-tan-22.5°21-tair22.5022

故选：AD

答案第2页，共9页

9.BD

【分析】根据线面垂直.的判定定理及性质判断各选项即可.

【详解】由题意，B4_L平面A8C,因为ACBCu平面48C,所以小_LAC/A_L8C,

因为点。在以A8为直径的圆上，且C为圆上异于A3的任意一点，所以4C_L8C,

故A错误；

因为AC_L3C,PAtBC,乂%=AACPAu平面。AC,

所以6C_L平面PAC,故B正确；

因为BC_L平面E4C,又PCu平面P4C,所以PC_1.BC,故D正确；

若AC_LP8,由ACJ.8C,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

则ACJ_平面PBC,又PCu平面P8C,则ACJ.PC,这与Q4J_AC矛盾，故C错误.

故选：BD.

10.ABD

【分析】利用概率的性质结合已知即可推出A正确；再利用和事件的概率公式结合A选项,

即可判断BCD.

【详解】对于A,P（A）=P（AB）+P（AB）y:.P（AB）=P[A）-P（Al3）,

P（B）=P（AB）+P（AB）,P（砌=P（8）-P（AB）,

又P（AB）=P（AB）,所以P（A）—P（/W）=P（B）-P（AB},

故P（A）=P（B）,A正确;

对于BCD,P（A+B）=P{A}+P（B）-P（AB）=1,结合P（A）=P（8）,

贝ijP（AB）=2P（A）-1,而网通）=P（4）-P（AB）=；,

所以P（A）=；P（A3）=：,B正确，C错误，D正确；

故选：ABD

11.5加

【分析】由向量坐标运算法则求262〃+〃力，结合向量平行的坐标表示求〃J再求

3a+〃7力的坐标，再由模的坐标表示求结论.

【详解】因为〃=（1,3）/=（2,1）,

答案第3页，共9页

所以4-2/，=(一3,1),2a+/汕=(2+2m,6+m),

因为(〃一2Z?)〃(2a+mb),

所以(-3)x(6+"?)=lx(2+2m),

所以〃z=-4,

所以3a+/n/7=(3,9)+(-8,-4)=(-5,5),

所以恸+mb\=V52+52=572.

故答案为：5x/2.

12.-2

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简z,再根据复数的类型求出参数的值.

【详解】因为z=(l-i)(2+oi)=(2+a)+(a-2)i,

又复数z=(l-i)(2+〃i)g£R)为纯虚数，所以:解得。=一2.

故答案为：-2

13.3m,

【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得.

【详解】正方体的对角线就是球的直径，即2"=疯/，则

2

则S=4兀宠2=37tM.

故答案为：3TUI2.

33

14.(l)sina=—Janez=--

⑵-3

【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.

(2)根据商数关系来求得正确答案.

【详解】(1)由于cosa二-±,。在第二象限，所以sina=J1-cos2a=\,

55

ersina3

所以urna=------=一一.

cosa4

(2)依题意，tana=2,

”,、，sina+cosatana+12+1、

所以------;-----=-------^=「7=-3.

sina-3cosatana-32-3

答案第4页，共9页

5代

【分析】3)设丙答对这道题的概率为x,利用对M事件和相互独匕事件概率公式，即可求

解；

(2)由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.

【详解】(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件AB.C,

设丙答对题的概率P(C)=X,乙答对题的概率p(8)=1,

JJ

由于每人回答问题正确与否是相.互独立的，因此是相互独立事件.

213

根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(BC)=[/=：,解得x='

348

所以丙对这道题的概率为p$)=5

O

(2)甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都I可答错误的概率为

5

P（,4。）=P（孙P⑻.P©=X-X

48

16.（,）C=y

⑵c=6

【分析】(I)利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；

(2)将sin4+sin3=2sinC中的角化边，再将CA・(/W-4C)=18用三角形的边角表示出来,

然后利用余弦定理求出边c的长.

【详解】(1)由己知得〃?〃=sinAcosA+cosAsin3=sin(A+A).

因为A+8+C=TI,所以sin(A+4)=sin(7r-C)=sinC,

所以in-n=sinC.

又〃7〃=sin2C，所以sin2C=2sinCcosC=sinC,

-,•()<C<n,则sinCoO

所以cosC=-.乂OVCVTT,

所以c=T；

J

（2）由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理得2c=a+〃.

答案第5页，共9页

因为—AC)=CAC3=18,所以"cosC=18,所以必=36.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+/?)2-3ab,

所以/=4/-3x36，所以/=36,

所以c=6.

17.(l)z=l+i

(2)AB•AC=-2

【分析】(1)设z=a+〃i(4tR,〃wR),得到忖、z2,根据|z|二Q和z?的虚部为2联立方

程组解出。、〃，再根据复数z在复平面上对应点在第一象限得到复数z；

(2)分别求出炉、z-z2»得到点A、B、。的坐标，求出A&AC.

【详解】(I)设2=〃+加(awR,〃wR),z2=(a+bi)2=\a2-b^+2ahi,|z|2=a2+b2,

a2+b2=2[a=1{a=-\

由题意得c,.，解得kI或八I，又因为复数Z在复平面上对应点在第一象限，

2ab=2b=\[Z>=-1

所以z=1+i.

(2)z=l+i,z2=(l+i)2=2i,z-z2=l+i-2i=l-i»

所以对应的点A(U),8(0,2),C(1-1),从而4B=(-L1),AC=(0,-2),ABAC=-2.

18.(1)V；=—a\K=­d3

124224

(2)?

【分析】(i)根据锥体体积公式可得匕，再利用割补法求匕：

(2)根据题意利用等体积法求点到面的距离.

【详解】(1)截面AE尸将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A-力£尸，

其底面△AM是腰长为:4的等腰直角三角形，面积为S=；XAEX4/二：/.

又底面AAEF上的高为h=AAi=a,

所以三棱锥A-人石尸的体积乂=』S/?=Jx*〃=1Q.

33824

因为正方体ABC。—A4G〃的体积v=/,

答案第6页，共9页

所以剩余部分的体枳匕=V-匕=/-a3=争

(2)在・AEF中，\F=\E=&EF&

22

fV5Y

所以A”二^AE2-EH2=--a-a，

[2

S/的面积S[=—EF-AH=—xa=—a2

12{12248

设点A到平面A"的距离为d.

因为三棱锥AE/与三棱锥A-A9是同一个几何体，

所以匕,-AEF=匕-4"，结合(1)得五

1313.ja

即Hnr2xd,解得dt=w，

24Jo3

所以点A到平面\EF的距离为1.

Q

19.(1)-

(2)证明见解析

⑶(-8号

4

【分析1(1)根据题意，利用对数的运算公式，即可求解；

(2)根据题意，利用函数单调性的定义及判定方法，结合指数函数的性质，即可求解：

(3)由/(log2X)=x-L不等式转化为/((logzxf-HogzX+l)之/(1。82])，根据/(x)在

R上单调递增，转化为存在XG[4,16],使得(logz^f-logzX+l之"ilog^x成立，令/=】og?x,

答案第7页，共9页

得到存在”[2,4],使得看K/+--1,结合函数y=f+--l的单调性，即可求解.

\/nuixI

【详解】（1）由函数/（幻=2'-£,

因为〃=bg23,可得/⑷=2喝3.^1=3J1=|Q.

(2)任取X],X2CR，且

则上）寸㈤=2』一呆”!