四边形及多边形（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第01讲四边形及多边形

知识导航

需导航1考点清单

考点1：多边形的相关概念和性质

考点2：多边形的基本性质

考点3：多边形的内角和

考点4：多边形的外角和

考点5：多边形的对角线条数问题

考点6：正多边形

考点7：平面镶嵌问题

国导航2重难点

重点：

（1）掌握内角和、外角和、对角线条数公式，能解决边数、角度计算问题。

（2）学会在四边形中添加辅助线，将四边形转化为三角形或平行四边形求解

难点：

（1）多边形对角线的条数问题

（2）多边形内角与外角综合运算

圜知识梳理

知识点1：多边形的相关概念和性质

1.定义

（1）多边形概念；在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。

（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫;故正多边形

2.性质:四边形具有不稳定性

题型精讲

【题型1四边形的不稳定性】

【典例1】下列图形具有稳定性的是（）

A.正方形B.长方形C.平行四边形D.三角形

【变式1】下列图形中，最具有稳定性质的是（）

A.B._____\C.DD.o

【变式2】下列图形中不具有稳定性的是（）

A.U,公

【变式3】如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是_________________.

知识梳理

知识点2：多边形的对角线

n边形一个顶点的对角线数：n-3；n边形的对角线总数：〃"⑶

2

题型精讲

【题型2多边形对角线的条数问题】

【典例2】如图，i角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的笫四套金属流通币之一，该硬币呈圆形,

边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（）

O

实物图局部示点图

【变式1】一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）.如图，过一

个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形

的一个顶点的对角线条数是（）

【变式3】七边形一共有（）条对角线

A.4B.5C.14D.28

【题型3对角线分成的三角形个数问题】

【典例3】从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成8个三角形，则此多边形边数为

（）

A.9B.10C.11D.12

【变式1】已知一个多边形从一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，得到12个三角形，那么它是

（）

A.十边形B.十一边形C.十二边形D.十四边形

【变式2】要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化

得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【变式3】从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若

干个三角形.根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为

知识梳理

知识点3：多边形的内角和与外角和

（1）n边形的内角和公式：（n-2）xl80。；

（2）正多边形的每个内角"一2"1800

知识点4：多边形的外角和

（1）n边形的外角和:360°

360°

（2）正多边形每个外角的度数：—

n

题型精讲

【题型4多边形内角和问题】

【典例4】一个九边形的内角和等于（)

A.18000B.1440°C.1260°D.1080°

【变式1】一个正六边形的内角和为（)

A.720°B.540°C.360°D.180°

【变式2】一个多边形的内角和为1620。，则这个多边形为（)

A.九边形B.十边形c.H-一边形D.十一边形

【变式3】一个多边形的内角和比四边形的内角和多540。，它的边数是)

A.8B.7C.5D.6

【题型5正多边形的内角问题】

【典例5］如图,正五边形的一条边48在正六边形的一条边力C上，则乙OAE的度数为（）

A.12°B.14°C.16°D.18°

【变式1】如图,在正五边形ABCDE中，连接8E,则4BED的度数为（）

A.30°B.36°72°

【变式2】开远凤凰山钟楼又名凤凰楼，原楼为三层八角塔形，是云南省开远市的地标性建筑物，这座钟楼

采用欧式建筑风格，融合了红酒文化和彝族支系阿细人的火文化，具有独特的设计元素，并有多种几

何图案呈现，正八边形图案就是其中之一，如图所示的正八边形每个内角的度数为（）

A.80°

【变式3】运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌〃，其中五边形4BCDE为正五边形,

三角形4?尸为正三角形，延长A广交C。于G,则NCGF=（）

A.78°B.84°C.88°D.82°

Ifr知识梳理

知识点4：截角问题

n边形截去一个角后得到n/n-1/n+l边形

题型精讲

【题型6多边形截角后的问题】

【典例6】将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（）

A.180。或360。B.180。或540。

C.360°或540。D.180。或360°或540°

【变式1】把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了1260。，则这个多边形原来的边数为（）

A.9B.8或9C.9或10D.8或9或10

【变式2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720。，那么原多边形的边数为（）

A.5B.5或6C.6或7D.5或6或7

【变式3】如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为1440。，那么原多边形有条边.

【题型7复杂图形的内角和】

【典例7】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则上4-48+乙。+41）+4£+2尸的度数为（）

A.180°B.270°C.360°D.720°

【变式1】如图，N/l++4C+/。+NE+N尸的度数为.

【变式2】如图，团4+回8+0C+团O+0E+团人■团G=

【变式3】如图，财+鲂+0C+或）+0E+ElF+[aG+团〃+团/+13K的度数为

DE

【题型8正多边形的外角问题】

【典例8】如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为

【变式1］如果一个多边形的每个外角都等于60。，那么这个多边形的边数是.

【变式2】一个正多边形的每个内角等于108。，则它的边数是.

【题型9多边形外角和的实际应用】

【典例9】如图，桐桐从4点出发，前进3m到点B处后向右转20。，再前进3m到点C处后又向右转20。，…,

这样一直走下去，她第一次回到出发点4时，一共走了

【变式1】如图，图①是我国古代建筑中的•种窗格，称为“冰裂纹”.图②是从图①冰裂纹窗格图案中提

取的由五条线段组成的五边形，41、上2、乙3、匕4、45分别是这个五边形的外角,则乙1+乙2+乙3+44+

乙5的度数为。.

图①图②

【变式2】"花影遮墙，峰峦叠窗J苏州园林空透的窗杈中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗根是冰裂纹

窗根，图②是这种窗禄中的部分图案.若乙1=110。,乙2=65。,乙3=85。，则乙4=°

图①图②

【变式3】有•程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是

米.

【题型10多边形内角和与外角和综合】

【典例10】一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180。，这个多边形的边数是多少？

【变式1］已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多30。.

(1)求这个正多边形一个内角的度数；

(2)求这个正多边形的内角和.

【变式2】已知一个多边形的边数为n.

(1)若n=8,求这个多边形共有多少条对角线.

(2)若这个多边形的内角和等于外角和的4倍，求n的值.

【变式3】计算：

(1)如图，求出图中x的值.

⑵一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数.

写知识梳理

知识点6：平面镶嵌

1.定义

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种

铺法叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。

2.平面镶嵌的核心条件

拼接在同•个顶点处的几个图形的内角和等于360。，且相邻图形的边长相等

3.常见镶嵌类型

（1）单一正多边形的平面镶嵌

只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独完成镶嵌结论：其他正多边形（如正五边形、正

八边形）无法单独镶嵌。（例：正五边形内角108。，3604-108不是整数，无法凑成360。）

（2）多种正多边形的平面镶嵌

两种或两种以上正多边形组合，满足顶点处内角和为360。且边长相等，即可镶嵌。

西题型精讲.十7t

【题型11平面镶嵌】

【典例11】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（）

A.正五边形B.正六边形C.正三角形D.正四边形

【变式11如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是

)

A.90°B.120°C.135°D.150°

【变式2】下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（）

A.正三角形和正六边形B.正方形和正六边形

C.正三角形和正十二边形D.正三角形、正方形和正六边形

【变式3】只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（）

随堂检测”力

1.九边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

2.若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

3.若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（）

A.108°B.144°C.140°D.135°

4.如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

5.小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转仇

接着沿直线前进6米后，再向左转。......如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，。的

度数为（）

A.30°B.36°C.60°D.72°

6.如图，五边形4BC0E中，AB||CD,41、42,43分别是48HE、Z.AED.乙EOC的外角，则41+乙2+

Z.3=.

7.如图，直线，2分别经过正六边形A8CDE尸的顶点小B,且打比，若4