高考数学复习专项练：函数单调性、极值、最值综合运用（解析版）

专题07函数单调性、极值、最值综合运用

一、单选题

工3V*<zj

1.设函数/。)=C一'一，若函数“力无最小值，则实数〃的取值范围是()

2x,x>a

A.(―co,-1)B.(-€0,-1]

C.(-L+oo)D.(U-Ko)

【解析】由y=3x-d得),，=3-3?,

令:/>。,得一l<x<l,令丁'<0,得x<-l或x>l,

所以),=3式-丁在(fi)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减，

所以当x=T时，y=3x-M取得极小值，为一2,

因为/(x)='?'无最小值，所以[J〉："解得"-1.故选：A

2x,x>a[3a-a->2a

2.己知函数〃x)=d-12x,则()

A.函数/(x)在(-WO)上单调递增B.函数/(x)在(f,⑹上有两个零点

C.函数/(“有极大值16D.函数“X)有最小值-16

2

【解析】f(x)=3x-\2f由/㈤>0,得xv-2或4>2,由f(x)v。，得-2c<2,

所以/(x)在(-8,-2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2,一)上递增，

所以极大值为八-2)=16>。，极小值为/(2)=-16<0,所以/㈤有3个零点，且八幻无最小值.

故选:C

3.如图是函数)，=/("的导函数的图象，下列结论中正确的是()

A.〃力在上是增函数B.当x=3时，/'(X)取得最小值

C.当x=-l时，取得极大值D.“X)在［-1,2］上是增函数，在［2,4］上是减函数

【解析】根据图象知：

当”x«2,4)时,广仁)<0函数)，=/")单调递减；

当XW(-1,2),xw(4,+co)时，/'(力>0函数产/(力单调递增.

所以在42,-1］上单调递减，在(T2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4,s)上单调递增，故

选项A不正确，选项D正确；

故当x=T时，/(x)取得极小值，选项C不正确；当x=3时，/(力不是取得最小值，选项B不正确；

故选:D.

4.已知函数/*)=；/+：/-2工+1,若函数/(幻在(2〃,2〃+3)上存在最小值，则〃的取值范围是()

JJ

A.(T，£)B.C.(-1,3)D.(-00,-2)

【解析】f(x)=^-x3+^-x2-2x+\,f\x)=x2+x-2=(x+2)(x-l),

°乙

当-2vx<l时，/(%)单调递减；当x<-2或x>1时，/(%)单调递增，

“外在x=l、x=-2处取得极值./(1)=：+：-2+1=-1，

326

I129

/(-2)=-•(-2)3+-•(-2)2-2.(-2)+1=7，・••函数/(x)在x=1处取得最小值，

•・•函数/⑴在(2a,2a+3)上存在最小值，，为<1<勿+3,解得-.故选：A.

5.函数/(工)=/+/+/?1门,3〃£/?)有极小值，且极小值为0,则小一方的最小值为()

A.eB.2eC.—rD.--

ee'

【解析】由/(x)=f+/+川nx,(a,bwR),可得广3=2%+§,

因为/W有极小值，记为/，则2%+2=0,即8=-245>0),

%

又由/(为)=0,所以x：+/+/?lnxo=(),

即a2=一片一1In/=一片+2*ln/N0,所以为N—.设a2一〃==x；+2/In改)，

当%N&时，/(%))=4%+4%In不)之0,所以g(x0)=4+2片lnx0在［忘*o)上单调递增，

当小=4时，可得H(/L=/(&)=2e,所以片-。的最小值为2e.故选：B.

6.函数/(x)=x+2cosx在［0,网上的最大值为()

A.4—2B.-2C.2D.—+>/3

66

【解析】由题意,/，(x)=l-2sinx,

.,•当OKsinxwLx在［0,刍和乡㈤上/"RO,即当幻单调增;

266

当:vsinxSl,x在(£,二)上即八幻单调减；

266

・・・，*)有极大值/(今="&,有极小值/(苧)=?一6,而端点值/(0)=2,/⑺=乃一2,则

6666

/(力>/(0)>/(外>/(¥)，・•・•/•*)在［0，兀］上的最大值为£+、石.故选：D.

666

7.已知函数“力=d+3g+1在(0,1)内存在最小值，则()

A.m>0B.C.-1<m<0D.m<-\

【解析】因为/("=乂+3〃“+1,所以/'(%)=3(/+〃?)，

m<0

因为/W在(0/)上存在最小值，所以八r—,解得-IvmvO.故选：C.

0<\/-/n<1

8.若关于x的不等式or-为>2x-lnx-4有且只有两个整数解，则实数〃的取值范围是()

A.(2-ln3,2-ln2］B.(-00,2-In2)

C.(-^,2-In3]D.(^x>,2-ln3)

【解析】首先x=2时，不等式为2〃-2〃>4-ln2-4,恒成立，即整数2是不等式的•个解，则由题意1或

3是不等式的另一个整数解.

若I不是不等式的解，则W2-lnl-4,a>2,此时不等式化为:

(a-2)x+\nx>2a-4,易知函数y=("2)x+lnx在(0,y)上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等式

的解，不合题意.

所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，a<2,

2r—4—Inv

所以N时‘不等式g勿口，…恒成立，即心F-在…)上恒成立，

2x-4-lnx「Inx

设g(x)=----------=2------

x-2x-2

2

x-2—InrInY4---I

则g3x_•A,xN3时，lnx>1,/(幻>0,双幻单调递增,

(x-2)(x—21

所以g(x)"g(3)=2—In3,所以〃42—ln3.综上。的取值范围是(—8,2—In3].故选：C.

9.已知函数f(x)=--2m(x-\nx),若x=l是/⑴在(0,+8)上唯一的极值点，则实数，〃的取值范围为()

X

-1/\z

A.0,-|B.10,6*]C.卜8,]D.-oo,1

[解析1函数f(%)=幺一2。*一In，),定义域(0,+«?),

x

所以/，(0="(I)十2〃?(1-6=(，-2闷(.1)

7X2XX2

因为x=l是/*)在(0,+oo)上唯一的极值点，所以x=l是/'(X)的唯一变号零点，

令g(x)=e'—2〃a,则g(x)="—2〃氏在(0,+e)无变号零点，g\x)=ex-2m,

①"K0时，g'(x)>0恒成立，g(x)在(0,+向上单调递增,所以g(x)>g(0)=l,

所以g(x)无零点,满足题意；

②加>0时，g'(x)=。的解为x=ln(2〃z),所以当0<x<ln(2〃?)时，g〈朋)<0,g(x)单调递减,

当x>ln(2〃z)时，g'(x)>0,g")单调递增，所以g(x)的最小值为g(ln(2/〃))=2〃L2〃71n(2w),

要是g(x)在(0，+力)无变号零点，所以2团一2〃71n(2〃z"0,解得加V，所以0〈用《宗

乙乙

/"

综上所述满足题目要求的机的范围为不.故选：D.

10.已知函数/(1)=依"-4-1似，若/(X)之5m-9恒成立，则实数，〃的取值范围为()

<11

A.-8,-B.(-00,1]C.(e,2]D.

\e」

【解析】令五=/(/>0),则x=/，问题转化为那—卜/力/〜乡恒成立.

令8(/)=/%'-f-21n/,则短⑴=仍+2/)M一1=«+2乂;e-l),>。),

因为f>0,所以牛>0.令"(/)=/9_1(/>0),则/(/)=d+2f)e'>0,

所以始)在(0,+巧上单调递增，又砍l)=e—1>0,

所以存在使得％)=0,即密。一1=0,所以当le(0/°)时，/2(/)<0,即g'(/)vO,

当“&,+8)时，/?(/)>(),即g«)>。，所以g(f)在(0.幻上单调递减，在日,y)上单调递增,

所以g(我Un=g('o)=松"To-又四-1=(),所以西=1,1=2，

所以g(/)min=】To-m」r=lTo+'o=l，所以125，〃一9,解得/"42.故选：C

e

二、多选题

11.已知函数/(])=『]:一1则下列结论正确的是()

A.函数/(%)存在三个不同的零点

B.函数/")既存在极大值又存在极小值

C.若xe|7,y)时，/(x)ijm=4»则/的最小值为2

e

D.当Y<A<0时，方程/(力=攵有且只有两个实根

【脩析】r(*="昔+2,令广(力=0,解得x=_i或尸2,

当、<-1或x>2时，/'(x)<0,故函数“外在(~0,-1),(2,+oo)上单调递减，当—l<x<2时，/(^)>0,

故函数在(T2)上单调递增，且函数小)有极小值/(-l)=-e,有极大值/⑵=与，当x趋近负无穷大时，

e

/(X)趋近正无穷大，当X趋近正无穷大时，/(“趋近于零，故作函数草图如下，

由图可知，选项BD正确，选项C错误，I的最大值为2.故选：BD.

12.函数/(x)=a(e--l)+x(x-2),其图象在坐标原点处与>'="相切，则()

A.a=3

B.函数/(x)没有最小值

C.函数/(工)存在两个极值

D.函数/(X)存在两个零点

【解析】由题意可得r(x)=〃e'+2x—2,且广(0)=。—2=1,所以a=3,

所以f(x)=3(d-l)+x(x-2)=3e'+f_2A-3,

r")=3/+2x—2,令/'a)=3e'+2x-2=(),则3/=-2x+2,

当”，〃时，rUXO,函数是减函数，当时，/V)>0,函数是增函数，

所以*=切是函数极小值点，/(〃。是函数最小值，

因为函数/(幻过(0,0),/(，〃)<0,/(-3)=3/+12>0

所以函数存在两个零点，故选：AD

13.设函数〃x)=xln2x+x的导函数为f(x),则()

A..f(-)=0B.X」是Ax)的极值点

ee

C./(幻存在零点D./3)在g,+8)单调递增

［解析］由题可知/(X)=MM*+%的定义域为定内),

对于A,//(x)=lirx+21nx+l,贝ij/'(』)=1/」+21nL+l=1-2+1=(),故A正确；

eee

对于B、D,f(x)=In2x+2IIKV+1=(Inx+1)2>0,所以函数/⑶单调递增，故无极值点，故B错误，D正

确；对于C,/(x)=jdn2x+x=Mln2x+i)>o,故函数于防不存在零点,故C错误.故选：AD.

14.已知函数/(x)=e、(f—x-1),则下列选项正确的有()

A.函数/(*)极小值为Y,极大值为之.

e

B.函数/(x)存在3个不同的零点.

C.当工«-2,2］时，函数的最大值为e2.

D.当-e<&<2时，方程f(x)=k恰有3个不等实根.

(解析】=ev(x2-x-l)+ev(2x-l)=ev(x2+x-2)=er(x+2)(x-l),

.•.在(v,-2),(l,+oo)上,/Xx)>0,/(x)单调递增，在(-2,1)上，八x)vO,八力单调递减,

「J(x)极大俏=〃-2)=e-2[(-2)2-(-2)-l]=5e2,极小值=/(l)=e(1-l-l)=-e,故A正确；

当工一—00时，/(x)-*O,*f+8时，且/(x)极大俏=5e'>。，/(幻极小假=—e<0,所以函数有两

个零点，故B错误；

由函数单调性知,/")在上单调递减，在[1,2]上单调递增,

且f(-2)=5e-2j(2)=c2(4_2-IXe?,故函数/(x)的最大值为/,故C正确；

方程=k恰有3个不等实根，可转化为)，=/(%)与)，=左的交点有3个，由上述解析可知，/(幻的图象

由图象可得当YdVO时，/3)=左有2个实数根，当O4v5e-2时，/(“)="有3个实数根，当Z=5e々时,

/(©=%有2个实数根，当时，有1个实数根，故D错误.

故选:AC

15.对于函数〃力=幽，下列选项正确的是()

A.函数/(x)极小值为-，，极大值为!

B.函数“X)单调递减区间为(YO,Y]UB+8),单调递增区为[-e,())D((),e]

C.函数/(x)最小值为为-e,最大值e

D.函数/(“存在两个零点1和-1

【解析】/(力=幽的定义域为(—8,0)50,心)，所以/(T)=吐©=—皿=—/(X),

X-xX

所以〃.1)=幽为奇函数，当文>0时，f(x)=—,/(幻=匕学，令/'@)=0,解得X=e,

XXX

当RW(O,e)时，则/⑶为单调递增函数，当xe(e,+8)时，/*)<(),则f(x)为单调递减函数，

因为/(X)为奇函数，图象关于原点对称，

所以/(X)在(fe)上单调递减，在(-e,0)是单调递增，

所以/“）的极小值为八-。=回臼=-！，极大值为f（e）=^®=1,故A正确；

-ccee

/⑶的单调递减区间为（T2-e],[e,”），单调递增区为[-e,0）,（0,e],故B错误；

“X）在（-8,0）1（0,内）无最值，故C错误；

令/（"=0,解得x=±l,结合/（*）的单调性可得，/（X）存在两个零点1和-1,故D正确.

故选：AD

16.已知/(x)=/十xlnx+2,^(.r)=/(x)-c*,则下列结论正珈的是()

「1127

A.函数/(x)在-,1上的最大值为3B.Vx>O,/(x)>—

C.函数g(x)的极值点有2个D.函数8(%)存在唯一零点与w(3,4)

【解析】对于A,/'(x)=2x+l+lnx,令〃(力=/'(x),则/@)=2+,>0,

故r(x)在1,1上单调递增，.・./"(x)2r[£j=T+in；=Y3>。.

•••/(”在H上单调递增，・・・/(x)a=/⑴=3,故A正确；

_4

对于B,由选项A知，〃(力在(。+8)上单调递增.・・m=；x(3—41n2)>0,哈)=1一1<0,.••存

在多£(!，；,使得Mw)=O,即2.+lnw+1=0,则h】w=-2W一1,

4/

工当.«0,占)时,/i(x)<0,/(x)<0,/(x)单调递减：

当了«生”)时,A(x)>0,f(x)单调递增:

ln

••・f(x)min=/(%)=W+&%+2=W+^(—2/-l)+2=Y-/+2

(1Y9(\1Y927侬

=-x,+—+—>-----+—+—=一,故B正确；

U2；4u2)416

对于C,g(x)=f(A)-e1=x2+xIn.V+2-eA,定义域为(0,+a),g'(x)=2x+lnx+l-e，令刑㈤=g'(x),

则”("=2+：_丁

令夕(x)=加(x),xe(0,+oo),则e'(x)=--y-e*<0,二0(力在(0,y)上单调递减.

•X

又夕⑴=3—e〉()，^(2)=1-e2<0,J存在当«1,2),使得。(&)=2+'-状=0,即2+-!~=/',

2七X3

，当xw(0，W)时，。(力=加(力>0，刈(x)=g'(“)单调递增;

当H«.q,+oo)时，。(力="7(”<0,，〃(x)=g'(x)单调递减；

故”?(x)max=〃?(&)>m⑴=3Y>0.又=2-In2-五<0,z??(2)=5+ln2-e2<0,

，〃?(x)=g'(x)有两个零点，，g(x)有两个极值点，故C正确；

对于D,由选项C知当x£(2,y)时，〃2(x)v0,，当xe(3,4)时，W(A)<0,

干是屋力在(3.4)上单调递减.，当xw(3.4).(x)<(3)=11+31n3-e3<0,Ag(x)(3,4)上没有零点.

故D错误.

故选:ABC.

17.已知函数/(力=加+区-11，则下列说法正确的是()

A.若a=。，b=l,则/(x)在(L+oo)单调递减

B.若a=b=1,贝ij/(八)之h】2-；

C.若〃>(),则/(力有最小值

D.若/(”<(。-1)/+(〃+1)工+，有解，则实数c的最小值为一1

1X-]

【解析】易得x>0,对于A,若〃=0,〃=1,则/(x)=Al-lnx,/'(x)=l一=——，当工>1时，/'(力>0,

XX

则“X)在(l,y)单调递增，A错误：

对于B,若a=b=1,则/(x)=/2+x-|-]nx,6(x)=2x+1一3="*"一1=——1)(*+。,

''xxx

当xe(0,g)时，/*)<0,/(工)单减，

当xe仔+81时，f(x)>0J(x)单增，则/(%)”得=1+，TTn，=ln2-J,B正确;

<2)\2)4224

2aX+bx1

对于C,f(x)=2ajc+b--=~^t^-y=2ax+bx-\,a>(),显然△=序+8〃>0,设两根为用,电，

XX

则4%=一:-<°，

2a

两根异号，不妨设％>0，石<0，则当xe(O，N)时，/'(X)voj(x)单减，当xe(N，+8)时，f())>OJ(x)单

增,则〃力有最小值/(石),CE确;

对于D,小'+法一1-111%4(。-1)/+(〃+1)工+。有解，等价于C之工2一工一|一][]%有解，令g")=/一1一1一加4,

则g'(x)=2x—1'=空二」=往土如二D,当xw(0,l)时，f'(x)<OJ(x)单减，当xw(l,”)时，

XXX

/'(工)>0,/(幻单增，则g*)Ng⑴=一1,则C2-1,则实数c的最小值为一1,D正确.

故选:BCD.

三、填空题

18.若函/3=叫4-5)-；4+2收2只有一个极值点，则&的取值范围为.

【解析】/(外只有一个极值点=八幻只有一个变号零点.

f\x)=ex(x-5)+ex-fcr2+4kx=(ex-kx)(x-4),易知/"(4)=0,f\0)=-4,

首先(")=。必有一个解X=4,A<0时，由e-依=0,x=0显然不是方程的解，因此々=G,

X

令晨X)=W,g，(x)=^^2,x<0或0<x<l时，g'(x)vo,X>1时，g'(x)>o,

Xx-

g(X)在(-℃,0)和(0,1)上都递减,在(l,+oo)上递增,

•r-+<o时，g(箝f内，xf。+(即从原点有右侧逼近，g(x)fy,%->()-(即从原点有左侧逼近，g(x)->,,

大致图象如图所示：k<()时，g(x)的图象与直线y=〃都有一个交点，与f(x)仅有零点矛盾，舍去，

v

当上=0时，r(x)=c(x-4),x<4时，f(x)<Otf(x)递减,工>4时;(x)>0,/(幻递增，/⑶只有一个

极值点，

0<k<e时，g(x)=与与直线)，=2无交点，因此函数只有•个零点，

X

A=e时，/,(x)=(c¥-cx)(x-4),/'(x)=0有两个解x=l和x=4,

xvi时，ru)<o,i〈x<4时，ru)<o,工>4时，ru)>o,

x=1不是函数的极值点，/（X）只有x=4一个极值点.

4“时，g（x）的图象与直线y=*有两个交点，方程e，=0有两个解，工-4=0有•个解X=4,

要使得/“）仅有一个极值点，则43必为（。）=0的重根，所以女二金，

4

综上，火的范围是ioej{2}.

4

19.已知函数/（X）=h］X,若对任意药》2£（°，*°），玉2［/（玉）-/52）］之々（〃巧-々）恒成立，则阳的最大值为

【解析】因为函数/■（*•）=2,若对任意司,工2£（。，*°），玉2［/（斗）-/（%2）］之多。叫72）恒成立，

所以由屿二屿必2〃?，即土吊工+上之〃?，令五一，贝|五In%+E=/ln/+l,

西七与玉%£々$1

令g（/）="n/+；,则g«）=|n/+l*又g（）=ln/+T在［Oy）上单调递增，且/⑴=0,

所以g⑺在（0,1）上单调递减,在。,内）上单调递增,所以屋我皿=屋1）=1，所以小口，即〃z的最大值为L

四、解答题

20.已知函数〃力=-丁+20?+1,%=2是/（X）的一个极值点.

⑴求实数。的值；

⑵求/（x）在区间［-3,4］上的最大值和最小值.

【蟀析】（1）・：/（。在户2处有极值,A/f（2）=0,Vr（x）=-3x2+4ar,.\-12+8a=0,

•••“=；,经检验，当时，户2是〃力的极值点，・•・〃=1.

2

（2）由（1）知。=1，，/（力=一V+3Y+1,f\x）=-3x+6x,令/"（x）=0,得再=0，X2=2,

当x变化时尸（x）,/（力的变化情况如下表：

X-3(TO)0（。，2）2(2,4)4

门X）—0+0—

/W551Z5-15

从上表灯知:/（工）在区间［-3,4］上的最大值是55.最小值是-15.

21.已知函数/(x)=x-----(a+l)lnx,acR.

x

(1)求/(x)的单调区间：

⑵若且"X)的极小值小于2-41n3,求a的取值范围.

【解析】(1)/*)=]+二—四=(151)(x>0),

XXX

①当a,0时，当0<x<l时，/(x)<0,当X>1时，/U)>o,

所以/(A)在(0,1)上单调递减，在U,m)上单调递增；

②当0<“<1时，当0<x<a或x>l时，/(%)>0,当avxvl时，/(x)<0,

所以/a)在(0,0上单调递增，在3,1)上单调递减，在。,田)上单调递增；

③当。=1时，/*)20恒成立，所以/“)在(0，—)上单调递增；

④当a>l时，当0<xvl或不>。时，/(x)>(),当1<xva时，/1(x)<0

所以人幻在(0,1)上单调递增，在U,♦)上单调递减，在(“钙)上单调递增.

(2)已知a>l,由(1)知/(X)的极小值为/(a)=a-l-(a+l)lna,

令g(〃)=a-l-(a+l)lna,a>\,则g(a)=l-(lna+土与=-lna-~!~<0,

aa

所以g(a)在(L*o)上单调递减，且g(3)=2-41n3,

由，x)的极小值小于2-41n3,可得g(a)〈小3),所以a>3.

22.已知/(x)=ln“+ar,«eR.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)若…1,证明：/UX-1.

【解析】(I)由题可知x>(),/(x)=-+a.

x

当。之。时，/'0)>。恒成立，，函数/*)在(0,”)上单调递增;

当a<0时，令/")=』+。=0,解得x=—L

xa

当时，/V)>o,.•./(幻在(。,一十)上单调递增:

当了>一，时，广(幻<。，.•.函数/(灯在1

--,+8上单调递减.

a

综上可知，当。之0时，函数/*)在(0,yo)上单调递增；当。<0时，函数/*)在(0,一-

上单调递增，在

-*上单调递减.

(II)证明：若"T,则由(I)可知，〃幻在工=-一处取得极大值,

J'MmM=，&J=+a(_；=_ln(_a)_1.

令g(x)=-ln》-l.m0,g'(i)=」<0,.,.函数g(x)在(0,3)上单调递减.

x

乂—a>1皿=—hi(—々)—1<—In1—1=-1f(x)<—1.

23.已知函数/")=/一级J4%+5.

(1)当。=2时，求函数y=fW的单调区间；

(2)若函数)，=/(外在x=-2处取得极值,求函数y=/(i)在［-4,1］上的最大值与最小值.

【解析】(1)V6/=2,/./(x)=x'-2x2-4X+5(XGR),/./X(x)=3x2-4x-4=(3x+2)(x-2),

令r(x)>0解得或X>2,令r(x)<0解得一；<X<2,

2

从而函数y=/(x)的单调递增区间为：(-8,-鼻)和(2,4-X),

2

函数y=/(x)的单倜递减区间为：(--,2),

(2)•••在工=一2处取得极值,・・・/(-2)=0.即广(一2)=12+4〃-4=0,解得〃二一2,

2

.・./(3)=丁+2^-4工+5.・・・7(力=3/+4工一4,・•.由广(力=0.解得工=一2或%=一，

当x在［-4』］上变化时j'3和的变化如下：

2

X-4(")-21

3停|)

门X)+0-0+

极大值极小值

单调递增单调递减单调递增

-11.(2}954

)(—2)=13J—=—

27

・•・由表格可知当k--4时，函数/(力取得最小值/(4)=11,

当x=-2时，函数取得极大值同时也是最大值〃-2)=13,

故f⑴四二/(-2)=13J(4"f(-4)=一11.

24.已知函数/(x)=g&P+x2+&+c、，曲线y=/(x)在(0J(0))处的切线方程为，=x+l

⑴求仇。的值;

(2)若函数/")存在极大值，求。的取值范围.

【解析】⑴/(刈=加+21+/乙因为在点(OJ(O))处的切线方程为y="i,

[/70)=1[b=\

所以二\1，解得।

=1[C=\

(2)/(x)=^ar5+x2+x+l,

①当。=0时，/(H=f+X+1不存在极大值，不符合题意.

②当a>0时，/(刈=口2+2工+1.令以2+2.1+1=0.

⑺当,二4-4。＜(),即aNl时,不符合题意.

(")当.=4-皿＞0,即0＜avl时,方程a?+2%+i=o有两个不相等的实数根.

设方程两个根为用小，口M＜x2,x.f\x).f(x)的变化如表所示：

X(―小)X\a，4)X,(七,+00)

广⑺+0一0+

Z极大值极小值Z

所以/(X)为极大值.

③当“＜0时，、=4-而＞0恒成立.设方程两个根为和毛，”.王＜/.

xJ'(x)J(x)的变化如表所示：

(“2,+8)

X(f')(百㈤x?

/V)—0+0—

小)极大值Z极小值

所以，/(占)为极大值.

综上，若函数/")存在极大值，。的取值范围为(7,0)。(0,1).

25.已知函数/（x）=（/+a*-（3«+l）x+lnx.

⑴若x=l是/（x）的极小值点，求，的值；

⑵若。>0,且/'（X）在；，3上单调递增，求。的取值范围.

［解析】（1）因为/（x）=（c『+a）f_（3a+l）x+lnx,x>0,

所以/'（司=2（/+4卜_3a—1+，=（2--l）［（a+l）x-11

xx

又x=l是/（X）的极小值点，所以r⑴=〃伽-1）=0,解得：a=0或a=g.

当〃=0时，ra）=R则/（x）在（0,1）上单调递增，在（1,田）上单调递减,则％=i是/（刈的极大值点,

X

不符合题意.

1-Y-1I<、

当时,广（工）二（2人则/‘（X）在禾口（L”）上单调递增，在卜.单调谛减，则x=1

是f（x）的极小值点，符合题意.放。=（

⑵（1）知：/（力二（2办-1）［（0-1）1］,x>0,

令（加丫_1）［（4+1）工_1］=0,解得：4=（或X=

当;<一］，即”>1时,，此时单调递增区间为（0,；）/—二,+8］,其中一L~<^要想“X）在p3上

2aa+1I2a八。+1Ja十

单调递增，所以」二工!，解得：«>2.

与。>1结合,得到。22

当;=」7,即a=l时，r（.）（2v~l）->0>〃力在（。,+向上单调递增,

y=符合题意.

Jv7

2aa+1x

当!->」7,即0<a<l时，此时单调递增区间为其中二白二，要想/（工）在上

laa+1{a+\）\2aJLa2L3_

i2

单调递增，所以」?打，解得：-\<a<-±,

综合0<a<l,可知不等式无解.

综上所述，〃的取值范围为{1}U［2,S）.

26.已知aeR,函数/（x）=ax,-1-lnx.

（1）讨论/（X）的单调性;

⑵当〃=1时，若对立£(0,e)J(x)之法-2恒成立，求实数/，的最大值.

【解析】(D/(x)的定义域为(。，田)，f(x)=a--=—,

XX

当心。时,r(x)<o,在(0,+8)上单调递减.

当〃>0时，令令<()nO<x<L

aa

综上，当时，/(x)在(0,+8)上单调递减，

当〃>0时，/(x)在(。，£)上单调递减，在(J,+8)上单调递增.

(2)Va=\,：,/(x)=x-l-lnxJ(x)N〃x-2恒成立，

即心1+_1_处,。>0)恒成立，令4”=|+2_-2，则g，(x)="2,

XXXXX

由g'(x)>。,得x>e?：由g'(工)<0,得Ovxve?.

故g(x)在(0看)上单调递减，在(e1+8)上单调递增，

，式刈*=4n=1一二,即芥1一二,故实数。的最大值是1-1.

eee

27.已知/(x)=/-2x+alnx.

(1)若函数在x=2处取得极值,求实数，的值;

⑵若ga)=〃x)-⑪,求函数g(©的单调递增区间:

(3)若。=2,存在正实数和工，使得/(3)+)(工2)=%+々成立，求为+々的取值范围.

2x22x+a

【解析】(1)•••f\x)=2x-2+-=-(x>o),

XX

8.4+z/

•・•函数/*)在x=2处取得极值，r(2)==0,解得。二T,

x

当a=T时，f(#=2(二—x—2)=2(1+1)(x—2)

XX

•••当0VXV2时，r(A-)<0,/⑶单调递减；当x>2时，r(x)>0,/⑶单调递增；

••・当a=Y时，函数/(x)在x=2处取得极小值；

(2)^(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x+a\nx,

・，/、c/।。2x2-(a+2)x+a(x-\)(2x-a)

••g(%)=2x—(a+2)+-=--------------------=-----------------(x>Ol，

XXX

令fM=0,则X=1或K=3,

①当"KO时，令g'（X）＞0可得X＞1,・•・函数g。）的单调递增区间为。,忖）；

②当。＜"2时，令g"）＞。可得0C-苫或x＞l,

・•・函数g（X）的单调递增区间为（。，3，（I，+8）；

③当。=2时，g'*）20在xe（0,M）上恒成立，，函数g（x）的单调递增区间为（0，+8）；

/

④当。＞2时，令/（幻＞0可得Ocvl或x＞g,J函数鼠工）的单调递增区间为（°』'

（3）;。=2,f（x）=x2-2x+2Inx,

f（j）+/（r）=x+再,片+。-2（〃+/）+2山（%。）=%+%2,

整理可得（X]+x2）--3（X]+9）=2士工2一2ln（X1X2）,

令，=*%2，^（0=2/-21n/（r＞0）,

•・・”（/）=2（1-；）=^^,令0（力=0.解得/=].

当Ovf＜l时，（p\t）＜0,3（，）单调递减;当£＞1时,夕'。）＞0,夕”）单调递增;

.•.当，=1时，H）取得极小值即最小值为夕⑴=2,

（玉+9y-3（N+占）22即（内+/『-3（%+电）-220,

解得X[+A-2<--於Z(舍去)或公+勺之3+x/17

2

+x2的取值范围为[*.

“-iL.PM、«lnx+x+l

28.已知函数/(x)=e、v-----------.

X

⑴若X=1是/(X)的极值点,求4;

(2)若4=1,证明：/(x)NO.

f°I1x(«InxIA:I1)

【解析】(1)由题意知X>0，£,/、Xlxxa-alnx—1,

/(x)=e-----------------------=e-----------

XX'

则r6=e—(a—l)=0,解得〃=e+l；

2

”，,A,Ae-(e+I)lnxxe'+(e+l)lnx-e

当a=e+1时，f(x)=e-------4——=-

X-f，

当x>l时，^e1>e,(e+l)lnx>0,x2eA+(e+l)lnx-e>0,f{x}>0,

当Ovxvl时，x2ev<e,(c+l)lnx<0,x2ev+(e+1)lnx-e<0,f\x)<0,则x=l是/(x)的极值点，则。=©+1；

(2)若a=l,则/(x)=e1-lnx+x+1,令&*)=北—访x-x-1,则

,/…1x(x+\)c'-\-x(x+l)(xe-1)

g\x)=(x+\)es----1=——』--------=-——------L，

XXX

令h(x)=xev-l(x>0),则/(x)=(x+l)e'>0,又/?(；)=ge；-1〈。，〃⑴=e-1)0,则存在七€［』［使8")=0,

I2/

则/e“-l=O,%声=1,资=一,x0=\n-=-\nx0,则函数g(x)在(0,%)单减,在伍,田)单增,

/与

xlnA+A+1

贝ljg(x)>g(x0)=/e"-ln.ro