高考数学复习-直线与圆锥曲线的位置关系（附答案）

直线与圆锥曲线的位置关系

一、单项选择题

1.（2021•新高考II,3）抛物线）2=2外。>0）的焦点到直线y=x+\的距离为近，则

P二（）

A.lB.2

C.2V2D.4

2.已知直线/:>=去+1,椭圆C:9+V=l,则7=0”是“/与2相切”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.（2024.河北模拟）点月（20）,乃（2,0）为等轴双仙线C的焦点，过Fi作x轴的垂线

与C的两渐近线分别交于A,B两点，则aAOB的面积为（）

A.2V2B.4

C.4V2D.8

4.椭圆（+9二1上的两点A,B关于直线2A-2.V-3=0对称，则弦AB的中点坐标为

（）

A.（-l，7）B.（i-l）

C.&2）D.（2$

5.（2024・陕西安康模拟）已知直线/与椭圆1+f=l在第四象限交于两点，/与x

轴、y轴分别交于C,。两点，若|AC|二|BD|,则/的倾斜角是（）

A：B.-

64

C.-D.—

312

6.（2024•安徽芜湖模拟）已知椭圆一组斜率为;的平行直线与椭圆相交，则

432

这些直线被椭圆截得的弦的中点所在的直线方程为（）

A.y=/B.y=-2x

C.尸夕D.y=2x-

7.(2024•辽宁沈阳模拟)若直线/:)=h+2与曲线交于不同的两点，

则实数攵的取值范围是()

A/V15y/15.

A.(--,—)xBD.(Z0A,—)

C.(争)D.(~l)

二、多项选择题

8.(2023•新高考II,1())设。为坐标原点，直线y=-V5(犬-1)过抛物线C:yz=2px(p>0)

的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则()

A.p=2

O

B.|W|=|

C.以MN为直径的圆与/相切

D.40MN为等腰三角形

9.(2024・安徽模拟)设AM两点的坐标分别为(30)<3,0),直线AM,BM相交于点M

且它们的斜率之积为点则下列说法中正确的是()

A.M的轨迹方程为三-。二1

94

22

B.M的轨迹与椭圆器+卷=1共焦点

4DJL4

C.2x-3y=0是M的轨迹的一条渐近线

D.过N(0,2)能作4条直线与M的轨迹右且只令一个公共点

10.已知点42』)1(0,2),曲线。上存在加点,满足|“川=|"矶则曲线。可以是

()

2222

A.±X+匕V=1B.X土一V匕二1

4343

2

C.X=2)，D.(X+1)2+/=4

11.(2022•新高考I,11)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线。:『=20">0)上，过

点8(0,-1)的直线交。于RQ两点，则()

A.C的准线为)，=-1

B.直线A8与C相切

C.\OPWQ\>\OA\2

X).\BP\\BQ\>\BA^

12.(2025・八省联考,9)已知产(2,0)是抛物线C：r=2px的焦点,M是C上的点,0为

坐标原点，则()

A./?=4

C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切

D.当NO尸M=120°时,△。尸M的面积为

三、填空题

13.过抛物线/=8x的焦点的直线交抛物线于A.B两点，若AB中点的横坐标为4,

则|48|=.

14.不与x轴重合的直线/过点MM,0）（4切）,双曲线C：［力＞0）上存在

Q/

两点4,8关于/对称工B中点M的横坐标为xw.若XN=4XM,则C的离心率

为.

15.（2022•新高考H/6）已知直线/与椭圆竽+：=1在第一象限交于48两点，/与

63

X轴、y轴分别相交于M,N两点，且|M4|二WB|,|MN|=2V5,则直线I的方程

为.

四、解答题

16.（15分）（2024•北京,19）已知椭圆方程。:马+之1（。»＞0）,焦点和短轴端点构成

边长为2的正方形，过（0,/）。＞夜）的直线/与椭圆交于点A,B,C（0,l）,连接AC交椭

圆于D.

（1）求椭圆方程和离心率；

（2）若直线BD的斜率为0,求L

_Oy222

17.（15分）（2024•新高考I,16）已知A（0,3）和尸（3,e）为椭圆+==1（〃泌＞0）上两

2a，b”

占

八、、•

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过点P的直线/交椭圆C于另一点用且△ABP的面积为9,求直线/的方程.

丫212

18.（15分）（2022•新高考I,21）已知点A（2,1）在双曲线*-卷一=1（a＞1）上，直线/

a”Q“-l

交C于两点，直线APAQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/PAQ=2&,求△PAQ的面积.

19.(17分)(2025・八省联考,18)已知椭圆C的离心率为右左、右焦点分别为

1,0)/2(1,0).

(1)求。的方程；

(2)已知点Mo(l,4),证明:线段FiMo的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3)设M是坐标平面上的动点，且线段FxM的垂直平分线与C恰有一个公共点，证

明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.

答案:

1.B抛物线的焦点坐标为除0),其到直线.”+1=0的距离为介需?=叵解得

〃=2(p=-6舍去).故选B.

(y=kx1,

2.C当D时，直线/:产1,直线与椭圆相切，当“与。相切”时，联立｛立+,2=]

有(4乒+1)/十8依=0,令/=(8A)2-4x(4F+l)x0=0,有人=0,所以&=0是直线与椭圆相

切的充要条件.

22

3.B设双曲线。为谷一彳二1,因为。二2=142+。2,解得/=2,所以双曲线C为

Q/QN

?一?1,则双曲线C的渐近线为产士演所以｛：二£解得A(2,2),则3(2,-2),方以

△AOB为等腰直角三角形，所以△408的面积为：X|ABHOF2|WX4X2=4.

4.D设A(xiji),B(x2,y2),AB的中点为M(xOjo),贝Ilro-2>x)-3=0,由点A,B在椭圆上

直+城=1

得号''两式相减得2)+3】+%)(汁、2)=0整理得拉也二二X2也二

理+度=]164Xi-X24%+V2

.16十4一，

；x包，由kAB=-1,-1=-；x工即xo=4)，o,将xo=4yo代入2xo-2yo-3=0,解得

4yo4yo-'

xo二2,如三，所以M(25

5.C由|4C|二|8D|可得线段A3的中点，也是线段C。的中点，设4处,)，|),8(也力),

%。=不+小

线段AB的中点坐标为M(xojo),则。(如,0),。(0,2M，所以°_力葭’又点46在

yo=•

(城+需=izz

椭圆上，所以|3?'两式相减可得华+君一熠％”吟弋=3,所以

(%].2=]J(X1+X2)[X1-X2)

2・3=3,所以泌必产-3,即也必产-3.又因为A,B,C,D四点共线，所以

Xt+x2xx-x22x0XQ

心片如尸警也-生，综上可得公8=±g，由A,B在第四象限得心8>0,即心8=75,所

0-2XQXQ

以直线的倾斜角为*

6.C设斜率为|的平行直线与椭圆相交于网尤2J2）,且中点为M（xj）,可得

+城=1

Xi+x2=2xjfi+y2=2y.由件3?'两式相减得（%】+外—+3-=0整理

(T+理=1,43

得誉鲁二二|可得1即这些直线被椭圆截得的弦的中点所在的

右。24（y1+y2）4-2y22

直线方程为尸夕.

7.D联立方程组信1[1；'整理得（“1）«+皿+1（）=（）,设方程仔

1*+4心:+10=0的两根为xi,X2,因为直线y=kx+2与双曲线/-./=6的右支交于不

,4k

卜1+%2=-丙＞0，

同的两点，则满足《%62=号＞0，解得左＜1

L2-lH0,

由仁之）2一40好1）＞0,解得考*-1，所以k的取值范围是（孚1）.

8.AC对于A,在）=-V5（x-1）中令）=0,得x=1,所以抛物线的焦点为（1,0）,所以异1,

所以p=2,故A正确;对于B,由A知，抛物线的方程为丁二4匕则由卜「-禽（%-1），得

\y=4%,

’_1

V2或「二：办5不妨设叫，竽'M3,-2g）,则由抛物线的定义知

y3

|MN|，+3+2=N故B不正确;对于CmB知，以MN为直径的圆的圆心为（冬江）,

3333

半径为*又抛物线的准线/的方程为产弓二-1,圆心到准线/的距离为"i）4故

•34OO

以MN为直径的圆与/相切，故C正确;对于D,因为|OM=2+（竽）2=

祟0凶二卜+（-2V3）2=VHjMNI二号可知AOMN不是等腰三角形，故D不正

确.故选AC.

9.BC对于A选项，设点M（x,y）,#±3,则公/八=三.标出=J所以2x4=士化简

X+3X-3X+3X-39

得1-1二1，所以点M的轨迹方程为三一1=1（/±3）・故A错误;对于B选项，由

9494

A选项，点M的轨迹的焦点为（土g,0）与椭圆（+3=1共焦点，故B正确;对于

22

C选项，点M的轨迹对应曲线;-•=1（入¥±3）的渐近线为2（±3产0,故C正确：

对于D选项，点MO,2)在y轴上，设P(-3,0),Q(3,O),则依.忏今公所3,所以直线

JO

PN,N。与渐近线平行，但点RQ不在点M的轨迹上,故过点M02)只能作点M的

轨迹的两条切线，故D错误.

10.ACD由42,1)乃(0,2),可得自厂署=-；,A5中点坐标为(15,又由|MA|二|MB|,可

—=1

得M点在直线)，=2(x-l)+：=2x=上选项A,由《4+3'整理得I9f-8『11=O,

卜=2%,

222

则A=(-8)2-4x19x(-11)>0,则直线y=2x-泸椭圆亍+尹1有公共点,则椭圆亍+

(X2V2

2二上=1

一二1上存在M点满足AM|二|M8|,判断正确;选项B,由《43'整理得i3f-

3y=2x--

V2y

8x+13=0,贝UJ=(-8)2-4X13X13=-612<0则直线)=2*与双曲线正一(二1没有公共

243

点，则双曲线f-：=1上不存在M点满足网川二眼引,判断错误;选项C,由

43

2

(x—2y,1

［丫=2%工整理得『4什1=0,则/=(-4)2-4X1X1=12>0,则直线产2A弓与抛物线

r=2y有公共点，则抛物线『二2)，上存在M点满足=判断正确;选项D,圆

U+l)2+/=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,由惬器学=《<2,可得直线y=2x］与

W+2Z22

圆(/1)2t>，2=4相交，则圆(x+l)2+)2=4上存在M点满足|M4|=|M研判断正确.

11.BCD・・,点A(1,1)在抛物线。上,・•・1=2p,・•・〃=；,・,・抛物线C的方程为『二)，..・・

抛物线C的准线为故A错误;•・•点A(1,1),3(0,-1),・••直线A3的方程为y=lv-

1,联立抛物线C与直线A8的方程，得消去y整理得足21+1=()4=(-

2)2・4乂卜1=0,・・・直线46与抛物线C相切，故B正确;由题意可得，直线PQ的斜率

存在，则可设直线PQ的方程为产丘-1,联立直线〃。与抛物线C的方程，得

巳_人1'消去)整理得『依+1=0,设点尸3,yi),0(x2j2),则

(%=y,

=k?-4>0,______

卜1+%2=%,<川>2,yiy2=(xu¥2)2=l,又|OP|=JW+资=

(占%2=1，

\/丫1+犬」。。1=J熠+光=/、2+川，，1。"卜1。。1二，%，2(1+丫1)(1+丫2)=

川＞2=|。川2,故C正确;・・,|8P|=dfTPM|,|8Q=VmHn|,・・・

|BP|•田。|=(1+?比1同=1+心＞5,而|B4|2=5,故D正确.故选BCD.

12.ABC因为尸(2,0)是抛物线C＞2=2px的焦点，所以异2,解得p=4,故A正确;

设M(xojo),由M在抛物线C上，所以刈20,所以|M/匚秒鸟＞々|0F|,故B正确;

因为以M(xojo)为圆心且过户的圆的半径为|Mr|二祀+2,等于点M到抛物线C的

准线的距离,所以以M为圆心且过户的圆与C的准线相切，故C正确;当N

OFM=\20°时Ko＞2，T=tan60°且羽=8xo,不妨令)呜〉0,所以V5y/8yo・

X0・2

166=(),解得yo=4g(负值舍去).所以△OFM的面.积为Sw；QF|x|)，o|二40,故

D错误.故选ABC.

13.12设A(xiJI),5a2,"),由题设有^^=4,由抛物线的焦半径公式有

|^B|=(XI+2)+(X2+2)=2-^^+4=2x4+4=12.

2

(立.城=1,2222

14.2设4加,)”),8(12,")4(刈,加),则1：2；2两式相减得住一黄=养一箕即

(3哈二1，aa

3岁包="噜包即凶ye=I所以如向广名/-1,因为i是AB

2222

ab(x1-x2)(x1+X2)aa

的垂直平分线，有k心8二-1,所以如“(1-/火/,即次=(1-4＞，化简得网二6与%故

XMxM-xN

15/+@，-2疯二0取八B的中点E,因为|MA|=WBI,所以|ME|二|NE|,设

F七仔+9=1,①

4(国,产)石。2,”),可有＜212

£+苓=1,②

V63

由①-②，得乎+空理=().

63

即锣二三士

xj-xl62

即2x2二1,即直线OE与直线A。的斜率之积为1(o为坐标原点).设直线

%1+%2%1-4222

4股尸丘+，〃次＜0川＞0.令户0,得产犯即M0,"?),令尸0,得即MG：,。).所以

KK

E(曦弓),所以及'号二仁号.因为|MN|=26,所以机2+2机J12,团=2.所以直

线A及产-容x+2,即x+yj2y-2y/2=0.

16.解(1)如图,,・•四边形B】尸1及尸2为边长为2的正方形,・♦•人二c二夜,，/=4,・,・椭圆

(2)若AD的斜率不存在，则易知B,D两点重合，不件合题意.若AD的斜率存在，设

AQ:y=米+1,代入『+2«=4,消去)，，整理得(1+2标)『+4米-2=0/显然大于0,设

4(X|J1),D(X2J2),则

由于kBD=0,:.B,D关于y轴对称,8(-42,闻,由8="红,lAB'.y-y\二在江(六羽),令

-次-%1-x2~x\

-24k

必为+42%X(/CX2+l)+X(fcX+l)2fcxx+(x+x)1+2卜2-1+242

x=0,得户:l211212

V2>V2,A/=2.

得/=12力2=9,所以]2-9=3,所以＜?二8,所以离心率

9_1

足+9-1，

Z?二一CV3-1

a~2y[3~2

(2)当直线/的斜率不存在时,方程为x=3,且|P8|=3,点A到直线PB的距离4=3,知

此时S^ABP为SH9,不满足条件.故直线PB的斜率存在,设直线/的方程为y-l=k(x-

3),P(xiJI),8(X2J2).由｛129消去y得(43+3)f-(243-12左)x+36F-36h

[y,--=k(x-3),

_24k2“2k________________

%222

%二小槃北，所以IP8I=J(X1-X2)+(yi-y2)=

(-2=4k2+3.

VFTT«4^--辰二嬴7^二12•里亘•k+土.又点A到直线的距离

2

4/C2+3744k+32

仁培培，所以SZUPB^IP印d=9,解得攵=；或左4经检验均符合题意.所以直线PB

vl+kz222

的方程为)=)或产|43.

18.解⑴•・,点42,1)在双曲线。:马一｝=1(〃>1)上,•••三一；二1,解得层=2".双

Q，Q4・lQ，flz-l

曲线的标准方程为1-)a=i.

易知直线/的斜率存在.设直线/的方程为y二日+巩点P(X1J1),Q(X2J2),由

92?；2,得(]-2k2)A2-4h/tx-2(/n2+1)=0,+R2二^襄“戊2

(y=/ex+m,1-2HnN

设直线APAQ的斜率分别为匕尸，心Q,则匕什匕Q=空+空=0,

Xj-2工2。2

(y\-1)(xi-2)+(y2-1)(xi-2)=0,/.(kx\+m-1)(xz-2)+(te+/〃-1)(xi-2)=0,整理,得

2kxiX2+(m-l-2攵)(xi+x2)-4(〃z-1)=0,2^(-2m2-2)+4km(m-1-24)-4Q〃-1)(1-2F)=0,即

2k2+k(m+l)+/n-l=0,(A:-1)(2k+m-1)=0.

k=・l或〃2=1-2k,把m=1-2k代入y=乙+，〃，得y=kx+1-2攵=k(x-2)+1,此时直线PQ

过点A(2,l),舍去，，去・1,即直线/的斜率为・L

(2)由(1)知，直线/的方程为)，=.+加加+工2=4〃?4戊2=2团2+2,则*4-城=12/〃2-4,；・

2222

|PQ|=A/1+H•J(X14-%2)-4X1%2=V2•V16?n-8?n-8=4Vm-l,A(2,l)到直

线/的距离“二呼回=号.

V2V2

：.^PAQ的面积S“AQ=3/・|尸。|二&|3-〃Z|V^L

由tanNP4Q=2或得cosZPA2=-,sinZPAQ=—.

33

•••SA%二：|尸川1。川sin/PAQ=1|PA||Q4|,

。4J

-\PA\-\QA\=|3-/??|Vm2-l.

3

在△PAQ中,由余弦定理得cosNPA。=一:=1

2\PA\QA\3

222222222

IM|+1QA|-1PQ\=(XI-2)+(yI-1)+(x2-2)+(y2-1)-(xi-xi)-(y\-yif=2/n-

2

\2m+\S=-\PA\\QA\.

3

77Z2-6/zz+9=13-m|Vm2-1,

|/7Z-3|=Vm2-l°^〃?-3=0,

即"7=3或，〃=3(舍去，若"7=3,

则点A在直线产Q上).

S^PAQ=V2x：x：=

339

19.⑴解因为椭圆的左、右焦点分别为尸1(-1,0),尸2(1,0),所以c=l.又因为椭圆C

的离心率为:，得。=2,所以序=3.所以椭圆。的方程为。+：=1.

243

⑵证明由Mo(l,4),尸(1,0)得，直线MoFi的斜率为右2,线段MoFi的中点坐标为

(0,2),所以线段QM)的垂直平分线方程为尸*2.

—4--=1

联立垂直平分线方程和椭圆方程43'得P2x+l=0,因为』二4-4=0,所以

y=--x+2,

直线与椭圆相切,