高考数学复习：数列的通项公式常考求法 （原卷版）

解密14数列的通项公式常考求法

［考点解密］

I.5和4关系法求数列通项(作差法)：

S］,〃=1,

⑴已知S”求小的常用方法是利用斯=、转化为关于小的关系式，再求通项公式.

(2)，与斯关系问题的求解思路

方向1:利用如=£一&一］(〃22)转化为只含S“，Si的关系式，再求解.

方向2：利用S”一5“-1=如(〃22)转化为只含41T的关系式,再求解.

2.累加法

当出现4〃+1=%+/(〃)时，用累加法求解.

3.累乘法

当出现包U=f(〃)时，用累乘法求解.

4.构造法

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式：

类型1:用“待定系数法”构造等比数

m=—^—

列2、2-1直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；

3、构造等比数列｛”"+〃”

%+i=M+P

1、注意判断反匹给的已知条件是否符合类型2的标准形式；

7向

类型2：用“同除法”构造等差数列2、两边同除，

&，

3、构造数列为等差数列

1、注意判断自随目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

Ir1r

2、两边同时F反倒数转化为‘一=、5+£的形式，化归为bg=pb“+q型；

类型3：用两边同时取倒数构造等差数G”+lPdnP

列(1)1,

»•

KJ

a一P43、构造数列为等差数列.

凡+i一

4+S

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

类型3：用“同除法”构造等差数列(2:2、两边同除见，”；

%-丹川=履"+必“（女工°）\_

3、构造出新的等差数列1"」

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

2、可以化为小+1-工1〃"=为（如一九1〃”-1）,其中为，/2是方程px—,=0

的两个根；

类型4：用“待定系数法”构造等比数列

3、若1是方程的根，则直芟构造数列｛斯一。若1不是方程的根，则

ci,+1=pa+qa-\

t）tn需要构造两个数列，采取消元的方法求数列｛〃“｝.

【方法技巧】

常见的裂项公式:

1”11)

(1)-7----7T=T--------T'

n(n+K)k\nn+kJ

11_______!_)

(2)(2w-l)(2/?+l)-2(2n-l-2H+l)'

1_11____________]

(3)

力(〃+1乂〃+2)2w(n+l)(〃+l)(〃+2)

(4)

给出S.与％的递推关系，求。”，常用思路是:一是利用q=S“-St转化为勺的递推关系,再求其通项公式;

二是转化为S”的递推关系，先求出S“与〃之间的关系，再求品.

【核心题型】

题型一：累加法求通项公式

1.（2022・上海虹口・统考一模）已知函数"r）=si吟，数列｛总满足q=1,且­=（1+/”+：（〃为正整数）•则

/（^2022）=（）

A.-1B.1C.卫D.—

22

2.（2022•全国•模拟预测）在数列｛/｝中，q=l,〃（〃+l）（a”.「％）=l（〃eN）则出022=（）

404320214040、2020

D.------

20222022,20212021

3.（2023・湖北武汉・统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉

三角''记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶

等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4

项为：2,3,6,11,则该数列的第15项为（）

A.196B.197C.198D.199

题型二：累乘法求通项公式

4.（2022秋•宁夏银川•高三校考阶段练习）已知数列｛4｝满足4=1,则数列｛4｝的通项公式为4=

（）

（।

—C.rD.n

nJ

5.（2022・河南・安阳一中校联考模拟预测）在数列｛4｝中，4=；且（〃+2）4川=’以“，则它的前30项和邑。=（）

A30n29「28n19

A.—B.—C.—D.—

31302929

6.（2022•全国•高三专题练习）在数列｛q｝中，%=2（〃'；2产若"=（+*+L+（“+；”,且对任

意〃eN*,2・2”+4恒成立，则实数％的取值范围是（）

A.B.卜。0，-g

C.（一；/D.[1,向

题型三：S”和斯关系法求数列通项

7.（2023・全国•校联考模拟预测）己知数列间满足,+$+…=也=4（勺-1）一〃2+4〃,若数列也｝

为单调递增数列，则％的取值范围是（）

A.6+8）B.（3）C.1,+8）D.

8.（2022秋•甘肃武威•高三校考阶段练习）已知数列满足4+2生+3仆+…+〃q=〃2,设”=〃6，则数列1的

IA晨J

前2023项和为（）

2022404640442023

・4045"4047"4045*4047

9.（2023・全国•高三专题练习）数列｛叫的前〃项和S“=22"T—g,则数列竹/脸上｝中的最大项为（）

53

A.B.C.D.

4168

题型四：构造法求通项公式

10.（2023•四川泸州•泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列｛qj中，4=2,。向==七（"wN1,则数列

a,•，

的前10项和S[0=（）

16D182()

A.B.—C.D.2

7711

11.（2022・全国•高三）若数列｛qJ和物J满足q=24=0，2«„+1=3an+blt+2,2%=a0+32-2,则生g+&⑼=

()

A.2.32020+1B.3-22020-1C.3-22O2O+ID.3-22021-1

12.（2022•江西萍乡・统考一模）数列｛qj各项均是正数，q=g生=|,函数）w/在点，别处的切线过点

卜”+2-24+[。：），则下列命题正确的个数是（）.

①为+q=18；

②数列M+e+J是等比数列;

③数列｛《向一34｝是等比数列;

④-L

A.1B.2C.3D.4

题型五：观察法求通项公式

13.（2022・全国•模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前1（）项依次为0,2,

4,8,12,18,24,32,40,50,现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（）

0第1行

24第2行

81218第3行

24324050第4行

…第〃行

A.152B.480C.512D.840

14.（2021.广东珠海.统考一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第7列的

数记为％,如％=7,3=15,则％产2021时，（一3时R）g2（i+19）=（）

53

7911

19171513

2123252729

A.54B.18C.9D.6

15.(2020秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想

方法，咐时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例,弓I.入“兔子数列即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….即/(1)=尸(2)=1,尸(〃)=尸(〃-1)+尸(〃-2),(n>3,

〃在1<).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列｛"｝,又

记数列｛%｝满J，。2=优，c.=b「bn7(nN3,〃wN*),则％[()=

A.1B.-2C.-1D.0

题型六；递推公式写通项公式

16.(2021•甘肃武威・武威第六中学校考模拟预测)已知数列｛q｝中，4+生+小+…+%=2"-1(〃己1<),则

+初…+a”2等于()

A.B.-(2W-1)C.4Z,-1D.(2n-l)2

33

17.(2022・全国•高三专题练习)设数列｛q｝满足％源也+复/修川厚^一记数列^二三的前八项的和为

5”，则()

A./<27B.存在AeN,使用=矶

C.5101<2D.数列｛吗不具有单调性

18.(2022•安徽滁州•校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时，/«>1,且对任意的实数x,y>R,

(-a\i

等式/(x)〃y)=/(x+y)成立，若数列｛/)满足/丁七=77-;，且q=/(o)，则生0"=()

A.-^―B.—C.-^―D.-^―

4043404440334034

【高考必刷】

一、单选题

19.(2023•河南•校联考模拟预测)己如数列｛q｝的前〃项和为S“，且3S.-6=2勺，则区的值为()

a5

11B.至7h31

A.—D.——

161648

20.（2023・全国•校联考模拟预测）记数列｛4｝的前〃项和为S.=,/+2〃.若等比数列出｝满足也=6,4=4,则数

列的前〃项和（=（）

n+,xn-l

3—3”D3-3C.山1D.1-11

A.D.----------

262⑺2213

｛0｝满足：.一]，4+2K3”,4+6一之91，3",

21.（2023・四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列

O

则。2023=（）

3.33

A.-------+—B.+—

2282

3203[2023

C.D.--

~8~2

22.（2023春•河南・高三洛阳市第三中学校联考开学考试）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等

差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23,…，设此数列为｛4｝,若数列

仇｝满足则数列仇｝的前〃项和S“=()

an+\~乙

〃+12(〃+1)

A•oD・

nn

〃+1•〃+1

23.（2023・全国•高三专题练习）已知名是数列｛&｝的前〃项和，且4=%=1，^=2dM_,+3^_2（/2>3）,则下列结

论正确的是（）

A.数列｛/一。句｝为等比数列B.数列｛《m+2%｝为等比数列

%*―)_3”」+（一1广

C.【D・<

2

爵=券一则（）

24.（2023秋•河南开封•高三统考期末）在数列｛q｝中,6=14,3,

区+31

A.,，是等比数列B.■，是等比数列

12。12"J

|是等比数列

C.<，是等比数列D.<

22,T2

25.（2。23・全国•高三专题练习）设数列｛4｝的前〃项和为S”,4=1,且25,=可+「1（〃£1＜）.若对任意的正整数〃，

都有他+a2bn_t+。也.2+…+=3"-〃-1成立，则满足等式4+%+4+♦••+”,=an的所有正整数〃为（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

26.（2023•江西景德镇•统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及

苏杭•带.杨辉•生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式:

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+〃)=！〃(〃+1)(〃+2).若正项数列｛%｝的前〃项和为S”,且满足

6

S"=g〃2+g〃'数列也｝的通项公式为'一为"”“'则根据三角垛公式'可得数列低｝的前10项和工。=（）

A.440B.480C.540D.580

27.（2023秋・山西运城・高三统考期末）已知S.为数列｛q｝的前〃项和，且满足S“-2一”，则S§+S6=（）

D

A-c4-i

28.（2023春・广东汕尾•高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列,

中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了

聪明才智•如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍荒垛等的求和都与高阶等差

数列有关•如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的

个数为（）

A.464B.465C.466D.495

29.（2022秋•河北唐山・高三开滦第二中学校考期中）已知数列｛q｝，4=1,对于任意正整数也〃，都满足

111

/“=%,+4+"皿，贝U丁++…+7T-)

202生24Go

A.399「100n101

B.---C.---D.---

99100101100

30.（2022秋•云南•高三云南师大附中校联考阶段练习）已知数列｛4｝满足％=2,%=6,且-2%+/=2,

72322022?

若国表示不超过x的最大整数（例如[L6]=l,卜1.可=-2）,则)

%.%)2l.

A.2019B.2020C.2021D.2022

二、多选题

31.（2023・湖北•宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列｛4｝的前〃项和为50.以下条件能得出｛4｝为等

差数列为有（）

A.S”+〃（/N"）B.S”+i（〃eN*）

C.q陋=a“+2（〃wN*）D.%”=2a”（〃cN.）

32.（2023・全国•高三专题练习）数列加力的通项为《,二七它的前〃项和为S”，前〃项积为7；,则下列说法正

确的是（）

A.数列｛4｝是递减数列B.当〃=30或者〃=31时，S.有最大值

C.当〃=17或者〃=18时，刀,有最大直D.S“和7；都没有最小值

33.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛/｝的前〃项和为S”，若生=3,5用=2S”+〃，则下列结论正确的是（）

A.〃2>S.B.｛凡+1｝是等比数列

C.J才1是单调递增数列D.s/2an

34.（2023秋・云南曲靖•高三曲靖一中校考阶段练习）己知数列｛《,｝满足24+22%+…+2"％=受包，设数列｛c〃｝

的前〃项和为S“，其中。“二声」——，则下列四个结论中，正确的是（）

A.q的值为2

B.数列及“｝的通项公式为4=（3〃+l）x2"

C.数列｛〃"｝为递减数列

35.（2022秋・河北唐山・高三开滦第二中学校考阶段练习）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组

成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形£，

并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦抻，形成雪花曲线

鸟.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线A，A，…，P",….

设雪花曲线P”的边长为凤，边数为九，周长为/”，面积为S..若4=3,则下列说法不正确的是（）.

1