2026年高考数学复习（全国）函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（讲义）解析版

专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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广题型1函数单调性的判断及单调区间的求解

-题型2根据函数的单调性求参数

函数的单调性、奇偶一题型3函数的最值问题

性、对称性与周期性一题型4函数的奇偶性及其应用

匚提升•必考题型归纳--题型5利用函数的性质比较大小、解不等式

一题型6函数的周期性

、题型7函数的对称性

J题型8函数的图象问题

L题型9原函数与导函数的单调性、奇偶性

高考真题练

1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性

函数的性质是历年高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周

期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶

命题规律性结合在一起，与函数图象、函数零点前不等式相结合进行考查，解题时要

充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔

分析

在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的

单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难

度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计函数的性I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第5题，5

质I卷：第11题，5分分分

n卷：第4题，5分新课标n卷：第8题，全国二卷：第io题，6

5分分

天津卷：第3题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的单调性、奇偶性、对称性

2026年与周期性的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以选择题、填空题

为主，偶尔在解答题中渗透考查，分值占比固定。命题形式延续函数多性质

命题预测综合的考查特点，常与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题

时要充分运用转化思想和数形结合思想进行求解，难度中等。

函数的单调性的定义

函数的单调区间的定义

「函数的单调性

复合函数的单调性

函

函数的单调性函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用

数已知函数的单调性

I函数单调性的判断（复合函数的单调性判定：遵循,伺增异减”的原则

的

函数的最值的定义

单函数的最大（小）

值

调

函数的最值求函数最值的三种基本方法：（1）单调性法；（2）图象

法;⑶基本不等式法

性L求函数最值的方法—

•奇偶函数的图象特征

奇

奇、偶函数图象对称性的应用：①若函数图象关于原点

偶r函数的奇偶性对称，则函数是奇函数；②若函数图象关于曾由对称，

则函数是偶函数

性两个必备条件：U）定义域关于原点对称；（2）判断Ax）与

是否具有等量关系

•函数的奇偶性--函数奇偶性的判断一

对

（1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值；（2）

称画函数图象

性

函数的周期性的定义

与函数的周期性

函数的周期性

函数的周期性常用的六大结论

周期性的结论

偶函数图象关于直线成轴对称图形

函数图象的对称性

■一营■

函数的对称性

对称性的三个常用结论

对称性的结论

■知识梳理

知识点1函数的单调性

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域,在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(I)函数单调性的判断方法：①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)复合函数的单调性:函数)，=他(幻)的单调性应根据外层函数)X。和内层函数修⑶的单调性判断，遵循

“同增异减”的原则.

知识点2函数的最值的求法

1.求函数最值的三种基本方法：

()单调性法:先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

2.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点3函数的奇偶性及其应用

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

()定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断与贝㈤是否具有笠量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

奇函数)或(r)/-_r)=O［偶函数))是否成立.

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求己知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

3.常见奇偶性函数模型

⑴奇函数:

①函数/(x)=(x工0)或函数f(x)=.

aa+1

②函数八用=土⑷一「).

③函数=log"叶2=logw(l+—)或函数/(x)=log0±?=1。&(1一3-)

x-mx-mx+mx+m

22

④函数/(x)=\oga(\lx+\+x)或函数/(x)=log(I(Vx+1-x).

(2)偶函数:

①函数/。)=±(，+「).

②函数/3)=log〃d+l)-号■.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数.

知识点4函数的周期性与对称性的常用结论

1.函数的周期性常用结论(。是不为0的常数)

(1)若凡什a)」x)，则

(2)若I/U+a)=7U-4)，则T=2a\

(3)若凡什白尸成幻，则7=2«：

(4)若/U+a)=/(q)

则7=2”；

(5)若/U+4)=_/(g),

则7=2。：

(6)若/U+〃)=y(x+份，贝ljT=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

⑴若函数7U)满足y(a+x)4〃-x),则尸式©的图象关于直线工=夕要■对称.

(2)若函数y(x)满足火4+*)=-/(〃/),则产孤x)的图象关于点(上^",。)对称.

(3)若函数7U)满足〃-幻=c,则y=/m)的图象关于点(审,对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

⑴若函数y=/(x)有两条对称轴工=〃，x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且7=2(〃-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),S,c)(°</?),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(。-a)；

(3)若函数y=f(x)有一条对称轴工=〃和一个对称中心9.0)(。<b),则函数y=/(幻是周期函数,且

7=4(/?—办

举一反三

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】(2025•北京海淀•三模)下列函数中，在(一8,0)上单调递增的是()

A./(幻=白/(x)=ex+e~xC./(x)=D./(x)=sin|x|

【答案】A

【解题思路】由幕函数的单调性可判断AC：对/■(工)=标+©->求导可判断心由正弦函数的性质可判断D.

【解答过程】对于A,因为％VO,/(幻=/=-：在(一8,0)上单调递增，故A正确；

对于B,/(x)=ex+e-x,

当x<0时，/(无)=ex-e-x=M<0，

所以/(幻=铲+e—x在(一8,0)上单调递减，故B错误;

对于C,/(x)=J=0的定义域为R,

/(-%)=及二不=泞=fM，所以/Xx)为偶函数，

因为1>0,所以由幕函数的性质知/(x)=/在(0,+8)上单调递增，

由偶函数的性质可得：/(%)=蓝在(-8,0)上单调递减，故C错误；

对于D,当％V0时,/(x)=sin(-x)=—sinx,

由y=sinx的单调性知，y=sinx在(一8,0)不具备严格的单调性，

所以/(%)=sin|x|在(-8,0)上不具备严格的单调性，故D错误.

故选：A.

Z2X2-3X+11

【变式l-l】(2025•江苏南通•模拟预测)函数/(幻=01)X的单调递减区间为()

A.(-8图B.艮+8)C.(一83D.今+8)

【答案】D

【解题思路】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可.

【解答过程】因为函数y=2/-3%+11在(一8,§上单调递减，在K，+8)上单调递增，

y=0)'是减函数，根据复合函数的单调性，可得/Xx)的单调递减区间为K，+8).

故选：D.

【变式1-2](2025•广东清远•一模)设函数/(%)="—：,则函数/(勿为()

A.奇函数，且在(0,+8)单调递增

B.奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.

【解答过程】易知/(幻的定义域为(一8,0)u(0,+8),且f(r)+f(x)=T+|+%-=0,

所以/'(%)为奇函数，

因为函数y=x,y=一;在(0,+8)上单调递增，

所以/(%)=%-7在(0,+8)上单调递增，

故选：A.

【变式1-3】(2025•湖南常德•三模)已知奇函数y=/(x)是定义域为R的连续函数，且在区间[0,+8)上单

调递增，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(%)+/在R上单调递增

B.函数y=f(x)-/在(0,+8)上单调递增

C.函数y=//(%)在R上单调递增

D.函数y=等在(0,+8)上单调递增

【答案】C

【解题思路】根据己知设/(幻=工，由二次函数的性质确定AB错误；由幕函数的性质判断C正确；由反比

例函数的形式确定D错误.

【解答过程】因为y=/(x)是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增，

所以y=/(x)在(一8,0)上也为单调递增函数，

对于A：不妨令/(%)=x,y-f(x)+x2=x+x2=(x+1)一:，

所以、=/(%)+/在(一如一^单调递减，在(_3+8)单调递增，故A错误；

2

对于B：不妨令/(X)=x,y=f(x)—x2=x—x2=—\^x+；,

所以y=/(X)一产在(_8j)单调递增，在+8)单调递减，故B错误；

对于C：y=x2f(x'),其定义域为R,

又(一x)2/1(-%)=-x2/(x),所以?=//(%)是奇函数，

取则0V*V后,0</(%1)V/(32)，故*<(%1)V(%2)

所以％-乃=*/(%])一诏f(不)<0,则函数y=//(%)在(o,+8)为递增函数；

所以函数y=在(一8,0)也为递增函数，且当％=0时，y=x2/(x)=0,

所以y=//(%)在R上单调递增，故C正确；

对于D：不妨令f(%)=x,、=等=£=3%=0,

由反比例函数的单调性可知y=詈在(一8,0)和(0,+8)上单调递减，故D错误；

故选：C.

【题型2根据函数的单调性求参数】

【例2】(2025・广东茂名•一模)已知函数f(x)=J/一6%+5在区间(a,+8)上单调递增,则a的取值范围为

()

A.(—co,1]B.(-co,3]C.[3,+8)D.[5,+8)

【答案】D

【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】由/一6%+520,可得％<1或%>5,

即函数〃尤)的定义域为(-8,1]u[5,+CO),

又因为C=x2-6%+5在[5,+8)上单调递增，在(一8,1]上单调递减，

y=V?在[0,+8)上单调递增，

由复合函数的单调性可知/(%)=&2-6%+5在区间[5,+8)上单调递增,

a>5.

故选：D.

【变式2-1](2025.陕西西安.模拟预测)若函数/(%)=2产+6-3在(i,+8)上单调，则a的取值范围是()

A.[-2,+oo)B.[-1,4-00)C.(-oo,-2]D.(-co,-1]

【答案】A

【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】因为函数)/=2乂在R上为增函数，y=/+这-3在(-8,-9上为减函数，在(一会+8)上为增

函数，

且函数/(幻=2/+仙-3在(1+8)上单调，

根据复合函数的单调性，可得一^WL即aN—2,

所以a的取值范围是[-2,+8).

故选：A.

【变式2-2](2025・山西・二模)若函数"幻=4+2在(0,2]上虺调递减，则实数a的取值范围是()

A.(0,2]B.(0,4]C.[2,+oo)D.[4,+co)

【答案】C

【解题思路】根据对勾函数的单调性，即可求解.

【解答过程】当a=0时，f(x)=4+:为单调递增函数，不符合题意，

当。<0时，y=后丫=卷均为单调递增函数，故/(、)=«+专为单调递增函数，不符合题意，

当。>0时，/(%)=4+专在(a,+8)单调递增，在(0,a)单调递减，

故/(%)=依+竟在(0,2］上单调递减,Ma>2,

故选：C.

【变式2-3】(2025•安徽合肥・一模)若f(x)=10*+1'X<1是R上的增函数，则实数Q的取值范围为()

Unx+2Q,x>1

A.(L+oo)B.［l,+8)C.(2,+oo)D.［2,4-oo)

【答案】B

【解题思路】分类讨论X<1及X>1的/(切的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到Q

的取值范围.

【解答过程】当无<1时，若/(%)=。工+1为单调递增函数，贝b>o；

当xZl时，fG)=Inx+2a为单调递增函数，

若/(%)是R上的增函数，需有a+lW2a,解得Q21.

故选:B.

【题型3函数的最值问题】

【例3】(2025•宁夏陕西•模拟预测)已知函数/(%+1)=2、-2-七则/(均在上的最大值为()

',三B-7C.。D,1

【答案】C

【解题思路】先利用换元法求出/(》)的解析式，再利用定义法求证/(%)在［-1,1］上的单调性即可求出.

【解答过程】f(x+l)=2X-2r,令"％+1,则/⑴=2，T-21T,

则/G)=2XT-21r,XWR,

V%］,%2W［-1,1］且一1<<%21»则f(%l)-f(x2)=(2%-1-21f)-(2*2-1-21-X2)

=_2必一)_(焉—=(2勺一］一20一)(1+

因一14工1〈x241，则占一1V%2-1，贝1」2尤】TV23一1,

又2物+M-2>0,则/■(%[)-/(x2)<0,即/(/)</(小)，

则/(%)在上单调递增，

则/(x)的最大值为/'(1)=0.

故选：C.

【变式3-1](2025・湖南•模拟预测)已知函数/•(%),则“V%6(0,+8),f(x)N2”是“f(x)在9+8)上的最小

值为2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.

【解答过程】先判断充分性：若函数/Xk)在(0,十8)的最小值为3,

»Vxe(0,+oo),f(x)>2”成立，但“/(》)在(0,+8)上的最小值为2”不成立,

所以“无e(0,+co),/(x)>2”不是“f(x)在(0,+8)上的最小值为2”的充分条件.

再判断必要性："/(外在(0,+8)上的最小值为2”时，可得“VxE(0,+8),/(外22”成立，

所以“x6(0,+oo),/(%)>2”是“/(外在(0,+8)上的最小值为2”的必要条件.

综上：“WrG(0,+8),f(x)>2”是“/(%)在(0,+8)上的最小值为2”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式3-2](2025•山东•模拟预测)己知函数/(x)=x+L若正数。，力满足a+b=l,则/'(a)”》)的最小

X

值是()

A.2B.-C.4D.-

44

【答案】D

【解题思路】先求出/'(Q)/*)并利用条件将其化成关于Q的函数解析式，结合其特点，设匕=。-。2=

0<t<;>将其简化成关于t的解析式。(1)二£-1+?=£+：-2,利用对勾函数的单调

性即可求得其最小值.

【解答过程】因/(x)=x+：,a+b=1,a,b>0,则0VaV1,

故/(a)/(b)=(a++}=(a+}(1-a+士)=a-a2-1+

设亡=a—Q2=-(Q-y+%由0va<1,可得ovt4%

则有g(t)=t-i+?=t+：2,

因函数y=t+:在(0,勺上单调递减，故g(t)=t+1-2>*)=：+8-2=京

当且仅当t=a-a2=工时取等号，解得a=b=；,

42

故当a=匕/时，f⑷fQ)取得最小值为今

故选：D.

【变式3-3］(2025•广东•模拟预测)已知/(%)是R上的奇函数,/(x-l)-/(3-x)=0,若f(x)在［0,1］上单

调递增，且/'(1)=2,则f(x)在R上的最小值是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】C

【解题思路】由已知可得八幻的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小

值.

【解答过程】由/(均是奇函数，可得/(—切=一/(幻.

由/(工一1)一/(3-口=0,可得f(x)的图象关于x=1对称，

即/(-%)=/(%+2),则有/(%+2)=-/(%),

所以+4)=-f(x+2)=f(x).即,(幻的周期为4.

因为/(%)在［0,1］单调递增，且是奇函数图像关于原点对称，

则/(%)在单调递增，即/•(%)在［-1,1］单调递增.

又因为/'(%)的图象关于工=1对称，则/'(%)在口,3］单调递减.

所以在一个周期内=/(3)=/(-I)=-/(D=-2,

即“工)在R上的最小值是一2.

故选：C.

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】(2025•陕西汉中•一模)若函数/(%)=Q+六为奇函数,则实数Q=()

A.-1B.1C.2D.4

【答案】C

【解题思路】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定

答案.

【解答过程】函数/(x)=a+/；为奇函数，故必有f(-l)=--1)成立，

J-JL

即a+舟=一(。+六)，解得Q=2,

则此时/(%)=2+^-=等3定义域为(一8,0)U(0,4-00),

-1J八一1

而/(X)=2匕7)=2(；+胃)=5即函数f(x)=aI为奇函数，符合题意，

3八一11-J-3人一1

故a=2,

故选:C.

【变式4-1](2025・安徽・二模)已知函数“切=111(%2一2%+2),下列函数中为偶函数的是()

A./(x)+1B./(x)-1C./(x+1)D./(x-1)

【答案】C

【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.

【解答过程】因为/一2x+2=Q-1)2+121,故/(%)的定义域为R

选项A：/(x)+1=ln(x2-2x+2)+1=ln[e(x2—2x+2)],

f(-x)4-1=ln[e((-x)2-2(—x)+2)]=ln[e(x2+2x+2)],

f(x)+1f(-x)+1,所以f(%)+1不是偶函数,故A错误;

选项B：/(x)-l=ln(x2-2x+2)-l=lnx2'^+2>f(-x)-1=In(~y)2^("xH2=

所以不是偶函数，故B错误：

选项C：f(x+1)=ln((x+I)2-2(x4-1)+2)=ln(x2+1),

f(-x4-1)=ln((-x+I)2-2(-i+1)+2)=ln(x2+1),

f(x+l)=f(-x+l),所以/'(x+1)为偶函数，故C正确；

选项D：f(x-1)=ln((x-l)2-2(x-1)+2)=ln(x2-4x+5),

f(-x-1)=ln((-x-I)2-Z(-x-1)+2)=ln(x2+4x+5),

所以fG—l)不是偶函数，故D错误.

故选:C.

【变式4-2](2025•四川内江•一模)设奇函数f(%)的定义域为R,当％NO时，f(%)=%(l+%),则当％V0时,

fM=()

A.x(l+x)B.x(x-1)

C.x(l—x)D.-x(l+x)

【答案】C

【解题思路】设“<0，由奇函数的定义可得出/(久)=一/(一的，即可得解.

【解答过程】当XV0时，一%>0,

由奇函数的定义可得八%)=-f(-x)=-[(-x)(l+(-%))]=x(l-x).

故选:C.

【变式4-3](2025•安徽合肥・一模)已知/"(X)是定义在R上的偶函数，且/(4一切=/(%),当OWx咛时，

f(x)=3-2x,则/(一2025)=()

A.-1B.1C.3D.7

【答案】B

【解题思路】首先根据偶函数的定义可得：=进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函

数周期性求解函数值即可.

【解答过程】因为/(幻是定义在R上的偶函数，所以/(一切二八外一乂因为/"—幻二人外，

所以/(4一%)=/(-幻,所以f(x+4)=f(x),所以/(x)的周期为4.

因为0<x<制，fM=3-2%,所以/•(—2025)=/(-I)=/⑴=1.

故选:B.

【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】

【例5】(2025•黑龙江大庆.一模)已知函数f(%)的定义域为R,/(l+x)=f(3-x),且/(%)在[2,+8)上单调

递减，则不等式/'(2》-3)>f(3)的解集是()

A.(-oo,3)B.(-oo,2)C.(3,+8)D.(2,3)

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.

【解答过程】由函数/(幻的定义域为/?,/(1+无)=/(3-无)，得函数/(幻的图象关于直线x=2对称，

又函数/(%)在[2,+8)上单调递减,则不等式“2"-3)>"3)<=>|2x-3-2|<|3-2|,

即解得2V%<3,所以所求不等式的解集为[2,3).

故选：D.

【变式5-1](2025•天津武清・模拟预测)已知定义在R上的函数/(切二%"团，a=/(logsVs),b=

一f(log3*)，c=f(ln3),则〃，A,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=/(log32),再结合函数的单调性，即可求解.

【解答过程】/G)=%-elxl,定义域为R,关于原点对称，

且/(一%)=-x-el-x,=-x-e|x|=-/(x),所以函数/(%)=x-为奇函数，

所以b=-f(log30=f(-log3=/(log32),

又/(%)=x-ex,x>0,

GX2

任取％i，%2(0,+oo),且0<x1<x2»则0<e*i<e,则f(%i)</(x2)»

故/G)在(0,+co)上单调递增，

又由对数函数的单调性可得log32<log3V5<1<ln3,

所以f(log32)</(log3V5)</(In3),即c>Q>b.

故选：D.

【变式5-2］(2025•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知定义在：1一3皿4771-2］上的偶函数/(幻，且当、6

［0,3m-1］时，/(均单调递增，则关于％的不等式/(%-1)>f(2x-3m)的解集是()

A-(*B.职)C.职］D.(词

【答案】A

【解题思路】先利用偶函数性质可得m=1,再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.

【解答过程】由题意，函数/'(%)是定义在［1一3m,4加一2］上的假函数，所以l-3m+4m-2=0,

解得m=1,即函数/(%)的定义域为［-2,2］,

当XW［0,2］时，f(x)单调递增,所以当［—2,0］时,f(%)单调递减,

关于%的不等式/(%-1)>f(2x-3m),即/(%-1)>f(2x-3),

—2<x—1W2

所以一2三2%-332,解得*XV2,所以原不等式解集为仁,2).

(|x-1|>|2x-3|

故选：A.

【变式5-3］(2025・重庆•三模)已知函数y=f(x+l)是R上的偶函数，对任意勺,孙E口，+8),且打工小

都有空3詈若Q=/(log36),b=/(ln^),c=/(eT),则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解题思路】根据函数y=/•(%+1)为偶函数，推出函数y=/(%)的图象关于直线x=1对•称，再由条件推出

函数，=/(%)在(1,+8)上单调递增，于是可得ln(2-In爰)=In(^),利用幕和对数的运算性质和换底公式,

以及对数函数的单调性化简比较得1<2—In/<log36<包=2,再由y=/(%)的单调性即可判断.

【解答过程】因函数y=f(x+1)是R上的偶函数，贝的=/(%)的图象关于直线x=l对称，

因对任意修,不£[1，+8),且/W不都有△])二△㈤>0,即函数y=f(x)在(1,+8)单调递增.

匕一切

,n2

因l<log36=log32+1<2,1<2—ln-^=ln(V2e)=1ln2+1<2,e~=e=2,

由log32一夕n2=署-5n2=ln2(^-1)>0,可得1V2-In*<log36<e~=2,

又由对称性可得：ln(2-ln2)=ln(为，

=aIn4

故再由单调性,可得ln(2-ln&)=ln(&)vf(log36)<即bVaVc.

故选：A.

【题型6函数的周期性】

【例6】(2025•四川凉山•一模)已知/(幻是定义在R上的函数，/(工+1)=-/(幻.当2£%V3时,fM=

5-2。则f(2025)=()

A.-5B.-1C.1D.4

【答案】B

【解题思路】分析函数的周期性，再利用周期性将/(2025)转化为已知区间内的函数值.

【解答过程】依题意函数/■(%)满足/(%+1)=-fM，可得fa+2)=-/(X+1)=/(x),即函数的周期为2,

因此/(2025)=f(2x1012+1)=f(l),

当2WXV3时，fW=5-2*,由/(2)=5-22=1,且/(2)=—/(1),得f(l)=.l,

因此/(2025)=/(1)=-1.

故选：B.

【变式6-1](2025•广西•模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足/(一%)=-“无)，/(x+4)=/(%),当

x£(0,l)时，fM=x3-3x,则/'(2026)等于()

A.0B.1C.2D.-2

【答案】A

【解题思路】根据已知可得7=4得/(2026)=f(2)=f(-2),结合奇函数性质得/•(-2)=-/(2),即可得.

【解答过程】由已知可得，函数/(x)为R上的奇函数，且/(幻周期7=4.

则/(2026)=/(506x44-2)=/(2)=/(-2),又/'(-2)=-/(2),

所以/(2)=0,则f(2026)=f(2)=0.

故选：A.

【变式6-2](2025•广东梅州•模拟预测)设/'(>)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2WxW3时，f(x)=

x2-5%4-6,则/(—1)=()

A.-B.0C.2D.-1

4

【答案】B

【解题思路】利用函数的奇偶性和周期可得/(-1)=-/(3),再利用解析式即可求解..

【解答过程】•••/(均是定义在R上且周期为2的奇函数，

••/(-I)=-/(D=-/(I+2)=一/•⑶，

,当2<x<3时，/(x)=x2—5%4-6,/(3)=32—5x34-6=0,

•••/(-I)=一/⑶=0.

故选：B.

【变式6-3](2025•甘肃白银•三模)已知对于/(x+1)+/(x-1)=/(%),/(约+g(x-3)=2,

g(-3-％)=9(-3+江且g(-3)=l,则£甯/'⑴=()

A玛B-IC.lD.。

【答案】D

【解题思路】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可.

(解答过程】因为g(-3-x)=g(-3+x),所以/•(-%)+g(-x-3)=/(-x)+g(x-3)=2=f(x)+

g(*,-3),所以/a)=/(r).

由/a+i)+/a-i)=/a),得/•(%)+/■(》-2)=两式相加得一fa+i)=/a—2),所以

/w=-r(x+3),

所以/(%)=-f(x+3)=f(x+61,所以fG)是以6为周期的周期函数.

当x=0时，/(0)+g(-3)=2,又g(—3)=1,所以/(0)=1,所以/(I)4-/(-1)=/(0)=1,所以/(I)=

当x=l时，/(2)+/(0)=/(1),所以/'(2)=/⑴—/(())=三，因为/(%)+/•(%+3)=0,

所以/(0)+f⑴+/⑵+/(3)+/(4)+/(5)=0,

所以E浮”⑴=338(/(0)+f(l)+f(2)+/(3)+/(4)+/(5))-/(4)-f(5)=/(l)+/(2)=|-1=0.

故选：D.

【题型7函数的对称性】

【例7】(2025•江苏南通•模拟预测)已知函数〃%)=(x+l)(x2+ax+b)的图象关于点(1,0)对称,则a+2b=

()

A.-10B.10C.2D.-2

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出Q,b,进而求出目标值.

【解答过程】函数/■(%)=(X+1)(/+QX+b)=X3+(a+1)X2+(a+b)x+b,

则“2-x)=-x3+(a+7)x2-i5a+b+16)%+(6a+3b+12),

由函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得/'(2-%)+f(x)=0恒成立，

即(2a+8)x2-(4a+16)x+(6a+4b+12)=0恒成立,

2a4-8=0

因此4a+16=0，解得a=-4,b=3,所以a+2b=2.

6a+4b+12=0

故选：C.

【变式7-1](2025・湖南•一模)已知fOgG)均为定义在R上的函数,/(x-1)+^(x)=x,/(x)+1=

g(l-幻+x,若f(2x+l)的图象关于直线式=-1对称，旦以0)=1,则£以g(i)的值是()

A.463B.464C.465D.466

【答案】B

【解题思路】根据/(2x+l)的图象关于直线％=-1对称，可得/'lx—2)=/•(—%),再根据fa)+l=

g(l-x)+x可转化得/(%)为奇函数，从而得函数fa)的周期为4,根据对称性与周期性求值即可得出结论.

【解答过程】由f(2x+l)的图象关于直线％=-1对称，可得/(X+1)的图象关于直线％=-2对称，

即的图象关于直线％=-1对称,则/(%-2)=/(-%),

由/(%)4-1=g(l-x)+x,可得/1(1-x)=g(x)-x,

又/(%-1)+g(x)=x,得/(%-1)=-gW+x,

所以=

即/(I一%)+/(%-1)=0,所以f(%)的图象关于点(0,0)对称,即/(%)为奇函数,

所以fa-2)=/-(-X)=-/-(%)=/-(X+2),函数f(%)的周期为4；

由/(%-1)+g(x)=%可得g(%)=%-f(x-1),

又因为9(0)=0-/(-1)=1，所以/'(-Du-L

根据函数f(x)的性质,得f(-2)=/(0)=07(1)=1,/(2)=0,f(3)=/(-I)=-1

所以£洛g(i)=(1+2+3+…+30)-[f(0)+/(I)+…+/(29)]=31x15-[/(0)+/(I)]=465-

1=464.

故选：B.

(变式7-2](2025•河北邢台•三模)已知定义在R上的函数/(为满足/'(X+2)为偶函数，/(4+x)=-/(4-%),

则下列说法错误的是()

A.f(%)的图象关于(4,0)中心对称

B./(%)的周期为8

C.f(2025)=f(1)

D.当[0,2]时,fM=x2-2x,则f(7)的值为-1

【答案】D

【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求蟀判断各项

【解答过程】因为/(4+x)=-f(4—x),所以/(x)的图象关于(4,0)中心对称，故A正确;

因为/(无+2)为偶函数，所以/'(一》+2)=/(无+2)

所以/(%)=/(4-%),又因为/(4+%)=-/(4-x),

所以/(x)=-/(4+x),所以/(4+%)=-/(8+x),

所以f(%)=f(8+%),所以/(%)的一个周期为8,故B正确；

/(2025)=/(253x84-1)=/(I),故C正确；

由"4+x)=-/(4-%),得f(7)=/(4+3)=一/(1)，

又当为E[0,2]时，/(x)=x2-2x,所以/(1)=12—2x1=—1,即f(7)=l,故D错误.

故选：D.

【变式7-3](2025•安徽马鞍山•模拟预测)若函数f(%)=In*+%的图象关于(2,2)对称，且。工1,则实数

Q=()

A.-5B.-1C.0D.5

【答案】A

【解题思路】利用函数的定义域，结合对称性特点求出。，再验iE得解.

【解答过程】函数/(x)=ln窜+工有意义，则窜>0，由f(x)的图象关于点(2,2)对称,

得了(%)的定义域关于数2对称，由-1不在/'(%)的定义域内，得5不在/•(%)的定义域内，

则-a=5,即a=-5,此时/'(%)=In=+x,xW(-8,-1)u(5,+8),

/（一）+/（幻=喀+―+哈+“哈+母4=4,

因此函数f(x)的图象关于点(2,2)对称，符合题意,

所以Q=-5.

故选:A.

【题型8函数的图象问题】

【例8】(2025・安徽合肥・模拟预测)函数/(m=(|4一/|一4)1「(4一/)的图象大致为()

【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.

【解答过程】由已知,/(幻定义域为(—2,2),且f(r)=f由),

所以函数/■(%)为偶函数，

故/(%)图象关于了轴对称，

又"0)=0,排除B,D选项；

当XT2时，/(x)>0,排除C,故A正确.

故选：A.

【变式8-1](2025•广西柳州・一模)已知函数/(幻的部分图象如蛰所示，则/(幻的解析式可能为()

2X+2-X

A.fM=B./(')=既

4|X|-3

2X-2-X

c.fW=D・/(')=M

4|X|-3

【答案】c

【解题思路】利用函数f(x)在(l,+8)上的值排除B,利用奇偶性排除A,利用函数7•(%)在(1,+8)上的单调性

排除D

【解答过程】对于A,〃幻=亲言，定义域为(_8,_1“_猊)式a+8),

又/(—%)===所以/(幻为偶函数，故A错误；

4|—X|-34|X|-3

对于B,当x>1时/'(幻=看二，

3-4X

易知*一2-乂>0,3-4x<0,所以/(x)VO,不满足，故