中考数学复习学案-图形的相似 （学生版）

中考救学

图形的变化

图形的相似

工备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1相似的有关概念与相似多边形☆☆图形相似部分，属于初中数学难点，也

是中考重点，每年考查1~3道题,分值为

考点2相似三角形的性质与判定☆☆☆

3~19分，常以选择题、填空题、解答题

考点3图形的位似☆

的形式考察。特别是在压轴题里体现图

形相似的知识点多，如在解决圆的证明

与计算有的题用到相似、有的抛物线压

考点4一线三等角问题☆☆☆

轴题体现相似、有的探索实践类综合题

也体现相似。其重要性不言而喻。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

函知识导图〉

能夯实基础

中考救学

了jI知识清单”

考点1.相似的有关概念与相似多边形

1.比例线段的相关概念

(1)如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是-=-

bn

或写成a：b=m：n

(2)在两条线段的比a：b中,a叫做比的,b叫做比的。

(3)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线

段，简称(4)若四条a,b,c,d满足q=£■或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例

bd

的项，线段a,d叫做,线段b,c叫做,线段的d叫做a,b,c的第四比例项。

(5)如果作为比例内项的是两条相同的线段，即g二2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的

bc

2.比例的性质

(1)基本性质

①a：b=c：d<=>

②a：b=b：c<z>Z>2=ac

(2)更比性质(交换比例的内项或外项)

(3)反比性质(交换比的前项.后项)：

(4)合比性质：

2ca±bc±d

(5)等比性质:

acem.,,川a+c+e+---+/wa

—————=•••=—(zD+t/+/+**-+W^：0)=>---------------=—

bdfnb+d+/+…十〃b

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB

黄金分割，点叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=，M-*\BeO.618AB

2

4.平行线分线段成比例定理

中考数考

三条截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行广三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

5.相似多边形

相似多边形定义1：_____相同的图形叫做相似图形。

相似多边形定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的-—分别相等，—成比例，那么这两个

多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做<

相似多边形性质：相似多边形的对应角,对应边______。

注意：多边形的相似比为L的相似多边形是全等形.

考点2.相似三角形的性质与判定

1.相似三角形的判定定理

判定1：于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定2：三边的两个三角形相似。

符号语言：

■■ABBCCA

・•・△ABCs甘B'C.

判定3：两边_______且一相等的两个三角形相似。

符号语言：

中考数考

..AB_AC

NN=N/',

ArBf~~AfCf

丁・Z\ABCsZ\A'B'C'.

判定4：分别相等的两个三角形相似。

ZA=ZA\ZB=ZB\

:.AABCs△ABC.

判定直角三角形相似的方法：

推论1：有个锐角相等的两个直角三角形相似.

推论2：斜边和一直角边的两个直角三角形相似.

【易错点提示】

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似,

相等的角一定要是两条对应边的夹角.

【思路方法总结】三角形相似的判定定理的使用：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1;

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有•对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例：

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例.

2.相似二角形的性质定理

（1）相似三角形定义对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应

边的比叫做.

（2）相似三角形性质：

性质定理1：相似三角形的相等：

性质定理2：相似三角形的（边、高、中线、角平分线）成比例；

性质定理3：相似三角形的周长比相似比，面积比等于相似比的.

注意1：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。

中涛救学

注意2：由三角形面积公式和村似三角形对应线段的比等于相似比可推出相似三角形面积的比等于相

似比的平方.

【思路方法总结】相似三角形的判定方法归纳总结（理解牢记）

（D定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似。

（2）平行于三角形•边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（5）两角分别相等的两个三角形相似。

（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似。

3.相似三角形的应用

（1）利用相似三角形测量高度

1）测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.

2）测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.

（2）利用相似三角形测量宽度：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.

（3）利用相似解决有遮挡物问题

考点3.图形的位似

1.位似图形的概念

两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图

形，这个交点叫做.

【易错点提示】

（1）判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特

殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同，点.

（2）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，

则该点即是位似中心.

2.位似图形的性质

（1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即相等，的比相

等.

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比相似比.（位似图形的相似比也叫做位

似比）

（3）对应线段____或者在一条直线上.

3.画位似图形

画位似图形的一般步骤：

中涛救学

①确定;

②分别连接并延长位似中心和能代表原图的;

③根据，确定能代表所作的位似图形的关键点；

④顺次连接上述各点，得到______的图形.

利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点.

位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上二外位似的位似中心在连接

两个对应点的线段之外.

4.基本模型

5.平面直角坐标系中的位似

（1）平面直角坐标系中的位似变换

1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个.

2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点

的坐标的比为一匕

3）当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当OVk<l时，图形缩小为原来的k倍.

（2）性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为上那么位似图形对

应点的坐标的比等于％或-怎2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相

似比.

考点4.一线三等角问题

1.一线三等角基本含义：一线三等角就是指两个三角形中相等的两个角落在一条直线上，另

外两条边所构成的角与这两个角且落在同一条直线上，故称--线三等角。如图所示，一线三等

角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角。

BA

中考数考

2.一线三等角基本类型及特点与结论

（1）同侧型一线三等角

锐角一线三等角

【特点】Z1=Z2=Z3

【结论】1.△CAP^APBD

2.当4c=BP或AP=BD或CP=PD时,4CAP注/XPBD

（2）异侧型一线三等角

钝角一线三等角

【特点】点尸在线段的的延长线上，Z1=Z2=Z3

【结论】1.ACAP^APBD；

2.当或或时，4CAPq2PBD

考点梳理二）

考点1.相似的有关概念与相似多边形

【例题1】（2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、

乙、丙、丁，其中是相似形的为（）

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和因D.甲和丁

【变式练1】（2024湖北一模）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）

中考数考

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

【变式练2］（2024内蒙古赤峰一模》如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a,B的大小和EH

的长度X.

考点2.相似三角形的性质与判定

【例题2】（2024湖南省）如图，在中，点/）,后分别为边力以力C的中点.下列结论中,

错误的是（）

八

B乙--------------XC

c.BC=2DED.Sw=Ls

A.DE〃BCB.△4O*s△48cA/lZxfi2A/l/zV

【变式练1】（2024河北一模）如图，己知ND4B二NC4£，那么添加下列一个条件后，仍然无法

判定△ABCSA/。”的是（）

DE

ABACABBC”

A.——二——B.——二——C./B=ZDD.NC=ZAED

ADAEADDE

【变式练2］（2024湖南一模）如图，在中，点。在48边上，点“在力。边上，请添加一

个条件_________，使AADES^ABC

中考数考

【变式练3］（2024河南一模）如图，在平行四边形48CQ中，N48C的平分线交力。于点E,交AD

于点F,交CO的延长线于点G,若AF=2FD,则——的值为（）

EG

2334

【变式练4］（2024浙江湖州一模）如图，已知在8c中，D,E分别是48,4C上的点,

考点3.图形的位似

【例题3】（2024黑龙江绥化）如图，矩形048c各顶点f勺坐标分别为。（0,0），力（3,0），

8（3,2）,C（0,2）,以原点0为位似中心，将这个矩形按相似比:缩小，则顶点8在第一象限对应

点的坐标

中考救学

A.（9,4）B.（4,9）C.

【变式练1］（2024深圳一模）如图，以点O为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到4A'

B'C',以下说法中错误的是（）

A.AABC^AA;B'C

B.点C、点O、点C'三点在同一直线上

C.AO：AA'=1：2

D.AB〃A'B'

【变式练2］（2024云南一模）如图，△44C与△力方。是以坐标原点。为位似中心的位似图形，若

【变式练3］（2024长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-

2,4）,B（-2,0）,0（0,0）.以原点0为位似中心，画出一个三角形使它与△ABO的相似比

为3:2.

考点4.一线三等角问题

中考数考

【例题4】（2024广州）如图，点芥，”分别在正方形/8cZ＞的边BC，CD上,BE=3,

【变式练1］（2024武汉一模）如图，在等边△月4c中，。，£分别是边4C,力。上的点，连接力。,

DE,且/力。E=60。，若〃。=4,CE=3,求力B的长.

【变式练2］（2024海南一模）如图，在中,4。=24氏ZBAC=90°,AELCE于点E,BDLAE

于点。，若DE=4AD,求cosN48。的值.

考点L相似的有关概念与相似多边形

I.（2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为12.则它们的周长的比为

考点2.相似三角形的性质与判定

1.（2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为［：4,则这两个三角形面积的比是（）

A.B.1：4c.D.hJg

2.（2024陕西省）如图，正方形C/〃，G的顶点G在正方形/8CQ的边CD上，故''与ZJC交于点

H,若AB=6,CE=2,则0〃的长为（）

A7.R3

2

3.（2024四川内江）已知△力8。与△44G相似，且相似比为上3,则△/8c与△44Q的周长

中涛救学

比为（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

S1

4.（2024四川乐山）如图,在梯形/BCD中，对角线力。和交于点O,若消处=于

屋BCD'

S4BOC

5-（2024辽宁）如图，AB!/CD，力。与8C相交于点靠，旦△408与△OOC的面积比是

1:4,若AB=6,则。。的长为.

6.（2024云南省）如图，4B与CD交于点、O,且AC〃BD.若竺哗士=1,则任二

OB+OD+BD2BD

7.（2024山东滨州）如图，在△力8C中，点。，E分别在边48,力。上.添加一个条件使

"DEs"CB,则这个条件可以是.（写出一种情况即可）

8.（2024吉林省）如图，正方形力8C/）的对角线/C,8/）相交于点。，点七是。力的中点，点F

////

是00上一点.连接必二若/A'"O=45。，则—的值为.

BC

中考数考

9.（2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影

的方法.如图，燃烧的蜡烛（喔直放置）力〃经小孔O在屏幕（登直放置）上成像4力，.设

[8=36cm，力方'=24cm.小孔。到力8的距离为30cm，则小孔。到48'的距离为

_____OT.

A

A''I1

1」|

|^—30cm—>|<-?cm^|

io.（2024湖南长沙）如图，在菱形4BCD中，AB=6,/8=300，点E是BC边上的动点,连

接力/，,/）后,过点4作用；[DE于点、H设/兄=X，/"=y，则V上jx之间的函数解析式为（不

考虑自变量X的取值范围）（）

----------

EC

A.尸2B.R丝C”竺c36

D.y=——

X1XX

11.（2024内蒙古赤峰）如图，"BC中，〃=BC=l，ZC=72°.将AABC绕点、A顺时针旋

转得到△/B'C，点或伊与点B是对应点，点《与点。是对应点.若点C恰好落在8C边上，下列

③BD=C'D；④空=黑.其

结论：①点4在旋转过程中经过的路径长是②B'A〃BC；

5ACBD

中正确的结论是（）

D

BCC

中涛救学

A.①②®®B.①②③C.（1）@®D.②④

12.（2024山东枣庄）如图，点«为平行四边形ABCD的对角线力。上一点，4c=5,连

接并延长至点“，使得/〃/=/）“，连接B"，则为（）

57

A.—B.3C.一D.4

22-

13.（2024江苏常州）如图，在矩形力BC7）中，对角线8/）的垂直平分线分别交边力8、C/）于点

E、F.若40=8，BE=10,则tan/////）=.

14.（2024四川德阳）如图，在菱形48C7）中，480=60。，对角线力。与8。相交于点O,点

广为8c的中点,连接段‘与8。相交于点笈，连接C4并延长交48于点G.

（1）证明：ABEkSABCO；

（2）证明：ABEG沿二AEG.

15.（2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如

图1，在“BC中,48=/C，点。是/C上的一个动点，过点。作/）«18c于点£延长/〃）

交历1延长线于点立

图2

请你解决下面各组提出的问题：

中考数考

(1)求证：AD=A1^

（2）探究21与空的关系;

DEDC

某小组探究发现,当霁小加|,当需事DF8

~DE~5

请你继续探究:

①当任=2时，直接写出”的值：

DC6DE

②当02=生时,猜想丝的值（用含〃?，〃的式子表示），

并证明:

DCnDE

（3）拓展应用：在图1中，过点尸作垂足为点巴连接在’，得到图2,当点力运动到

使为时，若空=巴,直接写出”的值（用含小〃的式子表示）.

DCnAD

考点3.图形的位似

1.（2024四川凉山）如图，一块面积为6°CH?的三角形硬纸板（记为△/8C）平行于投影面时，在点

光源O的照射下形成的投影是△44G,若。3：网=2:3,则△44G的面积是（）

2C.150cm2D.375cm2

2.（2024重庆）如图，“6C与△/）/讣'位似，点。是它们的位似中心,且位似比为1：2,则“BC

与△/足1”的周长之比是（）

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

中考数考

考点4.一线三等角问题1.（2024甘肃威武）【模型建立】

（1）如图1,已知和△8CZ），AB_LBC，AB=BC，CD1BD，AE1HD-用等式写

出线段4/V，DE，CQ的数量关系，并说明理由•

【模型应用】

（2）如图2,在正方形力8CQ中，点八/分别在对角线8。和边CQ上，AELEI^

AE=a用等式写出线段片“，AD，段F的数悬关系，并说明理由•

【模型迁移】

（3）如图3,在正方形力BCD中，点E在对角线8。上，点/在边C7）的延长线上，AE1.1讣'，

用等式写出线段庭‘，AD，段F的数量关系，并说明理由•

2.（2024山东烟台）在等腰直角△力8。中，乙4cB=90。，/。=8。，。为直线8。上任意一点,

连接力/）.将线段力。绕点。按顺时针方向旋转90。得线段连接8〃.

图1图2

【尝试发现】

（1）如图1,当点。在线段上时，线段蒯'与CQ的数量关系为：

【类比探究】

（2）当点。在线段8C的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段或温与CQ的数量关系并

证明；

【联系拓广】

（3）若力。二8。二1，C7）=2,请直接写出sin//。/）的值•

专项练习〉

考点1.相似的有关概念与相似多边形

1.在如图所示的相似四边形中，求未知边X、y的长度和角a的大小.

中考数考

考点2.相似三角形的性质与判定

1.如图，已知AB:Al）=BC:DE=AC:AE,找出图中相等的角（对顶角除外），并说明你的理由.

B

2.如图，AABC和ZSDEF中，ZA=40°，ZB=80°,ZE=800,ZF=60°.求证：Z^ABCs*

3.如图，在△力8。中，D,E分别是彳氏NC边上的点，DE//BC,若/。=2,<B=3,DE=4,则8C

A.5R.6C.7D.8

An2

4.如图，在△48。中，点。、E分别在边力8、/C上，若DE//BC,——=-,。石=6cm,则8c的

DB3

长为（）

中考数考

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

5.如图，在△力8。中，◎是/8边上的点，NB=/ACD，AC:AB=l:2,则△力。。与

的周长比是（）

A.1：V2B.1:2C.1:3D.1:4

6.如图，在△力8。中，。，〃,分别是边48,/C的中点.若△/£>”的面积为'.则四边形08C4

的面积为

7.如图，4B〃（:D,4（：,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则80的长为（）

学9

A.—B.4C.—D.6

22

8.如图，在八/8C中，DE//BGDE=2,BC=5,则％叫：3”的的值是（）

A.­_■B.C.

255

中考数考

9.如图，在△力8c'中，。是48边上的点，/B=/ACD，AC:AB=l:2,则△/OC'与△4C8

的周长比是()

A.1;第B.1:2C.1：3D.1:4

10.如图，在平行四边形/8CD中，N/18C的平分线交/C于点E,交/O于点尸，交。。的延长线

1123

A.—B.—C.一D.一

2334

11.如图，己知”是△力8。内的一点，FD//BC^1'*〃4B，若口B"'E的面积为2,BD=-BA，

BE=LBC，则△/8C的面积是

4

12.已知：如图，在菱形48co中，点E、尸分别在边力8、力。上，BE=DF,"的延长线交D4的延

长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BECs^BCH；(2)如果B尸=Z8・4E,求证：AG=DF.

中考数考

13.如图，在。中，。在4C上，DE//BC,DF//AB.

(1)求证：ADFCs4AED；

s

(2)若CD=LC,求,△DFQ的值.

3S△杷口

13.如图，在△/3。和中，ZA=ZD

（1）求证：AABCSADEC；

（2）若S418C：S&DEC=4：9,BC=6,求EC的长.

考点3.图形的位似

1.如图，△48。中，A、8两个顶点在x轴的上方，点。的坐标是（1,0）,以点C为位似中心，

在x轴的卜.方作△44C的位似图形△/£C,并把△力4。的边长放大到原来的2倍，设点4的横坐标

是。，则点4的对应点二的横坐标是（）

A.-24+3B.-2a+\C.-2a+2D.-2a-2

中考数考

2.如图，在平面直角坐标系中，将△048以原点。为位似中心放大后得到△OCQ,若8(0,1),。

(0,3),则△。力〃与△OC。的相似比是()

A.2：1B,1：2C.