勾股定理的应用（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第02讲勾股定理的应用

/识导航

部导航1考点清单

考点1：实际测量问题

考点2:几何折叠问题

考点3：立体图形最短路径问题

国导航2重难点

重点：

（1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理

的适用条件。

（2）定理综合运用：热练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。

（3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体一平面、非直角一直角）和方程思想（折

叠问题设未知数）

难点：

（1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与己知

的联系。

（2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解“化立体为平面〃的本质，掌握长方体多种

展开方式的分类讨论方法。

（3）综合题的辅助线构造：引导学生总结“作高”这一转化技巧，突破非直角三角形的解

题障碍。

（4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程

思想解决问

「知识梳理

知识点：勾股定理的应用

应用类型思路解题步骤典型案例

实际测量构直角三角形，用勾1.建模标直角

（高度/距离）股定理算边长2.统一曲位代入公式测旗杆高、河宽

几何折叠折叠前后线段相等，1.找等量线段

（矩形/正方形）设未知数列方程2.构直角三角形矩形折叠求线段长

3.勾股定理列方程

立体最短路径化立体为平面.，两点1.展开立体表面

（圆柱/长方体）之间线段最短2.确定两点构直角三角蚂蚁爬圆柱/长方体

形

3.计算路径长

题型精讲

【题型1求梯子滑落高度】

【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子4到左

墙的距离AE为0.7m,梯子顶端。到地面的距离DE为2.4m,若梯子底端A保持不动，将梯

子斜靠在右墙8C上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m,求这两面直立墙壁之间的安全

通道的宽8E的长度.（单位：m）

EAB

【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑

轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表：

课

定滑轮的物理实验

题

实定滑轮、滑块B、木块C,绳子（没有弹性）

验

布哭

材

测尺子

量

工

具

说明：滑块8、木块C均在吏转道上，它

测们用绳子连接，且绳子经过定滑轮A.图

量1为初始测量状态，图2为将木块C竖

示直升高后的状态，此时滑块B向左滑至

意点9处.其中4C_L8C.实验过程中，

图ffl1图2绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定

滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.

测BC=6dm,AC=8dm,CC=7dm

量

数

据

⑴如图1,求绳子的总长度；

（2）如图2,求滑块8向左滑动的距离B）.

【变式2】一架梯子长2.5米，靠在墙上，梯子底端离墙0.7米.

⑴求梯子顶端到地面的高度；

⑵若梯子顶端下滑0.4米，底端将水平滑动多少米?

【变式3】消防云梯的作月是用干高层建筑火灾等救援仔务，它能让消防员快速到认高层救

援现场，如图，已知一架云梯八8长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离

OB=20m,N4OB=9。。，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部4下滑到片位置上（云

梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到9位置上，若44=8m,求的长

度.

【题型2求旗杆高度】

【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下:

活动

风筝离地面垂直高度探究

课题

问题秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝.

背景

某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了妇图所示的示意图，测得水平距离BC

的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线48的长为17米，牵线放风筝的

手到地面的距离为1.5米.

测量

数据

抽象

模型

工------------%

经过讨论，兴趣小组得出以下问题：

(1)运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高

问题

度.

产生

(2)如果想要风筝沿DA方向再上升12米，月.BC长度不变，则他应该再放出多少米

线？

问题・・・

解决

该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题.

【变式1】10月25-26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进

行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平

距离BD为24m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为25m；牵线放风筝的手到地面的

距离力B为1.5m.已知点A,B,C,。在同一平面内.

⑴求风筝离地面的垂直高度CD;

⑵在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线OC方向再上升11m,请问能否成功？请

说明理由.

【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问

题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，

更因为应用广泛而使人入迷.

如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度8E=0.5m,将它往前推2m

至C处时，即水平距离CD=2m,踏板离地的垂直高度CF=1.5m,它的绳索始终拉直，

求绳索4c的长.

【变式3】如图①，48为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗

杆的高度多1m,现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）.

⑴第一小组的方法是将旗绳的底端从点8滑动到点C,并使旗绳AC笔直，如图②，此

时测量得出8c=5m,请按此方法求出旗绳AC的长度；

⑵第二小组的方法是利用2m高的标杆0E,将旗绳的底端与标杆顶端。重合，并移动标

杆至旗绳力。笔直，且标杆DE垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗

杆的水平距离的长度）.

【题型3求小鸟飞行距离】

【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖4飞向旗杆顶端C,已知树高5m,旗杆高21m,树

与旗杆之间的水平距离为12m,则无人机飞行的最短距离为多少？

C

A

△

RD

【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6〃?的点8处，他们都要到A处的池塘去喝水，

其中一只猴子沿树爬下去到离树12〃?处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶。后直线越

向池塘的A处，如果两只猴了•所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中4点，A点到地面的高度AB=20米，4点到地面C

点（B、C两点处于同一水平面）的距离4c=25米.若小鸟竖直下降12米到达。点（。

点在线段A8上），求此时小鸟到地面C点的距离.

【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高是4米，两树相距8米

（即C/>8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟

至少要飞行多少米？

【题型4求大树折断前的高度】

【典例4】如图，线段CO表示一棵树，C。上的点B处有两只猴子，它们都要到力处的池塘去

喝水，其中一只猴子先从点8处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段C4爬到点力处；

另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点Z）处，再从点。处沿线段D4跳跃至点A处，已知

4c=2BC=10米，ACLDC,且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高

度CD.

【变式1】如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好

落在地上，求此处离树底部多远.

【变式2】如图，一棵32m高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根8点16m处,

科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点5m的。处竖起一架梯子4D,请问这架

梯子有多长？

DBC

【变式3】如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到4处的池塘去喝水,

其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘4处，另一只猴子爬到树顶。后直线跃

向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶。到池塘A

的距离有多少米？

D

【题型5解决水杯中筷子问题】

【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭(jia)出水〃的一道趣题：有

一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苓，露出水面1尺.将芦苇拽至池边

中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题.(注：“丈〃

和“尺〃都是旧制长度单位，现已停止使用.1丈=10尺，1米=3尺)

7

【变式1】"今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？〃

这是我国数学史上的"葭生池中”问题.即24cB=90。，AC=5,DC=1,BD=BA,

求8C的长.

【变式2】将•根长是22cm的细木棒DE置于内部底面直径为9cm,高为12cm的圆柱形水杯

中，设细木棒露在杯子外的部分C。的长为hem,请探究/?的取值范围.

【变式3】如图，一个直径为10cm(即8c=10cm)的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间

点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm(U\lFG=1cm),当筷子GE倒向杯壁时

(铁了底端不动)，模了顶端正好触到杯壁。，求篌了GE的长度.

【题型6解决航海问题】

【典例6】如图所示，一艘轮船以18km/h的速度离开港口。点，向东南方向航行，另一艘

轮船同时以24km/h的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？

【变式1】如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口人向东南方向航行，另一艘轮船同

时以12海里/时的速度离开港口4向西南方向航行,那么，它们离开港口1.5h后，相距

多远？

【变式2】如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子8C的长

为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点。的位置..

⑴求CD的长：

(2)求船向岸边移动了多少米?

【变式3】在海平面上有A,B,C三个标记点，C为灯塔，港口4在灯塔。的北偏西55。方

向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35。方向上，港口

8与灯塔。的距离是30海里，一艘货船将从A港匚沿直线向港口8运输货物，货船的

航行速度为20海里/小时.

⑴货船从A港口航行到B港口需要多少时间;

⑵为了保障航行的安全，。处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海

里，这艘货船在由A港口向4港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔

的安全信号时间不低干0.6小时才符合航行安全标准.问：这脾货船在本次运输中是否

符合航行安全标准，并说明理由？

【题型7求河宽】

【典例7】学习了"勾股定理"后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为•项

课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如卜的活动报告.

活动课

测量某水潭的宽度力8

题

测量工测角仪、测距仪等

具

如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、8周围均被围栏所围，因此A、8史均

无法到达，测量小组在与垂直的直线/上取点C于点A),用测

距仪测得力。、BC的长

测量过1/~一

程及示r---左心

意图-----

一

C

7

测量数AC=8米，BC=17米

据

.......

请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度48.

【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点

8处40m,结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m.求该河的宽度的长.

BA

【变式2】为了求出湖两岸4,8两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使MBC恰好为

直角三角形（05=90°;,如图所示，通过测量得AC长为10m,BC长为8m,求出图中A、

8两点之间的距离.

【变式3】小刚准备测量•段河水的深度，他把•根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高

出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为

多少米？

【题型8求台阶上地毯长度】

【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖

住.楼梯台阶剖面图如图所示，已知，C=90。，AC=3m,AB=5m.

⑴求BC的长；

⑵若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.（假

设地毯在铺的过程中没有损耗）

【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的

长度至少为（）

【变式2］某公司举行开叱一周年庆典，准备在一个长13m,高5m的台阶上铺设地毯（如

图），若台阶的宽为4m,地毯的价格为100元/n?,则购买地毯需花费元.

【变式3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地破，已知他段

每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？

02m4

【题型9判断汽车是否超速】

【典例9］如图，已知某高速公路限速100km/h,一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与

这条路平行的直线/上的点C处有一车速检测仪.某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测

仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达4处，此时测得大巴车与车速检测仪

间的距离4C为130m.

⑴求A8的距离；

⑵通过计算说明这辆大巴车是否超速.（参考数据1m/s=3.6km/h）

舞舞

...........u——

检测仪

【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s.如图，一辆小汽车

在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了

2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？

小汽车d；：•芭小汽下

【变式2】行车不超速，安全乂幸福.已知某路段限速40km/h,小明尝试用自己所学的知

识检测经过该路段的汽车是否超速.如图，他所在的观测点P到该路段/的距离(0P的

长)为40米，测得一辆汽车从4处匀速行驶到8处用时3秒,“P0=60°,48Po=45°.试

通过计算判断此车是否超速？(V5«1.7,&«1.4)

【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检

测仪4处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检

测仪间的距离为200米.

⑴求8c的长；

(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70

千米/小时,这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由(参考数据：lm/s=3.6km/h)

【题型10判断是否受台风影响】

【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5〜11月，9月更是台风登陆数

量最多、强度最强的月份.如图，某沿海城市4接到台风预警，在该市正南方向340km

的8处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到8c的距离4D为

160km.

⑴台风中心经过多长时间从4点移到。点？

⑵如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影

响的时间持续多少小时？

【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km,即距离台风中

心为130km的区域都会受到台风的影响.如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的

路线，4是大型农场，.目SB1AC.若4B之间相距150km,A,C之间相距200km.判

断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由.

A

8C

【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极

端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知

点C为一海港，且点C与两点之间的距离&4,CB分别为300km,400kmM8=500km,

以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域.

C

⑴海港。受台风影响吗？为什么？

（2）若海港。受台风影峋，且台风影响海港C持续的时间为7小时，台风中心移动的速度

多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）

【变式3]2025年9月，台风“桦加沙〃在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级

（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级.已知七级风圈半径约250km（即以

台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）.如图，线段8C表示

台风中心在深圳附近从。地向西北方向移动到8地的路径，4是深圳市某观测点，且.481

AC.已知力、C之间相距300km,A.B之间相距400km.

Jt

⑴判断观测点A是否会受到台风〃桦加沙”的影响，并说明理由.

⑵若台风中心的移动速度为20km/h,则观测点A受台风影响的时间有多长？

【题型11选址使到两地距离相等】

【典例11］如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路4B同侧的点C,。处，已知0A1.A9

于点A,CB1AB于点B,AB=2.2km,AD=1.7km,BC=0.5km.为了更好地满足游

客的需求，公园管理方决定在道路48的边上建一个游客服务中心E,使得喷泉广场和儿

童游乐场到游客服务中心的距离相等.

⑴游客服务中心应建在距点A多少千米处?

(2)求NCED的度数.

【变式1】某市准备在铁路48上修建火车站E,以方便铁路两旁的两城的居民出行.如

图，C城至U铁路48的距离AC=20km,D城到铁路力B的距离D8=60km,48=100km,

经市政府与铁路部门协商最后确定在到C,。两城距离相等的E处修建火车站，求AE,BE

的长.

D

【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村

庄（看作两个点），ADLAB,BCLAB,垂足分别为A、B,4。=24千米，8c=16千

米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、。两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在

距A点多少千米处？

D

【变式3】如图，九龙大道卜.4,8两点相距14km,C,。为两商场，DA1AB^A,CBLAB

于B.已知。力=8km,CB=6km.现在要在公路48上建一个土特产产品收购站E,

使得C，。两商场到E站的距离相等.

⑴求E站应建在离A点多少km处？

⑵若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站£需要多少小时？

【题型12求最短路径】

【典例12］如图，若圆柱的底面周长是12cm,高是5cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕•圈

彩带到顶部8处，则这条彩带的最小长度是（）

A.5cmB.10cmD.17cm

【变式1】如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在。iG的中点M处，它到851的

中点N的最短路线是（）

A.8B.2V5D.4^2

【变式2】如图，一个圆柱底面周长为16cm,高为6cm,则蚂蚁从A点爬到B点的最短距

离为（）cm

A.8B.y/10nC.V73D.10

【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为4cm,高为6cm.若一只蚂

蚁从该棱柱底面的顶点A处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点8处，则蚂蚊爬行的最短

距离为（）

A.14cmB.10cmC.（2V13+4）cmD.2>/13cm

【题型13折叠问题】

【典例13］如图，在长方形力BCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与

点。重合,折痕为EF,则8F的长为（

A.6cmB.7.5cmC.5cmD.4cm

【变式1］如图，中，力。=6,BC=8,AB=10,点D在BC边上，连接/。，沿/O

翻折，使点。落在AB边点E上，则（）

A

B.4.8D.5.2

【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边力C=6cm,BC=8cm,现将△ABC折

叠，使点8与点A重合，折痕为DE,则CD的长为（）cm

C

B,竺

【变式3】如图，在长方形A8CD中，E,尸分别是BC,边上的点，将△BEF沿EF折叠,

点8的对应点G恰好落在力。边上.若48=4,BE=5,则力F的长为（）

因随堂检测

1.如图，一旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部距底部4m,求旗杆原有多长（）

2.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中4B、CD分别表示一楼、二楼地面的

水平线，CE是竖直线，高度为4m,的长是8m,则BE的长是（）

-g__

A.4v3mB.8mC.-V3mD.4m

3.如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟

从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米.

4.如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m,如果梯子的顶端下滑4m,那么

梯