2026年高考数学二轮复习：基本不等式归类（题型）（天津）原卷版

专题02基本不等式归类

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

臼典例引领性］方法透视性］变式演练

【选填题破译】

题型（）1直接法求最值

题型02常规凑配法求最值

题型03消参法求最值

题型04双换元求最值

题型05“1”的代换求最值

【解答题破译】

题型01利用基本不等式解决实际问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译

题型01直接法求最值

典例引

【例1-1］（2026•天津滨海新•联考）已知正实数。力，满足。+2力=1,则下列结论错误的是（）

A.的最大值为:B.a、/的最小值为彳

o5

C.工+：的最小值为3+2及D.'+£的最小值为1+VL

abab

【例1-2］（2026•天津河东•月考）x（l-其中0<x<2）的最大值是（）

A;

B-7c.1D.2

方法透视

1.一正：确保参与运算的各项均为正数，若出现负数需先转化代号。

2.二定：通过配凑、拆分等手段，使和或积为定值一一求和的最小值时构造积为定值，求积的最大值时构

造和为定值。

3.三相等：验证等号成立的条件（各项相等），若等号无法成立，需改用函数单调性等其他方法。

变式演依

【变式1-1］（2026•天津蓟州•月考）已知a>0/>0,且不等式2。+60/"2_4m+8对任意-1«加恒成立,

则（。+1）6的最大值为（）

99/T-49七

A.-B.-V2C.—D.472

22o

【变式1・2】（2026•天津西青•月考）下列说法正确的个数是（）.

@x+->2；

X

②函数+♦的最小值为4；

J/+3

③若x>0,则x（2-x）最大值为1；

④已知〃>3时，“Ja,当且仅当。即。=4时，〃+总可取得最小值8.

A.0B.1C.2D.3

【变式1・3】已知4B,C三点不共线，点。不在平面48。内，OD=^OA+xOB+yOC（Xiy>0）,若4

B,C,。四点共面，则xy的最大值为（）

A.-B.—C.1D.2

816

题型02常规凑配法求最值

,、4

【例2-1］（2026•天津滨海新•联考）已知x>l,则的最小值为（）

X—1

A.6B.5C.4D.3

【例2・2】（2026•天津南开•联考）已知x>0,），>（）,若不等式?+?之。"+尸）恒成立，则。的最大值为

().

A.yB.乎C.1D.V2

方依透视

1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2.注意验证取得条件.

变式演秣

14

【变式2・1】（2026・天津•调研）正项等差数列｛凡｝中，%=1，削丁+1的最小值为（）

9

A.9B.-C.5>/2D.6

【变式2-2］（2026・天津•月考）当x>l时，则J—x的最大值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

4

【变式2・3】（2026•天津武清・月考）函数y=x+—^。<2）的最大值是（）

x-2

A.4B.5C.2D.-2

题型03消参法求最值

【例3-1］日知”，方都是实数，着b是a,1的等差中项，贝人一+d”的最小值为（）

A.2e2B.2cC.2\/eD.2

【例3・2】（2026・天津•联考）等差数列｛4｝中各项都为正数，%=4,则怖+5的最小值为（）

95

A.-B.5C.5y/2D.—

方做遗规

消参法就是对应小等式中的两兀问题，用•个参数表不另•个参数，再利用基本小等式进行求解.解题过程

中要注意“一正，二定，三相等“这三个条件缺一不可

变式演依

【变式3・1】（2026•天津和平・联考）已知关于x的不等式分_以+1>0的解集为18。）5叫+8），其中

nj>\［2»则力+,的最小值为（）

m

A.4B.2&C.2D.1

【变式3-2］（2026•天津西青•联考）若一元二次不等式加+队+00包。0）的解集为次|-1<%<2},则

4

8-c+,最大值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

【变式3・3】（2025•天津河北•模拟预测）已知关于x的不等式公2_反+1>（）的解集为18,2_、U（m,+8）,

k〃1/

2

其中〃?>0,则b+一的最小值为（）

m

A.4B.2X/2C.2D.1

题型04双换元求最值

翼例不■

3411

【例T（2。25・天津静海•三模）若CO,b>。,-+-=1，则/+庐的最小值为（）

1±

5C

A.B.5-

25

【例3（2。25.天津武清•模拟预测）已知正数…满足Ni,则含+出的最小值为（）

A.9B.10C.18D.24

方依透视

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两人分式的分母

为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1.代换变量，统一变量再处理.

2.注意验证取得条件.

安式假称

【变式4-1］（2025•天津北辰•三模）已知Ac均为正实数，ab+ac=4,则士+六+—J的最小值是

ab+ca+b+c

（）

A.6B.4C.3D.2

【变式4・2】（2025•天津滨海新•三模）已知正数4，b,c满足2。+6+3c=8,则史竺生+」一的最小值

b+ca+c

为（）

A.2夜B.述C.3J2-1

44

【变式4.3】（2。25・天津•一模）已知》>。且4x+3”l,则出+高的最小值为（）

A.10B.9C.8D.7

题型05“1”的代换求最值

【例5・1】（2025•天津南开•一模）若直线2以+如="（〃>0*>0）过点（1/），则a+b的最小值为（）

A.472B.3-20C.3+2及D.3拒

14

【例5-2]（2025•天津和平•三模）已知实数x与》满足x>y>（）,且——+—=1,则2x+y的最小值

x-yx+y

为.

方法透视

1.1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用其木不等式的条件，即积为定值，凑的过程

中要特别注意等价变形

2.根据条件,凑出力”,利用乘“1”法

注意验证取得条件

变式值珠

41

【变式5-1]（2025・天津红桥•一模）设。>0,6>1,若。+6=2,则一+丁三的最小值为（）

ab-[

A.6B.9C.3&D.18

【变式5・2】（2025・天津红桥•二模）已知正实数力满足=则色上+匕虫的最小值为_______

ab

【变式5-3]（2025・天津•模拟预测）若”0,b>0,且〃+6=1,则,+的最小值为

解答题破译

题型01利用基本不等式解决实际问题

舞网引横

A

【例1・1】（2025・天津•一模）在叁44c中，角48,。所对的边分别为。也c己知ccos^—sinC.

⑴求角力的大小；

（2）若方=1,cos5=—，求。的值；

7

(3)若4=2,当伤C的周长取最大值时，求出力8。的面积.

,、1na„(-\,、

【例1-2](2024•天津河西•二模)已知数列｛勺｝的首项q=],且满足4川=逅〃eN),｛4｝的

前"项和为S”.

⑴证明数列1《二是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

，n.

(2)当"之2时，16%+」一NZS“恒成立，求实数2的取值范围：

⑶在数列｛〃,｝中，4=2,帅…",求数列也｝的通项公式及

/=1ai

方做遗规

1.理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2.注意定义域，验证取得条件.

3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

变式窗依

【变式1・1】已知以48。的内角力，B,。所对的边分别为叫b,c,且sm"：UB=R.

(1)求角8的值；

⑵若出力AC的面积为石，/力8。的平分线3。交力C于。，求线段30的最大值.

【变式1・2】(2025•天津一模)设dMBC的内角44,C的对边分别为a,Ac,已知2sin(4-C)=sin8.

(1)若C=£,c=1.

4

(i)求tag；

(ii)求b；

(2)求tan(4-0的最大值.

【变式1-3](2025•天津•模拟预测)记场为6。的内角力，6,C的对边分别为方，c,己知ZAcosCjSin".

(1)证明：tanJtan5=2；

⑵求更尤1的最大值.

asinC

1.(2025•天津红桥•模拟预测)已知二次函数/(x)=or2+2x+c(xeR)的值域为[0,依)，则,+±的最小值

为.

2.（2025•天津河西•模拟预测）己知出48C是边长2为正三角形，O是出力的中心，过点。的动直线/交

于点M,交力C于点N,设无方=〃?万，丽=〃就，〃>0,〃>0,则5+[=；|两『+|而『

的最小值为.

4___

3.（2025•天津河西•二模）在平行四边形中，cosNB/O=-不DC=4EC^BC=CF»四边形MCO

的面积为6,则布•成的最小值为:当而在而上的投影向量为—亚时，EA.FA=.

4.（2025•天津河西•二模）在正四棱锥P-48CO中，底面四边形48co是边长为血的正方形，当该正四

棱锥的外接球半径R与内切球半径，•之比最小时，则该正四棱锥的体枳为（）

A.2&+2B2j0-]c2&+2D.桓+2

333

5.（2025•天津•二模）在出/18。中，/IB=G,AC=B,NBAC==2百.

（1）若W=l，则向量d在向量b上的投影向量的模为：

（2）边力8和/1C的中点分别为&E,点尸为CO和8E的交点，G为线段CO上靠近。的三等分点，则

万•前的最小值为.

6.（2025•天津和平•二模）在e