湘乡市2025－2026学年九年级上册数学期末检测试题

湘乡市2025-2026学年九年级上册数学期末检测试题

（时量：120分钟，满分：120分）

一、选择题：（每题3分，共30分）.

1.2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前

位列全球影史票房第6名.其中149亿用科学记数法表示为（）

A.14.9xlO9B.1.49xl09C.].49xlO,0D.0.149x10"

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中

14忖V10,〃为整数即可求解，解题的关键要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：149亿

149（X）0（XX）00=1.49xl0l（\

故选：C.

2.如图，平面直角坐标系中，等边三角形。W的顶点0（0,0）,3（2,0）,点A在第一象限，已知△A8V

与VH3c位似，位似中心是原点0,位似比为2,则点A的对应点A的坐标为（）

A.书B.（2H2）或卜26一2）

C.（4,4>/3）D.（2,2@或卜2,-2@

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标和位似，勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键.

过点A作AC_LQ8,根据等边三角形的性质，求出点A的坐标，再根据以原点为位似中心的对应点的坐标

特点，即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AC_LQ3交。8于点C,

.等边△048的顶点0（0,0），8（2,0）,

•*-OA=OB=2，

vACLOB,

：.OC=-OB=\,

2

在心△ACO中，AC=也-F=5

AA（1,V3）,

•已知△A'B'C与VA3c位似，位似中心是原点0,位似比为2,

4（2,2石）或A卜2,-2石）.

故选:D.

3.满足等式（2—根严一改2=1的所有实数小的和为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】当2=1即机=1时，满足所给等式；

当2-m=-1即加=3时，（2-阳）"一"2=（一1）4=],满足所给等式；

当2—加±±1即m且〃zw3时，由已知等式可得：,/一"—2=o且2—机#0,解得〃2=7.

因此，满足等式（2-加产”2=1的所有实数加的和为1+3+（—1）=3.

2355x-y

4.已知巴丁，z满足一=——=——，则一■值为（）.

xy-zz+xy+2z

11।

A.1B.—C.—D.—

332

【答案】B

【解析】

2

【分析】设一=----=—»则x=2k,y=6k,z=3k.代入

Z+Xk

—5x-，y■求值-即可

y-2z

…・2351

【详解】设一=——=——=：,

xy-zz+xk

则m=24，z+x=5%,

z=3ky—z=3k,

：.y=6kt

5x-y5x2k-6k1

则-----=-----------=-

y+2z6A+2x343'

【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键

KX+14x+Cl

5.已知关于x的方程F+—=/,，只有一个实数根,则所有满足条件的实数〃的和为()

x+ixx(x+l)

1313

A.IB.-C.—D.—

222

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

2x2+2x+l4x+a

先将分式方程通分为一；-L=1-K，考虑分母不为零的条件，方程只有一个实数根的情况包括判

x(x+l)x(x+l)

别式为零且根不为增根，或二次方程有一个根为增根从而只剩一个有效根，计算出。值，再求和即可.

xx+14x+a

【详解】解：—+

人"11Xx(x+l)

2f+2x+l

•••分母相同且不为零，

，分子相等得：2x?+2x+l=4义,

整理得：2/-2工+(1-4)=0,

方程只有一个实数根需满足:

⑴判别式为零：△=(—2)2-4・2・(1-4)=8〃-4=0,

将〃二g代入2£-2犬+(1-々)=0得，

2x2-2x+—=0,解得x=,，x/0且xw-l,

22

.."二'是原方程的解，此时〃=,；

22

(2)根为。时：将x=0代入2工2一2工+(1—。)=0得，1一4=0,.♦“=1,

将〃=1代入2工2—2x+(1—a)=0得，

2x2—2x=0>解得x=0或x=l,x=0为增根，

.,.x=1是原方程的解，此时a=l；

(3)根为-1时：将工二一1代入2/-2戈+(1-。)=0得，5-a=0,:.a=5,

将a=5代入2x?-2x+(l-a)=。得，

2X2-2X-4=0，解得x=2或x=-l,K=-1为增根，

「/=2是原方程的解，此时。=5；

综上所述，满足条件的〃有：、1、5,

113

，”的和为—F1+5=—,

22

故选：D.

6.如图，菱形OA3C在第二象限内，Z4OC=60°,反比例函数>的图象经过点人交BC边

A.26B.-2>/3C.6D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标

是解决本题的关键.

过A作轴于E,设则AE=JJ〃，04=2。，即菱形边长为2。，再根据△A0D的面

积等于菱形面积的一半建立方程可求出下,利用点A的横纵坐标之积等于女即可求解.

【详解】如图，过人作AE_Lx轴于，

设OE=a，

在RlZ\AOE中，NAOE=60。，

OE

・•・AE=OE・tan60。=&，OA=——=2a,

cos60°

•・•菱形Q43C在第二象限内，

••・4卜。,、6〃），菱形边长为2a,

■:点、D在菱形OABC的BC边上，

S荚形AOC8=2S、AOD，

•・•△AOD的面积为6,

•\OCAE=\2,即2〃.岛=12，

••ci2=2\/3，

又点A在反比例函数y=—（人＜0）上，

x

••k=—axy/3a=—\/3a2=—Gx2百=—6•

故选：D.

7.如图，在长方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点3与点£＞重合，折痕为EF,

则M的长为（）

C.5cmD.4cm

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键.

根据折叠的性质可得，BC=DC»CF=CF»ZC=ZC»设则CT=(9-x)cm,根据

勾股定理列出方程，求解即可.

【详解】解：如图，记点C的对应点为C',

C

'：长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，

...DC=AB=3cm,BC=AD=9cm,ZC=90°,

由折叠可得，BC=DC=3cmfCF=CF，ZC=ZC=90°，

设B/7=xcm,则CF=CF=BC-BF=（9-x）cva,

在RSBCN中，BC,2+CF2=BF\

A32+（9-X）2=X2,解得X=5,

则B/的长为5cm.

故选：c.

8.如图，在VAAC中，AB=AC,以AC为直径的。。与AB，BC分别交于点D,E，连接AE,

DE，若/BED=45。,AI3=2,则阴影部分的面积为（）

c

2兀

C.—D.71

3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算.连接。石，OD,证明

S.。。='八加，可得S阴影=S席形神。，求解NAOD=90。，再利用扇形的面积公式计算即可•

・•・ZAEC=90%

AB=AC,

:・BE=CE,

即点E是8c的中点，

•・•点。是AC的中点，

・•・OE是VABC的中位线,

：.OE//AB,

•**SJOD=S.RED，

s阴影=s®形6M/),

•・,ZAEC=90°,

・•・ZA£3=90。，

•・•/BED=45。，

AZAED=45°,

・•・ZAOD=90°,

90TCX12_兀

360-4

故选：A.

9.如图所示，在正方形A8CQ中，点E在8C边上，连接AE，过点。作。/〃A上交8c的延长线于

点尸，过点。作CGJLD尸于点G,延长AEGC交于点〃，点尸是线段。G上的一动点，连接CP,

将△CPG沿CP翻折得到△CPG,连接AG.若CH=6,DH=8,则AG长度的最小值是（）

A.4gB.10-372C.4D.8-2及

【答案】B

【解析】

【分析】如图，作。于M,首先证明四边形。是正方形，求出正方形。W7G的边长，以及

AC的长，因为点P在线段OG上运动时，点G'在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，所以当A、G'、

C共线时，AG最小，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，作DW1AE于点

AH//DF.GHLDF^

UMIIG-ZIIGD-ADMIT-90°,

二.四边形0MHG是矩形，

•/ZADC=ZMDG=90°,

ZADM=/CDG,

在△AD”和aCOG中，

ZAMD=ZDGC,

，ZADM=NCDG,

AD=DC,

.•心4OM%a)G(AAS),

DM=IXJ,

二.四边形DW/G是正方形，

・・•OH=8,,

：.DM=MH=GH=DG=46,

CH=五,

:.CG=HG-HC=36,

在RtAOCG中，CD=jDG、CG2=J(4a)2+(3@2=5后,

:.AC=y/2CD=]0^

•••点〃在线段。G上运动时，点G'在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，

.•.当AG',C共线时，AG'最小，

/.AG的最小值为AC-CG'=10-3夜.

故答案为：10-3五.

故选:B.

【点睛】本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知

识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离

的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题.

10.抛物线y=a?+bx+c(a*0)的对称轴为x=—1,与1轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，

其部分图象如图，则以下结论正确的有()

®abc>0；②3a+cy0：③若小，〃(〃?<〃)是方程av?+S+2)x=x-c的两个根，则皿一1,〃)0；

④图象上有两点P（X，yJ和。（毛,%），若不<々，且为+%>-2,则一定有

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出。、/人c的符号，即可判断

①；由1=1时，），<o,即可判断②；画出函数y=-x的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质

可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：•・•抛物线的对称轴为x=—1,

b

:.----=—1,

2a

b=2a,

•・•抛物线开口向下，

<0,

.,./?<0,

•・•抛物线对称轴为x=T,与x轴的一个交点A在点（-3,0）和12,0）之间，

・•・抛物线与4轴另一个交点A在点（0,0）和（1,0）之间，

・••抛物线与轴的交点在）'轴的正半轴上，

••c>09

.二abc>0,故①正确；

•・•抛物线与X轴的另一个交点A在点（0,0）和（1,0）之间，

.・.工=1时，y<0,

即a+b+c<0,

，3a+c<0,故②正确；

由方程ax1+(/?+2)x=x-r•得,ax2+hx+c=一x.

画函数y=-x的图象如下,

由图象可知，直线）'二一不与抛物线y=〃/+加；+44/0）相交于两点，交点横坐标满足加｛-1,力0,

:抛物线开口向下，图象上有两点P（x，y）和Q（乙,，2），对称轴为力=-1,%<々，且为+~>-2,

・•・点Q（%,左）在对称轴％=T右侧，

当&N-1时，在抛物线工=一1的右侧，y随x的增大而减小，

*/xl<x2,

・•・弘>y2，

当用<-1时，点。到对称轴的距离为七一（-1）=%+1,点。到对称轴的距离为一1一百，

.q+1—（―1—玉）=/+%+2>0,

£+1>—1—X],

又•,•抛物线开U向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大，

••y1>%，

・•・图象上有两点P（X，y）和。（毛,%），若且％+%>一2,则一定有）%>%，

故④正确：

・•・结论正确的有4个，

故选：D.

二、填空题：（每题3分，共18分）.

11.若工=〃?是一元二次方程d+3x-4=（）的一个根，则5m2+15〃2-2的值是.

【答案】18

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据x=m是一元二次方程储+31一4二0的一个根，得

m2+—4=0，则nr+3m=4，再代入5"+15/??—2=5（"厂+—2进行计算，即可作答.

【详解】解：・・・x=，〃是一元二次方程炉+3工一4=0的一个根.

m2+3m-4=0»

in2+3m=4，

/.5nr+15m-2=5（m2+3m）-2=5x4-2=18,

故答案为：18

12.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以4区为直径的圆经过点

C,D,则sin/ADC的值为.

2>/13

【答案】

13

【解析】

【分析】首先根据圆周角定理可知，ZADC=ZABC,然后在■△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出

N48。的正弦值，进而即可求解.

【详解】解：如图，连接AC、BC.

•・•N4QC和NA8C所对的弧长都是AC，

ZADC=Z.ABC.

AC

在R/AA4CB中，sinZABC=——，

AB

VXC=2,BC=3,

・•・"=也?+32=至

..z._22而

..sinZABC=—r=---，

V1313

AsinZADC=^1.

13

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利

用圆周角定理把求NA。。的正弦值转化成求N4BC的正弦值，本题是一道比较不错的习题.

13.如图，点A在反比例函数)，=彳的图象上，点3(—1,3)在反比例函数y=g的图象上，OAVOB,

则线段。4的长为.

【答案】V30

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函

数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A、8分别作x轴的垂线，垂足

分别为。、D,则有NACO=NOD8=90。，然后可得△AOCS^OB。，设,则有

9

AC=-,OC=a,由题意易得。。=1,8。=3,进而根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：过点A、8分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D,如图所示：

D\OC

・•・ZACO=NODB=90。，

,：OAA.OB,

，ZAOC+ABOD=4OD+NO80=9O。,

・•・ZAOC=ZOBD,

・•・^XAOC^/XOBD，

由题意可设〃,：），则有AC9

OC=ci，

•:8(—1,3),

OD=1,BD=3,

缸AOSAOBD,

9

.ACOC-

>.—=—，即BII〃。，

ODBD—=~

13

•a=3^3（负根舍去）,

・•・AC="OC=3G

：♦OA=VAC2+OC2=而；

故答案为而.

14.如图，RSABC中，NAC8=90o,AC=4,8C=3,/＞为4B边上任意一点，将VABC绕着点C顺时针

方向旋转90。，得到△A'3'C,设点。运动路线的长度为/,则/的最小值为.

.—.66

【答案】一兀##三兀

55

【解析】

【分析】根据题意，点p运动路线的长度/为圆心为点C,圆心角为90。，半径为CP的弧长，故当CP最

小时，弧长最小，根据垂线段最短，当CP_LA8时，CP最小，解答即可.

【详解】解：vZACT=90°MC=4,^C=3,

-AB=>JAC2+BC2=5,

•・•VA8c绕着点。顺时针方向旋转90°，得到△AB'C,

・•・点户运动路线的长度/为圆心为点C,圆心角为90。，半径为CP的弧长,

90按7T?CP

=-Tl?CP,

180°2

・••当CP最小时，弧长最小,

根据垂线段最短，当时，CP最小,

・・・CP二任」

55

1126

・・1=—71o?———71,

255

6

故答案为:-71.

5

15.如图,VA3C的内切圆。。与AB、BC、C4分别相切于点。、E、F,且AD=2,VA3C的

周K为14,则6C的K为.

【解析】

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.根据切线

长定理得到Ab=AO=2，BD=BE,CE=CF,由VA8C的周长为14,可求8C的长.

【详解】解：・・・。0与A8,BC,C4分别相切于点O，E，F,

,,AF=AD=2^BD=BE，CE=CF,

•1△ABC的周长为14,

:.AD+AF+BE+BD+CE+CF=\4f

:.2(BE+CE)=\0,

BC-5.

故答案为：5.

16.如图，正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合），ZDAM=45°,点F在射

线AM上，且AF=6BE，CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：®ZECF=45°：②

A4EG的周长为1+当〃；®BE2+DG2=EG2;④△区厂的面积的最大值.其中正确的结论是

I278

一.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①④

【解析】

【分析】①正确.如图1中，在BC上截取BH二BE,连接EH.证明△FAE^^EHC(SAS),即可解决问

题；

②③错误.如图2中，延KAD到H,使得DH-BE,贝UACBE竺z^CDH(SAS),再证明AGCE经△GCH

(SAS),即可解决问题;

④正确.设BE二x,则AE=a-x,AF=叵其，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.

【详解】解：如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH.

图1

VBE=BH,ZEBH=90°,

.\EH=V2BE,VAF=V2BE,，AF=EH,

VZDAM=ZEHB=45°,ZBAD=90°,

AZFAE=ZEHC=135°,

VBA=BC,BE=BH,

.\AE=HC,AAFAE^AEHC(SAS),

AEF=EC,ZAEF=ZECH,

VZECIH-ZCEB=90°,ZAEr+ZCEB=90°,AZrOC=90°,

AZECF=ZEFC=45°,故①正确，

如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,MACBE^ACDH(SAS),

M

图2

.\ZECB=ZDCH,.\ZECH=ZBCD=90°,AZECG=ZGCH=45°,

VCG=CG,CE=CH,•,•△GCE/△GCH(SAS),/.EG=GH,

VGH=DG+DH,DH=BE,

，EG=BE+DG,故③错误，

・•・AAEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,

设BE=x,则AE=a-x,AF=。,

..c1A-"\if2IfaY12

..・•S=_AE,NF=-（（1—x）x——x—GXH-----------=—x—H—ci,

曲22、，2（44,212）8

・••当x=时，AEA尸的面积有最大值，最大值是:。，④正确；

28

故答案为①④.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运

用是解题的关键.

三、解答题，（共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

（/5Y1

17.计算：（2025+乃）°+2夜-3-——+2cos45°

XZ

【答案】4

【解析】

【分析】本题考杳了实数的混合运算，熟练掌握零指数幕、负整数指数暴、绝对值的性质及特殊角的三角函

数值是解答本题的关键.先根据零指数幕、负整数指数塞的意义，化简绝对值，化简三角函数，再算加减

即可.

（/yy1

【详解】解：（2025+万）°+2a-3-一拳+2cos45°

=1+（3-2>/2）-（->/2）+2X^

=1+3-2V2+V2+V2

=4

2

(3、V+4r+4

18.先化简，再求值：--+X+1+----------,其中x满足d+3x+2=0.

VI-XJx-l

【答案］匕」，-3

x+2

【解析】

【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程

的解法是解题的关键：先对分式进行化简求值，然后求出一元二次方程的解，进而问题可求解.

3(A+l)(x-1)X-\

【详解】解：原式二——r+-一—-X;——U

x-1x-1J(x+2)

X2-4

—_____x___X_-_\__

1(x+2『

工一2

----•

x+2，

把方程V+Bx+ZuO因式分解得：（%+1）（尢+2）=0,解得：X,=-1,X2=-2,

,/x—10,x4-2y-0,即x1,x—2,

・,•当x=-1时，则原式=—5--=-3.

-1+2

19.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿A8以4cm/s的速度向点8运

动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运

动，设运动时间为xs.

(1)当PQ〃8c时，求x的值.

(2)△APQ与ACQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能.请说明理由.

【答案】（1）—

3

40

（2）能，AP=—cm或20cm

9

【解析】

【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可；

（2）分类讨论：①②当△APQS^CBQ,利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计

算即可.

【小问1详解】

解：当尸Q〃8c时，人P：AB=AQ：AC,

\'AP=4x,AQ=30—3x,

.4x_30-3x

••5一30，

解得：r=—：

3

【小问2详解】

解：・・・BA=BC

・・・NA=NC,

APAQ

①当△APQS/XCQB时,/1=.

CQBC

4x303x

n即n：一=-------

3x20

10

解得:x=一

9

40

AP=4x=—(cm),

9

有空二版,

②当△APQs/\c伙2时,

BCCQ

即：把二四a

203元

解得：x=5或x=-10（舍去）,

.\M=4x=20(cm),

40

综上所述，当AP=1-cm或20cm时，△AP。与△CQ8相似.

【点睛】本题考杳了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质.熟练掌握相关知识点是解题的

关键.

20.倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称

如图【所示，该自行车的车轮半径为30cm,图2是该自行车的车架示意图，立管48=27。"，上管

AC=36cm,且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A,B,E在同一条直线上，且/A5O=75。.

座垫

图1图2

(1)求下管8c的长；

(2)若后下叉8。与地面平行，座管AE伸长到18cm,求座垫£离地面的距离.(结果精确到1cm.参考

数据sin75。h0.97,cos75°«0.26,tan75°«3.73)

【答案】(1)45cm

(2)74cm

【解析】

(分析［(1)在Rt^ACD中利用勾股定理求得AD即可二

(2)在过£作£凡LA8,在心△£：成中，利用三角函数求E/三AEsin75。，即可得到答案.

小问1详解】

在对ZXACQ中，AB=27cm,AC=36cm,

•••^=V272+362=45cm

••・8C=45cm,

答：下管8C长45cm.

【小问2详解】

过点E作ERLOB,垂足为F,

EC

图2

BE=AB+AE=21+\8=45（cm）,

/.£F=^Esin75°=45sin750》44cm

44+30=74（cm）,

答：座垫E离地面的距离是74cm.

【点睛】本题考查勾股定理与三角函数应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

21.“夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共50（）张.已知今年一月份入住普通床位老人3（）0人，入

住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人35（）人，入住高档床位老人100

人，共计收费58万元.

（1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？

（2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有实际入住高档床位数不得超过实际入住

普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养

老院企业2400元的补贴.经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档

床位的运营成本是每月200（）元/张，入住率为7（用.问该养老院应该怎样安排50（）张床的普通床位和高档

床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润二月收费一月成本+月补贴）

【答案】（1）普通床位月收费为800元，高档床位月收费为3000元；（2）该安排普通床位350张、高档床

位150张，才能使每月利润最大，最大为63000元.

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：（1）设普通床位和高档床位每月收费为x,y元，根据题意列出方程组解答即可；

（2）设安排普通床位a张，根据题意列出不等式解答即可；

试题解析：

解：（1）设普通床位月收费为x元，高档床位月收费为y元.

300x+90^=510000

根据题意得：｛350X+]o0y=580000

x=800

解之得；｛

y=3O0A0A0A

答：普通床位月收费为800元，高档床位月收费为3000元.

(2)设：应安排普通床位a张，则高档床位为(500-a)张.

由题意：0.7x(500—a)00.9xga

解之得：a>350

每张床位月平均补贴=2400:12=200元

设月利润总额为w,根据题意得：

W=90%x800a+70%x3000(500-a)-90%xl200a-70%x2000(500-a)+200ax90%+200(500-a)x70%=一

IO2Oa+42OOOO

Vk=-1020<0

Jw随着a的增大而减小

・••当a=350时，w有最大值=-1020x350+420000=63000

答：应该安排普通床位350张、高档床位150张，才能使每月的利润最大，最大为63000元

22.如图，A。是。。的切线，切点为A,A8是。。的弦.过点B作8c〃AO,交。。于点C,连接

AC,过点C作CO〃A8,交A3于点Q.连接AO并延长交8c于点交过点C的直线于点P,且

ZBCP=ZACD.

(I)判断直线PC与00的位置关系，并说明理由；

(2)若NBCP=30。,。。的半径为2,求扇形QAC(其圆心角<180。)的面积；

(3)若=夕C=6,求PC的长.

【答案】(1)直线尸。与。。相切,理由见解析。

(2)扇形的面积为日

27

(3)PC=—

7

【解析】

【分析】(1)连接OC,由A。是切线得。结合8C//AO推出OM_L3C,证

△/WM=/CM得角的等量关系，再通过A3〃CD和N8CP=NACD进行角的代换，最终证得

NOCP=90。，判定PC是切线；

(2)由NBCP的度数推出“R4C，进而得到/Q4C,利用等腰三角形性质求出圆心角/AOC,代入

扇形面积公式计算；

(3)由全等得AC=A8,由垂径定理得CM的长，证△OCMS2SC〃M得比例式，设QA=OC=〃，

OM=x,则A"=〃+x.结合勾股定理和AM的长度列方程求解OM与。C,再代入比例式求产。的

长.

【小问1详解】

解：直线PC与。。相切.

理由：连接OC.

PC

•.•AZ）是。。的切线，

.\OAA.AD,即NQM>=90°.

・•・/O4C+NC4O=90。①，

vBC\\AD,OAA.AD,

/.OM±BC,BM=CM（垂径定理），

又AM=AM,ZAMB=ZAMC,

••.△4BM%4CM（SAS）,

・•・NQ4C=ZOAB,即ABAC=2NQ4C,

-AB\\CD,

..ZBAC-ZACD（内错角相等）.

又乙BCP=NACD,

:"BCP=ABAC=2ZOAC.

•・・O4=OC,

ZOAC=ZOCA.

:"BCP=2/OCA.

vBC\\AD,则/ACM=/C4。②，

・•・由①②得，Z6tAC+ZACM=90°,

即ZOC4+ZACM=90°,

・•・2ZOCA+/OCB=90。，又NBCP=2ZOCA，

・•・4BCP+ZOCB=90°,即NOCP=90°.

・.・。。是。。的半径，

---直线PC与OO相切.

【小问2详解】

解：•.，ZBCP=30°,/BCP=/BAC,

ZBAC=30°.

；・ZOAC=15°.

在&Q4C中，ZAOC=180°-2xl5o=150°.

扇形。4C的面积S="°兀x2-=2.

【小问3详解】

解：•・•“3A修”。必，

AC=AB=9.

由BM=CM,得CM=-BC=3.

2

VZBCP+ZOCB=90°,/BCP+NCPM=90。（因OM_LBC）,

・•・ZOCB=ZCPM，又ZOMC=4cMp=90°,

：4OCMSACPM，

OCOM

PCCM

设。4=OC=r,OM=x»则AM=r+x.

由AB=9,BM=3,AMIBC,得AM=再二^=即，-+工=6及,

在RtZ\OCM中，r2=x2+32,联立得（6&—x『=/十9，

OCOM

PCCM

2721

：•W2=4A/2，

~PC~~

27

解得PC=亍.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与

性质、扇形面枳公式以及勾股定理的应用，解题的关键是连接圆心与切点构造直角三角形，利用平行线的

性质、角的等量代换推导垂直关系，结合全等或相似三角形建立线段之间的数最关系.

23.如图，在矩形ABCD中，点七为AO边上一点，连接的，过点C作1于点”，交A3于点尸.

(1)如图1,当8E=B。时，求证：；

(2)若AB=4，BC=6,连接求AH的最小值；

(3)如图2,矩形A8CO对角线AC与8D相交于点。，CF交.BD于点、G,若座平分ZA4D.

①判断0G与瓶的数量关系，并证明：

IAp

②连接斯，当的面积是矩形43co的一时，求——的值.

12BF

【答案】(1)见解析(2)AH的最小值为2

13

(3)①0G=一AF,证明见解析；②一

2-4

【解析】

【分析】(1)利用AAS证明正△"6；

(2)取3C的中点K,连接AK，由圆周角定理得到点”在以为直径的圆上运动，根据勾股定理计算，

得到答案；

(3)①过点。作QL〃八8交C广于点L,根据三角形中位线定理得到OA=；AF,证明OG=OL,等量

代换证明；

②根据勾股定理得到BC2=3必+4ab,证明△ABES.BCF,根据相似三角形的性质得到AE=空警，

BC

Q

根据三角形的面积公式、矩形面积公式得到4c2=12(活，得到〃二一。，计算即可.

3

【小问1详解】

证明：•四边形ABC。是矩形,

.•.NA=90。，AD〃BC、

:.ZAEB=/HBC,

\-CFlBE,

\?BHC90?,

在△A8E和△”（力中，

NA二NBHC

-ZAEB=/HBC,

BE=BC

.△ABE%HCB（AAS）；

【小问2详解】

解：•.•N8〃C=90。，

...点，在以8c为宜径圆上运动，

如图，取AC的中点K,连接AK，当点”在线段AK上时，A”取得最小值,

:.BK=CK=KH=3,

,/AB=4,

/.AK=yjAB2+BK2=>/42+32=5，

AH=AK-KH=5-3=2,即A”的最小值为2；

【小问3详解】

解：①。G='Af\

2

证明如下：如图，过点。作交C户于点L,

•.•0是AC的中点，

：.OL=-AF,

2

BE平分上ABD且BII±FG,

「.△89G是等腰三角形，/BGF=/BFG,

•；NOGL=NBGF,4OLG=4BFG,

:.ZOGL=/OLG,

:.OG=OL,

OG=-AF；

2

②如图2,连接石/，设0G=。，BG=b,

AED

BC

由①可知：AF=2OG=2a,BF=BG=b>

/.AB=2a+b,AC=BD=2(a+b),

在RtAABC中，BC-=AC2-AB2=[2(。+b)]2-(2a+b)2=3b2+4ab,

vZABE4-Z/7BC=90°,/BCF+/HBC=W,

:.ZABE=/BCF,ZBAE=ZFBC=90P,

「.△ABES&BCF>

AEABAE2a+b

/.一=一,即niI—=------,

BFBCbBC

17

解得；AE。：？,

BC

・.FAEF的面积是矩形ABC。的A,

.1（2a+b）b1

..一x20ax------------=—xtiCx（2a+b）,

2BC12

/.BC2=\2ab>

：.3b2+4ab=l2ab，

,8

：.b=-a,

3

.AF_2a_3

"«F-T-4,

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定

和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

24.如图I,抛物线>=〃£+（利+3卜+3（〃?工0）与X轴交于点4（4,0）,与），轴交于点8,在工轴上有一

动点E(，,0)(0＜，＜4