2026年高考数学复习（全国）重难点03 函数性质的灵活运用9大题型（试题版）

重难点03函数性质的灵活运用9大题型

【全国通用】

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周

期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进

行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重点考查基

本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参

数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，二轮复习时

需要加强这方面的训练.

知识梳理

知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域,在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性；④导数法.

⑵函数尸加㈤)的单调性应根据外层函数产外)和内层函数a⑴的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若/(x)是增函数，则-/(x)为减函数；若/(幻是减函数，则-/*)为增函数；

②若/(X)和g(x)均为增(或减)函数,则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数;

③若/〈幻〉。且“幻为增函数，则函数仄3为增函数，一!一为减函数；

f(x)

④若”.r)>0且f(.r)为减函数，则函数为减函数，」一为增函数.

/(%)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法:先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

⑶基本不等式法:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等'的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对干较更杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点2函数的奇偶性及其应用

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断J(x)与人-X)是否具有笠量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

依)+八田=0(奇函数)或人r)J(-x)=O［偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,

如f(%)+g0)J(x)-g(x)J(X)xg(x)J(x)+g(x)•

对于运算函数有如下结论：奇士奇二奇；偶士偶二偶；奇士偶二非奇非偶；奇X(+)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)

偶=偶.

(4)复合函数)，=,几式幻］的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为佥.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=皿上)G00)或函数/(幻=m(—).

a-1a+1

②函数/(*=±(优一尸).

③函数/(x)=log”叶丝=log”(1+&-)或函数/(x)=log“七丝=log“(1一-—)

x-nix-mx+mx+m

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④函数f(x)=loga(Vx+1+x)或函数/(M=log"(\/x+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

知识点3函数的周期性与对称性的常用结论

1.函数的周期性常用结论m是不为o的常数)

(1)若凡什。)=/工)，则T=a；

(2)若y(x+a)=/x-a)，则7=2a；

⑶若,则T=2n：

(4)若凡什〃)=/(：),则7=2。；

(5)若凡什。)=-/(：),则r=2"：

(6)若人工+。)可5+8)，则T=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数/U)满足Aa+x)=f(b-x),则)三心)的图象关于直线丫=—^―对称.

(2)若函数火处满足44+幻=；/(〃-),则)=/*)的图象关于点(咛步,0)对称.

(3)若函数./(x)满足几z+x)t/(Z?-x)=c,则产贝幻的图象关于点(色芋，^)对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

⑴若函数y=/(x)有两条对称轴尸a，x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,W.T=2(b-a)；

(2)若函数y-/(x)的图象有两个对称中心(〃,c),(b,c)(avA)，则函数y-/(x)是周期函数,且T=2(b-a)：

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴工=a和一个对称中心(。,O)(aV》)，则函数y=f(x)是周期函数,且

T=4(b-a).

知识点4施象函数及其解题策略

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用)可口)表示，抽象函

数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集丁身,

是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

举一反三

【题型1函数的单调性及其应用】

【例1】(2025•广东清远•一模)设函数/■(%)=%—：则函数()

A.奇函数，旦在(0,+8)单调递增

B.奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.偶函数，且在(0,+8)单调递减

【变式1-1](2025・安徽合肥・一模)若/(幻=]。"+1'X<1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()

Unx+2a,x>1

A.(l,4-oo)B.[1,+co)C.(2,+co)D.[2,4-co)

【变式1-2](25-26高一上•四川用山・月考)已知函数/Xx)的定义域为R,且它的图象关于％=-2对称，当

%,<x2<一2时，—)>。恒成立，设a=/(-3),b=/(0),c=/(2),则a,b,c的大小关系为()

X1-X2

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

【变式1-3](2025•黑龙江大庆•一模)已知函数/(%)的定义域为R,/(l+x)=f(3-x),且/'(%)在[2,+8)上

单调递减，则不等式/*(2x—3)>f(3)的解集是(〉

A.(-oo,3)B.(-oo,2)C.(3,+oo)D.(2,3)

【题型2函数的最值问题】

[例2](2025.宁夏陕西•模拟预测)已知函数/(%+1)=2、-2-巴则f(%)在[-1,1]上的最大值为()

A.-B.—C.0D.I

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【变式2-1](2025・湖南•模拟预测)已知函数/•(%),则“Vx€(0,+8),/(外22”是“/(x)在(0,+8)上的最小

值为2”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式2-2](2025・广东•模拟预测)已知/(均是区上的奇函数，f(x-l)-f(3-x)=0,若/Q)在[0,1]上单

调递增,且*1)=2,则/(%)在R上的最小值是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【变式2-3】(2025•新疆•三模)已知函数/G)=In|舒|-5若/'(x)在区间(风机?)上有最大值，则实数机

的取值范围是()

A.(V2,V3)B.(V2,2)C.(2,3)D.(V3,3)

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2025•陕西汉中•一模)若函数f(%)=a+莪三为奇函数，则实数。=()

A.-1B.1C.2D.4

【变式3-1](2025・安徽・二模)已知函数/(%)=5(/-2%+2),下列函数中为偶函数的是()

A./(x)+1B./(x)-1C./(x+1)D.f[x-1)

【变式3-2](2025•广西南宁•模拟预测)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当xV0时/(%)=/+%,则f(2)

的值为()

A.2B.-2C.6D.-6

【变式3-3](2025•福建漳州•模拟预测)定义在R上的奇函数/(外满足：Vxnx2G(0,4-oo),且.q,小，

色上皿>1,若/(2)=2,则不等式/'(外>》的解集为()

A.(0,2)B.(2,十8)C.(-co,-2)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+co)

【题型4函数的图象问题】

【例4】(2025•甘肃武威・模拟预测)如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为()

A./(x)=ln(Vx2+1+x)B./(x)=ln(Vx24-1-x)

C./(x)=InVx2+1+xD.f(x)=InVx24-1—x

【变式4-1](2025・四川成都•一模)已知定义在/?上的奇函数/Xx)在[0,+8)上的图象如图所示，则不等式(％-

A.(-3,0)U(75,3)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-03,-3)U(0,3)D.(-oo,-3)U(v3,3)

【变式4-2](2025.四川成都.模拟预测)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-8,8]上的大致图象，则

该函数可能是()

C/(')=黑D.八外二平箸2

【变式4-3】(2025•贵州遵义•模拟预测)已知函数/•(%)的部分图象如图所示，则/•(%)的解析式;可能为()

A.八幻=后B.左)=最

C〃)=-系D./(%)=言

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5】(2025•湖南•一•模)已知/'(x),g(x)均为定义在R上的函数，；(x-1)+g(x)=x,/(x)+1=g(l-x)+

x,若/'(2%+1)的图象关于直线％=-1对称，且g(0)=l,则g(i)的值是()

A.463B.464C.465D.466

【变式5-1](2()25•吉林•模拟预测)已知定义域为R的奇函数/(%)满足f(x)+/(2-乃=2,则()

A./(2)=0B./(10)=10

C./(%)的最小正周期为2D.%=1是曲线'=/(工)的一条对称轴

【变式5-2](2025・湖南郴州•一模)函数/(%)对匕£/?,/(无+2)=/(4-%),且/(%+6)为奇函数,则下列

说法正确的是()

A.若％W(0,3]时/'(%)=2H则f(8)=4

B./(%)的周期为6

C./(%)的图象关于(一6,0)中心对称

D.f(2025)+/(3)H0

【变式5-3](2025•河北邢台•三模)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)为偶函数，/(4+%)=-/(4-%),

则下列说法错误的是()

A./(%)的图象关于(4,0)中心对称

B./(%)的周期为8

C.7(2025)=/(I)

D.当％G[0,2]时，/(x)=x2-2x,则f(7)的值为一1

【题型6类周期函数】

【例6】(2024.云南昆明.二模)定义“函数y=/(均是。上的a级类周期函数”如下：函数y=f(x),x€D,对

于给定的非零常数a，总存在非零常数7,使得定义域。内的任意实数%都有好(幻=/(%+7)恒成立，此时

T为了(%)的周期.若y=/(%)是[1,+8)上的a级类周期函数，且7=1,当工£[1,2)时，/(%)=2%+1,且、=

f(«)是口,+8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.七,+8)B.[2,4-00)C.E，+s)D.[10,4-co)

【变式6-1】(2025•安徽合肥•模拟预测)定义在R上的函数/'(X)满足/'(%+1)=且当％e[0,l)M,/-(x)=

1一|2x—1].当xW[m,+8)时，/⑺W*则rn的最小值为()

A..—27BD.—29C厂.—13D门.—15

8844

【变式6-2](24-25高一上•江西吉安・期末)设函数/(%)的定义域为R,且f(%+4)=2/(%),当工€(0,4]时,

/(A)=2xz-8x,若对于(-8"],都有/(%)之一称恒成立，则I的取值范围是()

A.(-8,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-co,-1]

【变式6-3】(2025•江西新余•一模)若函数y=/(%),%EM对于给定的非零实数a,总存在非零常数丁，使

得定义域M内的任意实数》,都有af(x)=f(x+7)恒成立，此时7为/⑺的假周期，函数y=/(外是M上的Q

级假周期函数，若函数y=/(x)是定义在区间[0，+8)内的3级假周期函数且7=2,当XEQ2),/(%)=

2xx1

2-,函数g(x)=-21nx+；/+%+m,若闩必E[6,8],3x2G(0,+8)使。(工2)一

(/(2-x\l<x<22

<0成立，则实数m的取值范围是()

A.(-co,B.(-oo,12]C.(-oo,39]D.[12,4-oo)

【题型7抽象函数的性质及其应用】

(例7】(2025•辽宁抚顺・一模)已知定义域为｛划3丰0｝的函数/(x)满足/(%+y)[/(x)+/(y)]=/(x)/(y),

f(l)=2,且当％€(0,+8)时，f(%)>0恒成立，则下列结论正确的是()

A./(|)=6B./(2x)=2fW

C./(%)为奇函数D./(%)在区间(0,+8)是单调递增函数

【变式7-1](2025・甘肃,模拟预测)已知偶函数八%)满足：尸(%)+产(％+2)=4,且/(均/G+乡〉。，

若/(2)V。则”2025)=()

A.1B.V2C.-V2D.-1

【变式7-2](2025•云南昆明•三模)函数y=f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与％轴有且仅有一

个交点，对任意义,yGR,/(x)+f(y)=f(J/+y2),则下列说法正确的是()

A.f(2)=2B.f(x)为奇函数

C.f(x)在(0,+8)单调递减D.若f(x)W4,则工£[-2,2]

【变式7-3](2025•全国•模拟预测)若定义在R上的函数f(x)满足f([*)=fa),且f(2+x)+f(2—x)=

6J(3)=6,则下列结论错误的是()

A./(8+x)=/(x)B./•(%)的图象关于直线％=4对称

C./(201)=3D.y=f(x+2)-3是奇函数

【题型8函数性质的综合应用】

【例8】(2025•陕西・模拟预测)己知函数/(%)的定义域是RJQ-l)的图象关于点(1，。)中心对称，若/(3)=0,

且对任意%1，的6(-8,0),不。0，都有&±出<0,则不等式金3工0的解集为()

必一X]X

【变式8-1](2025・安徽合肥•模拟预测)定义域为R的函数f(x),其图象关于直线x=1对称，已知f(x+2)-1

为奇函数，且f(l)=0,则)

K—1(

A.2023B.2024C.2025D.2026

【变式8-2](2025・广东广州•模拟预测)已知函数/'(X)的定义域为R,且满足/"(%)=-f(2-x\f(x+2)为

偶函数，当工€[1,2]时，fW=ax2+b,若/10)+/(3)=6,则f(g)=()

广

A..-32B.-11C.--4D.--1-7

9339

【变式8-3](2025•江西九江•一模)定义在R上的函数f(%)满足:①对任意％eR,都有/(2+%)=/(I)-/(-x)；

②/(2外的图象关于直线％=1对称：③/'(2)=二今则下列说法正确的是()

A.f(x+2)是奇函数B.f(x+l)是偶函数

【题型9函数新定义问题】

【例9】(2025•甘肃甘南•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为0,若VxWD,都有/Q+£)>/(%),£€N*,

则称函数f(x)为“t距”增函数.若函数/•(x)=2.+a|xl(QWR),且/•⑶是(—1,+8)上的“3距”增函数，则实数

取值范围为()

A.(-l,+oo)B.(-3,4-00)C.(-oo,-4)D.(-co,-2)

【变式9-1】(2025•甘肃定西•模拟预测)若定义在Z上的函数/'(x)满足对任意x,yEZ均有/'(%+y)=

/W/(2-y)+/(2-x)/(y),则称/⑺为“S-2函数”.已知/(%)为“S-2函数”,且/⑵=1,/(-I)<0,

则/(0)+/(47)=()

A--TB.0C.当D.I

【变式9-2】(2025•上海闵行・一模)如果喏p,则q”和“若q,则p”中有且仅有一个真命题，称p与q具有笺一

关系”.已知函数y=/(*)的定义域为R，p:y=f(x)为偶函数，贝Up与下列选项中的q具有—关系”的为()

A.q：对任意都有一/a)B.q：对任意％€R都有7•(一%)豆/(%)

C.q：对任意％WR都有f(一入)=D.q：对任意xWR都有/(-%)=/(|加)

【变式9-3](2025•上海浦东新•模拟预测)设函数/'(%)的定义域为D,若存在实数T(T>0),使得对于任意

xeZ),都有/X%)V/(X+T),则称/(%)为"7-严格增函数"，对于"T一严格增函数",有以下四个结论:

①"7一严格增函数"fG)一定在D上严格增；

②"7—严格增函数”/(%)一定是"九7一严格增困数”(其且？122)

③函数/Q)=田是"7-严格增函数”(其中田表示不大于x的最大整数)

④函数/(%)=%—M不是”了一严格增函数”(其中㈤表示不大于工的最大整数)

其中，正确的结论个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

课后提升练

一、单选题

1.(2026.湖南株洲•一模)已知/•(》)是奇函数，g(x)是偶函数，其定义域均为R,且/'(x)+或M=%。+1)，

则/⑴-g(i)=()

A.0B.2C.-2D.1

2.(2026・河北邢台—模)函数/(%)=5图象的对称中心的坐标为()

A.(1,-Z)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

3.(2026・山东・一模)已知奇函数/(幻在［-2,-1］上是增函数，且/(一2)=6,/(-I)=7,则函数f(x)在［1,2］

上的最大值是()

A.6B.-6C.7D.-7

4.(2026•福建漳州•模拟预测)若函数/Xx)=ln(x+^/7k)是定义在R±的奇函数，则不等式八^)+

f(x—2a)<0的解集是()

A.(-2,1)B.(0,1)C.(-1,2)D.(-8,-1)U(2,+8)

5.(2026♦黑龙江大庆•二模)已知函数/"(外是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，当xe［0刀时，/■(>)=

x2+x,RlJf(2024)+/(2025)+f(2026)=()

A.4B.2C.0D.-2

6.(2026•河北沧州•一模)若定义在R上的函数/(x)在[0,+8)上单调递增，“又一1)的图象关于直线％=1对

称，/(-3)=0,则不等式。-l)/(x-2)>0的解集为()

A.[-2,1]U[5,4-00)B.[-1,1]U[5,+8)

C.[-1,1]U[3,5]D.[0,1]U[2,5]

7.(2025•山东日照•一模)定义在R匕的函数y=/(%)满足以下条件：©/(-%)-/(%)=0；②对任意%〜小W

[0,+8),当％i*不时都有"二：二[七)>0,则/(一遍),/5),/(—3)的大小关系是()

A./(IT)>/(-3)>/(-x/5)B./(n)>/(-V5)>/(-3)

C./(IT)<f(-3)</(-V5)D.f(n)</(-V5)</(-3)

8.(2025•陕西西安・模拟预测)已知函数/(%),对任意的居y£H,恒有/(%+y)+/(x-y)=2/(幻•f(y),

且/(l)=5则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./(%)为奇函数C./(%)>-1D./(2025)=1

二、多选题

9.(2026•陕西西安•一模)已知函数/'(X)是定义域为R的奇函数，gW=(x-2)/(x),若g(4-x)=ga),

/(I)=2,f⑵=0,则()

A.g⑶=2B.g(5)=-6

C./(%)是周期为4的周期函数D.•⑴=2

10.(2025•海南省直辖县级单位•模拟预测)函数八%)是定义在R上的奇函数，满足/(%+1)+f(x-1)=

f(x),/(%)在区间[03上单调递减，且03,则()

A./(6)=U

B./(2025)+/(|)=6

C./(幻关于直线3=3对称

D.在原3]上单调递增

11.(2025•重庆沙坪坝•模拟预测)已知函数/'(幻满足：①定义域为(一8,0)U(O,+8),②/(x