天津市和平区某中学2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷（解析版）

2025-2026-1期末调研九年级数学试卷

一,选择题（共12小题）

1.计算6-32、4得（）

A.-30B.-12C.36D.42

【答案】A

【解析】

【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可.

【详解】6-32X4=6-9X4=6-36=-30，

故选A.

【点睛】本题考查J'含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键.

2.如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（）

珀

正面

A+DT^

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查立体图形的三视图，根据三视图的定义求解即可.

【详解】解:由图可得，俯视图是।------------，

故选：B.

3.估计J万-1的值在（）

A2到3之间B.3到4之间

C.4到5之间D.5到6之间

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可.

【详解】解：后，

・•・4<如<5，

A3<V17-1<4；

故选B.

4.下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

说

蝴蝶曲线。笛卡尔班心曲为«卡西尼卵形线赵爽弦图

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行

逐判断即可：如果个平面图形沿条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形：把•个图形绕着某•个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

5.截至2025年2月19口，国产目影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币12500000000元，成为春节档

票房口碑最好的电影；将12500000000这个数用科学记数法可以表示为（）

A.O.125xlO,0B.12.5x10'°C.1.25xlO10D.1.25x10"

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中1W10,

〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：12500000000=1.25x1（）1°,

故选：C.

6.下列各式的值等于；的是()

A.cos300+sin60°B.tan450-sin30°

C.石xian30°D.73-tan60°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关犍；根据特殊角三角函

数值求解即可.

【详解】解：cos30°+sin60°=—+—=75，tan45o-sin30o=l-^-=^,

2222

V3xtan30°=V3x—=HV3-tan60°=>/3->/3=0：

3

故选项B正确，其它选项错误；

故选:B.

7.化简生一一二的结果是()

x2-4x+2

A.x—2B.—!—C.---D.x+2

x-2x+2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键.

原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值.

2xx-2x+21

【详解】解：原式=—-~~~—=———=~,

(x+2)(x-2)(X+2)(X-2)(X+2)(X-2)X-2

故选：B.

,

8.若)，=一巴上1图象上有三个点(TyJ,-：,％，fyO3，则,，力，力大小关系是()

Xk47k47

<必必<必为

A.x<%B.<yc.<y<%D.y2<%<%

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查了比较反匕例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数

k

），=一（人/0）,当左＞0时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内），随X增大而减小，当

人

攵＜0时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内），随X增大而增大.

先证明一（。2+1）＜0,进而得到反比例函数y=-"l的图象经过第二、四象限，在每个象限内，），随x

X

增大而增大，据此即可得到答案.

【详解】解：•・・/30，

Atf2+l＞b

-（4~+I）V0,

・•・反比例函数），=-幺二1的图象经过第二、四象限，在每个象限内），随工增大而增大，

X

•••（T，y），f-7^2bI；，％）都在反比例函数图象上’且一1＜；＜。＜:’

・•・y3＜0＜y＜必，

故选：C.

33

9.已知为,々分别是方程V-4x+3=0的两个根，则代数式一+一的值为（）

*x2

A.4B.5C.2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到玉+占=4/避2=3,整体代入法求值即可.

【详解】解：・・・M，X2分别是方程d—4x+3=0的两个根，

&+x2=4小42=3,

333（%+元）3x4）

x,x2xxx23

故选A.

10.如图，在直角坐标系中，点4,8的坐标分别为4（0,2）,8（-1,0）,将△AB。绕点O顺时针旋转得

到公A4。，若则下列结论中错误的是（）

A.△44。的面积为i

B.0A〃AB

c.0A被AM平分

D.点A到X轴的距离为：百

J

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形旋转的性质和三角形的面积公式可判断A；根据同旁内角互补两直线平行可判断B；证明

。W二;A旦，而=4B>A。可判断C；过点A作入•轴的垂线，垂足为从先求出Sin4430=芈，

然后根据sinNAQH=禁求出A”=生叵可判断D.

。415

【详解】解：•・•点A坐标为（0,2）,点B坐标为

：.OA=ZOB=lf

,,^OAB=-X1X2=1.

由旋转的性质可知，S-O==1.故A正确.

令。用与AB轴的交点为M,

由旋转可知，幺。用=乙4。打=90。，

・.•OB,±AB,

・・・ZAMO=90。，

・•.ZAMO+ZA.OB,=180°,

・•・//A8.故B正确.

令44与），釉的交点为N,

•・•/BOB,+NAOq=/BOB1+^ABO=90°,

・•・/ABO=/AOB-

由旋转可知，NABO=冽,

・•・/Bi=NAOq,

・•・NO=NB].

又：NA+Ng=/AON+/BQN=90°,

:.必=绍ON,

・•.AN=ON.

即ON二344，

•・•4冉=AB>AO,

・・.ON/AO,

2

则44未平分AO.故c错误.

过点A作x轴的垂线，垂足为从

・・•AB〃AO,

・•・ZJ\OH=ZABO.

在中，

A6=jF+22=5

AO2_25/5

・•・sinZABO=

・•・sinZAfiH=—

15

在RSA0〃中，

AH

sinZAOH=-^,

10A

._26

••----=-----,

25

・4口40

即点A到x轴的距离为警.故D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查坐标与图形变亿-旋转，坐标与图形的性质，平行线的判定，等角对等边，勾股定理，解

直角三角形，熟知图形旋转的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.

11.如图，在VA3C中，AB=AC.CB=\2,S^BC=48.按照如下尺规作图的步骤进行操作：

①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与AB，AC分别相交于七两点；

②分别以点为圆心；以大于goE的长为半径画弧，两弧相交于点尸：

③作射线AF与BC相交于点G；

④分别以AC为圆心，以大于1.AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N；

2

⑤作直线MN.在直线MN上任意取点/）,连接CRGP.

则周长的最小值为（）

C

M

ADB

A.14B.10C.8D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握尺规作图的方

法和步骤是解题的关键.

由作图方法得Ab平分N8AC,垂直平分AC,利用三角形面积公式得到AG=8,再由线段垂直

平分线的性质得到=根据△CPG周长=CQ+PG+CG=AP+PG+6NAG+6,得到当点

A,P,G共线时，AQ+PG有最小值，即△CPG周长最小，AQ+PG=4G=8,进而可以解决问题.

【详解】解：连接AP，由作图方法得4尸平分/B4C,MN垂直平分AC，

VAB=AC,Ab平分N8AC,

AAGlBC,BG=CG=-BC=-xl2=6,

22

**,S/\A8C=48,

：.-BCAG=-x\2AG=4S,

22

・•・AG=8,

•・LWN垂直平分AC,

:・CP=AP,

:.△CPG周长=CP+PG+CG=4P+PG+6NAG+6,

・•・当点4,P,G共线时，AP+PG有最小值，即周长最小，

此时AP+PG=AG=8,

・•・ACPG周长的最小值为8+6=14,

故选：A.

12.如图，正方形A8CD中，AB=2,AC,3。相交于点。，E,厂分别为边8C,CD上的动点（点

E，产不与线段3C,CO的端点重合）且3E=C/，连接Of,OF,EF.在点£,厂运动的过程

中，有下列结论：

①EF的范围是V2<EF<2：

②当E、尸分别是BC和C。中点时，的面积最小，面积最小值是g；

③BE有两个不同的取值使得即与△BQE的面积之和为g；

④当ACEF与ABOE的面积之和最大时。石=二.

4

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】①设区E=b=x（O<工<2）,则CE=2—x,再在RtZ\CEF中，运用勾股定理求解即可；②

根据正方形的性质可得O3=OC,NOBC=NOCD=45。,根据全等三角形的判定和性质可得

OE=OF,/BOE=/COF,推得NEO尸=/8OC=90。，则可证△。所是等腰直角二先形，由OE

的最小值是。到BC的距离，即可求得。石的最小值1,根据三用形面积公式即可判断选项②错误；③根

据已知先求出△（?£/与△3OE的面积之和的表达式，再令其等于g并求解即可；④根据③的式子结合二

次函数的性质判断即可.

【详解】解：①设AE=C/=x（Ovxv2）,

•.•在正方形A9cD中，AB-2,

ACE=2-x,N3C£>=90°,

・•・EF=J（2-尤

=V4-4x+x2+12

=缶2-4X+4

—^2（x—1）+2‘

*.*a=2>0.

2

・••当£=1时，^in=j2（l-l）+2=>/2；

当工=0或x=2时，EF=2,

V0<x<2,

：・CwEF<2,故①错误；

②•.•四边形ABC。是正方形，AC,80相交于点。,

:.OB=OC,ZOBC=ZOCD=45°,

在△O8E和△OC/中，

OB=OC

</OBE=/OCF,

BE=CF

:.^OBE丝△OCb（SAS）,

:.OE=OF,/BOE=NCOF,

/EOF=NBOC=90。,

.&OEb是等腰直角三角形，

.•.△OM的面积=,。七2,

•••当O石最小时，△€?所的面积最小,

•・•当QE_LBC时，0E最小，此时0七二0尸=，BC=1,

2

所面积的最小值是1x1=',故②正确；

22

③由题意得，MEF与ABOE的面积之和=』8E•怎£+工CECF

11,

=—x+x——x~

?7

9

当和为;时,+—=

82

•・..I邛或可

2

解得％=三叵BO.382,9=土/5=2.618>2（舍去），

:.跖只有一个取值使得ACEF与ABOE的面积之和为g,故③错误;

I（3Y9

④由③得，△CEF与的面积之和二一一x一一+—，

2（2）8

V<7=--<0,

2

39

・••当1二大时，△（7即与AB。石的面积之和有最大值，为一，

28

此时CE=2-x

=2-2

2

=1，故④错误.

综上所述，正确的只有②，

故选A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定

和性质，灵活运用所学知识是解决木题的关键.

二.填空题（共6小题）

13.在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机

取出一个球是白球的概率是.

【答案】

3

【解析】

【分析】用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率.

【详解】解：•・•不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球，

2I

・•・从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是-------=-

1+2+33

故答案为：—.

3

【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

14.计算：（一^了./二.

【答案】一/

【解析】

【分析】本题主要考查了积的乘方，哥的乘方和单项式除以单项式的运算，先计算积的乘方和幕的乘方，再

计算单项式除以单项式即可得到答案.

详解】解：（一/）'+/=-〃6=一々4,

故答案为：—/.

15.计算/（/形—一l6\2）°20/-（/7—2+l73\2）021的结果是.

【答案】V2+x/3##x/3+V2

【解析】

【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幕乘法的逆运算解答.

【详解】解：（夜一6广°.（血+百广

o

=（应+⑹•（&_6f-便+百广0

2020

=（&+G）.［（0-.（应+6）］

=>/2+由，

故答案为：V2+x/3.

【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数暴乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，

熟记运算公式是解题的关键.

16.在平面直角坐标系中，将直线y="+3沿y轴向下平移2个单位长度后与X轴交于（-1,0）,则上的值

为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征.平移中点的变化规律是：横

坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可.

【详解】解：将直线>=履+3沿y轴向下平移2个单位长度后得到旷=丘+3-2,即y="+1,

•・•平移后的直线与x轴交于（TO）,

:.0=-k+\,

解得：k=\,

故答案为：I.

17.如图，在菱形ABCO中，-7）48=60。，AB=6,E为边BC的中点，连接OE与AC相交于点

（1）线段。E的长为：

（2）若G为的中点，则线段FG的长为.

【答案】©.3G②.x/21

【解析】

【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形

的性质是解题的关键.

（1）连接30,根据菱形的性质可推出CO=AB=5C=6,N8CD=ND48=60。，则可证明

△BCD是等边三角形，得到。石_LBC，据此解直角三角形即可得到答案；

（2）连接可证明所=尸。，得到/FBC=NECB=工/BCD=30。,解Rt/XCM得到

2

BF=CF=2g，再证明/阳6=90。，求出BG=348=3,则FG=dBG?+BF?=库・

【详解】解：（1）如图所示，连接B。

•・•四边形ABC。是菱形，

AAB//CD,AD//BC,CD=AB=BC=6,

・•・/DAB+/B=/BCD+ZB=180°,

・•・4BCD=/DAB=3°，

・•・△BCD是等边三角形，

•・•E为边BC的中点，

:・DE工BC,

：・£>E=CDsinZDCE=6x—=373，

2

故答案为：3;

（2）如图所示，连接3产,

由（1）可得△38是等边三角形，DE1BC,

・•・FB=FC,

・•・NFBC=ZFCB=-/BCD=30°,

2

CE3

在RtACEF+,CF==2>/3,

cosZECFcos300

；・BF=2>/3，

•：AD//BC,

・•・ZABC=180°-/DAB=120°,

・•・/FBG=/ABC-NFBC=90°,

•・・G为AB的中点,

:.BG=—AB=3,

2

••・FG=yJBG2+BF2=亚,

故答案为：V21.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形VABC和以AB为直径的半圆组成的•个

图形.VA8C的顶点均落在格点上.

（1）线段AC的长为；

（2）若点尸为半圆弧的中点，点Q为VAZJC边上一点，且直线尸0恰好平分这个图形的面积.请用无刻度

的直尺，在如图所示的网格中，画出点?和点Q,并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）

【答案】①.V29②.取O,E,EG,连接分别交网格线于点。”，连接。〃交A8

于点P，连接尸C,连接交于点J；连接0C交网格线于点K；连接JK交网格线于点L：连接0L交

于点。，则点P,Q即为所求

【解析】

【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键：

（1）根据勾股定理即可求解；

（2）取O,E,F,G,连接DE,尸G,分别交网格线于点。,〃，连接。，交A3于点P,连接尸C,作

O£〃PC交AC于点Q,则点P,Q即为所求，根据P0,。。平分了四边形HAQ?,找到使得

S&POT=S/0C的点。，即可求解.

【详解】解：（1）根据勾股定理可得AC=JF”=JK，

故答案为：V29.

（2）如图，点尸和点。即为所求;

取D,E,F,G,连接力E,/G,分别交网格线于点。,方，连接OH交44于点P,连接PC,连接交

A5于点/；连接0C交网格线于点K；连接JK交网格线于点£；连接0L交于点Q,则点RQ即为所

求：

理由如下，连接AP,3P,PQ,设PQ,。。交于点了，

V

•；P是AB的中点

・•・弓形PAP8的面枳相等，

则使得，。平分四边形B4CB,

•・・。是的中点，

・•・PO,OC平分了四边形PACB,

•••QJCL是平行四边形，

・•.OQ//PC

**•§&POQ=SQQC,则，也丁=SJQC

***SjPQ=S四边形PQBC，即即为所求,

故答案为：取。,E,F,G,连接。分别交网格线于点0,〃，连接0,交A3于点P,连接

PC,作0心〃PC交AC于点Q.

三,解答题（共7小题）

19.解方程：

（1）（3x-2）（x+l）=8x-3

（2）（2x-1）2=（3-x）2

—尖■=¥

4

（2）X1=—»/=-2

【解析】

【分析】本题主要考杳了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

（1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；

（2）先移项，再利用平方差公式分解因式，进而解方程即可.

【小问1详解】

ft?：V（3x-2）（x4-l）=8x-3,

・•・3X2-2X+3X-2-8X+3=0»

A3X2-7X+1=O,

*.*a=3,b=—7,c=I>

AA=(-7)2-4x3xl=37>0,

.-b±y/b2-4ac7±yfyi

••X=-------------------=-----------'

2a6

解得寸上畀，寸上兽;

【小问2详解】

解：・・・(21)2=(3-力2,

.\(2X-1)2-(3-X)2=0,

.\(2x-l+3-x)(2x-l-3+x)=0,即(x+2)(3x—4)=0,

3%一4=0或x+2=0,

4

解得内=§，x2=-2.

20.在平面直角坐标系中，点0(0,0),4(2,0),8(2,26)，C,。分别为。4,。8的中点.以点。

(2)如图②，当点C落在。8上时，求点M的坐标和8。的长；

【答案】(1)

⑵点川坐标为6D'的长为2百

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形，旋转的性质，两点间的距离公式，熟知锐角三角函数

是解题的关键

(1)过C作C'”JLr轴于点H,根据线段中点的定义得到点C和点。的坐标，进而得到OC,OD的长,

则由旋转的性质可得O。，OC的长，再解直角三角形求出4。8=60。，进而求出NCOH=30。，再

解直角三角形求出C“，O”的长即可得到答案；

(2)当点C'落在08上时，过以作O'G_Lx轴于点G,求出ND'OG=6()。，解直角三角形求出OG,

O'G的长，可得点以的坐标，再根据两点间的距离公式可得3D’的长.

【小问1详解】

解：过C'作。7/_1_.1铀于点儿如图：

.­.OD=^（l-0）2+（＞/3-0）2=2,

vA（2,0）,。为04中点，

・•・0C=1

•.•以点。为中心，逆时针旋转AOCD,得AOC'D,

：,OD,=OD=2,OC=OC=\

•・•点廓落在），轴上，

.­.0（0,2）：

•・・A（2,0）,B（2,2G）,

:.ABLx轴，

・♦/AnnAB26质

••tanZ.AOB==-----=，3»

OA2

/.ZAOB=60°=/COD=NCW',

由旋转的性质可得/COD=/COD，=60°

.•./。'0"=90。-60。=30。，

1

CH=OC•sin"O"=—,OH=05cos/C'OH=—,

22

C

故答案为：（0,2）,

【小问2详解】

解：当点C落在OB上时，过点加作O'G_Lx轴于点G,如图:

由(1)知ZAO3=60。，ZCODr=60°,OU=2,

:"UOG=180°-ZAOB-ZCOI7=60。,

・•・D'G=OD'・sin/D'OG=50G=O。•cosAD'OG=1

・.・网2,26),

?.80=J(2+l『+(26一⑸=2x/3;

・•・点以的坐标为(-1,6),30的长为2G.

21.已知，C为以AB为直径的半圆上一点，且半径CO_LA8于。，D是0C的中点.

求/C。尸和NC/D的大小;

（2）如图②，连接AO并延长交半圆于点尸，过点尸作。。的切线，与OC的延长线交于点P,若

C尸=2,求线段P厂的长.

【答案】(1)ZCOF=60°,ZCFD=30°

（2）6

【解析】

【分析】（1）证明E/垂直平分C。，得出b=O9，根据等腰三角形的性质证明/。尸。二4/。尸。.证

2

明为等边三角形，得出/。0"=/。尸0=60。，即可求出结果；

（2）连接。尸，根据切线的性质得出NOe=9（）。，证明NDFP=NPD产,根据等腰三角形的判定得出

PF=PD，设Pr=P/）=x,则。。=CO=x-2,OF=OC=2CD=2x-4,根据勾股定理得出

（2X-2）2=（2A--4）2+X2,求出x的值，即可得出答案.

【小问1详解】

解：・.・OC_LA5,

AZCOB=90°.

\EF//AB,

."ODF=90。,即OC_LEP.

DOC中点，即EF垂直平分CO.

\CF=OF.

^CFD=-/.CFO.

2

•/OC=OF,

：.OF=OC=CF.

.•.9。尸为等边三角形.

ZCOF=ZCF（9=60°.

ZCFD=30°.

【小问2详解】

Q"为0O的切线，

「.NO"=900,

AZOM+ZDFP=90°，

•••04=5,

:.ZDAO=ZOFA.

:.ADAO+ZDFP=90°.

又・.・NCO4=90。，

/.ZZMO+ZAZX）=90°

ZADO=/DFP.

・.・ZADO=ZPDF,

:.ADFP=/PDF.

:.PF=PD.

设PF=PD=x,则。Q=CO=x—2,OF=OC=2CD=2x-4,PO=OC+PC=2x-2,

在RtZ\PO/中，PO?=OF2+FP?，

/.（2r-2）2=（2x-4）2+x2.

解得玉=2（舍），X2=6.

:.PF=6.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，

解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质.

22.“天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇

在摩天轮客舱中上升到点8位置时,测得。处俯角是36.9。,测得C处俯角是66。,测得大处客角63.6。,

摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度.(参考

数据：lan36.90工0.75，tan63.6°«2.0,tan66°x2.25)

【答案】小宇此时所在4处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米

【解析】

45

【分析】过点8作8Q_LCO的延长线于点H,设O"=x米，解RfABOH得HB=-x米,。8二一米,

33

8

cQ2大+1°

进而得。4=一1米，HC=(-x+10)米，解RlABHC,得与—=2.25,求出k的值即可得出结论.

33-x

3

【详解】解：延长C。，过点3作6。_LCO的延长线于点H,

在RfMOH中,N=36.9。

设=x米，则tan/H80二2.

HB

.OH_xx_4

••tiD---------------------------------——X

tanZHBOtan36.90.753

乂HO2+BH2=OB2

・•・OB=JHO2+BH2=+gx)2=|x米

•；OA=OB

/.04=3x米

3

又AC=10米

5Q

・•.HC=HO+OA+AC=x+-x+]0=-x+\0

33

在RfACBH中,tanZHBC=—.

HB

-x+10

/.^―.-----=tan66=2.25

4

—x

3

解得，x=30

・・・HO=30米，A0=』x30=50米

3

・•・HC=30+3x30+10=90米，即3处距离地面高度为90米，

3

此时，摩天轮最高点距典地面的高度为：2AO+AC=2x50+10=I10米，

所以，小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米

【点睛】本题主要考查了解直角三角形-一仰角和俯角，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关

键.

23.已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上.小桐从家骑自行车出发，途经学校，在

学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆.在博物馆停留一段时间后，乂骑车返回了家

中.下图描述了这一过程中，小桐离家的路程)，(m)与所经过的时间x(min)之间的函数关系.

请根据相关信息，回答卜.列问题:

(1)①填表:

小桐离开家的时间/

1111323

min

小桐离家的路程/m2200

②填空：小桐在博物馆停留的时间为min：

③当21sxs64时，请直接写出小桐离家的路程关于时间x的函数解析式；

（2）小桐到达学校4min时，小海从学校出发，以80m/min的速度步行直接去博物馆.如果两人途中相

遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）.

【答案】（1）①200,2200,2600；②25；③当21Kx<29时，y=200x-2000：当29Vx<54时，

>=3800；当544x464时，>'=-380x4-24320

（2）800米

【解析】

【分析】（1）①分别求出“OWll”、、"21<x<29w的函数表达式，再根据自变

量的值求出相应函数值即可：

②根据函数图象找出小桐在博物馆停留函数图象求解；

③分别求出“21<x<29"、“29K/K54"、"54<x<64"的函数表达式即可；

（2）设小桐用了x与小海在途中相遇，小桐行走的速度为200m/min,列出一元一次方程求解，再求出

相遇时他们距离博物馆的路程.

【小问I详解】

解：①当04x411时，设函数表达式为丁二"，

则2200=1次，解得：2=200，

所以函数表达式为V=200工，

取<=1,y=200：

当114x421时，y=2200,

所以当x=13时，>=2200；

当21WXW29时，设函数表达式为产心

；22(X)=2ir+Z?|>'=2(X)

则13800=29?+〃’解得：[〃=-2000,

所以函数表达式为y=200x-2000,

所以当x=23时，>=200x23-2000=2600,

故答案为：200,22(X),2600；

②填空：小桐在博物馆停留的时间为54-29=25(min),

故答案为：25；

③当21<x<29时，由①可知函数表达式为y=200x-2000：

当29W/W54时，函数表达式为y=3800：

当54KXW64时，设函数表达式y=nvc+n,

[3800=54/??+/?伍=24320

则八乙，解得：”。八，

I0=64/M4-nm=-38()

所以函数表达式为y=-380x+24320,

所以当21«x«64时，小桐离家的路程)'关于时间x的函数解析式为：

200x-2000(21<A:<29)

y，3800(2954)；

-380x+24320(54<x<64)

【小问2详解】

设小桐用了工分钟与小海在途中相遇，小桐行走的速度为200m/min,

贝iJ200x=(21-ll-4)x80+8(k,

解得：x=4,

相遇时他们距离博物馆的路程是3800—2200—200x4=800(m)

答：相遇时他们距离博物馆的路程是800m.

【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息、，行程问题(一次函数的实际应用)，求一次函数解析式，一元

一次方程的行程问题，解题关键是列出函数表示式.

24.如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时

针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线，垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,

连接AC,BC,设点A的横坐标为t.

([)当t=2时，求点M的坐标；

(II)设ABCE的面积为S,当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值

范围；

(HI)当t为何值时，BC+CA取得最小值.

3

【答案】(1)(1,2)；(2)S=-tf8(0<t<8)；(3)当t=0时，EC+AC有最小值

2

【解析】

【详解】试题分析：(/)过M作MG_L。尸于G,分别求0G和MG的长即可；

(〃)如图1,同理可求得AG和。G的长，证明△AMGgACAF,得：AG=CF=-t,AF=MG=2,分别表

2

示EC和SE的K，代入面积公式可求得5与/的关系式；并求其/的取值范围；

(〃/)证明△ABOsaCAF,根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当

/=0时,值最小.

试题解析：解:(/)如图1,过W作MG_L。/于G,:.MG//OB,当/=2时，。4=2.=”是A8的中

点，・・・G是AO的中点，：,OG=-OA=l,MG是△AOB的中位线，：,MG=-OB=-

222

X4=2,：.M(1,2)；

(〃)如图1,同理得：OG=4G=L

2

t.VZBAC=90°,：.ZBAO+ZCAF=90°.VZCAF+ZACF=90°,：.ZBAO=ZACF.VZMGA=ZAFC=90

111

°,MA=AC,•••△/IMGgaACAF,：.AG=CF=-t,AF=MG=2,：.EC=4--r,BE=OF=t+2,A5ABCE=-

222

1|13

EC*BE=-(4--/)(/+2)=--产+—什4；

2242

1I,----------1r--r1,3

5AABC=-*AB*AC="+•-yl6+Z=-z2+4,..5=5ABEC_5AABC=­1+8.

22242

当A与。重合，。与尸重合，如图2,此时r=0,当C与七重合时，如图3,AG=EF,即-t=4,z=8,：.S

2

3

与i之间的函数关系式为：S=-r+8(0W/W8):

2

(/〃)如图1,易得△ABOs^CA凡A—=—=—=2,：,AF=2,CF=-t,由勾股定理得：AC=

ACAFFC2

八产十(：卢二/2+(])2=,4+；]，BC^BF+EC?=J(f+2)2+(4-)2:

2

5(I/+4),・"OAC=(,.••当r=o时，8OAC有最小值.

点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋

转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决

问题，属于中考压轴题.

25.已知抛物线丁=/+/»+。（氏。为常数，c<-\）与x轴相交于A8两点（点A在点8的左侧）,

与y轴相交于点c抛物线上的点M的横坐标为明且与…c.

①求抛物线的顶点〃和点B的坐标;

②当A/8=MC时，求"的值;

（2）若点3的坐标为（―c,0）,过点M作垂足为。，过点M作MN_L），轴，与抛物线的另

一个交点为N,当