高考数学复习讲义训练：数列的求和方法和不等式问题 （原卷版）

解密15数列的求和方法和不等式问题

【考点解密】

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

〃(。|+斯).n(n—})

⑴等差数列的前〃项和公式:十2&

n(i\，g=1,

⑵等比数列的前〃项和公式:0-〃应一、

1—q=11—q，q于1•

2.分组求和法与并项求和法

(I)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分中J求和后相加减.

⑵形如斯=(-1)〃浏)类型，常采用两项合并求解.

3.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(2)常见的裂项技巧

11

①

〃(〃+1)n

叫施#圭)

1111

+k\nn+k

与2〃-1)(2〃+1)=京2〃-1—2〃+1)

2Z,11

⑤(2"++1)-2"+1-2向+1

1_j_F_J__________]

〃(〃+11〃+2)2|_A?(/2+1)(应+1)(〃+2)

%』房=/一5.

1)—10^,/:(n>0).

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前〃项和即可用此法

来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

【核心题型】

题型一：倒叙相加法求和

1.(2022•河南驻马店•河南省驻马店高级中学校考模拟预测)已知函数〃x)=x+3sin1一数列｛4｝满足

则/(《)+/3)+…+402022)二()

A.2022B.2023C.4044D.4046

2.(2020.全国.高三专题练习)已知函数/(x)=cosx+1n/L,若+…+/]鬻

H-X\2019；120191I2019)

1009(4+3加万(。＞0/〉0),则■!"+)的最小值为

ab

A.2B.4C.6D.8

3.(2022・河北•模拟预测)已知函数/(%)满足f(x)+〃l-x)=2,若数列｛4｝满足:

VU\n)

⑴求数列｛q｝的通项公式.；

2I

⑵若数列也｝满足(〃22),数列｛“｝的前〃项和为S“，若工＜温,川对一切〃eN恒成立，求

3anan^\

实数4的取值范围.

题型二：错位相减法求和

4.(2023•山东•烟台二中校考模拟预测)已知数列｛吗的前〃项和为且2=3勺+九4=9.

⑴求实数4的值及｛叫的通项公式；

3〃],

｛二，的前〃项和

5.(2023•湖南•模拟预测)已知正项等比数列也｝的的前〃项和为加且满足：4=2,S4=3(a+a)

⑴求数列也｝的通项；

⑵已知数歹IJ｛4｝满足〃=(2〃-1)。”，求数歹IJ｛2｝的前〃项和，.

6.(2023•全国•模拟预测)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，4+q+34=25,且％+2,%,%-2成等比数列.

(I)求数列｛q｝的通项公式；

7r

⑵设bH=q•JF，求数列｛2｝的前〃项和

题型三：裂项相消法求和

7.（2023•甘肃兰州•校考模拟预测）在数列｛4｝中，2aMX-4=0,〃eN・.

⑴求证：'是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式.

⑵设勿=4/4川，求数列｛〃｝的前〃顷的和S”.

1717

8.（2023•全国•模拟预测）在数列｛q｝中，4=三,q用=：〃“+；,

Io44

（1）证明：数歹式4一1｝是等比数列；

⑵令2=2向々”+3,数列;的前“项和为S”，求证：S.c热.

b..40

9.（2023.山东河泽.统考一模）已知首项不为。的等差数列｛〃”｝,公差〃，（），〃,二。（，为给定常数），S”为数列｛q｝

前〃项和，且，=SR（町<"»｛〃｝为吗-叫所有可能取值由小到大组成的数列.

⑴求心

（2）设c“=（T）"p；；；［+］）Z为数列｛%｝的前〃项和,证明：7；w<-1.

题型四：分组求和法

10.（2023・江西上饶•统考一模）己知数列何｝的前〃项和为S。，4=2,%=4,且S“.2-+S.=2.

（1）证明：数列｛q｝是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

⑵若等比数列也｝满足，〃=1,打+&=0,求数列｛凡也｝的前2〃项和匕.

11.（2023•全国•模拟预测）已知数列热｝满足生=；,。T（2-q）=1,

⑴证明：数列•占♦是等差数列，并求数列｛〃〃｝的通项公式：

⑵记d=（-1）"-丁,求数列佃｝的前〃项和S”.

12.（2023•山东潍坊・统考一模）已知数列｛4｝为等比数列,其前〃项和为S“，且满足S“=2"+帅网.

⑴求”的值及数列｛〃.｝的通项公式；

（2）设d=|logM-5|,求数歹ij｛2｝的前〃项和Tn.

题型五：数列与不等式问题

13.（2023•全国•模拟预测）己知数列｛对｝满足〃“＞（）,%=1,%=日当〃22时，晨-/+2s=

S.为数列｛叫前〃项的和.

（1）证明:>2(7^71-1).

求数列｛2｝的前〃项和人

14.（2。23.四川绵阳•绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）.（3）、（4）为她

们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小

止方形为摆放规律相同)，设第〃个图形包含/(〃)个小正方形.

(1)(2)(3)(4)

(I)求出/(〃)的表达式；

11113

(2)求证：当〃N2时,-------+------------+------------F…+-------------<—

/(I)/(2)-1/⑶-12-

15.(2022.云南昆明.昆明一中校考模拟预测)己知函数/(力=1+；,5'.=/(£]+/伶)+-+/(—)+/

其中〃eN",且〃之2

(1)当“22时,求S”：

⑵设q=g《=(s+i)；s1+1)(〃cN"，〃N2),记数列口)的前〃项和为。，求使得7；告恒成立的〃?的最小整数.

题型六：数列的其他求和方法

16.(2022•广东佛山・统考三模)设各项非零的数列｛q｝的前〃项和记为5,，记7；=¥出2~3…S”，且满足

2sz-S,「27>0.

(1)求(的值，证明数列亿｝为等差数列并求亿｝的通项公式；

(2)设％="，求数列｛5｝的前〃项和储.

叫

23

17.(2022・全国•高三专题练习)已知王项数列伍“｝满足-7%2_二/_2=0(〃eN・).

n~n

(1)求数列｛仆｝的通项公式；

(2)令d=|sin器-力，记电｝的前"项和为S“，求S.L

18.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝,｛'｝满足4超=1,工为数列也｝的前〃项和，记的前〃项

和为G.,今的前〃项积为且G“=27；-2.

（1）若s“=U，求数列｛为｝的通项公式；

（2）若&=凡，对任意自然数〃eN'，都有人+区+…+—仁>，㈢求实数4的取值范围.

4生6%4%。,用

【高考必刷】

一、单选题

19.（2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列｛风｝中，q=l,T.「Y=1,记

bn=T7T7T（―5r一1―整数加满足ig（i°"9+i）<〃?<ig（i°⑵+1），则数列｛2｝的前”项和为（）

\an十l）\an+\十I八4十%+1）

20.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知在数列｛an｝中，。“血=24,且q=2.设2=,

且,为｛4｝的前〃项和，则，的整数部分为（）

A.2B.3C.4D.5

⑵22•陕西宝鸡•统考一模）悬方+寻衣+帚后+…+扁前的整数部分是（）

A.3B.4C.5D.6

22.（2022秋•甘肃武威•高三校考阶段练习）已知数列满足6+2d+32+--+”=/,设乩=叫,则数列

的前2023项和为（）

2022八4（）46「4044-2023

A.----B.----C.----D.----

4045404740454（）47

23.（2023秋•内蒙古阿拉善盟•高三阿拉善盟第一中学校考期末）设等比数列｛为｝满足4+生=12,^-«,=-24,

记"为｛q｝中在区间（0M（〃?wN・）中的项的个数，则数列也,｝的前50项和%=（）

A.109B.IllC.114D.116

24.（2022•上海闵行•统考一模）已知数列｛4｝满足％>0,〃向勺一4=1（〃wN,〃N1）,如果,+,+…+」一=2022,

那么（）

A.2022<a2O23<20221B.20223<a2023V2023

C.2()23<a2023V2023：D.2()233<Go23<2024

二、多选题

25.（2023•浙江•校联考模拟预测）数列｛%｝定义如下：玉=1,X2=2,若对于任意〃21,数列的前2”页已定义，

则对于2"+1”<2叫定义七=2%”，5”为其前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.数列｛七｝的第2〃项为％=2”B.数歹式为,｝的第2023项为修陵=128

C.数列上｝的前2”项和为S?,,=3"D.5严.23=斗+2%+232

26.（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）数列｛q｝满足4=；,4---2必川=0（〃eN,）,数列出｝的前〃

项和为S“，且2-I=：S“（〃€N'），则下列正确的是（）

I（）

A.----《｛4｝

20231”

1寸+1a

B.数列〈---〃"卜的前”项和C=n'4-n-------+—

[%J22

C.数列｛。M小｝的前〃项和

n…+跳」9x3"3

%a2ai022

27.（2023•山西•统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列I,1,2,3,5,8,

13,21L该数列的特点是前两项为1,从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们杷这样的一列数组成的数

列｛qj称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应

用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记S”为该数列的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.4?1|=89B.%023为偶数

C.4+〃3+45++〃2023=々2024D.%++^6+,,,+^2024=^2023

28.（2022•全国•校联考模拟预测）在数列｛%｝中，4=。，生=4,JL—=~+—,则下列说法正确的是（）

35anan+2

A.an=­!—

2n+l

n2十4〃

B.%师+W必…+=02〃+3）（2〃+5）

C.Bn=N*，使得q+%+%+…+」”（；+，）

D.X/neN*>都有9+生+6+…+a“<】n（;+l）

三、填空题

29.（2023•全国•模拟预测）已知数列应｝满足，*=6〃+3-见，％=3,2="一，若数列出｝的前〃项

C«|IL<-,।L।（I八

和为。,则n022=-

30.（2023•贵州毕节•统考一模）已知数列依｝满足4=1,曾3’则数列————大的前〃

口+为偶数[⑸一+2）J

项和.

31.（2023•安徽蚌埠・统考二模）已知数列｛《,｝中：4=2,%.小（一‘：'；/：上则｛4｝的前8项和为______.

24+2,〃为偶数，

32.（2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列｛q｝中，4=1,<1-«；=1,记

“=/〃上八/〃工〃、•整数机满足他（10"+1）v<馆（10口0+1），则数列｛a｝的前用项和为______•

W十l）\an+\十।八十）

33.（2023•四川绵阳・绵阳中学校考模拟预测）现取长度为2的线段WN的中点以为直径作半圆，该半圆

的面积为$（图1）,再取线段MN的中点以为直径作半圆.所得半圆的面积之和为演（图2）,再取

线段的中点/%，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为邑，以此类推，则£冏=.

1=1

MMNMM