等腰三角形与最短路径（3大题型5难点1新考法题型清单）原卷版-2026年中考数学一轮复习

专题09等腰三角形与最短路径

（3大题型5难点1新考法，题型清单）

题型一：等腰三角形

山❹oL

1.腰（角）不确定的分类讨论

类型已知周长和一边长a或已知两边分别为已知一角a

思路分已知边长a为腰或底两种情况讨论分已知角为底角或顶角两种情况讨论

检验需要利用三边关系验证结果

2.三线合一的应用

解题关键是利用等腰三角形"三线合一"，即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合，利用角平分线、

中线和高线的性质解题.

【中考母题溯源•学方法】

【典例1-1]（2025•湖北武汉•中考真题）如图,在VA8C中，4?=AC=10,4C=2jlU,点。在边AC上,

CD=3.若点E在边A8上,满足CE=3O,则AE的长是_______.

A

A

R

【典例1-2】（2025•黑龙江哈尔滨•中考真题）在V48C中，4=80。，点。在射线A8上，AD=AC,连接

CD,/BCD=10,则ZA6C=度.

【典例1-3】（2025•青海西宁•中考真题）在平面直角坐标系xQy中，点A（4,0）,点尸在过原点的直线/上,

且A尸=OP=4,则直线/的解析式是.

【变式1-1】难点01：结合非负数求等角三角形的周长

（2025•贵州黔东南•二模）已知，，。是等腰三角形的两边长，且。，一满足Ja—力+4+（a+b—10）2=0,

则此等腰三角形的周长为（）

A.13B.13或14C.17D.13或17

【变式1-2］难点02：构造等腰三角形

L（2025•河南平顶山•模拟预测）如图，△8C。是以CO为底边的等腰三角形，其中N88=30。，点A是CD

上一个动点（点A不与C,。重合），连接/W,以为腰作等腰三角形A8E,其中N84£=120。，连接。口

图1图2

⑴如图1,当勿C=20。时，求NTME的度数：

⑵如图1,当0。＜/"。＜90。时，NC。石的大小是否发生变化？如果不变，求NCOE的度数；如果变化,

请说明理由；

⑶如图2,点G在43上，且4G:AG=3:2,以8G为腰构造等腰三角形，使/G4〃=120。，连接

若BC=1,直接写出线段由的取值范围.

【变式1-3】难点03：构造三线合一

（2024・河南•一模）（1）张老师在活动课上出示了如下一道探究题：

如图1,在VABC和石中，AB=AC,DB=DE,B,C,E三点在同一条直线上，A,。两点在BE同

侧，若AO/8E,求证：CE=2AD.

张老师从条件出发：如图2,过点A作AMJ.4E交BE于点M,过点、D作DN工BE交BE干点N,依据等

腰三角形"三线合一”的性质分析与8N之间的关系，可证得结论.

请你运用张老师的方法解决上述问题.

（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：

如图3,在VA8C中，A8=AC,在..。%:中，DB=DE,B,C,E三点在同一直线上，A,D两点在BE

同侧，且A,D,E三点在同一直线上，若AO=3&，ZE=45%V43C的面积为7,求8E的长.

（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路，提出了如下问题：

如图4,在四边形ABC。中，BC//AD,NA=2NO,E为CO的中点，连接AE,若A石_1.八4,AD=2AE=2y/5,

【变式1-4］新考法01：新定义型阅读理解题

(2025•山东滨州•模拟预测)【阅读学习】

阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成

两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做"可两分三角形〃，这条线段叫做这个三角形的"两分

线〃.

阅读2：如果两条线段将一个三隹形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的

“三分线如图3,线段80,将顶角为36。的等腰三角形ABC分成了三个等腰三角形，则线段8。,

CE是VA8c的“三分线〃.

⑴判断：在VA8C中，Z4=36°,AB=AC,则"可两分三角形"(填"是〃或"不是”

(2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形"，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的

等腰三角形的底角的度数；

⑶画图和计算：请你在图4中，画出顶角为45。的等腰VA4C的“三分线〃，并标出每个等腰三角形顶角的度

数；

⑷画图和计算：在VA3C中，ZB=30°,AO和OE是VA3C的"三分线"，点。在4c边上，点E在AC边

上，且4)=8。，DE=CE.设/C=x°,试画出示意图，并求出式的值.

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025・湖北武汉•中考真题）如图，在V4BC中，AB=AC,。是边上的点，将沿直线C。折

叠，点8的对应点E恰好落在边AC上.若4=34。，则NAQE的大小是（）

2.（2025•陕西•中考真题）如图，在VA8C中，ZACB=90°,ZA=20°,CO为A8边上的中线，DE上AC,

则图中与NA互余的角共有（）

3.（2025・四川凉山•中考真题）如图，==点?在3Q上，NEW=N84CNBOC=56。，则

NABC的度数为（）

A.56°B.60°C.62°D.64°

4.（2025•江苏南京•中考真题）若等腰三角形的周长为12,则它的腰长可以是.（写出一个即可）

5.（2025•四川资阳•中考真题）如图，在四边形ABC。中，NA=N3,点£在线段A8上，CE//DA,若使

为C£成为等边三角形，可增加的一个条件是.

6.（2025•广西•中考真题）如图，点A。在同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=6,则AQ=

A

7.（2025•甘肃平凉•中考真题）如图，把平行四边形纸片A4CO沿对角线AC折叠，点B落在点）处，B1

与AO相交于点E,此时.C0E恰为等边三角形，若AB=6cm,则AO=cm.

Br

8.（2026•陕西西安•一模）如图，正比例函数与反比例函数丁=色的图象交干A8两点.点C在x轴上，日

A

9.（2026•新疆•一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，4,A,…和％,B2,B、，…,分别在直线），=3+〃

和x轴上，。。4蜴，泻&与，4&层，...都是等腰直角三角形.如果点A。，1），那么/26的纵坐标

10.（2025•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）等腰三角形纸片A8C中，AB=AC,将纸片沿直线/折叠，使点A

3

与点8重合，直线/交A3于点交直线AC于点£,连接踮，若AE=5,tan4EO=：,则VBEC的面

4

积为.

4

11.（2026・上海徐汇•一模）如图，在VA8C中，A8=AC=5,cosC二丁将AA8C绕点A逆时针旋转得到VAOE,

点B、C分别与点Q、E对应，边A。、OE分别与原三角形底边BC交于点尺G.当是等腰三角形时，

尸G的长为.

12.（2026•上海松江•一模）已知VA3C中，ZACB=9O°,点P、。分别在边A3、8C上，如果JCQ与V3PQ

相似，且△AP。是等腰三角形，那么萼的值是.

13.（2024•辽宁♦一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：

在几何题自中如果有NA4C=2加C的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据•日常的学习交流和老师的

点拨，同学们会发现了这样几种方法：

①如图a,作N84C的角平分线，构造等腰三角形.②如图b,作AC=AD,构造等腰三角形.

③如图c,作NBCD=N3,构造等腰三角形.④如图d,作NA8O=NA8C,构造等腰三角形.

图1

【类比分析】

（2）如图2,在VA8C中，点。、£：两点分别在线段AB、8c上，Z4GC=2ZB,AE=CD,过点E作防_LAB.如

图2,求证尸.

AA

图2备用图

【学以致用】

(3)如图3,V/WC为等边三角形，ZAFB=2ZADB.若其产=1。，C£>=8,求M的长.

题型二：二倍角问题

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,可以通过作辅助线转化倍角寻找到

等腰三角形解题.

作2倍角的平分线：

作乙A8C的平分线见）

-------------4c

CB=2乙C内作双等腰：过点

A作Z.04C=Z_C>

且幽迅.二倍角，辅助线,三招灵，分合变;角分线，分两半,造等腰，外角看;延边线，构

全等，边角转，思路现.

【中考母题溯源"学方法】

【典例2】（2025•陕西•中考真题）如图，在VA4C中，点。在边8。上，ZADB=2ZC.若"=5,BC=6,

则△AHO的周长为（）

A

【变式2-1］（2024•辽宁大连•一模）如图VA4c中，ADJ.BC,垂足为Q,ZABC=2ZDAC,若力C=4,

AB=x,CO长为y,则y与x的函数关系式为.

CD

图2

二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造

等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以

下想法：①小明：由NA3C=2/DAC,想到构造等腰三角形，把“1。。以AD为轴翻折，到VADE,可设

/DAC为。，则NA3c为2a,通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；

②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出），和x的数量关系.

⑴问题：请按照上面两名同学的思路，证明：

@BA=BE^

②写出），和x的数量关系式.

⑵问题拓展：

in

矩形ABCD中，E为A4边.上一点，连接CE,在CE上取一点F,ZC4F=/BCE,NBEC=2ZDAC,^—=—,

CFn

【变式2-2】难点04：在三角形外部构造等腰三角形

我们已经研究过等腰三角形和直角三角形这两种特殊的三角形.其实，特殊的三角形很多比如，一个内角

等于另一个内角的2倍的三角形也是一类特殊的三角形，我们把这类三角形叫做“二倍角三角形”，请按照下

列要求研究“二倍角三角形”.

⑴在直角三角形中，是二倍角三角形的有：用没有刻度H勺直尺和圆规作一个不含直角的二倍角三角

形(不要求写作法，保留作图痕迹)，

(2)如图，已知VABC中，的对边分别为a,b,c.

①若NC=2N8,请提出a,Ac的等量关系的一个猜想，并加以证明；

②请从边的等量关系角度提出二倍角三角形的一个判定猜想，并加以证明.

⑶是否存在三边长依次为连续自然数的“二倍角三角形”？如果存在，直接写出三边的长，如果不存在，请

说明理由.

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025•山西吕梁•一模）阅读与思考:

（1）材料中-A的取值范围是

(2)如图4,在V/WC中，AI3=AC=2,N8=2NA,则4c的长是

B

图4

（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明"方=38。〃.

2.（25-26九年级上•广东深圳•期中）根据以卜.素材，完成倍角三角形的性质探索与应用.

在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的

定

三角形叫做倍角三角形.例：右图中NC=2ZA,则V/1BC

义：

为倍角三角形dC

概念明晰；以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______.

任务

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30。的直角三角形；

1

④顶角为36。的等腰三角形；⑤底角为36。的等腰三角形.

性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍

性质角的对边与第三边的乘积.如右图：若NC=2ZA,则

22

c-a=ab.dc。

性质证明：如图，在倍角三角形"C中，4CA=24,求证：=思路：二倍角

问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角.请从以下两种方法中选一个方法进行证明.

方法二：延长AC至点。，使CB=CD,

任务

方法一：作C£1平分NACB,则NACE=NBCE=NA贝|J〃=N4=NC3。

2

----------笃

性质应用：如图，在V4BC中，ZC=2ZB,AB=6,BC=5,则4C=______.

任务

3

拓展应用：如图，在VABC中，ZABC=3ZA,AC=5,BC=3,则AB=______.

任务A

4

BC

3.(2024•辽宁鞍山•三模)【问题初探】

在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1,V4BC是等腰三角形，AB=AC,过点8作8O_LAC于

点。，若BC=2,AD=3,求CD的长.

同学们经过思考后，交流出两种解题思路：

思路1：在Rt/XABO和RtACB。中，分别利用勾股定理即可求出CO的长；

思路2：如图2,在D4上截取OE=OC,连接先证出4=2/。。，再利用相似求出CD的长；

(1)请利用思路2求出C。的长；

be&

图I图2

【类比分析】

思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师

提出下面问题，请解答.

(2)如图3,在放VA8C中，ZA8c=90。，=点£在边AC上，且。£=CE,若A3=C£)=6,

求AE的长；

【学以致用】

(3)如图4,VA8C是等腰三角形，AB=AC,CO_LA8交8A的延长线于点O,E是边AC上一点，

ZBEA=90°-^ZACBfAE=1,AD=1,求8c的长.

BDB

图4

题型三：最短路径问题

拉O包❹0比

1.作图步骤

第一步确定定点位置和对称轴，动点所在直线即为对称轴

若两个定点位于对称轴同侧，作其中一个定点关于

第二步

对称轴的对称点

连接另一定点和第二步所作的对称点，所得线段与

第三步

对称轴的交点即为满足最短路径的动点的位置

注:若两个定点位于动点所在直线的异侧时，连接两个定点与直线的交点即为满足条件的动

点的位置.

2解题原理：如图①,4,8是直线/同侧两个定点，作点8

关于直线I的对称点"，连接4g交直线I于点P,连接

BP,请证明4P+8P最小.

证明：如图②，在直线/上另取任一点小，连接4P',8F,

BP,

•・•直线/是点兄力的对称

轴，点P,P'在直线/上，应占F片

:.PB=PB'、P'B=P'B',

・•・4P+8P=4尸+8'尸=48',4尸'+80'=4尸'+尸’8',

,ff

•・•AB,<AP+PB9

・•.AP+PB<AP'+P'B,・・,此日寸AP+BP最/］、.

【中考母题溯源"学方法】

【典例3-1】（2025•西藏・中考真题）如图，在菱形A8CD中，ZABC=60°,AB=4,连接80,点户是8。

上的一个动点，连接己4,PC,则+尸8+PC的最小值是

B

D

【典例3-2】（2025•黑龙江绥化•中考真题）如图，在菱形A3CD中，AB=4,对角线30=46,点尸是边C。

的中点，点V是对角线8。上的一个动点，连接P/W、CM.见2W+C例的最小值是______.

8-----------------C

【典例3-3】（2025•四川广安•中考真题）如图，在等腰RlZ\A8C中，ZBAC=90°,AB=AC=4,D是BC

边上的一个动点，连接AQ,则4。的最小值为.

DC

【变式3-2*2025・广东广州•中考真题）如图，的直径A/3=4,C为人6中点，点D在弧8cLBD=；BC,

点P是A8上的一个动点，则△PCQ周长的最小值是（

C

A.2+不B.2+2白C.3+不D.4+45/3

【变式3-2］（2025•四川内江•中考真题）如图，在VA4c中，4=45。，/5=60。，A8=2夜，点。、E、

尸分别是边8C、AB、AC上的动点，则」）所周长的最小值是.

【变式3-3］（2025•河南南阳•二模）如图，在V48c中，AB=AC,ZBAC=90°,ADJ.BC于点、D,点E

在直线AO上运动，取AC的中点Q,连接QE，CE,当&QCE的周长最小，且最小值为2石+2时，^QCE

【变式3-4】难点05：将军饮马模型

（2025・四川广元•一模）如图，在平面直角坐标系xQy中，当30。直角三角板/WC的直角顶点落在C（6,0）处

时，锐角顶点A、8（9,〃?）恰好落在反比例函数），=：第一象限的图象上.

⑴分别求反比例函数的表达式和直线A8所对应的一次函数的表达式;

（2）在大轴上是否存在一点尸，使「.AB0周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【中考模拟闯关•练提分】

1.12025•河北保定•一模）菱形ABC。中，A8=6,BD=60E是A。中点，尸是8。上的动点，则AAEF

周长的最小值是（）

C.3+2百D.3+36

2.（2025♦安徽马鞍山•三模）在V4BC中，ZA5C=60°,AB=6,8。=10,点尸为AB上一点，Q为7ABe

内部一点，且SAQSQHC=3：5,则PQ+AQ的最小值为（）

3G

B.3x/2C.3G

F

3.（2025・四川资阳・中考真题）如图，在四边形/WC。中，A8DC,ADA.DC,AA=4,AO=ZX?=2,E

是线段AO的中点，/是线段A/3上的一个动点.现将AA所沿E厂所在直线翻折得到（如图的所有

点在同一平面内），连接A8,AC,则aA8C面枳的最小值为（）

4~K

c.VI0-V2D.4->/2

4.（2025•吉林长春•二模）如图，MN是OO的直径，点4是半圆上的三等分点，点8是劣弧AN的中点，

点户是直径MN上一动点.连接AB、AP.8P,若MN=2拒，4B=G-1，则二的的周长的最小值是

5.（2025•全国•一模）如图，等边VA8C的边长为8,过点8的直线/_LA8,且VA8C与△A'BC'关于直线/

对称，D为线段8c上一动点，则40+CO的最小值是一.