湖南省怀化市2025年中考三模数学试题（解析版）

湖南省怀化市2025年中考三模数学试题

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.

本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-25的相反数是（）

A.与B.一4C.-25D.25

【答案】D

【解析】【解答】-25与25只有符号不同，

所以-25的相反数是25,

故答案为：D.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可.

2.下列说法正确的是（）

A.“长沙市明天降雨的概率为75%”，意味着长沙市明天有75%的时间下雨

R.投掷一枚质地均匀的硬币10000次，出现正面朝上的次数不一定是S000次

C.“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块9”是不可能事件

D.“某彩票中头奖的概率是0.0001”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中头奖

【答案】B

【解析】【解答】解：4、“长沙市明天降雨的概率为75%”，即下雨的可能性较大而不是降雨时长，故该选项

不符合题意；

B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，出现正面朝上的次数不一定是6000次，故该选项符合题意；

。、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块9”是随机事件，故该选项不符合题意；

。、“某彩票中头奖的概率是0.0001”，表示买10000张这种彩票不一定会有1张中头奖，故该选项不符合题

忌；

故选：B.

【分析】本题主要对可能性的大小进行考查，A.降雨概率为75%而不是时长；B.掷硬币正面朝上的概率为

50%,但不是掷10000次一定有5000次正面朝上；C.从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块

9,存在可能性，故是随机事件；D.某彩票中头奖的概率是0.0D01不代表10000张一定有一张。

3.篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动

综合实践课程中都开设了篆刻这一-课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（）

从正面看

第1页

D.□

【答案】D

【解析】【解答】解：一块篆刻印章的材料，其主视图为：

故选：D.

【分析】本题主要对简单几何体的三视图进行考查.其上半部分主视图为直立长方形，底下为长方形，观察

四个选项，D项符合要求.

4.下列计算正确的是()

A.x3+x3=2x6B.x3-x3=x9C.(%3)3=x6D.x(x4-1)=x2+x

【答案】D

【解析】【解答】A.%3+炉=2炉，故本选项不符合题意；

B.%3-x3=%6,故本选项不符合题意;

C.(X3)3=X9,故本选项不符合题意；

D.x(x4-1)=x2+x,故本选项符合题意.

故选：D.

【分析】本题考主要对整式的运算，根据合并同类项的法则，昂的运算法则，单项式乘多项式法则等知识点

进行考查对四个选项进行计算，ABC项均计算错误，D项计算正确.

5.在平面直角坐标系中，点P(7,-2)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-7,2)B.(-7,-2)C.(-2,7)D.(-2,-7)

【答案】A

【解析】【解答】解：点P(7,-2)关于原点对称的点的坐标是(-7,2),

故选：A.

【分析】本题主要对关于原点对称的点的坐标的特点进行考查，关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相

反数，根据选项进行判断，故选A.

6.某学校篮球队10名队员的身高如下(单位：cm)：192,190,189,192,185,187,188,185,192,

190.这组数据的众数和中位数分别为()

A.192,186B.190,189.5C.192,189.5D.192,190

【答案】C

【解析】【解答】解：重新排列数据：185,185,187,188,189,190,190,192,192,192.

，众数为192,中位数为I'""。=189.5,

故选C.

第2页

【分析】此题主要对众数和中位数进行考查，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，破中间的那

个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.数据中出现最多的一个数是众数.

7.近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优

惠政策的支持下，价格不断降低，铛量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为m

元，现打八折，再优惠几元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（)

A.瓶-九）兀B.p(TH-71)兀C.（5血一九）元D.元

【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为（机元,

再优惠加元后，新能源汽车的售价为（Jm-几）元

故选：C.

【分析】

本题主要对用代数式表示实际问题中的数量关系，因为汽车原价m元,打八折后售价为再优惠几元后,

新能源汽车的售价为-元.

8.如图，AB||CD,若41=65。，,3=55。,则乙2的度数为（）

B.120°C.125°D.130°

【答案】B

【解析】【解答】解：•・•ABIICD,乙1=65。,z3=55°,

・••乙4co=Z1=65°,

Az.2=LACD+43=65°+55°=120°,

故选:B.

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得乙1CD=41=65°,所以42=^ACD+乙3=120°.

9.在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工

艺术品的母线长为50cm,底面圆的半径为25cm,则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（）

A.6257rcm2B.7507rcm2C.12507rcm2D.25007rcm2

【答案】C

【解析】【解答】解：S圆锥侧=Tirl=25x507r=12507r（c7n2）.

第3页

故选：c.

【分析】本题主要最圆锥侧面积计算进行考查，圆锥侧面积等于7T仪=25x507r=12507T（cm2）.

10.己知P（m,%）,Q（m+6,y2）两点在反比例函数y=竽的图象上，下列说法正确的是（）

A.当m<-6时，y2<<0；B.当一6<mV0时，，为<当<0；

C.当一6vmv0时，0vyi〈y2；D.当7n>0时，0<<y2»

【答案】A

【解析】【解答】解：反比例函数y=等，

•••2025>0,・••函数图象经过第一、三象限，每个象限y随工的增大而减小，当x<0时，y<0,当％>0

时，y>0,因为P（mj］）,（2（机+6,%）两点在反比例函数丁=等的图象上，

当m<-6时，m+6<0,则、2<为<°，故A选项正确，符合题意；

当-6<m<0时，0Vm+6<0,则为<0<:为，故B、C选项错误，不符合题意；

当m>0时，m+6>6,则0<、2<丫1，故D选项错误，不符合题意；

故选：A.

【分析】根据解析式y=型"，其中k=2025>0,函数图象经过第一、三象限，每个象限y随工的增大而减

小，根据其单调性对四个选项进行判断，A项正确，其余三项错误.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若代数式2025有意义,贝J实数m的取值范围是.

【答案】m>2025

【解析】【解答】解：根据题意，得m—202530,

解得mN2025.

故答案为：m>2025.

【分析】本题对二次根式有意义的条件进行考查，要使根式有意义则需要根式下的数大于0,即巾-2025之

0,解得m>2025.

12.关于％的分式方程与=告的解是％=3,那么k的值是.

【答案】I

【解析】【解答】解：•・•关于久的分式方程击=工的解是％=3,・••击=，，

X十/X—13十/0—1

解得：k=看，

◊

故答案为：I.

【分析】本题对分式方程的解进行考查，将x=3代入分式方程中，列出等式击=昌，求得上=引

第4页

13.如图，CO为0。的直径，弦A81C0于点E,DE=25,AB=10,那么该圆的半径为

【答案】13

【解析】【解答】解：如下图,连接。4设该圆的半径为无,

*：AB_CD,AB=10,

1

AF-

2

.DE=25,

•.OE=25—x,

，在Rf△。力E中，OA2=OE2+AE2,

即％2=(25-4+52,

解得无=13

・•・该圆的半径为13,

故答案为：13.

【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查.首先连接0人并设该圆的半径为无，根据垂径定

理，可得=在中，根据勾股定理有0"=Of2+Af2,带入未知数x有/=

(25-幻2+52,解得工=13.

14.若关于X的一元二次方程好一2无+Q-1=0有两个不相等的实数根，则Q的取值范围是.

【答案】Q<2

【解析】【解答】解：•・•一元二次方程%2-2》+。-1=0有两个不相等的实数根，

，庐一4QC=(-2)2-4x1x(a-1)>0，

即4-4。+4>0,

解得Q<2.

故答案为：a<2.

【分析】本题主要对一兀二次方程杈的判别式及应用进行考查，根据题意关于x的一兀二次方程好一2%+

a-1=0有两个不相等的实数根，所以判别式反一4ac=(-2)2-4x1x(a-1)>0»解得QV2.

第5页

15.“三高四新”战略是习近平总书记为推动湖南省经济高质量发展而擎画的重要战略.为了解其社区居民对这

一重要战略的知晓情况，从该社区30000名成年居日中随机抽取了2000名居民进行调查.结果显示，有1900

名居民知晓.由此，估计该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有名.

【答案】28500

【解析】【解答】解：30000X导器=28500（名）.

所以该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有28500名.

故答案为：28500.

【分析】本题主要对样本估计总体的解题思路进行考查，优先计算样本中的比例，再用样本上例乘以总数完

成求解，30000xII需=28500（名）.

16.现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜

色各30根.闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有10双.（同色两根为一双）

【答案】25

【解析】【解答】解：假设先摸的是红、橙、黄、每、蓝、紫6根，再摸一根就可成为一双筷子，6+1=7

（根），

摸出第二双，需要7+2（根），摸出第三双，需要7+2+2（根），

以此类推，摸出第10双，需要7+2+2+2+2+2+2+2+2+2=25（根），

・・・闭上眼至少随机摸出25根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有10双，

故答案为；25.

【分析】本题主要对探索数字规律进行考查；假设先摸到的6双筷子为各颜色各一根，则再摸任意一根就可

以成为一双筷子，此时为7根，摸出第二双，需要（7+2）根，摸出第三双，需要（7+2+2）根，以此类推每

多摸一次在原有基础上+2,因此要保证摸出的筷子至少有十双，贝懦要摸7+2+2+2+2+2+2+2+

2+2=25（根）.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.计算：（7T-2025）°4-V8-2sin3004-11-V2|.

【答案】解：5—2025）°+孤一2S也30。+|1—四|

「1厂

=1+2\[2—2X+>J2—1

=1+2V2-1+V2-1

=1+3企

【解析】【分析】本题主要对零指数幕的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值进行考查.对原式中每

第6页

一项单独计算，(71-2025)°=1,鱼=2式,2sin30°=V2,|1-V2|=V2-1,再对各项进行加法计算原

式=1+3/。

，2%+4>%

18.解不等式组：1-3X^Q.

2乙9X

2%4-4>%①/

【答案】解：1-3》万^由①得：x>-4；

2<3-2x(2)

由②得：XV5,

・,•原不等式组的解集为：-4VXV5.

【解析】【分析】本题对解一元一次不等式组进行考查，首先求解2%+4>x得%>-4,再求解呼<3-

2不得x<5,取两个解集的交集得一4<%<5.

19.如图，在Zk/BC中，4E是BC边上的中线，AD1BC,AD=3,AB=5,tanC=1.

(I)求8c的长；

(2)求cos4AED的值.

【答案】(1)解：,：ADLBC,AB=5,AD=3,：.BD=y/AB2-AD2=V52-32=4;

VtanZ/lCF=器=1,

：.CD=AD=3,

:・BC=80+CO=4+3=7；

(2)解：:就是BC边上的中线，."£=聂(?=彳

71

:,DE=CE-CD=g-3=g,

乙乙

9：AD1BC,

'*AE=\lAD2+DE2=J32+6)=

./ArnDE\历

・・3加=近=亘=4

~T~

【解析】【分析】本题主要对解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识进行考查.

(1)在RCA4O8中由勾股定理求得BO=4,再根据题干角C的正切tan4C=1计算得CO=AD=3,所以

RC=RD+CD=4+3=7；

(2)根据三角形中线的性质，所以可得CE=1进一步得到DE=CE-CO=)在R£A40E中根据勾股定

第7页

理可得RE=/AD?+DE?=挈,进一可得cos乙4ED=蜷=野.

2AE37

（1）解：*：AD1BC,AB=5,AD=3,

:・BD=7AB2-AD?=V52-32=4：

Vtanz.ACB=器=1,

：.CD=AD=3,

：.BC=BO+C0=4+3=7；

（2）解：・・FE是BC边上的中线，

17

:.CE=3BC=g，

7i

：.DE=CE-CD=^-3=^

\9AD1BC,

-AE=y/AD2+DE2=J32+=孚,

.・.cos"吁第=看=等

20.杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称：DccpScck）在人工智能兴起的时代大背景下异军

突起，引起全球关注.该公司致力于深度探索人工智能技术的无限可能，其开发的模型在多个基准测试中表现

出色，甚至在某些领域超越了全球领先的人工智能公司.为了顺应时代发展，迎接人工智能时代的到来，某高

校开设了四门人工智能相关课程（A：机器视觉；B：人脸识别：C：智能控制；D：自动规划）.为了解该高

校学生对各课程的喜好，随机抽取了部分学生进行调查，井将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计

图.

请根据统计图回答卜.列问题：

（1）这次被调查的学生共有人；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）在平时的智能控制课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀.现决定从这四人中任选两人参加全国

机器人智能控制大赛，求恰好同时选中丙、丁两人的概率（用画树状图或列表的方法解答）.

第8页

【答案】（1）200

（2）解：喜欢C类课程的学生数为200-20-80-40=60.

补全统计图如下：

第二次第

甲乙丙T

一次

甲（乙甲）（丙甲）（丁甲）

乙（甲乙）（丙乙）（丁乙）

丙（甲丙）（乙丙）（丁丙）

T（甲丁）（乙丁）（丙丁）

一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，

所以恰好同时选丙，丁两人的概率是/=幺

1/O

【解析】【解答】（1）解：•••喜欢A类课程所对应的圆心角为36。，・••喜欢A类课程的学生数占抽取总数的

3605=10%,

，被调查的学生共有20・10%=200（人）；

故答案为:200；

【分析】本题主要对扇形统计图和条形统计图的综合问题，列表格（画树状图）求概率等知识点进行考查；

（1）根据扇形统计图优先求出喜欢A类课程的百分比，再用喜欢A类课程的人数除以占比，得到被调查人

数=200人；

（2）根据条形统计图，喜欢C类课程的人数等于总人数减去其它三类的人数，进而补全统计图；

（3）写出所有存在可能，再列出表珞，再计算恰好同时选中丙、丁两人的次数，再除以总数计算出概率为2

6

（1）解：•・•喜欢A类课程所对应的圆心角为36。，

・•・喜欢A类课程的学生数占抽取总数的需=10%,

."SnU

・•・被调查的学生共有20・10%=200（人）;

第9页

故答案为：200；

（2）解：喜欢B类课程的学生数为200-20-80-40=60.

第二次第

甲乙丙T

一次

甲（乙甲）（丙甲）（丁甲）

乙（甲乙）（丙乙）（丁乙）

丙（甲丙）（乙丙）（丁丙）

T（甲丁）（乙丁）（丙丁）

一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种，

所以恰好同时选丙，丁两人的概率是焉

1ZO

21.如图，在△ABC中，AO为BC边上的高，垂足为D,广为4。上一点，S.BF=AC,DF=DC,延长交

4c于点E.

(2)若。/=10,AC=26,求4尸的长.

【答案】(1)证明：•••ADIBC,ALBDF=Z.ADC=90°,

在△8DF和△AOC中，

第10页

(BF=AC

IDF=DC'

；・Rt△BDF三R£△ADC(HL)：

(2)解：在△AOC中，DF=DC=10,

AD=>/AC2-CD2=V262-102=24,

AF=AD-DF=24-10=14.

【解析】【分析】本题主要对勾股定理，直角三角形全等判定-HL定理进行考查.

(1)根据题意AO1BC,可得48DF=Z.ADC=90。根据题意BF=AC且DF=DC,根据HL定理，Rt△BDF=

RtZk/WC得证；

(2)根据勾股定理，在/?必力0。中力。=yjAC2-CD2=V262-102=24,所以=AD-DF=24-10=14.

(1)证明：•.TO1BC,

乙BDF=AADC=90°,

在△BDF和△40C中，

(BF=AC

、DF=DC'

：,Rt△BDF三R£△AOC(HL)；

(2)解：在△力OC中，DF=DC=10,

AD=-JAC2-CD2=V262-102=24,

AF=AD-DF=24-10=14.

22.长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带''安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动

车驾乘人员的交通安全防护水平.某超市计划购进一批头盔用于销售.已知购进4个A型头盔和3个8型头盔

需要315元，购进3个A型头盔和4个8型头盔需要350元.

(1)求4B两种型号的头盔单价分别为多少元；

(2)若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进B型头盔多少

个？

【答案】(1)解：设购进1个4型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元.

根据题意,得黑案就，

解得,

答：购进1个力型头盔需要3()元，购进1个B型头盔需要65元；

(2)解：设购进B型头盔m个，则购进A型头盔(100—m)个，根据题意，得：65m+30(100-m)<

4400,

解得：m<40,

・・・?n的最大值为40,

第11页

答：最多可购进B型头盔40个.

【解析】【分析】本题主要对二元一次方程组和一元一次不等式的应用进行考查.

⑴设A型x元，B型y元，根据题意列出方程组偿:始二焉，解得好：意

(2)设B型头盔m个，则购进A型(100—m)个，根据题意列出不等式65m+30(100-m)W4400,解得

?n<40,所以最多可购进B型头盔40个.

(1)解：设购进1个4型头盔需要父元，购进1个B型头盔需要y元.

根据题意,得修焉:就

解得,

答：购进I个4型头盔需要30元，购进1个8型头盔需要65元；

(2)解：设购进B型头盔m个，则购进4型头盔(100-m)个，

根据题意，得：65/71+30(100-771)<4400,

解得：m<40,

，机的最大值为40,

答：最多可购进B型头盔4()个.

23.如图，在肉4BCD中，AC为对角线，EF垂直平分AC,与力CD分别交于点E,F.

(1)求证：四边形4ECF为菱形；

(2)若AC=6,tan^DCA=求四边形4ECF的面积.

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.^ACF=Z.CAE,Z.CFE=4AEF.

〈EF垂直平分AC,

•'­EF1AC,AO=CO^

△AOE=△COF,

：.AE=CF,

・•・四边形力ES是平行四边形.

'：EF1AC,

・•・四边形4EC尸是菱形；

(2)解：•・•四边形AECr是菱形，且EFJ.AC,・・・4。=。。=4力。=3,5。=/。，

第12页

在Rtz\COF中，tanz.DCA=

：.F0=E0=1,

：.EF=2,

.11

.・S四边形AECF=2AC,EP=2X6X2=6.

【解析】【分析】本题主要主要对菱形的性质和判定，菱形的面积计算，三角函数等知识点进行考查;

(1)根据题意有力B||CO,^Z-ACF=^CAE,^CFE=^AEF,因为EF垂直平分力C,所以E"l/C,AO=

CO,故AAOE三△CO",进而得到四边形月ECF是平行四边形又因为Eb_LAC,所以四边形力七CT是菱形得

证；

(2)根据四边形4ECF是菱形，目.E尸14C,可得4。=C。=2力。=3,E。=F。，在/?£4。0尸中，

tanz_OC/=黑=:，所以FO=EO=L进而得到E/7=2,所以S四边形力“2=累。。后?=4乂6x2=6.

(1)证明：•・,四边形48co是平行四边形，

||CD,

：.Z.ACF=^CAE,z.CFE=iAEF.

•IE口垂直平分4C,

•\EF1AC,AO=CO,

△AOE=△COF9

：.AE=CF,

・•・四边形AECF是平行四边形.

*：EFLAC,

・・・四边形AECF是菱形；

(2)解：•・•四边形4ECF是菱形，且EFJL4C,

・"。=CO=^AC=3,E0=FO,

1

-

在Rt△。。尸中，tanzDC/1=器3

：.F0=EO=1,

：.EF=2,

1i

••S四边形AECF=2AC'EF=2X6X2=6,

24.如图1,AB是OO的直径，点C为圆上一动点(不与点4B重合)，过点B的切线交4c的延长线于点D,

过点C作CE1AB于点E.

第13页

DD

图1图2

(1)证明：ABCE-△/MB；

(2)令t=配段.

①求t的最大值；

②若£=/，求tanD的值.

(3)如图2,点尸为0。上一点(C,尸分别位于直径A8异侧)，4A8F=2匕BAD,若拉鹿=卷，求

'△ABFb

tan/BAD的值.

【答案】(1)・・・8。是00的切线，是。。的直径，・・・48_LBD,^ACB=90°

*：CE1AB,

:・CD||BD

"ECB=LCBD

*：LACB=90°

：.^A+^ABC=90°

又・・・NCBD+N4BC=90。,

：.Z-CBD=z/l

:,乙ECB=乙4

又•：乙CEB=/-ABD=90°

△BCE—△DAB»

(2)解；@,：^ACE=90°-^-BCE=^ABC,Wan^ACE=^,tanzCFE=

・••霸二器，^EC2=AE-EB,

设BE=a,AE=b,a,bH0,

2

：.EC=AE-EB=abf

EC=\[ab>

'：CE||DB

；・△ACEADB

.CE_AE

••前二而

第14页

誓=电如地=假

,,DB=AEa7

S^BCE=匆=QX痴=ab

S^DAB~\ABBD.(a+b)^(a+b)~(a+b)2

,**(y/a—Vb)>0»即Q+b—2>fab>0

•'•a+b>2y[ab

A(a+b)2>4ab

QA11

-<=--

44

4ab

@Vt=i,ABCE*DAB

.CE_1

♦♦而二4

*：CE||DB

：.LD=LACE=乙ABC

由①可得C£=VH瓦£8=Q，则器=黑=!

；・。+b=3>[ab

:•舟辱3

设心m，吗+m=3

/.m2-3m+1=0

解得：加=法在

••♦tan。=tanzCFF=济*紧竽

（3）解：如图，连接0c

•・・A8是O。的直径,

・•・"=90°

'：CE1AB

：zCEO=90°

:.乙CEO=Z-AFB

第15页

*：Z-ABF=2^BAD,乙COE=2乙BAD

：.^ABF=乙COE

A△ABFFCOE

.S^cOE_rCO：_1

-4

设SAOE=2S,则SMBF=8S

•-SLACE--11

•S^ABF8'

；・SA4CE=11S

•'♦Sgcc=S^ABE~S^AOC~11S-2S=9S

.S&OCE_°E_2

,・小一荷一9

设BE=?n,4E=几，m,71H0,同（2）可得"=7mn

m+nm-n

：.OE=OB-EB=~~n=~

叱n

.-T-,2o

•*771+八—9

,n_7

,,记=TT

又•・•乙BAD=90-乙ABC=乙BCE,

•••tan/BAO=tan乙BCE=器=焉=器=括=察

【解析】【分析】本题主要对正切的定义，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆心角的性质等知

识点进行考查；

(1)根据题意8。是。。的切线，48是O。的直径，所以有HB_LBO,^ACB=90°,进而得到乙EC8=

乙CBD,根据角的计算可得ZCBO=44,Z.ECB=^A,进而得到△BCE〜△。48；

(2)①根据题意有NACE=90。一乙8CE=/A8C,可得tan〃CE,tan4C8E,所以煞二曾即EC2=45•

CCCD

EB,设BE=a,4E=b,a,b0,则EC=病，因为CEIIDB,可证明△4CE4OB可得到DB=

揉a+b)，进而根据"舞却虐尸盖1所以最大值%

②根据£=△BCE0/8,可得%=《，根据①中计算可知Q+b=37^,设但=m，则2+m=

y5-MCL771

3,所以机2—3m+i=o,解得小=3=\'5,所以tanD=tanzCBE=嘉=他=§=。.

2EB\a2

(3)根据题意月8是。。的直径，可推出乙4"=4COE,乙CEO=UFB,可证△4"〜△COE进一步得出

；:‘器=；，设SACOE=2S,根据=¥得出^^^=焉=/，设6E==几，八40,同⑵

第16页

解题思路可得EC=后防，得出白=1所以tan4B/W=tan/BCE=弟=

mCE11

(1)是。。的切线，A8是。。的直径，

：.AB_BD,AACB=90°

*：CE1AB,

：.CD||BD

:.乙ECB=乙CBD

■:乙ACB=90°

：.^A+^ABC=90°

又・・・乙。80+448。=90。，

:.乙CBD=4A

:.乙ECB=4A

又•：(CEB=4ABD=90°

△BCE“△DAB,

(2)解；®*：^ACE=90°-^-BCE=/-ABC,

AFCF

Vtanz/ICE=第,tan"BE=浣

.••需=焉，g|JFC2=AE-EB,

设BE=a,AE=b,a,bH0,

••EC2=AE•EB=ab,

***EC=>[aby

'：CE||DB

△ACEADB

.CE_AE

••前一而

CEAB—、阳(a+b)_[b

••DB=~AE~一a一孤9+")

S"CE=步®CE=ax、筋=ab

S^DAB\ABBD(a+b)器(G+b)(a+b)2

2

V(7a-Vb)>0，即Q+b—2\[ab>0

+b>2>/ab

；・(a+b)2>4ab

蛊=上,即£的最大值为，

(2)Vt=L△BCEDAB

.CE_1

・♦而=3

9：CEIIDB

ZD=Z-ACE—乙ABC

，Q+b=3y/ab

・耒+唇3

设第=m»则，+m=3

/.m2-3m+1=0

解得：皿=挛

.ci厂CE而m3±店

.・taiW=tan^CBE=而=.=&=~2~

•・F8是。。的直径,

・••乙F=90°

VCE1AB

:.乙CEO=90°

工乙CEO=Z-AFB

*：Z.ABF=2Z-BAD,Z-COE=2/-BAD

：.Z.ABF=乙COE

：.△ABF-△COE

•S^COE_(CO：_1

设SACOE=2S,则S△谢=8S

..SfCE_11

*S”BF8，

•♦•SAACE=IIS

1••S—cc=SMBE一$MOC=11S-2S=9.S

第18页

设BE=m,AE=n,m,n0,同(2)可得EC=y/mn

m+nm-n

：.0E=OB-EB=2n=~

m—nc

.n_7

,,m=n,

y.'：/-BAD=90-/,ABC=乙BCE,

•••tan/DAD=ta"CE=器=漏=肾屈=弯

25.我们约定：在平面直角坐标系中，关于工的两条不同的抛物线为=+b]X+Ci与+岳为+

C2,若它们都经过X轴上的不同两点做小,0),5(X2,0),则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”.根据该约

定，解答下列问题：

(1)若抛物线为=%2+%-6与%互为“共截距抛物线”，且、2经过点(0,12),求力的函数解析式；

(2)若抛物线%=%2一%-6的“共截距抛物线”为总不经过点P(m+2,m2—i),请求出符合条件的点P

坐标；

(3)设抛物线以=%/+济x+q(Q]>o)与它的“共截距抛物线,,当的图象顶点分别为点c,0,若抛物

线力与抛物线丫2的形状相同，且以4B,C,0为顶点的四边形有一个内角为120。，求该四边形的面积.

【答案】(1)解：在、1=%2+%-6中，当=%2+%-6=0时，解得x=2或％=-3,.•.抛物线为=%2+

x-6与x轴的两个交点的坐标为(一3,0),(2,0),

•・•抛物线丫1=x2+x-6与丫2互为“共截距抛物线”，

，抛物线丫2与x轴的两个交点的坐标为(-3,0),(2,0)，

可设丫2的解析式为丫2=+3)(%-2),

•・，2经过点(°，12)，

A12=Q(0+3)(0—2),

.*.a=—2,

的解析式为九=-2Q+3)(x-2)；

(2)解：在、]=%2一%一6中，当为=工2-X-6=0时・，解得无=-2或x=3,；・抛物线=工2-X-6与

x轴的两个交点的坐标为(—2,0),(3,0)，

:抛物线%=炉-x-6与y2互为“共截距抛物线”，

・•・抛物线丫2与x轴的两个交点的坐标为(-2,0),(3,0)，

•・•抛物线y2最多与x轴只有两个交点.

・••当「(巾+2,加2-1)在*轴上，且不与点(一2,0)和点(3,0)重合时，一定满足题意,

第19页

当瓶2-1=o时，m=1或m=-1>

当?n=l时，m+2=3,则此时点P的坐标为(3,0),不符合题意；

当m=-1时，m+2=1,则此时点P的坐标为(L0)，符合题意；

•・•抛物线丫2经过点(-2,0)和点(3,0),

・•・当点P的横坐标为一2或3时，且不与点(-2,0)和点(3,0)重合时，一定满足题意，

当?n+2=-2时，m=-4,则一1=15,此时点P的坐标为(-2,15),符合题意；

当m+2=3时，m=1,则巾2一1=0,此时点P的坐标为(3,0),不符合题意；

综上所述，点P的坐标为(1,0)或(-2,15)：

(3)解：・・•抛物线为=%%2+51%+勿=0心-%1)&-%2)的“共截距抛物线”为抛物线了2,且抛物线力与

抛物线丫2的形状相同，，抛物线丫2的解析式为丫2=|ail(x-Xi)(z-x2),

•・•抛物线丫2与抛物线均是两条不相同的抛物线，

，|Q1I=-即抛物线的解析式为=-即(%-%1)(%-工2)=-ai%2+«1(X1+%2)第一Q"l%2，

2

•・•抛物线丫1解析式为力=a1(x-x1)(x-x2)=aiX-矶勺+m口+。与％2=%/+6逐+q：

；♦一Ql[％l+X2)=匕1，Q1%1%2=C1，

，抛物线丫2的解析式为力=一。62一仇x-ci，

4ym°(_二,4勺与/2)％/勺q)

12%4al1I2al-4a1I\234Q〔I

・・・两条抛物线的对称轴重合，

由对称性可得40=BO,AC=BC，

如图所示，连接CO交力8于T,则4T=8T,CDLABt

Vai<0,

••必…匕产

・・・四边形ACBD是菱形；

如图所示,当NZZ4c=120。时，贝44c=60°,

x

b[-4a|C1

・•・AT=DT=4al=%2—4Q1C1，

tanzD/IT04、月旬

：,AB=

解方程+bxx+Cl=0得％=T1±M2-4印1,

2al

22

_bi+J%2_4.]C]-b1-Jb1-4a1c1Jbt-4a1c1

-AB

2。]2ci]Q]

第20页

.弧2一孙。1=比2_4*1

--26al'

•'12渡"1=儿2—4的0，

；・JKJ_2—Me1=26或—2-4。1臼=0（舍去），

••bi2—4。遇1=12,

.c-14Rrn-1比2-445%2_4.冯_6点

••S四边形4CBU一才小。。一t2面]2'4al一女

如图所示，当2408=120。时，则乙WT=^ADB=60°,

・♦・川=DT•tan^ADT=%.a=网、:眄⑴

4。14al

二2成=例4%£。

2al

同理可得48=41jji,

al

...M2_阿5=网％2—4。冯）.

出一2Q]

_2—4ale1=或历—2一4%。1=0,

4

62

-

3

2

.e、"（比2-4%3比-4a1C1_2G.

•・S四边形4C80-2AB'CD-2-----可-------2-----眄--西

综上所述，以4B,C,。为顶点的四边形的面积为或当或密.

【解析】【分析】（1）令y=0,求得以=产+工-6与x轴的两个交点的坐标为（_3,0）,（2,0）,因为两抛物线

共截距，所以则可设丫2的解析式为%=。（％+3）（%-2）,带入点（0,12）,可解得解析式为为二

—2（x+3）（x—2）；

（2）令y=0求得抛物线％=/一》一6与x轴的两个交点的坐标为（一2,0）,（3,0）,令％=0求得抛物线内与

第21页

x轴的两个交点的坐标为(一2,0),(3,0),因为抛物线为最多与X轴只有两个交点，所以当「(山+2,巾2一1)在

x轴上，且不与点(一2,0)和点(3,0)重合时，一定满足题意：当m=l时，m+2=3,则此时点P的坐标为

(3,0),不符合题意；

当租=一1时，7714-2=1,则此时点P的坐标为(1,0),符合题意；

抛物线丫2经过点(一2,0)和点(3,0)，当点P的横坐标为-2或3时，且不与点(—2,0)和点(3,0)重合时•，一定满足

题意，

当机+2=-2时，m=—4,则机2一1=15,此时点P的坐标为(-2,15),符合题意；

当m+2=3时»m=1,则/一1=0,此时点P的坐标为(3,0),不符合题意；

综上所述，点P的坐标为(1,0)或(-2,15)；

(3)因为抛物线y】=由d+匕6+仃=的。一片)。一工2)的“共截距抛物线”为抛物线丫2,且抛物线力与抛

物线力的形状相同，所以抛物线内的解析式为丫2=Iail(x-xi)(x-x2),可求出抛物线力的解析式为为=

则C\(一Z舞Q]，也喏4Q]S-)/，M\-级ZQ]，比4丁Q]叫1,所以两条抛物线的对称轴重合，由

对称性可得A0=8。，AC=BC^因为47=87,DT=CT,CD1AB,可证明四边形ACBO是菱形；

①/D4C=120。时与边囱曲=触8•CD=；•红蔡箸1•2•"七"=给；

②4DB=12。。时近边形皿/*B。•型毛产.2.略押=哥.

(1)解：在、1=/+%—6中，当为=%2+%-6=0时，解得%=2或%=一3,

・•.抛物线丫1=d+%-6与x轴的两个交点的坐标为(一3,0),(2,0),

•・•抛物线y1=%2+%-6与丫2互为”共截距抛物线”，

・•・抛物线丫2与X轴的两个交点的坐标为(-3,0),(2,0),

可设的解析式为=Q(x+3)(工-2),

•・，2经过点(0，12)，

・・・12=Q(0+3)(