高考数学 专题17 函数背景下的不等式问题（解析版）

专题17函数背景下的不等式问题

专项突破一利用图像解不等式

I.二次函数/（X）的图象如图所示，则的解集为（）

A.(-2,1)B.(0,3)C.(-1,2)D.(-co,0)53,+8)

[解析]根据函数“V）的图象可得f（x）<0的解集为3T<x<2],

而1）的图像是由/（A）的图像右移•个单位得到的，

A-l<x-l<2,解得0cx<3,故/（x—DvO的解集为（0,3）.我选：B.

2.已知函数“X）的图象如图•则不等式步。）>（）的解集为（）

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-l,0)U(0,l)C.(—1,0)51,3)D.

..x>0x<0

【解析】不等式MO）〉。，贝"〃力>0或，

/W<0

x>0[x<0

观察图象，解）（力>0得X>匕解得

所以不等式0>3>0的解集为（TO,-1）51，饮）.故选：D

3.已知函数）1=1吗.丫和％=（-2）的图象如图所示，则不等式产。的解集是（）

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[L2]

【解析】将如外图象合并至一个图，如图：若满足且2。，则等价于*%>0或)1=。，当xe(l,2)时,

>'2

*%>()，当x=l时，,=0,故丛之。的解集是［，2)

故选：B

4.已知八幻是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时，/3)的图像如图所示，那么不等式/*)>0的解集

是()

A.(-3,-l)Ud,3)B.(-U)C.(一1,0)51,3)D.(1.3)

【解析】由题可得，当%«0,1)时<(力<0,当工«1,3)时〃x)>0,

因为/(力是定义在(-3,3)上的奇函数，

所以当xw(T,O)时/(A)>0,当xw(-3,-1)时〃x)<0,

所以不等式/(x)>0的解集是(TO)U(L3).故选：C.

5.已知“力是定义在(0,3)上的函数，“X)的图象如图所示，那么不等式"x)<osx<0的解集是()

A.(0,l)U(2,3)

C.(O,1)UI|，3D.(OJ)U(1,3)

【解析】当Ovx<l时，/(工)<(),由f(x)cosx<0可得cosx>0,解得Ovx<l；

当lvx<3时.，/(x)>0,由/(x)-cosx<0可得cosx<0,解得］<x<3.

因此，不等式〃x)<osx<0的解集为(04)116,3).故选：C.

6.已知函数/*)的定义域为(F,y)，/'⑴为/⑴的导函数，函数)，=/'(X)的图像如下图所示，且/(-2)=1,

〃3)=1,则不等式/(/-6)>1的解集为()

A.(2,3)B.(-72,72)

C.(2,3)<J(-3,-2)D.(-00.-A/2)U(\l2.4-co)

［解析】由题当xe(TO,0］时，/'(外>0,「•为增函数，又•••/(-2)=1,丁-6>-2解得x<-2或x>2,

同理当xw［0,+oo)时,/'(x)vO,.•・/(X)为减函数，乂〃3)=1,/一6<3,解得一3Vx<3,综上

xe(-3,-2)0(2,3),故选C.

7.函数/(另=危；的图象如图，则/(“金〃-2〃的解集为()

A.(』一2)B.C.1D.(-U)

【解析】由图可知，f(x)=j^的定义域的定义域为卜3工土】｝，且经过点(0,-1),

而闪一"?¥0,解得|加〃7,所以〃7=1.所以/(。)=£=3=-1,解得〃=1.

所以启；=所以不等式“小〃?—2〃，得店K1-2X1=T，

1|.v|［IAI-1*0

即加+1=居皿等价于［加7)40,解得…%

综上，所求不等式的解集为故选：D.

8.如图为函数y=/（x）和y=g"）的图像，则不等式/。）抬（幻＜0的解集为（）

/尸小)F=MX)

A.(-oo,-l)U(-l,0)B.(-oo,-l)U(0J)

C.(-l,0)U(l,+oo)D.(0,l)U(i,4-oo)

【解析】当/(x)<0时，xe(f—1)U(O，1)，此时需满足g")>0,Jcw（-Ll）,

故xe(O,l)；当/(x)>0时，XG(-1,0)O(1,-HX)),

此时需满足g(x)〈0,XG(^O,-1)U(1,-KO),故X£(1,+CC)；

综上所述：x<“l)U(l，*°)•故选：D.

9.已知函数f(x)是定义在[<0)5°，4]上的奇函数，当x«0,4]时,/（、）的图象如图所示，那么满足不

等式的工的取值范围是()

11-

1234

A.[-1,O)U(OJ]B.[T-2]U(()，1]

C.[T,-2]U[2,4]D.[-l,0)U[2,4]

【解析】设&。)=3'-1,如下图所示,画出函数〃力在[-4,0)50,4]]1的图像，

ki.

1

8

可知/(A)与g(x)图像交于两点/\(l,2),B(-2,--),

9

/(x)>3^-l，即/(幻的图像要在g(x)上方,

所以满足条件的X的取值范围为:x«T-2]U(05.故选:B.

10.已知y=/(工)是偶函数，y二x(.t)是奇函数，它们的定义域均为[-3,3],且它们在xe[0,3]上的图

像如图所示，则不等式外。<0的解集是_____.

g(x)

【解析】将不等式I鱼<0转化为：f(x)g(x)<0,

g(x)

如图所示：当x>0时共解集为：(0,1)U(2,3),

Vy=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数,，f(x)g(x)是奇函数，

・••当xVO时,f(x)g(x)>0,・,•其解集为:(-2,-1),

综上：不等式的解集是{x|-2VxV-1或OVxVl或2VxV3}

g(x)

11.如图，函数y=的图象为折线/WC,则不等式/(力“噪产的解为.

2

【解析】因为)，=/(“经过C(4.0),C(0T)，所以x>0时/3=x-4,令g(x)=21og；x,

当工-4=21《唱「时，可得x=2,所以/(x)221og『的解集为{X|2KXK4}.

12.如图，函数，(x)的图像为折线46,则不等式/(.r)ln3Tna+2R0的解集为.

【解析】不等式可化为,“X)之与言=log3(x+2),作出)，=1%3(1+2)的函数图象如卜.:

设y=log3(x+2)与线段8C交于。，易得8c所在直线方程为y=-x+2,

fy=-x+2/、

联立方程组，,/八解得工=10=1,即01.1),

［y=Iog3(x+2)

则观察图形可得当一14工41时，/(x)>log3(x+2),即不等式的解集为卜1』］.

13.设奇函数/(x)的定义域为［-5,5］,若当xw［0,5］时,I(x)的图象如图,则不等式〈。的解集是

【脩析】奇函数图象关于原点对称,作出〃力在卜5,5］的图象如下:

由小)<。得仇力0或标小0,由图可知-541<一2或2<4£5,

•,R(x)＜。的解集为[-5,-2)U(2,5].

14.已知函数/(x)是定义在［—3,3］上的偶函数，当一34x40时，f(x)=x2+x-2.

(1)求函数/(处在卜3,3］上的解析式；

(2)画出函数/*)的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域；

⑶解不等式犷。-1)<0.

【解析】⑴•・•/(幻是定义在［—3,3］上的偶函数，当—3W0时，f(x)=x2+x-2,

当0vxK3时，则一34一不<0,则/(一x)=(-x)2+(—刈-2=X2一%-2=/(1)，

工'+x—2,-3WxK0

・•・/(X)在卜3,3］上的解析式为：/(*)=

x2-x-2.0<x<3

⑵函数/*)的图象如图:

由图象可知，函数/*)的单调递增区间是借，0),仁，3)；

则『⑴的最小值为最大值为f(3)=4,所以值域是-*4

广c,(x>0fx<0

(3)由V(xT)<0,得或《八，

x>0\<0x<0

所以《或I2C7K3‘解得：0"<3或-2"<T,

-2<x-l<2"-3<x-l<-2"

综上：不等式的解集为{x|0<x<3或一2<%<一1}.

15.已知/(x)=』Y，g(x)=W+k+2|.

人I1

5

4

3

2

I1III1

-54-3-2-\O12345x

-4

-5

⑴利用函数单调性的定义，证明：/（外在区间（T+8）上单调递增;

（2）用分段函数的形式表示g（x）；

⑶在同一坐标系中分别画出y=/（x）和y=g（x）的图像，并写出不等式/（力＞江力的解集.

【解析】⑴设任意〈七，可得,

\_J________吃_"卢2+/)-(/♦+')_

f(rf(Y用一电

d(2)、+]2-1+w)(i+xJ-

x+i（1+西）（收）’

因为一lv%v%2，所以％一%<0，(1+西)(1+9)>0,故/(xj</,(w),

所以函数/(x)在区间(T+oo)上单调递增；

(2)当xNO时g(x)=x+x+2=2x-2,

当xW-2时，g(x)=-x-x-2=-2x-2,

当一2cx<0时，g(x)=-x+x+2=2,

2x+2,x20

所以g(x)=<2,-2<x<0

-2x-2,x<-2

由图像可知，不等式解集为（-2,-1）.

专项突破二利用函数性质解不等式

1.不等式(2，-4).电%>。的解集为()

A.((),1)D(2,问B.(0,1)51。，转)

C.(O,2)U(1O,-K»)D.(10*)

2X_4>0—4<0

【解析】(2、一4).怆”。可得到：①或②，解①得：x>2,解②得：Ocvl,

'，[lgx>0[lgx<0

综上：不等式解集为(0」)52，内),故选：A

2

2.已知函数/(%)=/若/(3)之数则小的取值范围为()

乙，4~~\J

A.(^»,-3]U[4,-KO)B.{()}u[4,+oc)

C.[-3,0]u[4,-hx)D.[-3,0)u[4,+oc)

【解析】当.％〈()时，若/(飞)22,gp-v-3x0+2^2,解得—3K与<0：

当天NO时，若/(与)22,即2W322,解得无之4.

所以小的取值范围为卜3,0)=[4,+动.故选：D

3.已知定义在R上的函数)，=/(》)是偶函数，且在[0,+9)上单调递减，则不等式l)>/(x)的解集为

()

A.(2,+co)B.(-0o,0)U(2,+oo)C.g+8)D.U(2,+co)

【解析】因为/(x)为偶函数，且在[0,+oo)上单调递减，所以/⑴在(-8,0]上单调递增.

由f(x—l)>/(x),得|x-l|<|x|,解得即不等式/(X—1)>/*)的解集为故选：C

4.设函数/3=呵1+工2)+小，则不等式/(2犬-l)</(x)的解集为()

A.(l,+oo)B.C.18,；)u(l,+8)D.1,1j

【解析】由题意得，函数f(x)=ln(l+x2)+eW的定义域为R,

又f(-x)=ln[l+(-x)2]+=ln(l+x2)+eW=/(x),所以/(A)为偶函数，

当x〉0忖，函数y=ln(l+£)单调递增，)，=朋单调递增,

所以f(x)在(0,+oo)上单调递增，将不等式/(2%-1)</(X)化为|2x—1|<|乂，

等式两边同时平方，得(2x-l)2<f,整理，得3Y_4X+1<0,解得gov.故选：D

5.已知函数〃力=奇，则不等式〃回+/(唱<2/⑴的解集为()

A.(e,+oo)B.(0,e)

C.(0,小(Le)

【解析】由题知，函数的定义域为R，f(r)=［言=品=/")，

所以/(力=耳为偶函数，因为当x>0时，"力=耳7=丁匚=1一/匚,

1+凶1+国\+xl+x

所以，当x〉o时，/("=耳广丁匚=1一丁！一为单调递增函数，

1+Ld\+x1+x

国

所以，当X<()时，〃x)=为单调递减函数,

i+kl

^ln^=/(lnA)+/(inx-1)=/(lnx)+/(-lnA)=2/(lnx),

因为/(lnx)+y

I

所以〃ln.v)十/In-v2/(l)即为〃lnx)v/⑴,

x)

所以一Ivlnxvl,g|JIn-<Inx<Ine,所以xeA，e卜故选：D

e

6.已知函数〃x)是定义域为R的奇函数,当尤.0时，/(x)=x(l+x).若/(3+〃?)+/(3〃-7)>0,则〃?的取

值范围为()

A.(-20,0)B.(0,-H»)C.y,l)D.(!,+<»)

【解析】当x20时，/(X)的对称轴为X=-；,故/(外在［0,+8)上单调递增.函数在尸0处连续

又f(x)是定义域为R的奇函数，故/")在R上单调递增.

因为〃r)=—/(x),由〃3+加)+/(3,〃一7)>0.可得/(3+〃?)>“7-3〃?),

乂因为/(力在R上单调递增，所以有3+/〃>7-3用，解得〃>1.故选：D

7.已知〃》)=加(/+1),g(x)=g)一切，若Vx«0,3],叫41,2],使得/(%)2g(工)，则实数加的取

值范围为()

(11「1)「11

I4」L2)L4)

【解析】函数/(.r)=ln(x2+|)在做3]上单调递增，则有/。焉=/(。)=。，

又8“)=(£!t〃在【"I上单调递减，则有8(幻而n=g(2)="-〃?，

因为办e[0,3],切w[l,2],使得/㈤欠⑻，于是得:-〃区0,解得m2；,

所以实数”的取值范围是；，+8).故选：D

8.已知偶函数””在(Y,0]上单调递增，且/(2)=0,则不等式叶(1-1)<0的解集为(

A.S，-1)U(“3)B.(-1,U)U(3,+8)C.(-1,3)D.(一2,叽(2次)

【解析】偶函数/(X)在(-8,0]上单调递增，则/(力在(0，内)上单调递减，而"2)=0,

因4(丈-1)<0,则当x〉()时，/(x-l)<0^/(|x-l|)</(2),即|x—162,解得工>3,

当工<0时，/(x-l)>0^/(|x-l|)>/(2),即|x-l|<2,解得-IvxvO,

所以不等式必(犬-1)〈。的解集为(-1，0)53，+8)做选：B

9.已知函数，(幻=加-4以+2("0),则关于x的不等式/*)>1鸣］的解集是()

A.(-co,4)B.(0,1)C.(0.4)D.(4,+8)

【解析】由题设,/(x)对称轴为人=2且图象开口向下，则/3在(0.2)上递增,(2,+oo)上递减,

由f*)=ax2-4ax+2=at(x-4)+2,即/*)恒过(4,2)且/(O)=2,

所以(0,4)上/(x)>2,(4,+OO)±/(X)<2,

而)，=log2K在(0,+00)上递增，且[0,4)上)，<2,(4,+oo)_hy>2,

所以/(x)>log2X的解集为(0,4).故选：C

—,x<0

X

10.若函数〃力二门丫，则/(3)=；不等式|/(x)|Nl的解集为

小。

【解析】〃当x<°时,晌’所以一2解得:(|丫

-l<x<0；当xNO时，->1,

)

解得：x<0,所以x=0,综上：-r€[-l,O].

，七、0，则不等式/W>2的解集为

11.已知函数/(》)=«

[loga5(2-x),x<2

x>2x<27

【解析】由题意，得rc或Is\解得X>4或二<x<2

[4X>2[log05(2-A)>24

所以不等式/(x)>2的解集为仔,21(4,+8)

12.已知函数/*)=、’/若/(/⑴”4a,则实数。的范围为__________

x+ux,x>2

【解析】因为八1)=3'-'+1=2,/(/(1))=/(2)=23+2«=8+2«,

所以由/(7(1))2.=8+勿之4。=。<4,

2r+2Y00

13.已知函数=J2cx，则小等式/(M>1的解集为.

■A,"/、(2x+2,x<0,、[2x+2>1x>0

【解析】因为小)=2c20，又/⑺“即或24,

解得或工>0,综上可得原不等式的解集为信收｝

14.已知函数若/年-2。)”(。-1)则实数。的取值范围是

【解析】由题函数/(%)=•在(fo,0]单调递增，在(0,~)为常数函数,

且/(0)=2.若/(a2-2a)K/(,Ll),

/-2aNO

则/一2。<〃一1<0或/一一1或,

<7-I>0

cr-3a+\<0>a2-2a<0a2-2a>0

则,或jby

a<\0<a-\”120

解得：苧V或』。或心2,综上所述：41收

10V-2-102-X,X<2

15.已知函数/(*)=<则不等式〃x)+/(x-l)<。的解集为

|x-3|-l,x>2

【解析】①当时,--lWl,•・・〃力=16-2一102;在(_00,2］上单调递增,

.•J(x)"(2)=0,乂/(1)寸⑴"(2)=0,"(xH/dvO恒成立;

②当2<x«3时，l<x-l<2,/(x)=|x-3|-l=2-x<0,

又f(x-l)W/(2)=0,.•./(x)+f(x_l)vO恒成立；

③当3<工<4时，2<x-l<3,/(x)=|x-3|-l=x-4,/(x-l)=|x-4|-l=3-x；

.•./(x)+/(x—l)=-l<0,恒成立;

④当/>4时，x-l>3./(x)=|x-3|-l=x-4,/(x-l)=|x-4|-l=x-5,

Qg

二.J(x)+f(x—1)=2x—9vO,解得：x<—,4<x<—；

22

综卜.所述：不等式〃刈+“无一1)〈0的解集为18§

7

6已知函数八x)=V-言+「则不等式八20+/。-〃)>°的解集是一

7

【解析】因为小)力-77T+1,定义域为R,关于原点对称;

又f(X)+/(T)=V—S+1—9-4+1=0,故/(X)为奇函数；

e+1e+1

又),==-品+1在R上为单调增函数，故/(“在R上单调递增.

则/(2«)+/(1-«)>0,^f(2a)>-f(\-a)=f(a-1)t

则2a解得故不等式解集为

17.已知函数〃耳=(丁-^十25出"丫>0),则满足“1-入)>/(6的x取值范围是_________

fl-x>0

【解析】八=0<工<1,

x>0

而yy=--,y=2sinx均在区间(0,1)内单调递增，

3x

故了⑶在区间(0,1)内单调递增，则/。一幻>/@)可化为l-x>x>0,解得xe(O,g)

18.要使函数y=l+2'+4。〃在xe(fo,l］时恒大于()，则实数。的取值范围是

【解析】因为函数y=l+2、4'•。在时恒大于0,

1+2、

所以。＞一在X£(YO,|］时恒成立.

4'

0

1+2V1+2,、x1

令f(x)=-，则/")=+—

412>2J4

1

因为X£(-00』］,所以+4，Ze

因为g“)在不I，+8上为减函数，所以g("4g51)=—(不1+不1)2+1：=3-；,gp^(Z)ef-co,-|-

一乙)22244

因为。＞g«)恒成立，所以。《卜?，”.

x?-1,—1Kx<2,

19.已知函数/(x)h

/(A-3),2<X<5.

⑴在所给的直角坐标系内画出/(x)的图象并写出/(x)的单调区间;

⑵求不等式/3)-1＜0的解集.

【解析】(1)由解析式知：

X-1012345

/⑶0-100-100

/。)的图象如下图所示:

由图象知，/(")的单调递增区间为(0,2),(3,5),单调递减区间为

⑵令/_1=］,解得x=&或-血，

结合图象知:的解集为［-1,&)52,3+应)。{5}.

3-X2,XG[-1,2]

20.已知函数/(%)=•

X-3,XG(2,5J

(1)在如图给定的直角坐标系内画出/(X)的图象;

(2)写出/⑴的单调递增区间;

(3)求不等式/(幻>1的解集.

【解析】(I)

(2)由图可知〃功的单调递增区间[T,0],[2,5]；

(3)令3-/=],解得x=&或-7^(舍去)；令1一3=1,解得x=4.

结合图象可知的解集为[-1,夜)u(4,5]

21.已知函数-S+1)工+1

⑴解关于x的不等式f(x)>-a+\

⑵当〃=()时，对V/占«/,/+1都有|/(即-/(与)|<4恒成立，求实数f的取值范围

(解析]⑴/(X)>+1。x2-(t?+l)x+tz>0=(x-l)(x-t?)>0

・••当a>l时，解集为(-oo,l)U(a,+R)；当a=l时，解集为卜卜工1｝；

当。<1时,解集为(-«)M)U(1,+00)；

(2)因为〃=0,所以/(幻=丁-x+l,

因为对Vx，X2«U+l],都有|/㈤-/(占)卜4恒成立，所以[/(x)LT"t)L<4,

当时，即时，［/（切,=产一+1,［/（叫而引+旷一”+9］,

乙乙

所以—2］<4,所以/>—2,故一2</工一］,

2

।7/I\1

当一「KO时，［/（吸方⑺=/―/+］<“［/（切而产也后，所以6幻LT"E）L<4,

故一;</K0,

30<r<|w,［f（x）］^=f（t+\）=r+i+\<^,［/（x）］min=/^j=1

所以［/*）LH/*）L<4,故0<f《，

当时，［/（切所尸-+1,［/（切四=。+1）2-（，+1）+1，

由［/⑼a-U'（x）L<4可得2/<4,故;<f<2,

乙

所以-2</<2

22.已知定义域为R的函数/（x）=£高是奇函数.

⑴求y=/（x）的解析式；

⑵若/1。氏％•噫2+/（I-⑼>0恒成立，求实数用的取值范围.

【解析】（1）因为函数/*）=式备为奇函数，

所以/（-）=—/（］），即会初=一狂，

所以台4二一售，所以（'T（2、+i）=o,

1-?v

可得。=1,函数/（幻=苗7r.

，、,・「/、1-2'I2r-lI,I

（2）•f（x）=--------r=---------=------1--------,

2+2卬22、+122、1

所以在（—,■）上单调递减，且为奇函数，

由『（1。82r1唱：）+/。一⑼>°，得了log2xlog2^>-/（l-w）=/（w-l）,

所以log2*（2-log2%）v/〃T,设，=10824，/eR,

则/・（2T）〈机一1,乂），=八（2-/）=一（，一1）2+1<1,所以"?一1>1,即〃>2,

故实数〃?的取值范围（2,+8）.

23.已知函数/(x)=ln(与空],其中加乂)且/(1)+/(-1)=。.

⑴求〃，的值并写出函数的解析式：

(2)求函数的定义域，再判断并证明函数/(X)的奇偶性；

⑶已知/。)在定义域上是单调递减函数，求使/(x)<h】3的工的取值范围.

【解析】(1)由/(l)+/(—l)=ln(^^)+ln(2+m)=ln(^^)=0，

...士”=1,解得〃?=1。稣0),..J(x)=ln

⑵由=得，浮>0。(2-"(2+村〉0,解得-2c<2,

所以函数/*)的定义域为(-2,2),该定义域关于原点对称，

又[。)+/(_%)=历(台)+In(铝)=In=In]:0,

\2+xJ\2-xJ(2+x)(2-x)

即f(k)=-/(-x),所以函数/(x)在(-2,2)上为奇函数.

⑶由/3)在定义域上单调递减，f(x)=lnj；±]vln3=/(—1).得工>—1,又一2Vx<2,所以XG(T2).

24.已知函数,(数=|x+a|+|x+”.

(1)当。=T时,求/(x)W3x-2的解集；

⑵设g(x)=Y-4x+4+/,若对网e[3,+oo),孙WR,使得/(%)《g(占)成立，求实数〃的取值范围.

1—2x,x<-1,

【解析】⑴当。=一1时，/(x)=^2,-l<x<L,

2x,x>1,

x<-\-1<A<1

①无解;②.无解;③解得“22

—2x43x—22W3x-2’[2x<3x-2

所以f(x)<3x-2的解集为[2,+oo)；

(2)因为xwR时，f(x)=\x+a\+\x+\\>\x+a-x-\\=\a-\\,即/(幻而nT。-"，

因为g(x)=丁-4x+4