2026年四川省南充市高三二诊高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页南充市高2026届高考适应性考试（二诊）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，用0.5毫升黑色字迹笔书写.一、单项选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则（

）A． B． C．3 D．52．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（

）A． B． C． D．4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．5．的展开式中的系数为（

）A．1 B．6 C．15 D．206．在中，，，若，，，相交于点，则（

）A． B． C． D．7．已知角，满足，，则（

）A． B． C． D．28．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9．函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称10．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（

）A．异面直线与所成角的余弦值为B．当时，二面角的正切值为C．四面体的外接球体积为D．若，则的取值范围是11．假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（

）A．B．C．设，则D．设，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，，则_____________.（结果用和表示）13．在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为_____________.14．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.16．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人.(1)根据以上数据，填空下述列联表：甲组乙组合计男生女生合计(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关；(3)现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，.参考数据：17．已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，.(1)求的值；(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若为上一点，，求.18．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，是的一个极值点，，是两个不同的零点，记，，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.19．已知椭圆的离心率，.(1)求椭圆的方程；(2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足.（ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值；（ⅱ）求四边形面积的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】∵，∴.∴.2．D【详解】由题可知，解得，则集合，因为，则，则集合，所以.3．C【分析】利用抛物线的定义可得结果.【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设圆心为，因为点在抛物线上，由抛物线的定义可知点到直线的距离等于，由于圆与直线相切，故圆经过定点.4．A【分析】由函数定义域、值域及对称性判断.【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误；CD选项，对于函数，当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误；A选项，函数，定义域为，，函数为奇函数，图象关于原点对称，当或时，；当或时，.A选项正确.5．B【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数【详解】化简得到，的展开式通项为。令，即，得到，故的系数为.6．B【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解【详解】因为又与共线，可设，则，同理与共线，设，又所以又所以，解得故所以又故7．D【分析】利用三角恒等变换，将已知条件转化为关于的关系式，再结合，求出，最后用正切和角公式计算.【详解】因为，所以，所以，即，化简可得：，又因为，所以，所以，所以.8．A【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算.【详解】由双曲线，得：，，，所以焦点，，过的直线与右支交于，，且，设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有，又，解得，，以为起点向右移动4个单位得，因此内切圆圆心在直线上，设，，，不妨点在第一象限，同理，由三角形面积公式：，又的周长的一半，内切圆半径，且，得，由焦半径公式，代入得，故，同理，于是当直线的斜率不存在时，可得，代入到双曲线方程中，得，，此时；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则，代入双曲线方程得，由韦达定理，计算，；；于是.9．AC【详解】由图可得：，，由，由，.因为，所以，.所以.故A正确，B错误；对C：因为，所以关于点对称，故C正确；对D：将的图象向左平移个单位长度，可得函数，当时，，所以函数的图象不关于原点对称.故D错误.10．ABD【分析】建系借助空间向量判断A选项；根据二面角的定义判断B选项；设出外接球球心，根据球心到各点距离相等得到球心坐标和半径进而判断C选项；根据E点坐标结合三角函数换元，利用三角函数值域即可判断D选项.【详解】以为原点，为轴，为轴，​为轴，建立如图空间直角坐标系，，设，，，所以故异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；过作，垂足为，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又，故，又，，平面，所以平面，平面，故.所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分，所以在平面上的轨迹方程为，而DE=1，故此时的轨迹方程为，联立​，得，，因为平面，平面，所以，根据二面角定义可知​是二面角的平面角，则，故B正确；而直角三角形外心为中点，设外接球心为，由球心到各点距离相等得，即，解得​，半径，体积，故C错误；得，故，因为的轨迹方程为，设，得，而，故，所以，故D正确.11．ACD【分析】设元件总数为，寿命为年的元件数为，根据给定条件可得，进而求出，再结合条件概率公式及错位相减求和法逐项判断.【详解】设元件总数为，寿命为年的元件数为，依题意，，整理得，则，两式相减得，，因此，而，则数列是首项为，公比为的等比数列，，对于A，，A正确；对于B，由，得，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，设，则，，两式相减得，因此，D正确.12．【分析】根据换底公式及对数的运算法则可得.【详解】.13．【详解】如图所示，由三角形重心性质可知，因为是的中点，所以，所以，得，解得，可知，所以.14．【分析】设，利用四点共面，可得，再进一步确定，进而得到，再计算得，结合得到的范围．【详解】解：如图，延长分别交平面、平面于，平面与棱，分别相交于，连接交于，又为正四面体，不妨设正四面体的边长为，为的重心，为的中点，，，设，，共面，，解得，即，又，，，，即，即，，，，且，．15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到和，根据条件可得，再由求.（2）利用裂项求和法求和即可证明.【详解】（1）由题意，，，所以.当时，.当时，.当时，上式亦成立，所以.（2）因为，所以，因为，所以.所以.16．(1)甲组乙组合计男生女生合计(2)有关，理由见解析(3)分布列为数学期望为【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；（2）零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值.【详解】（1）根据题中数据可得列联表如下：甲组乙组合计男生女生合计（2）零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关.（3）从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人，由题意可知，随机变量的可能取值有、、，，，，所以随机变量的分布列如下表所示：所以.17．(1)3(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用外积分的长度规定结合求的值；（2）求出平面的法向量，向量法求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，，由与均垂直，求出的值，得到，再由，求的值.【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，得，，，，，，化简得，即，又，解得.（2）若为线段的中点，有，，设平面的一个法向量为，，令，则，即，又，设直线与平面所成角为，则.（3）为上一点，设，，则，设，，，又，，则有，解得，所以，，又，则.18．(1)(2)（i）证明见解析；(ii)不可能，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求得曲线在点处的切线斜率，即可写出相应的切线方程；（2）（i）先求出函数的极值点，再根据函数有两个不同零点得到相关等式，通过构造函数并分析其单调性来证明不等式；（ii）假设为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到等式，通过分析等式是否成立来判断是否可能为等腰三角形.【详解】（1）函数的定义域为.，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为.，令，则，即.解得.当时，，所以，所以.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得极大值.所以.又，所以，.（ⅰ）证明：令，则.因为，所以恒成立，所以恒成立，所以是减函数.因为，所以，即，即得证.要证，只证，因为当时，单调递减，所以只需证.由，得，即.所以.令，则恒成立，所以是增函数.因为，所以.所以得证.综上，得证.（ii）由（i）得，，所以，又，所以.，因为，所以.所以.所以若为等腰三角形，则，即是的中点，即，与矛盾，所以不可能是等腰三角形.19．(1)(2)（i）证明过程见解析.（ii）.【分析】（1）由椭圆中，再结合已知条件可求得椭圆方程.（2）设过的直线方程，与椭圆联立，（i）中利用韦达定理和弦长公式分别写出与，由即可证明直线，的斜率之和为定值.（ii）将四边形面积表示为（为两条直线夹角）