2025-2026学年下学期江西八所重点中学高三数学4月联考（含答案）

江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若全集U={0,1,2,A.{5,6}B.{2.已知复数z满足1+3i+i=zA.32iB.−323.已知sinα−π+3A.310B.35C.34.设单位向量e1,e2的夹角为23π,a=e1A.12B.32C.−5.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,满足a2⋅a5=4a6,a3−a2=48,记A.464B.465C.466D.4676.若甲盒中有3个白球,2个红球,1个黑球,乙盒中有x个白球x∈N,3个红球,2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于49,则xA.5B.6C.7D.87.已知两定点F1−3,0和F23,0，双曲线Γ以F1，F2为焦点且经过动点M，若M在直线A.355C.6558.已知函数fx=ex+x−m的零点为x1,函数gx=lnx+x−A.2,+∞B.e+1e二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.若a,b,A.若a<b,cB.若a<b,cC.若a>0,b>0,且1a+D.若a>0,b>0，且a+10.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点(A位于第一象限)，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为A.AB的最小值为2B.若直线l交y轴于点M,2FA=C.抛物线C在点A,BD.若A1B1=4，则梯形11.在三棱锥S−ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥AC,且SA=AB=AC=1.动点P在侧面SBC内(包括边界)运动，且满足点P到平面ABC的距离等于点P到点A.三棱锥S−ABC的外接球的表面积为B.二面角S−BC−AC.三棱锥P−ABC的体积的最小值是D.过点P平行于平面ABC的平面截三棱锥S−ABC所得截面面积的最大值为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.x+113.已知函数y=fx满足fx+fx+1+fx+14.在三角形ABC中，∠BAC=60∘,BC边上的中线AD=2，外心为O，重心为四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本题满分13分)有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件A为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件B为“选到的学生为男生”，且PA=35(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为p,求p性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计(2)依据小概率值α=0.001参考公式与数据:χ2=nad−α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82815.(本题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足(1)求数列an(2)设bn=n+2annn+12417.(本题满分15分)如图,四棱锥P−ABCD中,BC⊥平面PAB,平面PAC⊥平面(1)证明:PA⊥平面ABCD(2)点E为线段PD上一点(E与P，D不重合).(i)若PEPD=13，求二面角(ii)是否存在点E,使得B,C,P,E四点共球且该球心位于平面ABCD内,若存在,指出点E18.(本题满分17分)若椭圆:x2a2+y2b2=1a>0,b>0上一点Px0,y0处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.已知椭圆C:(1)求椭圆C的方程；(2)连接AQ,BQ,BP，并过A,B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作BQ的平行线交AQ于M点,直线OM(O为坐标原点)交直线BQ于点N,直线AQ和直线BP的斜率分别为k1和证明(i)k1k2为定值;(ii)19.(本题满分17分)已知函数fx(1)若a=1时，求函数gx=fx(2)若∃x1,x2>0，使得当x∈x(i)求实数a的取值范围;(ii)证明:x1江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案一、选择题题号1234567891011答案ADBDCBACACACDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.2521.ACUA={x∣2.D1+3i=1z=2+i1−i=23.B由已知可得−sinα+3cosαsin2α4.Db在a上的投影数量为a⋅a•ab在a上的投影数量为−35.C由已知得anb当n=1时,b1=2,当n设数列数列bn的前30项和为TT6.B设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件A1,的球颜色相同为事件B,则P=12×x+故x≥6，所以x7.A焦距F1F2=6,半焦距c=3,离心率e=3a,求e的最小值即求实半轴长a的最大值.a=12MF1−MF2,先求MF1−MF2的最大值.由于MF23,0关于直线l:y=2x+即MF1−MF2的最大值为故双曲线离心率的最小值为emin8.Cfx=ex+x−m,gx=lnx+x−m=lnx+elnx−m=elnx+lnx−m=flnx,fx在R上单增,ex+x=m,当x=0时,二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.AC由不等式性质可知A正确,B错误C选项,由已知得1a+1b=1,则D选项,∵a2+b10.ACD由抛物线焦点弦最短可知A选项正确由2FA=AM,F1抛物线在A,B处的切线分别为y1y=x+x1,y2y=x+x2,两条切线斜率之积为y1y2=−11.BCD三棱锥S−ABC的外接球半径为体对角线的一半,R=32,表面积二面角S−BC−A即平面SBC与平面ABC的夹角。平面ABC的法向量为n1=0,0,1,平面SBC的法向量为n2=1,1以A为原点，建立空间直角坐标系:A0,0,0，B1,0,0，C0,1,0，S0,0,1。平面SBC的方程为x+y+z=1。设Px,y,z,由条件z=x2+y过P且平行于平面ABC的平面方程为z=zP,截面为直角三角形,面积又zP∈3−三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.252x5x+110展开式的第r+1项系数为C10r1r=C10r13.-1已知fx所以fx+fx则fx14.0,43设AB=c,AC=b,BC=a,三角形ABC的面积为由面积公式:S=12bcsin由中线长公式:AD2=2由余弦定理:a将2代入1得:2b2+2c将bc=4S3代入式(3)，得由基本不等式b2+c2≥2bc,得S>0,故外接圆半径R满足:2R=asin60∘由2和3消去b2+c2,结合bc=由OG=13OA+求OG的取值范围:当S→0+时,OG→43;当S=4四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(1)愿意报名参加答题活动的人数为200×35=120，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为120×人数为100−80=20性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动8040120合计1001002004分由表格得不愿意参加答题活动得80人有60个女生,所以p的估计值为6080=(2)零假设为H0根据表中数据可得,χ2=根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,我们推断H016.(1)已知S当n=1时，S1=a1当n≥2时，Sn−1=2an−1−两边同除以2n，得an2n−an−12n−1=故an2n=6+由an=3n=34则数列bn的前nT=15分17.(1)方法一:由BC⊥平面PAB,PA⊂平面PAB因为平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,取AC的中点为K,又因为BA=BC,所以BK⊥AC,所以BK⊥平面PAC,因为PA⊂平面PAC,所以BK⊥PA方法二:因为BC⊥平面PAB,BA⊂平面PAB,得BC⊥BA,又因为AB=BC=1,所以又AD=2，由余弦定理得CD=2，所以DC⊥CA，又因为平面ABCD⊥平面PAC，且平面ABCD∩平面PAC=AC，所以DC⊥PA，又因为BC⊥PA(2)(i)以A为原点，AB,AD,AP方向为x,y,z轴方向建系，则有A0,0,0,平面PAC的法向量:设n1=x,y,z,由AC⋅n1=0,AP⋅n1=0得x+y=0z=0令x=1得n设二面角P−AC−E的平面角为θ,注意到所以cosθ=n1⋅n2n1⋅(2)(ii)设PE=λPD0<λ<1设过B,C,P,E四点的球的球心为Ox,y,x−12+令z=2−5λ2=综上:即PE=45PD时点E使得B,C,P18.(1)由题意可知−1,32在椭圆上,且由e=32,可得(2)(i)由题意可知直线AB不与x轴重合，设直线AB:x=myxy1+k1k又因为y1+所以k1k(ii)由题意可知过点A的切线和点B的切线分别为:x1x4+y1x1xyD=1+x1直线lDM:y−yyx=−1+kOM=y1x1−2x即OM//BP可得N为BQ