2026年甘肃省兰州市初中学业水平考试模拟试卷数学(四)(含答案)

2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷数学(四)一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作+8元，那么转出6元记作（）A．﹣6元 B．+6元 C．16元 2．北斗系统是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，MEO卫星的轨道高度约为21500000米，将21500000用科学记数法表示应为（）A．0.215×108 B．2.15×107 C．21.5×106 D．215×1053．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝160°，∠2＝30°，则∠3为（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为（）A．25-2 B．25+1 C．5．司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A﹣H为八个等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（）A．60° B．50° C．45° D．30°6．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定7．已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=-6x图象的一个交点坐标为（2，A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）8．【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因BB，bB，Bb均为双眼皮．【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（）A．16 B．14 C．139．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“4000xA．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个10．如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①2CM=2AE；②点B，M，A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对11．如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（）A．42 B．46 C．48 D．50二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）12．分解因式：9﹣m2＝．13．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF（BE＜BD），连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为．15．清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD=12(BC+AB2-AC2BC)三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（5分）化简：（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣y）2．17．（5分）解方程组3x-4y=-6x+2y=818．（5分）解不等式组：3x+1＞x-3x-119．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣6，1），B（1，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点Q在反比例函数y=mx位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，且点Q在点B的右边，请求出20．（7分）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7（7分）【发现问题】近年来，我国无人机技术发展迅猛，新型号无人机不断面世．某科研单位为保障某种型号无人机能安全投产，现针对该种型号无人机的降落情况进行测试．一架该型号无人机在跑道端点处着陆后，相关滑行数据如下表：滑行时间t（s）01234…滑行速度v（m/s）6056524844…滑行距离y（m）058112162208…【提出问题】这架该型号无人机在跑道端点处着陆后，滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系和滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系是不同的．【分析问题】科研人员在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，如图1，图2所示，据此猜想了函数关系，并进行了验证．【解决问题】（1）请直接写出这两个函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（2）若该无人机在跑道端点处着陆后，当滑行400m时，求此时无人机的滑行速度；（3）求该无人机在着陆的过程中，以不大于20m/s的速度滑行直至停止，一共滑行了多少米？22．（7分）以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，取AB，BC中点D，E，将△ABC沿DE剪开，得到四边形ACED和△DEB，将△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG．【操作发现】（1）若FG交BC于点M，求证：MF＝ME．【深入探索】（2）在（1）的条件下，同学们发现将△DEB旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．①如图1，若FG∥AD，求MF的长；②如图2，若A，F，G三点共线，求MF的长．【拓展延伸】（3）在△DFG旋转的过程中，请直接写出△CFG面积的最大值．23．（7分）某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单果质量，将测量的数据制成如下统计图：统计量产地平均数中位数众数甲25.325b乙ma24解答下列问题：（1）填空：m＝，a＝，b＝；（2）测量数据的方差越小，荔枝的大小越匀称，可以判断产地的荔枝更为匀称；（3）若规定质量不低于25克的为大果，超市购进两箱甲产地的荔枝，净重101.2千克，请你估计其中大果的数量．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC相切于点D，与AB相交于A，E两点，连接AD，DE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE＝5，tan∠BAD=12，求⊙25．（8分）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【动手操作】如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展开纸片，得到折痕MN；过点M，C折叠纸片，使点B落在点B′处；再沿过点C的直线折叠纸片使得CD与CB′重合，折痕交AD于点E．求知小组的同学们通过观察猜测E是AD的三等分点，并进行证明，过程如下：设AD＝AB＝x，DE＝y，则AM=BM=MB'=12x，B′E＝DE∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠B＝∠D＝90°．由折叠的性质，得∠CB′M＝∠B＝90°，∠CB′E＝∠D＝90°，∴∠MB′E＝∠CB′M+∠CB′E＝180°，即M，B′，E三点在同一条直线上在Rt△AEM中，AM2+AE2＝EM2，可列方程①，整理，得x＝②．∴AD＝3DE，即E是AD的三等分点．（1）请将上述过程补充完整：①；②；【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展开纸片，得到折痕MN；折叠纸片，使点C与点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，点D的对应点为D′，MD′交AD于点G．（2）判断点G是否为AD的三等分点，并说明理由．【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在点B′处，折痕交边AB于点E；再沿过点C的直线折叠，使CD与CB′重合，折痕交边AD于点F，将△AEF沿EF折叠，得到△PEF．（3）若正方形ABCD的边长为6，当点P落在△CEF的边上时，请直接写出BE的长．26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB．给出如下定义：若存在点C，使得直线AC与⊙O有且仅有一个公共点，并且∠ACB＝α，则称点C为弦AB的“α伴随点”．（1）已知点A的坐标为（0，1），B的坐标为（0，﹣1），在点C1(233，1)，C2（23，1），（2）若弦AB的长度为3，且存在唯一的点D为弦AB的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；（3）已知直线l：y＝﹣x+m与x轴交于点N，与y轴交于点M，若⊙O上存在弦EF=2，使得线段MN上总存在弦EF的“45°伴随点”，直接写出m2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷数学(四)A2.B3.D4.A5.C6.B7.D8.B9.A10.A11.C12．（3+m）（3﹣m）13．814．75或15．916．解：原式＝x2﹣9y2﹣（x2﹣2xy+y2）＝x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣10y2．17．解：3x-4y=-6①x+2y=8②，②×2得：2x+4y＝16①+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入②，得2+2y＝8，解得：y＝3，∴方程组的解为x=2y=318．解：3x+1＞x-3①x-12＞x3②2x＞﹣4，x＞﹣2．由②得：3（x﹣1）＞2x，3x﹣3＞2x，3x﹣2x＞3，x＞3，∴不等式组的解集是x＞3．19．解：（1）由条件可得1=m解得m＝﹣6，∴反比例函数解析式为y=-6把B（1，n）代入y=-6x中，得出∴B（1，﹣6），则把A（﹣6，1）和B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b得出1=-6k+b-6=k+b解得k=-1b=-5∴y＝﹣x﹣5；（2）由（1）得出y=-6x设点Q的坐标为(q，-6q)(q＞0)∵△QAB的面积为21，A（﹣6，1）和B（1，﹣6），∴21=(1+6)×(q+6)-1整理得21=7×(q+6)-49解得q＝3（负值已舍去），经检验q＝3是原方程的解，∴Q点坐标为（3，﹣2）．20．解：由题意得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，设BD＝x米，则AD＝AB+BD＝（x+71.3）米，在Rt△CDB中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD•tan60°＝x（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD•tan37°≈0.75（x+71.3）米，∴x＝0.75（x+71.3），解得：x≈56.29，∴CD＝x≈95.7（米），∴黄河楼CD的高约为95.7米．21．解：（1）由图象可知，滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系是一次函数，设v＝mt+n，把（0，60），（1，56）代入解析式得：n=60m+n=56解得m=-4n=60∴v＝60﹣4t，当t＝2时，v＝60﹣4×2＝52；当t＝3时，v＝60﹣4×3＝48；当t＝4时，v＝60﹣4×4＝44．∴滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系为v＝60﹣4t；由图象可知，滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系二次函数，设y＝ax2+bx+c，把（0，0），（1，58），（2，112）代入解析式得：c=0a+b+c=58解得a=-2b=60c=0，∴y＝﹣2t2+60t，当t＝3时，当t＝4时，y＝﹣2×16+60×4＝208；∴滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系为y＝﹣2t2+60t；（2）当y＝400时，400＝﹣2t2+60t，解得t＝10，t2＝20，∵y＝﹣2t2+60t＝﹣2（t﹣15）2+450，∴当t＝15时，y最大，即飞机滑行15秒停止，所以t2＝20不合题意，舍去，∴当t＝10时，v＝60﹣4t＝60﹣40＝20，∴无人机的滑行速度为20米/秒；（3）当v≤20时，60﹣4t≤20，t≥10，即滑行10s后直至停止的速度都不大于20，由y＝﹣2t2+60t知，当t＝15时，飞机最远滑行了450米，当t＝10时，飞机最远滑行了400米，∴当10≤t≤15时，飞机一共滑行了50米．22．（1）证明：如1，连接DM．∵∠C＝90°，取AB，BC中点D，E，∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝90°．∵C，E，B三点共线，∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝90°．∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，∴DF＝DE，∠DFG＝∠DEB＝90°，∴∠DFG＝∠DEC＝90°．在Rt△DFM和Rt△DEM中，∵DM=DM，∴Rt△DFM≌Rt△DEM（HL），∴MF＝ME．（2）解：①如图，记DG交BC于点O．∵AC＝6，BC＝8，取AB，BC中点D，E，∴DE=12AC=在Rt△DEB中，由勾股定理，得DB=D∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，∴DG＝DB＝5，∠DGF＝∠B．∵FG∥AD，∴∠DGF＝∠BDG，∠BMG＝∠B，∴∠DGF＝∠BMG，∠BDG＝∠B，∴OD＝OB，OG＝OM，∴MB＝MO+OB＝OD+OG＝DG＝5，∴MF＝ME＝MB﹣EB＝5﹣4＝1．②∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，∴DG＝DB＝5，∠DGF＝∠B．∵AD＝DB，∴AD＝DG．∵A，F，G三点共线，∴∠DGF＝∠DAG，∴∠B＝∠DAG，∴MA＝MB．设MA＝MB＝x，在Rt△ACM中，由勾股定理，得MA2＝AC2+MC2，则x2＝62+（8﹣x）2，解得x=254，∴MF＝ME＝MB﹣EB（3）解：如图，过C作CN⊥FG于点N，∵FG＝BE＝4，为定值，∴当FG上的高线CN最大时，则△CFG面积最大，即求出C到FG的最大距离即可，∵CN≤CF，当点N和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN最大，∵DF⊥FG，∴此时C、D、F三点共线，即CN＝CF＝CD+DF＝5+3＝8，∴S△CFG=12FG•CN=123．解：（1）m=28+26×2+24×4+27+25×2对乙的10个数据进行排序为：24，24，24，24，25，25，26，26，27，28，所以，中位数为a=25+25通过观察甲的数据可知25出现的次数最多，故众数b＝25，故答案为：25.3，25，25；（2）由统计图可知，甲的波动比乙小，所以甲产地的荔枝更为匀称；故答案为：甲；（3）101.2×1000÷25.3×824．（1）证明：连接OD，∵BC与圆O相切于点D，∴∠ODB＝90°＝∠C，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：由（1）可知∠BAD＝∠CAD，∴tan∠BAD＝tan∠CAD=12，∴设CD＝2a，则AC＝4a，∴AD=CD2+AC2∴∠ADE＝90°，∴tan∠BAD=DEAD=12，∴DE=5a∴OD=12∵OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴ODAC=OB解得a＝3，∴r＝OD=52a=152，答：⊙25．解：（1）可列方程①：(1②整理方程如下：(114x2＝3xy，x＝3y，故答案为：(12x)（2）点G是AD的三等分点．理由如下：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得：AM=BM=12AB，CF＝MF，∠FMD设AB＝2x，BF＝y，则BM＝AM＝x，则BC＝AD＝AB＝2x，CF＝MF＝BC﹣BF＝2x﹣y，∵BM2+BF2＝MF2，∴x2+y2＝（2x﹣y）2，∴y=3∴tan∠BMF=BF∵∠FMD′＝∠C＝∠A＝90°，∴∠AMG+∠BMF＝∠AMG+∠AGM＝90°．∴∠BMF＝∠AGM，∴tan∠AGM=tan∠BMF=3∴AMAG∴AG=43x．∴AGAD=（3）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝6，分情况讨论：①如图1，当点P落在CF边上时，由折叠的性质得：∠AFE＝∠PFE＝∠PFD＝60°，∴DF=CDtan∠PFD=∴AE=tan∠AFE×AF=3∴BE＝AB﹣AE＝6﹣（63-6）＝12﹣63②如图2，当点P落在CE边上时，如图：由折叠的性质得：∠AEF＝∠PEF＝∠BEP＝60°，∵BC＝6，∴BE=BCtan∠BEP=63=2326．解：（1）∵点C1∴由坐标知，点C1，C2，C3在过点A且平行于x轴的直线上，且AC1=A∵点A