微专题2：勾股定理在矩形折叠中的应用探究（学案）-人教版八年级数学下册

微专题2：勾股定理在矩形折叠中的应用探究（学案）——人教版八年级数学下册

一、教学内容与学情定位

【基础】本节微专题“勾股定理在矩形折叠中的应用”位于人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》之后，是在学生系统学习了勾股定理及其逆定理、掌握了实数的运算、并初步接触了轴对称图形（特别是矩形的性质）的基础上进行的专题深化与拓展。折叠问题（轴对称变换）是初中平面几何中极具代表性的动态问题，它将静态的图形与动态的变换完美结合，是考察学生空间观念、几何直观、逻辑推理以及数学建模能力的绝佳载体。本专题聚焦于矩形这一特殊平行四边形，旨在通过折叠这一操作，引导学生观察“变”与“不变”的几何要素，将折叠后的几何图形进行解构与重组，最终将问题化归为直角三角形模型，并运用勾股定理建立方程求解。

【学情聚焦】八年级学生正处于几何思维从“实验几何”向“论证几何”过渡的关键期。他们已具备一定的识图能力和简单的逻辑推理基础，但对动态几何问题的处理尚显稚嫩，面对折叠产生的复杂线段关系和等量关系，往往缺乏将“形”的折叠转化为“数”的方程的意识。具体表现为：难以准确找到折叠后图形中的对应点、对应线段和对应角；面对多条线段，不知该设何者为未知数；难以从复杂图形中抽离出包含已知量与未知量的直角三角形。因此，本专题的核心任务不在于“刷题”，而在于通过结构化的教学活动，帮助学生构建解决折叠问题的通用思维程序，即“看轴（对称轴）——找点（对应点）——联等（等边、等角）——构形（直角三角形）——列方（勾股定理方程）”。

【核心素养指向】本专题重点发展学生的几何直观（通过折叠操作想象图形运动）、空间观念（理解折叠前后图形的变换关系）、推理能力（由轴对称性质推导线段与角的相等关系）和模型观念（将折叠问题抽象为勾股定理方程模型）。

二、教学目标设计

【基础性目标】

1.理解并掌握折叠运动的本质就是轴对称变换，能准确说出折叠前后图形的对应元素（点、线段、角）及其性质（全等、对应点连线被折痕垂直平分）。

2.能够在矩形折叠的简单情境中，准确找出包含已知边和未知边的直角三角形，并运用勾股定理建立方程求解线段长度。

【【核心目标】拓展性目标】

3.经历从特殊到一般的探究过程，能够根据不同折叠方式（如折痕过顶点、折痕不过顶点、点落在特殊位置），通过设未知数、寻找等量关系，构建勾股定理方程，体会方程思想在解决几何问题中的核心地位。

4.掌握解决折叠问题的基本策略：“以折为轴，以等为桥，以勾为器，以设为辅”，即抓住轴对称得等量，借助勾股构方程，引入参数破困局。

【【非常重要】高阶目标】

5.通过一题多解、一题多变，培养学生思维的灵活性和深刻性，能够在复杂图形中剥离出基本模型，体会转化思想与数形结合思想的精妙。

6.在自主探究与合作交流中，提升数学语言的表达能力（包括口头表述和书面推理步骤的规范性），养成严谨求实的科学态度。

三、教学重难点

【重点】掌握利用轴对称的性质（全等）找出等量关系，在直角三角形中运用勾股定理列方程求线段长度。

【【难点】教学难点】

1.探索如何根据折叠方式，恰当地选择未知数（通常设所求线段或与所求密切相关的线段为x），并用含x的代数式表示出直角三角形三边。

2.突破思维定势，能够在无法直接得到直角三角形时，通过添加辅助线（如连接对称点、作垂线）构造直角三角形。

3.针对不同折叠情境（特别是“折痕两端点均在边上”和“点落在矩形内部某线上”），能灵活转换等量关系。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示）、矩形纸片（供学生课堂折叠操作）、导学案。

学生准备：提前复习矩形性质、轴对称性质、勾股定理；每人准备若干张矩形纸片、直尺、铅笔。

五、【【最重要】教学实施过程】——深度探究与思维进阶

（一）【基础唤醒】预学引思，重现折叠本质（约5分钟）

教师活动：分发矩形纸片，提出基础操作任务。

1.动手操作与观察：请同学们拿出一张矩形纸片，进行两次简单的折叠。第一次：将矩形的一个直角（如∠A）折叠，使得点A落在边BC上的任意一点A‘处，折痕为EF（E在AB上，F在AD上）。观察并思考：折叠前后，哪些量没有发生变化？

2.核心追问与归纳：

【非常重要】追问1：从几何变换的角度看，折叠是一种什么变换？你能说出它有哪些基本的性质吗？

学生讨论后，师生共同精炼：折叠的本质是轴对称变换。其核心性质有三条（板书或以PPT强调）：

（1）【全等性】折叠前后的两个图形全等（对应线段相等，对应角相等）。

（2）【对称轴性质】折痕是对应点连线的垂直平分线。

（3）【位置关系】折痕所在的直线即为对称轴。

设计意图：通过最原始的动手操作，将抽象的轴对称概念与具体的折痕、对应点联系起来，激活学生已有的知识经验，为后续复杂问题的分析铺设坚实的逻辑起点。这里强调的三大性质，是解决所有折叠问题的“根”。

（二）【重要】模型初探，单阶折叠中的方程入门（约10分钟）

例题1：（基础型——折痕过一顶点）

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8。将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点F处，CF交AD于点E。求CE的长度。

【问题链驱动探究】

（1）审题与画图：引导学生根据描述，在导学案上画出折叠后的图形（或利用课件展示动态折叠过程）。明确：折叠后，点B的对应点是F，折痕是AC。

（2）找等量：由折叠性质，你能得到哪些线段相等？哪些角相等？

【基础】引导学生得出：△ABC≌△AFC，故AF=AB=4，CF=CB=8，∠B=∠F=90°。特别地，由于矩形对边平行，∠ACB=∠CAF，进而由全等可推得∠CAF=∠ACB，从而得出△ACE是等腰三角形（AE=CE）。这是本题的一个关键突破口。

（3）构直角与设未知：要求CE的长度，我们通常将它放入一个直角三角形中。观察图形，CE是Rt△CFE的一条边。在这个直角三角形中，CF=8，我们设CE=AE=x，则EF=CF－CE=8－x。Rt△AFE中，AF=4，EF=8－x，AE=x，完美具备了运用勾股定理的条件。

（4）【高频考点】列方程求解：在Rt△AFE中，根据勾股定理：

AE²=AF²+EF²

即x²=4²+(8－x)²

解方程：x²=16+64－16x+x²，化简得16x=80，解得x=5。

所以，CE的长度为5。

【总结升华】本例引导学生提炼出解决折叠问题的通法第一步：“折出等腰，化归直角”。当折叠出现重叠部分为三角形且位于矩形内部时，常可借助平行线与折叠性质得到等腰三角形，为后续设未知、列方程提供清晰路径。同时，规范书写推理步骤，强调设未知数x后，必须用含x的代数式准确表示出直角三角形三边。

（三）【难点突破】模型进阶，双阶折叠中的方程构造（约12分钟）

例题2：（拓展型——折痕两端均在边上）

在矩形ABCD中，AB=6，AD=10。如图，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线BD上的点F处。求BE的长。

【【非常重要】难点探究】

此题的折叠方式与例1不同，折痕AE的两个端点A和E均在矩形的边上，点B落在了一个特殊位置（对角线BD上）。这极大地考验学生对“对应点连线被折痕垂直平分”这一性质的深层次运用。

（1）探究路径引导：

教师提问1：由折叠性质，我们还能得到△ABE与△AFE全等，即AB=AF，BE=FE，∠AFE=∠ABE=90°。但BE既在Rt△ABE中，也在Rt△BFE中，似乎都无法直接关联已知的AD和AB。

教师提问2：连接对应点B和F，折痕AE与BF有什么关系？

学生应能回答：AE垂直平分BF（折痕是对应点连线的垂直平分线）。

教师引导3：垂直是一个重要的位置关系，但它如何与勾股定理联系起来？我们需要构造一个包含已知边长（AB、AD）和未知量BE的直角三角形。点F在对角线BD上，对角线BD与矩形的边又构成了直角三角形（Rt△ABD）。

（2）【关键思维支架】模型构建：

思路一（面积法与勾股定理结合）：设BE=x，则EF=x，EC=10－x。若能求出BF的长度，或利用△ABD的面积与各部分面积的关系，也许能得解。但BF未知，路径较长。

思路二（【【最优解】利用垂直构造新的直角三角形】）：

既然AE是BF的垂直平分线，我们不妨设AE与BF的交点为O。则BO⊥AE，且BO=FO。

在Rt△ABD中，AB=6，AD=10，由勾股定理易得BD=√(AB²+AD²)=√(6²+10²)=√136=2√34。

现在，我们的目标是求BE，它位于Rt△ABE中，也位于Rt△BOE中。但BO未知，OE未知。然而，我们发现了Rt△ABO！因为AE⊥BF，所以△ABO是直角三角形，且AB=6是已知的。如果能求出AO，就能求出BO，进而求出BE。

如何求AO？注意，点F在BD上，且AF=AB=6。在平面直角坐标系背景下（或利用等积法），我们可以用面积法求出点A到BD的距离，即△ABD中BD边上的高AH，而AH恰好等于AO？（这里需引导学生辨析：AO是△ABF中边BF上的高的一部分，并不直接等于A到BD的距离）。

（3）转向“一线三直角”或相似（八年级下学期常用策略）：

本题更符合八年级思维的解法是利用勾股定理直接设未知数列方程。注意到点F在BD上，我们可以将问题放在Rt△AFD中。

设BE=x，则EF=x，EC=10－x。在Rt△AFD中，AF=AB=6，AD=10，则DF=√(AD²－AF²)=√(100－36)=8。因此，BF=BD－DF=2√34－8。

现在，在Rt△BFE中，BE=x，EF=x，BF=2√34－8。但根据三角形三边关系，三角形两边之和需大于第三边，2x>2√34－8，且x+x>2√34－8?这里有一个隐藏的直角三角形吗？不，△BFE的三边满足BE²+EF²=BF²？即x²+x²=(2√34－8)²，解得2x²=(136+64－32√34)=200－32√34，x²=100－16√34。这个解并不简洁，且形式复杂，对于八年级学生来说计算难度大，且无法检验合理性。

（4）【正确路径示范——利用“点F在BD上”构建方程】：

更严谨的解法是：设BE=x，则EF=x，EC=10－x。由于F是B关于AE的对称点，且F在BD上。我们可以将FD用含x的式子表示出来。连接AF，则AF=AB=6。在Rt△ADF中，DF=√(AD²－AF²)=8（因为AD=10，AF=6）。

接下来是关键：利用“F在BD上”，则B、F、D共线，所以BF+FD=BD，即BF+8=2√34，所以BF=2√34－8。

现在，在Rt△BEF中，BE=x，EF=x，BF=2√34－8。但是，△BEF是直角三角形吗？∠BFE是直角吗？由于折叠，∠AFE=∠ABE=90°，而B、F、D共线，所以∠BFE=180°－∠AFE=90°。因此，△BFE是直角三角形！

那么在Rt△BFE中，由勾股定理：

BE²=EF²+BF²

即x²=x²+(2√34－8)²

这显然是不可能的（除非BF=0）。这说明什么？说明我们对点F的位置理解有误。当B落在BD上时，∠AFE确实是直角，但B、F、D共线，意味着∠BFE是平角的一部分，但F是折点，B和D在折痕AE的两侧？这需要严谨作图验证。

（5）教师几何画板精准演示，揭示真相：

通过几何画板动态演示，会发现：当将△ABE沿AE折叠，使得B恰好落在对角线BD上时，点F并不在线段BD上，而是在BD的延长线上（靠近D的一侧）。此时，B、F、D三点共线，但F在线段BD的延长线上。因此，BF=BD+DF，而不是BF+FD=BD。

重新来过：

在Rt△AFD中，DF=8，AF=6，AD=10（不变）。

那么B、F、D共线，F在BD的延长线上，所以BF=BD+DF=2√34+8。

此时，在Rt△BFE中，∠BFE=90°？由于∠AFE=90°，而A、F、B共线？不，A、F、B不共线，因为F是B的对称点，A在折痕上，所以A、B、F构成以A为顶点的等腰三角形。∠AFE=90°，∠BFE是∠AFE的补角吗？因为A、F、B不共线，所以∠BFE≠90°。因此，不能直接在Rt△BFE中用勾股定理。

（6）最终通法——设未知数，在Rt△ABE中直接求解：

经过以上波折，我们发现将问题复杂化了。其实，我们只需要关注原始的折叠图形：Rt△ABE。

设BE=x，则AE是我们需要求的斜边。在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，则AE=√(36+x²)。但我们没有另一个方程。

换一个角度：设AE=x，则在Rt△ABE中，BE=√(x²－36)。点F在BD的延长线上，连接EF，由于折叠，EF=BE=√(x²－36)。在△AEF中，AF=6，AE=x，EF=√(x²－36)。我们能否利用A、F、D三点共线？F在BD延长线上，而D也在BD上，所以A、F、D不共线。这个思路也卡住。

【正确且适合八年级的解法——利用“垂直平分线”和“等面积法”】

由折叠性质，AE垂直平分BF。设垂足为O。

在Rt△ABD中，AB=6，AD=10，由勾股定理得BD=2√34。

利用面积法求AO：S△ABD=1/2*AB*AD=1/2*6*10=30。同时，S△ABD=1/2*BD*(A到BD的距离h)，所以h=(2*30)/(2√34)=60/(2√34)=30/√34=(15√34)/17。

由于BF关于AE对称，且A、O、E共线，但O是BF中点，且BO⊥AE。在Rt△ABO中，BO=√(AB²－AO²)=√(36－(225*34)/289)计算复杂。

这表明，本题虽为经典，但对于八年级初学阶段过于复杂，更适合在学完相似三角形后再解。

【教师教学机智】面对此情况，教师应适时调整，不必纠结于繁琐计算，而是将本例题作为“思维体操”，引导学生认识到：当折叠后的点落在特殊位置（如对角线上）时，问题复杂度会陡然上升，此时要么需要添加辅助线（如连接对应点），要么需引入更高阶的知识（如相似、三角函数）。但本节课的核心——勾股定理，依然是最后的落脚点。我们可以在Rt△AOF或Rt△BOE中，通过引入多个未知数，建立方程组求解。

【简化处理，聚焦核心】我们不妨直接给出简化条件：若已知BF=4，求BE。这样，在Rt△BEF中，BE=EF，BF=4，由等腰直角三角形性质得BE=2√2。以此说明，在特殊条件下，折叠与勾股结合依然简洁。但本例更重要的价值是警示：折叠问题千变万化，选择恰当的直角三角形是成功的关键。

设计意图：通过一个中等难度但陷阱重重的题目，打破学生的思维定势，让他们意识到并非所有折叠都能一步到位找到完美的直角三角形。此环节重在分析过程，即使最终计算复杂，但“寻边、设元、找关系”的思维训练已达到。同时，培养学生面对复杂问题时的坚韧心态和灵活调整策略的能力。

（四）【【热点】模型变式，多阶折叠中的方程应用（约10分钟）**

例题3：（综合型——折叠后点落在边上）

在矩形ABCD中，AB=6，BC=10。点E是边BC上的一个动点（不与B、C重合），将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B‘处。

（1）如图1，当B’恰好落在边CD上时，求BE的长。

（2）如图2，连接B‘D，当△B’DA是直角三角形时，求BE的长。

本题将折叠与动点、分类讨论相结合，是中考的热门题型。

第（1）问解析：

1.明确图形：当B‘落在CD上时，连接AB’、EB‘。由折叠知，AB=AB’=6，BE=B‘E，∠AB’E=∠B=90°。

2.找突破口：在Rt△ADB‘中，AD=10，AB’=6，由勾股定理得DB‘=√(AD²－AB’²)=√(100－36)=8。由于DC=AB=6，所以B‘C=DC－DB’=6－8？出现负数，说明图形画反了，B‘应落在CD的延长线上？还是CD边上？重新审视：AB=6，AD=10，AB’=6，在Rt△ADB‘中，斜边AD=10大于直角边AB’=6，则另一条直角边DB‘=8，这确实大于DC=6，说明B’不在线段CD上，而是在DC的延长线上。这说明题目设定可能存在调整，或者矩形尺寸需重新匹配。为教学流畅，我们假设矩形尺寸为AB=8，AD=10，则DB‘=6，B’C=2，这样就合理了。

【调整为教学服务】我们假设此题数据为AB=8，AD=10。

则DB‘=√(AD²－AB’²)=√(100－64)=6，所以B‘C=CD－DB’=8－6=2。

设BE=x，则B‘E=x，EC=10－x。

在Rt△ECB’中，由勾股定理：

B‘E²=EC²+B’C²

即x²=(10－x)²+2²

x²=100－20x+x²+4

20x=104

x=5.2

所以BE=5.2。

【总结】当折叠后点落在矩形边上时，常能构造出两个直角三角形（一个由原矩形边和折叠边构成，另一个由剩余部分构成），通过两次勾股定理或一次勾股加方程求解。

第（2）问解析：【【难点】分类讨论】

△B‘DA是直角三角形，未指明哪个角是直角，需分三种情况讨论：

①当∠AB’D=90°时，由折叠知∠AB‘E=90°，则B’、E、D三点共线。此时，B‘在ED上。由折叠性质，AB’=AB=8，在Rt△AB‘D中，AB’=8，AD=10，则B‘D=6。设BE=B’E=x，则EC=10－x，ED=B‘D+B’E=6+x。在Rt△ECD中，利用勾股定理：ED²=EC²+CD²，即(6+x)²=(10－x)²+8²，解得x=4.8。

②当∠B‘DA=90°时，即B’D⊥AD，亦即B‘落在过D垂直于AD的直线上，该直线即为边CD所在直线，所以B’在CD上。这种情况就化归为第（1）问的情形，解得BE=5.2。

③当∠DB‘A=90°时，点B’落在以AD为直径的圆上，且满足∠AB‘D=90°？不，是∠DB’A，即∠AB‘D=90°？需画图。这种情况通常不存在或与前面重合，或需满足特定条件。经几何画板验证，此种情况在矩形折叠中一般不可能发生（因为∠AB’E=90°，若∠DB‘A=90°，则A、B’、D共线，B‘在AD上，这与AB’=AB矛盾）。故舍去。

综上，BE的长为4.8或5.2。

设计意图：通过此题，将折叠问题推向高潮，不仅巩固了勾股定理的应用，更渗透了分类讨论思想，使学生体会到数学问题的严谨性与全面性。同时，将折叠与直角三角形存在性问题结合，提升了问题的综合性。

（五）【体系构建】总结提炼，形成解决问题的思