山东省某中学2025-2026学年高一年级上册12月学情检测数学试题

山东省实验中学2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={幻上-%-2>0},则44=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2）

C.{x|xvT或”>2}D.{x\x<-\^x>2]

2.r>,，，是“_1<4”的（）

4x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充耍条件D.既不充分也不必要条件

3.函数/*)=J2'-4•ln(3-x)的定义域为

A.(2,3)B.[2,3)

5.人口增长问题是•个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然

增长率在一定时间内是一个常数，人II的变化率和当前人口数量成正比“，并给出了马尔萨

斯人口模型N（f）=No/f）,其中乂为八年的人口数，N⑺为f年的人口数，r为常数.已

知某地区2000年的人口数为100万，r=0.02,用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的

人口数（单位：万）约为（参考数据：ln3*Ll）

A.200B.300C.400D.500

/一铲sin%2./、

6.若-----=-,贝ti7jHtana=()

1-cosa3

A.2>/2B.-2>/2C.±2y/2D.土加

(iv7

7.设4=2°7,=,c=log32,贝Ija,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

8.已知函数)，=火式)与y=F(x)的图象关于1y轴对称，当函数y=7U)和y=F(.r)在区间［a,b\

同时递增或同时递减时，壬区间［。，句叫做函数y=/U)的“不动区间”，若区间［1,2］为函数y

=|2r-/|的“不动区间”，则实数，的取值范围是()

A.(0,2］B.；,+8)

C.1,2D.-,234,IR)

22

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.Irad的角比1。的角大

B.与-660。角终边相同的最小正角是30。

4

C.已知某扇形的圆心角是I,半径是3,则该扇形的面积是6兀

D.已知角a的终边经过点则cosa=^

10.设正实数4，〃满足〃+〃=1,贝IJ()

A.:有最大值4B.有最大值：

ab2

c.G+G有最大值&D.标+尸有最大值方

11.已知函数〃力=［，网函数g(x)="(x)］2_(〃?+3)/(x)+3〃z,则()

2,XLx

A.函数/(x)的值域为［。,依)

B.不存在实数加,使得/("?)=/(-〃?)

试卷第2页，共4页

C.若g(x)N-l恒成立,则实数m的取值范围为IWM-5

D.若函数g(x)恰好有5个零点，则函数g(x)的5个零点之积的取值范围是(―⑼

三、填空题

12.函数/*)=l°g」(x2-3x+2)的单调递增区间为.

2

13.已知方程/-(〃7+2N+m+1=0的两根一个比2大另一个比2小，则实数〃?的范制

是.

/、fx+/w,O<x<1fn

14.已知03"1,函数，满足/(/(()))=一不，则机=___,若存

e,x—■12

&b>a>Or使得fS)=/(。),则的取值范围是.

四、解答题

15.已知某函数“X)=(-加+4/n-2)xw-'在(0,+8)上单调递增.

⑴求〃力的解析式；

⑵若雇工)=/(力-依+3在［T5］上不是单调函数，求实数"的取值范围.

I

16.(1)化简：27《+—2-(V2)°：

I9J

(2)求值：logQlogC-2皿；

£」

(3)已知X+%T=3,求的值.

X2+X-2-2

17.已知函数(a>0且401)为定义在R上的奇函数.

⑴求。的值；

(2)判断函数/J)的单调性，并用定义证明；

⑶解关于x的不等式/(1唱力+/(3―3)<0.

18.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶

用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条

件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶

水温度y(单位：℃)与时间(单位：分钟)的部分数据如下表所示：

时间/分钟012345

水温/C95.0088.0081.7076.0370.9366.33

,

(1)给出下列三种函数模型:®y=at+b(a<O)f®y=ab+d(a>OtO<b<\)t③

y=logrt(/+/7)+c(/;>(),«>l),请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，

并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式.

⑵根据(1)中所求模型，

(i)请推测实验室室温(注：茶水温度接近室温时，洛趋于稳定)；

(ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.

(参考数据：怆3=0.48,lg5-0.7)

19.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲上弦函数sin〃。)=三二，双曲余

2

弦函数cos〃(x)=*±J(e是自然对数的底数e=2.71828…)，双曲正切函数

2

Vdnh(x)=^l

cos/?(x)

(1)类比三角函数的平方关系：cosJ+siMxnl写出cos/?(x)、sin/?(x)的一个平方关系并证

明；

(2)判断双曲正切函数tanA。)的奇偶性并求⑶!4")的值域；

⑶若关于x的不等式4wcosA2(x)-2sinA(2x)-320在［In2,-KO)上恒成立，求实数m的取值

范围.

试卷第4页，共4页

《山东省实验中学2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BABABCDCADBC

题号11

答案ACI)

1.B

【分析】化简集合4,根据补集的概念求解.

【详解】由已知4=或%>2},所以4A={x|-14xW2}.

故选：B.

2.A

【分析［分析可知充分性满足，由，<4,取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结

x

论.

【详解】当时，，<4成立，故充分性满足，当，<4时，如，=一1<4,则工=一1<9，

4xxx4

故必要性不满足，

因此“x>卜是)<4”的充分不必要条件.

4x

故选：A

3.B

.____-4>0

【详解】由题意得，函数/(幻=亚工.山(3-x)，满足3_%>_0，解得2〈X<3,

所以函数的定义域为［2,3),故选B.

4.A

【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D,再利用函数的特殊点排除选项B即可.

【详解】•••2-国>0,解得-2vxv2

.•.函数y=ln(2-|x|)定义域为(-2.2)关于原点对称.

f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|-^)=f(x)

•.函数y=此(2一国)在定义域上为偶函数，排除C和D.

3I

当x时，y=In-<0,排除B.

答案第1页，共10页

故选A.

【点睛】本题考查函数图象的判断，常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断.

5.B

【分析】由题意得N（/）=100e°叫‘一喇，将"2055代入结合In3"l即可得解.

【详解】由题意取z°=2OOO,No=l（X）,而,・=0.02,所以.NlblOOeOg’-R10）,

所以77（2055）=10氏°°"55=100U|,又因为^3a1.1,所以/々3,

所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为

^（2055）=100e002x55=100e'1a300万人.

故选：B.

6.C

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos。，从而求出Sina,即川得解.

■ruALsin2a［-cos%,2,I

【详解】因为-------=--------=1+cosa=—,则micosa=--）

1-cosa1-coscr33

所以sina=±Vl-cos:a-±,则tana==±272.

3cosa

故选：C.

7.D

【分析】利用幕函数的性质和对数函数的性质进行比较即可.

【详解】人=30-7,

因为），=.即在（0,+8）上递增，且1V2V3,

所以1°7<2°7<3°"所以1<2°7<3°7,即1<。<方，

因为y=1幅X在（0,-K»）上递增,且1<2<3,

所以Iog31<log32<log33,所以。<log32<l,即0<C<l,

所以cvav。.

故选：D

8.C

【分析】根据函数的对称性可得F（x）=\2-x-t\,从而可得函数/U）=|2x—/|和函数/（女）=|2一

A—nail.21上单调性相同，进而可得（右一/）（2彳一作。在［1,2］上恒成立，分离参数即可求

答案第2页，共10页

解.

【详解】因为函数），=/U）与y=产（处的图象关于），轴对称，

所以F（x）=fi—X）=|2x—!\,

因为区间［1,2］为函数於尸|2］一/|的“不动区间”，

所以函数_/U）=|2t—/|和函数尸（x）=|2"—在［1,2］上单调性相同，

因为），=2x—f和函数y=2~x-t的单调性相反，

所以（公一。（2"一。00在［1,2］上恒成立，

即1一/（2犬+2-幻+产$0在［1,2］上恒成立，

即2一烂二法在［1,2］上恒成立，

即；业2,

故选：C.

9.AD

【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制卜的弧长面枳公式和三角函数定义逐个计算

判定.

【详解】对于A,lradv57.3o>l。，A正确;

对于B,与-660。角终边相同的最小正角是60。，B错误；

对于C,S娟=2|a|R2=gx《x9=6,C错误；

"223

也厂

对于D,26，D正确.

cost?=-^=——

12

故选：AD.

10.BC

【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式的妙用逐项求解即得.

【详解】对于A,由〃>0力>0,〃+力=1,得‘+［=（4+与［，+_［］=2+2+322+2，e、9=4,

abab）abyab

当且仅当2二:即〃=/?=!时取等号，A错误；

ab2

对于B,而W等=g,当且仅当a=b=g时取等号，B正确；

对于C,由B得G+妍=6+〃+2底工元,当且仅当"=〃=3时取等号，C正确；

答案第3页，共10页

对于D,不+后=(♦+:)2+(4一勿~之,(〃+份2=,当且仅当。=匕=4时取等号，

2222

所以/+从有最小值g,D错误.

故选：BC

11.ACD

【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A,根据/〃=0即可求解B,根据二次函数

的性质即可求解C,根据函数图象，结合对数的运算即可求解D.

【详解】对于A,由于工>(),1%]£叫1。82X2°，1«°，2.(0，1]，故函数/("的值域为

[0,+8),A正确,

对于B,当〃?=0时，有/(0)=/(-0)=2°=1,故B错误,

对于C,^(JC)=[/(^)]2-(w+3)/(x)+3m=(/(x)-3)(/(x)-/n)

工0机+3.0

2

由于/3NO,要使g(x)2-1恒成立,财或，2，解得1W〃W5,

4x3//I-(/??+31,

2-13wz>-l

4

故C正确

对于D,

令g(x)=[/(x)f-(m+3)〃6+3/»=(〃切一3乂/(1)一m)=0,则"6=3或/(x)=m,

作出了(X)的图象如下：要使g(x)有5个零点，如图，则0</〃力,

由于一Iog2〃=log2en融=1,同理可得cd=l,

故4灰心=4£(-8,0],故D正确,

故选：ACD

【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

答案第4页，共10页

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面更角坐标系中，画出函数的图象，然后数形

结合求解.

12.(-oo,l)

【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可求原函数的单调递增区间.

【详解】由/-31+2>0得％<1或x>2,

所以函数/(x)=l°g：(/一3工+2)的定义域为(3,])52,欣)，

令/=产_3工+2,则)'=

2

因为函数/=f一31+2在(—J)上单调递减，在(2,笆)上单调递增，函数>'=l°g」在(0.+。)

上单调递减，

故由复合函数的单调性可知函数=-3%+2)的单调增区间为(―』).

2

故答案为：(r0」)

13.卜"用>1}

【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可.

【详解】方程/一(〃叶2)X+根+1=0,可得[x—(/〃+l)](x—l)=O,

故方程的两个根分别为司=1或4=，〃+1.

由于两根一个比2大另一个比2小，

故〃?+1>2,解得〃?>1,

故答案为：卜巾〃>|}.

【分析】首先根据分段函数求值/(/(0))=-苛,求小，再分区间OV〃v/>vl.o<n<]<h

和IWavA,代入分段函数，转化为求函数的值域问题.

【详解】/[/(0)]=/(何=2〃?=一3，得"y(),

所以"。”一

若OWav'vl,/(/?)=ef(o)=>/?=G(0,1),得Oca

答案第5页，共10页

此时。•/(»=〃〃=,』e(。，，，

若0WavIWb,f(b)=ef(a)=>eh=&a>e,此时不成立，

若\Wa<b,f(b)=ef(a)=>eb=eet/=er,*',得Z?=〃+l,

此时a-f(b)=acb=ae"”，

设g(x)=.k+|,x>\fg(x)在区间[L”)上单调递增,g(x)次)所以afS)的范围是

金收)

综上可知，af(b)的取值范围是(0*)u[e2,+8).

故答案为:(0」)口卜2,十句

\e)

15.(l)/(x)=x2

⑵(-2,10)

【分析】(1)根据某函数的定义与单调性可得出关于加的等式与不等式，即可解得，〃的值,

即可得出函数/⑴的解析式；

(2)根据二次函数g("n勺单调性可得出关于。的不等式，解之即可.

【详解】⑴因为帚函数/。一)=(一〃/十由〃-2*1在((),田)上单调递增，

AC.

-1>27~+-2=]

由题意得《,八，解得〃?=3,故/(工)=工.

〃7—1>0

(2)因为g(x)=/(x)—冢+3=/一依+3,函数g(x)的图象对称轴为x=],

因为g("在[T5]上不是单调函数，所以—|<恭5,解得-2<。<10.

故实数〃的取值范围为(-2,10).

16.(1)1；(2)-3；(3)亚.

5

【分析】(1)由指数箱的运算性质，准确计算:，即可求解：.

(2)由对数运算公式和对数的换底公式，准确计算，即可求解；

J」1_1

(3)由x+/=3,求得，+；3=石，结合二，即可求解.

X2+X~2-2(X+X-')2-4

答案第6页，共10页

I————

【详解】解：（1）由指数赛的运算性质，可得27一：+传卜曲）=（3丁；+©'-I

=14-ii.

33=

⑵由对数的运算性质，可得1呜5log59-2幅、log.5•色4-5=log39-5=2-5=-3.

噫5

（3）因为X+.L=3,可得（/+”）2=%+小+2=5,

所以，+%T=逐，且x+xT=3,

则（工+厂|『=/+f2+2=9,所以/+X-2=7,所以f+尸_石

X2+X-2-27-25

17.⑴。=3

（2）函数/（⑼在R上单调递增；证明见解析

⑶(04)

【分析】（1）由/"）为奇函数，求得〃，利用奇函数的定义验证即可;

（2）利用单调性的定义即可得证;

（3）由/（1%力+/（3'-3）＜0得〃1%耳＜/（3-3）利用单调性即可求解.

【详解】（1）由函数/（可为奇函数，有了⑼=1-彳=0,解得〃=3,

2

当4=3时，〃x)=l—彳w，

「三*2x（3』）-2一十二

/(-x)=l—

rr1=-/w,

—+13+13+l3+1

3'

符合函数/（力为奇函数，可知。=3符合题意;

（2）函数f（x）在R上单调递增,

取任意的4/eR，且%＞王，

有了⑸-"再）=（「岛井一岛上岛一岛二2铲-3*)

3+1府+1)

由&＞X，有3丐＞3%，有〃W）＞/（王），

答案第7页，共10页

所以函数/(“在R上单调递增：

(3)由/(1。8/)+/(3。3)<00/(1。84)<一/(3'-3)=/(3-3')

从而】呜x<3-3,可得3、+k)g3x-3<0,

令g(x)=3'+log3X-3,可知g(x)的定义域为(0,+“),

因为),=3',y=log3x在定义域(0,+8)上单调递增，

可知g(”在定义域似+⑹上单调递增，且g⑴二()，

对于不等式即为g(x)<g(l),解得0cxvl,所以不等式1%工<3-3'的解集是(0,1).

18.(1)选模型②…/+d(a>0,0vb<l),理由见解析，解析式为y=7009+25"0)

(2)(i)实验室室温为25°C,(ii)刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为7.5min.

【分析】(1)由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选噗型②，把前3组数据代入求出。，

b,〃的值，即可得到函数解析式；

(2)(i)利用指数函数的性质求解；(ii)令70.09+25=60,结合对数的运算性质求出，的

值即可.

【详解】(1)由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，

模型③)，=1砥(，+/7)+出>0,"1)为单调递增的函数，不符合，

模型①y=at^b(a<0)为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，

故模型①③不符合,选模型②y=a归+d(a>0,0vbv1),

a+d=95”=70

解得卜=0.9,

则<ab+d=88

加+d=81.7d=25

所以y=700.9'+25(壮0)；

(2)(i)因为当，趋于无穷大时，无限接近于25,

所以推测实验室室温为25c:

(ii)令700.9*+25=60,则。.9'=：,

所以/=喝」=吱=上=上空5，

02lgO.92lg3-1l-2lg3

答案第8页，共10页

即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为7.5min.

19.(1)答案见解析

(2)奇函数,tanh(x)€(-1,1)

⑶.［「立13叼).

【分析】(D利用cos〃(幻、sin%r)的表示式分别化简计算即可得cos〃2(x)-sin/(x)=i,

p-v+e"*

cosh2(x)+sin/?2(x)=-------；

(2)根据lan/?(x)的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成

2

tan/2(A-)=l—y—,利用函数的单调性即可求其值域；

ezj+l

e^x—e-2x+3e4t+3e2x—1

(3)将题设不等式恒成立等价转化成机?e2，+e-2，+2=在乙内)上恒成立，

、e4t+3e2t-l

继而只需求八元=/”工在即2,+00)上的最大值,通过整理换元，利用函数的单调性

卜+1)

即可求得其最大值，即得参数范围.

【详解】(1)由题意，

,2,、•a、,er+e-\er-e-\e2v+e-2'+2e2^+e^-2,

cos/?(x)-sinh(x)=(------)2-(z------)2=----------------------=1；

2244

a、.,2/、ev+e'\cr-e'\c2t+e-2v+2e2r+e_2r-2e2t+e-2

cosh~(x)+sinh~(x)=(z---)