2025年人教版八年级数学上册 分式（题型讲练+习题巩固）解析版

第01讲分式

01段?后Rd

课程标准学习目标

1.掌握分式的概念，能够熟练的判断分式。

①分式的概念

②分式有（无）意义的条件2.掌握分式有意义的条件，并能熟练应用其解决相应问题。

③分式值为0的条件

3.掌握分式值为0的条件，并能够根据条件熟练求值。

021生〃

分式的假念

10

03CnjiOJ

知识点01分式的概念

1.分式的概念:

A

一般地，若A与8均是整式且A中含有字母,那么式子万叫做分式。其中A叫做分子,

B叫做分母。

2.分式满足的三个条件:

A

①式子一定是一的形式；

B

②A与4一定是整式；

③B中一定含有字母。

简单埋解：分母中含理字母的式子就是分式。

【即学即练1】

1.在代数式2,也，2+x,空工，工中，分式的个数为（）

x+1333x兀

A.IB.2C.3D.4

【分析】一般地，如果4B表示两个整式，并且8中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行判断即

可.

【解答】解：代数式工，空工是分式，共2个，

x+13x

故选：B.

知识点02分式有（无）意义的条件

1.分式有意义的条件：

A

即要求分式的分母不能为3。即一中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进

B

行因式分解，让每一个因式都不为0。

【即学即练1】

2.若分式①有意义，则。的取值范围是（）

a-3

A.。工0B.C.a<3D.心3

【分析】根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题.

【解答】解：•・,分式具有意义，

a-3

・,.a-3X0,解得a#3,

故选：B.

【即学即练2】

3.若使分式Y一有意义，则字母上应满足的条件是（）

x-9

A.x=3或x=・3B.x六3且%m・3C.x=3D.x=-3

【分析】根据分式有意义分母不为零可得/-9W0,再解即可.

【解答】解：由题意得：『-9W0,

解得：x#±3,

故选：B.

知识点03分式值为0的条件

1.分式的值为o的条件：

分式的值为o的条件为要求分子必须为3,同时要求分母不为oo

A

即—中，A=0»13六Oo

B

对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0,让分母里面所有因式的

值不等于0。

【即学即练1】

4.当分式的值为。时，％的值为-1.

2x-3

【分析】根据分式值为。的条件求解即可.

【解答】解：根据题意，

•••分式尹T的值为0，

2x-3

・•・根据分式值为零的条件得，"1=0且2C-3W0,

解得：x=-1.

所以X的值为-I,

故答案为：・1.

【即学即练2】

5.若分式2dx的值为零，则工的值为（）

x+2

A.2或-2B.2C.-2D.0

【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零.

【解答】解：依题意，得

?-4=0,且X+2K0,

解得，x=2.

故选：B.

【即学即练3】

6.已知分式上上1的值为o,则犬=（）

1-x

A.1B.-1C.1或-1D.0

【分析】根据分式的值为（）的条件列式求解即可.

【解答】解：根据题意得，1=。且।-

解得x=-1.

故选：B.

【即学即练4】

7.已知x=2y,则分式卢X的值为（）

2x+y

【分析】把x=2y代入分式，化简得结论.

【解答】解：当x=2了时，

x-y_2y-y

2x+y4y+y

-y

5y

=A

5.

故选：D.

【即学即练5】

8.若分式卒■的值为负数，则尤的取值范围是（）

x，4

A..1为任意数B.x<-C.x>—D.x<~—

222

【分析】两数相除，异号得负，而分母恒为正，只需分子是负数即可，列出不等式求解即可.

【解答】解：•♦•/+4>0,分式的值为负数，

/.2x-5<0,

Ax<—.

2

故选：B.

'e________________

04^233

题型01判断分式

【典例1】下列代数式中，是分式的是（）

9

A.—B.2AC.2+xD.x-2

【分析】根据分式的定义进行判断即可.

【解答】解.：4.是分式，符合题意；

B.是整式，不符合题意；

C.是整式，不符合题意；

D.是整式，不符合题意：

故选：A.

【变式1】在3m，2,缪，上中，分式的个数为（）

冗X36a-x

A.2B.3C.4D.5

【分析】n是常数，所以—不是分式，是整式.判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有

7T

字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.

【解答】解：在冬，2,x1l,f+5.r,一X,上中，

兀x36a-x

分式有2,上共2个，主三，与LX2+5X,-工是整式，

xa-x冗36

故选：A.

2

【变式2】在芸旦，红工，旦，a二•中，分式的个数是（）

x22冗x+ym

A.2B.3C.4D.5

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分

式.

【解答】解：在代数式中，分式有工，一3—，a」，共有3个.

xx+ym

故选:B.

2

【变式3］下歹U各式工，三,—/n™,x+2x+l,J中,分式共有（）

x33b3+5兀2-y2刑F23（a-b）

xX+2X+1

个.

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据分式的定义，形如卷，8中含有字母且8W0,判断即可.

【解答】解：在工j—笺xnrxJ+2x+lc中

x33b3+5兀x2-y2'm如X2+2X+1?3(a-b)

分式有，一x2+2x+l

2Uxnrnc共6个,

222

x3b弓+5y_vm+nX+2X+13(a-b)

故选：B.

题型02根据分式有意义的条件求值

【典例1］若分式上有意义，则x的取值范闱是«2.

x-2

【分析】根据分式有意义得到分母不为0,即可求出x的范围.

【解答】解：由题可知,

X-2#0,

解得xW2.

故答案为：x#2.

【变式1】下列各式中，不论工取何值分式都有意义的是（)

A./

Q1D.1

2x+l2x2

【分析】根据分式有意义，分母不等于。对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.无论x取何值，2.?+1>0,分式都有意义，故本选项符合题意;

B.%=・2时，2A+1=0,分式无意义，故本选项不符合题意;

2

C.时，3A-1=0,分式无意义，故本选项不符合题意；

3

D.x=0时，2?=0,分式无意义，故本选项不符合题意.

故选：A.

【变式2】要使分式手一无意义，则x的值是（）

A.1B.-1C.-1或1D.0

【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义.

【解答】解：由分式-^工无意义，得

x'-l

x2-1=0,

解得x=±l,

故选：C.

【变式3】若分式।“心有意义,则x的值为（）

1x1-3

A.xW±3B.xW-3C.%W3D,工2-3且.寸3

【分析】根据分母不为零的条件是解题的关键.

【解答】解：由题可知,

M-3W0,

解得x#±3.

故选：4.

【变式4】x取何值时，下列分式有意义：

（1）⑵？（：+3）⑶考口.

2

2x-3lx1-12x+i

【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；

（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；

（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案.

【解答】解：（1）要使三■有意义，

2x-3

得2x-3WO.

解得工工区,

2

当时，12有意义；

22x~3

（2）要使4（：+3）_有意义,得

lx1-12

W-12W0.

解得xW±12,

当xW±12时，，（：+3）一有意义;

lx1-12

（3）要使有意义，得

x'+l

d+lWO.

.r为任意实数，罕-有意义.

x'+l

题型03根据分式值为0的条件求值

【典例1】若分式武孚的值为0,贝IJ%的值为（）

X-2

A.±2B.。或2C.0D.-2

【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可.

【解答】解：•・•分式武学的值为0,

x-2

.X2-2X=0

x-2#0

解得x=0，

故选：C.

【变式。若分式脸的值等于。，则，的值为，）

A.6B.-6C.±6D.3

【分析】根据分式的值为（）的条件得出|/-6|=0且x-6K0,即可得出答案.

【解答】解：根据题意，以-6|=0且X-6W0,

解得“=-6,

故选:B.

【变式2】若分式上毕的值为0,则上的值为（）

X2-9

A.3B.-3C.0D.-3或0

【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案.

【解答】解：•・•分式今红优值为0，

X2-9

,X2+3X=0

X2-9^0

解得x=0,

故选：C.

【变式3】若’1§上1当透=o,则/的平方根.

a+4

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.依据分式的值为。的条件，即可得到〃，〃的

值，进而得出/的平方根.

【解答】解：由题可得，|16-?|+Va+4b=0,且a+4W0,

却16-a2=o,q+4〃=0,-4,

解得。=4,b=-\,

4

・•・沙的平方根为士5.

2

【变式4］当x为何值时，分式的值为零?

x+5x+6

【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可.

【解答】解：-卜1-2的值为零,

xz+5x+6

.*.M-2=0kx2+5x+6^0,

解得：x=±2,

当x=2时，，+5X+6=20W0,

当x=-2时，f+5x+6=0,故舍去.

综上：x=2.

题型04求分式的值

【典例1】当工=-2时，分式目的值是()

x+1

A.3B.-3C.2D.-2

【分析】利用代入法，代入所求的式子即可.

【解答】解：当x=-2时，原式=：±±=3.

-2+1

故选：A.

【变式1］已知非零有理数x,y满足x-3y=0,则上空=()

x+2y

A.二B.1C.—D.A.

55y55y

【分析】根据题意得到x=3y,代入分式化简求解即可.

【解答】解：根据条件可知：1=3y,

3y-2y_1

，原式=

3y+2y5

故选：c.

【变式2】若1<X<2,则」X-,I■一Ix-lI」2LL的值是（）

x-21-xx

A.・3B.-1C.2D.1

【分析】在解绝对值时要考虑到绝对•值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号.

【解答】解：・「1VXV2,

Ax-2<0,x-1>0,A>0,

；・原式=-I-（-1）+1=1,

故选：D.

2_1

【变式3】若分式工I—的值是负整数，则小的值可能为（）

m+1

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】先化简原分式为〃L1,再根据分式的值为负整数得到机是相<1且机W-I的整数，进而根据

选项中的数可求解.

2

【解答】解：•・•分式匹二工二（m+1）（m-1）二m总的值是负整数,

m+1m+1

/.m<1且mW-I的整数，

选项8中的数符合题意，选项A、C、。中的数不符合题意，

故选:B.

【变式4】若「+2的值为正数,则x的值为（）

x-2x+l

A.x<2D.x<\C.x>2且k六1D.JV>1

【分析】依题意得到关于x的不等式叱一>0,即x+2>o,由非负数的性质得到％+2>0且x

x'-2x+l（x-1）1

-1:^0,由此可以求得x的值.

【解答】解：依题意，得

—>0,即A2>0,

x--2x+l（xT）~

所以，x+2>0且x-1X0,

解得-2且xWl.

故选：C.

【变式5】已知1=0,求代数式3?—2b)+1的值.

a，-2ab+b

【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可.

【解答】解：1=0,

/.«-。=1,

3(a-2b)+3b

a2-2ab+b2

-3a-6b+3b

(a-b)2

_3a-3b

(a-b)2

_3(a-b)

(a-b)2

,3

a-b

=3_

1

=3.

05强化训练

1.下列各式：包也，生工，旦，包也，处，上(x+y)中，是分式的有()

2x兀a-bam'"

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分

式.

【解答】解：主旦，四，也，工（X+y）是分式，共4个.

xa-bam

故选：D.

2.已知x=-2时，，分式号无意义，则□可以是（）

A.2-xB.x-2C.2x+4D.x+4

【分析】当x=-2时分式无意义，可知分母口的值应为0,再分别求出各选项的值即可得出答案.

【解答】解：当x=-2时分式无意义，

所以分母口的值应为0,

当x=-2时，2-x=2-（-2）=2+2=4#0,4选项不符合题意；

x-2=-2-2=-4W0,B选项不符合题意；

2x+4=2X（-2）+4=-4+4=0,。选项符合题意：

x+4=-2+4=2K0,。选项不符合题意；

故选：C.

3.若分式上~^的值为零，则人的值是（）

x-1

A.±1B.1C.-1D.0

【分析】先根据分式的值为。的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可.

【解答】解：•・•分式三2二_1;的值为零，

X-1

f2

.•・<X-1=0,解得x=-I.

X-17^0

故选：C.

4.分式中，当工=・。时，下列结论正确的是（）

3x-l

A.分式的值为零

B.分式无意义

C.若时，分式的值为零

D.若时，分式的值为零

【分析】当x=时，分式的分子是0即分式的值是0,但前提是只有在保证分式的分母不为。时，分

式才有怠义.

【解答】解：由3x・lH0,得x吟1,

3

故把工=代入分式必-中，当且-aN2时，即■时，分式的值为零.

3x-l33

故选：C.

5.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（）

x-2-1012

y0**无意义*…

A.二1B.迎C.小D.女

x+2x+1x-lx-l

【分析】根据分式有意义的条件、分式为0的条件解答.

【解答】解：•・•当x=l时，分式无意义,

・•・分式的分母可能是x-1,

•・•当x=-2时，分式为0,

・•・分式的分母可能是x+2,

・•・分式可能是三2，

X-1

故选：C.

6.要使得分式产二有意义，则x满足的条件是（）

lx|-l

A.xW-1B.XW±1C.xWOD.e

【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可.

【解答】解：由题可知，

W-1^0,

即xW±l.

故选：B.

7.无论。取何值，下列分式总有意义的是()

A.B.[1C.-1D.—

222

aa+la-la+1

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可.

【解答】解：4、当〃=0时，分式智无意义，故此选项错误;

B、无论a为何值，分式都有意义，故此选项正确;

a2+l

C、当〃=±1时，分式号一无意义，故此选项错误;

a-1

。、当〃=-1时，分式,无意义，故此选项错误;

a+1

故选:B.

8.若分式x(x-l)(x-2)的值为0,则％的值为()

x'-4

A.0或1或2B.0或-2或2C.。或1D.。或-2

【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案.

【解答】解：•・•x(xT)(x—2)的值为0,

x'-4

Ax(x-I)(x-2)=0且』-4W0,

解得：x=0或x=l.

故选：C.

9.已知5。=2〃=10,则代数式三也的值为()

ab

A.—B.—C.1D.2

52

【分析】分别将5。=10和2,，=10的两边0次方、。次方，得5"=1(?和2"=10”,将这两个等式的左边

和右边分别相乘，得5应2帅=10帅=。叫从而得到〃+。=疝计算空也即可.

ab

【解答】解：•••5a=2'=10,

:.(5。)"=5帅=10",(2与。=2而=10%

・・・5而・2""=14必=10"+”,

a+b=ab,

.・q=l.

ab

故选：C.

10.若。为正数，且同VI,则,的值()

1+Ia

A.等于1B.大于-1,且小于0

C.大于1D.大于0,且小于1

【分析】根据题意求出。的取值范围是OVxVI,再分别去|l"I和1+间的绝对值，最后计算即可得出结

果.

【解答】解：•・•〃为正数，且MV1,

AO<x<l,

/.|1-a\=\-a,l+|a|=l+a,

.|l-a『a

1+Ia1+a

VO<1-tz<l,l<l+t/<2,

・・・上亘大于0,且小于1,

1+a

即」大于o且小于i.

1+1a

故选：D.

II.使分式-=?=-有意义的x的取值范围是Q-2.

Vx+2

【分析】根据分式、二次根式有意义，分母不等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由题意得：x>-2.

故答案为：x>-2.

2

12.若分式,2x二8的值为零,则/+2x+8的平方根为±4.

x+2

【分析】分式的值为0,则2f-8=0且1+2£0,得到x=2,进而求解.

【解答】解：分式的值为0,则2，-8=0且/2工0,

解得：x=2,

则9+2计8=16,

则』+2x+8的平方根为：±4,

故答案为：±4.

2nH3nH

x,5,8K11(-l)b

13.一组按规律排列的式子：二,bb…("WO),则第n的个式子是

4n

aaa

/_\n+1,3n-l

【分析】根据观察可发现规律：上1士~~—

n

a

/5,8,11

【解答】解：由且冬，色丁，一J，…("#0),得

“aa2a3a4

系数是(-1)田,〃的次数是(3n-l),。的次数是〃,

(1\n+1,3n-l

则第〃的个式子是工12_2_

n

a

，一1、n+1.3n-l

故答案为：AZJJ_2_

n

a

14.已知x为整数，且分式％工的值也为整数，则满足条件的所有■!•的值之和为0.

3x+l

【分析】根据X为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出工的值再求和即可.

【解答】解：笠（

3x+l

_9X+3-10

3x+l

io

3x+l

•・"为整数，分式％工的值也为整数，

3x+l

・•.当x=O时，分式=-7,符合题意；

当K=-1时，分式值=8,符合题意；

当x=・2时，分式值=5,符合题意；

当x=3时，分式值=2,符合题意：

・•・满足条件的x的值为0、7、-2、3,

所有满足条件的数的和为0-1-2+3=0,

故答案为：0.

15.若“J+J六J则|abedL的值为7.

laIlbIIeIIdlabed--------

【分析】先根据丁包下十昌-平-打4丁=2,1A「-A--A-'丁色丁的值为1或-1，得出。、。、

lailbIIeIIdl乙lailbIIeIIdl

c、d中有3个正数，1个负数，进而得出出“/为负数，即可得出答案.

【解答】解：•・•当〃、b、。、d为正数时，丁二干，-Ar，-rJ，二旦下的值为I，当〃、b、c、d为负数

laiIblleiIdl

寸，-Ar-r-T'丁工丁，A的值为・1，

laiIblleiIdl

abcd

又•・•:2,

d|

・•・〃、b、c、〃中有3个正数，1个负数,

/.abed为负数,

.Iabed|1

abed

故答案为：-I.

6已知…4。，求分式的值.

【分析】由已知得到“=3〃,再将原分式化简为I-?我,然后代入求值即可.

414

【解答】解：・・ZL4b=0,

.a2-Bab+b2

2"2~

a+b

_a2+b2-3ab

2-2

a+b

_.3ab

a2+b

3X4bXb

16b2+b2

12b2

17b2

12

~17

5

17

17.已知关于工的分式7—:J14,求下列问题:

（x+1）（x-3）

（1）当x满足什么条件，分式无意义：

（2）当x满足什么条件，分式有意义；

（3）当x满足什么条件，分式的值等于0.

【分析】（1）根据分母为零时,分式无意义解题即可:

（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可;

（3）根据分式值为。的条件：分子为0,而分母不等于0,解题即可.

【解答】解：（1）由题可得（I+1）（x-3）=0,

解得：x=-1或x=3,

2

x.i.一

，当x=-1或x=3时，分式"7—K"无意义;

（x+1）（x-3）

(2)由题可得(x+1)(x-3)W0,

解得：xW-1且xW3,

21

x-1

・••当xW-1且xW3时，分式，有意义:

(x+1)(x-3)

x2-l=0

（3）由题可得，

.(x+1)(x-3)卉0

解得x=1,

X2-1

・••当x=l时,分式的值等于0.

(x+1)(x-3)

18.已知当x=-2时，分式且无意义；当x=l时，此分式的值为0.

x+a

（1）求b的值.

（2）在（1）的条件下，当分式①的值为正整数时，求整数x的值.

x+b

【分析】（1）当x+〃=0时，分式&二且无意义；当工-。=0时，分式三”无意义；然后进行计算即可解

x+ax+a

答；

（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）当x+a=0时，分式2二且无意义,

x+a

Vx=-2,

/.-2+。=0,

解得：a=2；

当x-/,=（）时，分式三空无意义,

x+a

Vx=l,

・•・1-b=0,

解得:b=1；

・•”的值为2；〃的值为1；

（2）当〃=2,〃=1时，分式生即为：_力,

x+bx+1

・.•分式的值为正整数，

x+1

AA+I=1或八十1=2或A+I=4,

解得：x=0或x=l或x=3,

・•・整数%的值为。或1或3.

19.根据下列材料，回答问题：

1Tl111111

1X222X3233X434

清根以上各式完成下列题目：

111

(1)I---------•

8X9-8-9一'

(2),1=二二(〃为正整数);

n(n+l)-n-n+l-

（3）用简便方法计算:

【分析】（1）根据计算规律计算求解即可.

（2）根据计算规律计算求解即可.

（3）根据计算规律计算求解即可.

【解答】解：（1）高7=《1

8X989

故答案为：1-1.

89

（2）（八为正整数）,

n（n+l）nn+1

故答案为：--―--.

nn+1

（3）根