解三角形与边角互化问题、解三角形中最值与范围问题-2026届高三数学专训（解析版）

解三窗出易边隽▲也冏曲•解三龟形中狼僮鸟肥（8冏41专利

考点一解三角形与边角互化问题

1.（25-26高三上•江苏无锡•期末）在4ABC中，角46,。的对边分别为a,b,c,且V3asinC-ccosA-

c=0.

⑴求4

⑶若sin6+sinC=,Q=7,求A4BC的面积.

【答案】⑴力=卷

（2）673

【详解】⑴因为VBasinC-ccosA—c=0,由正弦定理得V^sinAsinC-sinCeosA—sinC=0,sinC

#0,故V3sinA—cosA—1=0,即2siii（4—[■）=1,解得sin（7l-[•）=,

又OVAVTT,所以？=%力

663

（2）由（1）知4=:，所以BIC=,sinBIsinC,=sinBIsinf,

JJJ

=sinB+^^cosB+-^-sinB=-^-sinB+^-cosB=V3sin（B+-^-）=

2222v6714

即sin（岳吟）二晋,8S（B+?=±喑，

所以sinB=sin（（B+55）=sin（B+5）cos-1-cos（B+1）sin-1-。二音乂乎二喑x],

所以sin6=1/或sinB=^詈，

1414

又sinR4-sin<7=,

所以smB=——,smC=—r^~,或sinB=——,sinC=——

14141414

所以A4Z?C的面积S=-^-abs\nC=《a•产；sin7?sinC="^Q2'，”牛―。—6，^.

22sirM2sinA

2.（25-26高二上•贵州遵义•期末）已知A4BC的角ABC所对边分别为Q,b,c,asin6=，5bcos4

⑴求A;

（2）如图，匕=1{=3,点。是力口延长线上一点,且揄1/3。。=1,求6长.

【答案】⑴4=看

（2）273

【详解】（1）由asin6=，^cosA,结合正弦定理边化角可得：

sinXsin^=V3sin5cos/1，又0V6V兀，sinB^O^

所以siiM=V3cosA,即tan>4=V3，又0V24V元，

所以月二卷.

(2)在△力CD中，由正弦定理可得：

CDAC

sin力—sin/会。。'

又AC=b=l,sin>l=,sin/.ADC=sinZ.BDC=；,

24

IX坐

所以CD=-=2V3.

~4

3.(25-26高二上•贵州六盘水•月考)记△AB。的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知cosB=。^.

/a

⑴求4

⑵若47=3,AB=2,点。是8C边上一点，且助=2皮，求4。的长.

【答案】⑴4

⑵驾^

•5

【详解】(1)已知cosl=2『2,由正弦定理得cos6=2sinC—,

2a2smA

即2sinAcosB=2sinC-sinB,

则2sinAcosB=2sin[7i—(A+B)]—sinB,

2sin4cos3=2sin(A+Z?)-sinZ?

2sin?lcosB=2(sinXcosB+cosAsinB)—sinB

2cosAsinB-sinB=0,即sinB(2cosA_1)=0.

B6(0,7r),/.sinBW0,那么2cos4—1=0,解得cosA=-y.

Aa

又’・•AW(0,7t),/.A=.

J

(2)•.・BD=2DC,：,AD-AB=2(AC-AD),

即AD=-^-AB^^-AC

JJt

两边同时平方：

石2呜荏+谆)2

AD^^AB^^AB-AC+^AC2.

222

Aff=\AB\=^AC=\AC\=9,AB-AC=\AB\\AC\cosA=2x3x^=3t

••・彷=卷乂4+界3+.9=警，

・•・I加空，•.

即40=岑1.；

O

4.(25-26高三上•天津南开・月考)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且(2c-《b)cosA；

=心acosB,D是边AC上一点，AD=BC=1.

..........山

⑴求角4

⑵若WB=2,求线段CO的长;

（3）若0VCV个，当80=CD时，求角。的大小.

4

【答案】⑴4=告

(2)V3—1

⑶

【详解】⑴因为(2c-V5b)cosA=V5acos6,

由正弦定理得(2sinC—V3sinB)cosA=V3sinylcosB,

即2sinCcos>l=V3(sinAcosB+sinBcosA)=A/3sin(7l+B)=V3sinC,

又sinC>0,所以cosA=-,

又4€（。㈤，所以力=和

⑵在4ABC中，由余弦定理得滔=b2+c2-26ccosA,

即1=〃+4—2/b,解得b=75,

所以抬一1;

(3)因为BD=CD,所以NBDC=TI—2C,ZABD=-^-2C,

6

BDAD

在AABD中，由正弦定理得

sin/IsinZ.ABD

则BD="Dsin'=------1

闱-20，

sin^ABD2sin

BDBC

在ABCD中，由正弦定理得

sinCsinZBDC'

BC-sinCsinC]

用BD=

sin(7r—2C)sin2C2cosC'

111]

所以一--，即

2cosC*sin庠-20cos。

2sin^-^r—2。)CQS(专—2。)

所以cosC=8S（g■—2C）,因为CW（o奇），所以c=g-2a所以。=夺

5.(25-26高三上•天津滨海新•月考)已知△ABC的内角力，B,C的对边分别为Q,b,c,且

(2a-V3c)cosZ?=V36cosC.

(1)求角B的大小：

(2)若°=通，2a+b=3,求a,b；

(3)若b=,求sin(271+B).

【答案】(1)石=?

6

(2)a=1,6=1

V2I+3

()-8

【详解】(1)由(2a—V3c)cosB=V36cosC,

根据正弦定理，得(2sin?l-V3sinC)cosB=V3sinZ?cosC,

则2sinAcosB=V5sinCcosB+A/3sinBcosC=V5sin(B+。)=V3sinA,

在4ABC中，sinAH0,则cosB=-,

乙

义BE(0,n),故6=%.

(2)由B=^,c=g,

6

根据余弦定理可得cosB=士无名，=坐，整理可得a?一〃+3=3Q,

2xaxV32

又2a+b=3,解得0=1"=1或a=2,b=-1(舍去).

(3)由6=，^。,根据正弦定理,得5八］8=、^^1］4,

则方“力二典旦=’一=鱼

V2V24

又b=V2a>at则>?1,故月为锐角，

所以cosX=Vl-sinM=^/l—)=斗工，

则sin2X=2sinAcosA=2xx-^3-=-,

444

cos2A=2cos?A-1=2x()-1=,

所以sin(24+B)=sin2Xcos-y-+cos2力sin等=xgx《=^^^+3.

6642428

6.(25-26高一上•湖南衡阳•月考)的内角A,3,。的对边分别为a,b,c,已知acosS+

(b-V2c)cosA=0.

⑴求4

(2)若a="，A4BC的面积为四一1,求AABC的周长.

【答案】⑴力=平

(2)3+V5

【详解】(1)因为acosB+(5—v"2c)cosA=0,

由正弦定理可得sin/lcosZ?+(sin/?—V2sinC)cosA=0,

即sin(4+3)=V2sinCeos/I,

由于A+6=TU—C

所以sin(A+B)=sin(7i—C)=V2sinCeosA,

又CE(0,兀)，所以sin。〉。，

贝］COSA=,

又为W(0,7U),所以为=不；

(2)因为S4ABC=-^-besinA—"2—1,所以be=4—2V2,

由余弦定理a2=b1+。2—2bccos力，即5=〃+。2—儿，

即5=3+6)2—(2+2)儿，所以5=3+。)2—(四+2)(4—2，)，

所以b+c=3(负值已舍去)，

所以△AEC的周长为3+，5.

7.(24-25高一下•四川泸州•月考)/XABC的内角46,C的对边分别为Q,b,c,已知旨=sinA—

0

sin(B-C).

(1)求角8的大小：

(2)设b=2,求C+2Q的最大值及c+您。取得最大值时的面积.

【答案】⑴3二百

4

⑵2汨,券

5

【详解】(1)因4+B+C=兀，则sinA=sin(B+C),

利用正弦定理券=sirM-sin：6—C)可化为，

=sin为一sin(B-(7)=sin(6+C)-sin(B—C)=2cosBsinC,

oillx_?

又因为CW(0,兀)，故sinC>0,故=2cosB,即sin2B=l,

sinB

又2B€(0,27)，所以2B=卷■，得到B=/■.

(2)由题意及⑴知.b=2,B=；,

4

由正弦定理可得a=/=，，=--—=2V2,则Q=2V2sinA,c=2V2sinC,,

sinAsmCsinz>sin于

故c+V2a=2V2sinC+4siny4=2V2sinC+4sin(c+-^-)=2V2(sinG+sin(7+cosC)

=2V2(2sin(74-cosC)=2Vl()sin(C+<5!?),

其中cosw=^^,sin3='^,且0E(0,y),

•JU4

因为CE(0,誓)，故。+3W(w，牛+3),而平+卬€(乎,苧)，

故当。+夕=£■，即。二与一夕时，sin(C+w)取最大值l,c+应。的最大值为2411,

故sinC=sin(3—0)=cose=,cosC=cos(=-w)=sin^>=,

v275,2)5

所以c=2^2sinC=2V2x2”?—4^?^,

55

又sinA=sin(-^-C)=夸；sinC+cosC)=坐乂陪=,

故a=2V2sinX=2\/2x=6.,

105

此时见四=8百历制X亨X等X岑

8.(24—25高一下•福建福州•期末)在△4Z?C中，角4B,C的对边分别为a,Ac,且4=(cosC+V^sinC,

—1)»b=(a,b4-c),a±5.

,⑴求4

■(2)若。=2,则△43C的面积为逐，求be

【答案】⑴/=与

•3

:(2)b=2,c=2

Q...................

【详解】⑴A・・・&・1=0,

:,acosC+V3asinC—b-c=0,

由正弦定理得：sirMcosC,+V3sin?lsiiiC-sinB-sinC=C',

VA+B+C=7T,

sinAcosC+V3sinAsinC—sin(7l+C)—sinC=0,

sinAcosC+A/SsinXsinC-sinylcosC-cosAsinC—sinC=0,

:,V3sinylsinC-cosAsinC-sinC,=0,

sinC#0,V3sinA—cosA=1,即2sin(4—卷)=1,

・・・ae(o㈤,・・・4一三=看，即a=卷;

663

⑵•.•△48。的面积为，^,・,.(从0口1=0历=，^即秘=4,

234

由余弦定理得：d2=b2+c2-2bccosA,

:.4=62+。2—be=(b+c)2—12,

/.6+c=4,/.6=c=2.

.........................................................................a

考点二解三角爵中最值与范围问题

9.(24-25高三上•安徽合肥•月考)△为的内角氏。的对边分别为。，b,c,已知(c-2b)cosH+

a2-ib2—c2_

~26-=n°-

(1)若Q=4,b+c=8,求△WB。的面积；

⑵若角C为钝角，求号的取值范围.

b

【答案】⑴4出

(2)(2,+8)

【详解】⑴因为(c-26)cosX+"-。=0,

所以由余弦定理：(c—2b)cos/+acosC=0,

所以由正弦定理(sin。一2sinB)cosA+sinAcosC=0,

又因为sinCcosA+sinncosC=sin(A+C)=sin(7r—JB)=sinB,

所以sinB(l—2cos4)=0,因为OVBVTT,所以cosA=-y,

因为0V4V冗，所以力=等,

•3

由余弦定理〃+/一儿=16,

因为。=4,b+c=8,所以(b+c)2—36c=16,所以be=16,

所以AABC的面积S=看besmA=。x16x乎=4V3.

NNN

0<B<f

(2)因为角。为钝角，所以《，所以。<一,

弩一外

因为士=鼻，所以且=嗯，

sinBsinCbsinB

夸cos8+/sin6瓜]

代入°=等一3得号二再写

sin82tan6+2

3bsinB

因为"tan"寻'所以磊印方>2,

所以号的取值范围为⑵+8).

0

10.(25—26高三上•福建泉州•期中)在中，角43,。的对边分别为a,Mc,若四QCOS3+bsinA=

V3c.

⑴求A;

(2)若△48。是锐角三角形，c=4,求。面积的取值范围.

【答案】⑴4=看；

O

(2)(273,873)

【详解】(1)因为V3acosB-I-bsinA=V3c,

所以由正弦定理可得，JsirMcosB+sinHsinA=J5sinC,

又sinC=sin(A4-B)=sinAcosB4-cosAsinB,

所以sinDsinA=V3coSa4sinZ?,

因为B为三角形内角，sinB>0,

所以sinA=V3cosA,可得taiM=V3,

因为AW(0,冗),所以4=看;

O

⑵由正弦定理可得磊

sinC

所以b=csinE=4sin(4+C)=2sinC+2瓜osC=2+［瓜

sin。sinCsinCtanC

故S△田:=Jbcsin/=Jb•4,乎=V3b=273+6,

222tanC

而因为△A6C为锐角三角形，

ov等一cv食

故V，解得看vCv7

o<c<f

从而1@11。〉今，所以0<—<73,

3tanC

故S&3=273+—^7的取值范围是(2V3,8V3).

ta.nO

11.(24—25高一下・广东清远・期中)在446。中，角力，6,。所对的边分别为06。,若。二2

(1)若2bsinC=J5acosB+y^bcos/l,求角3；

⑵若b+c=1+《，S&ABC=£~，判断△4BC的形状；

乙

(3)在(1)条件下，若角A为钝角，求△ABC面积的取值范围.

【答案】⑴6=母或专

JJ

(2)直角三角形

⑶(()*)

【详解】(1):26sinC=V3acosB+V3bcosA

：.2sinZ?sinC=/(sin4cos/?4-cos?lsin/?),

即2sin6sinC=V3sin(A+B)=V3sinC

又(0.7C),/.sinC^0,/.2sinZ?=即得sinl?=

又・・・B/(()一)，••・8•或等;

oo

(2)由题意〃+。2+2儿=4+26,。2=4=〃+。2—02=2——2儿，

因为S=^bcsinA=^-6cVl-cosM=1%/一(归卷可=.儿日一(岭浮f,

所以今=〈卜2--—8号c+北冲解得儿=.

22V4

又因为b+c=l+V3,6,c>0,

所以f或“二,，因为a=2,I?+(V3)2=22,

所以△48C是以乙4为直角的直角三角形；:

⑶•.•角4为钝角，.•./=强,；

JI

............6

'：a=2,B=,：.由余弦定理得：b2=d1+c2-2accosB=4+c2—2c,

o

,:角A为钝角，,"2+。.2Vo，即c2—。v0n0vcV1,

•IS^BC=£acsinR=乎c€（0,空）.

12.(24—25高一下•广东湛江•月考)记锐角三角形的内角4B,C的对边分别为Q,b,c,△/WC的

面积为S,已知〃+4V3S=(b+c)2.

(1)求角力;

(2)若。=JS,求三角形AAZ?。周长的取值范围.

【答案】⑴弓

•J

（2）（3+73,373]

【详解】（1）由面积公式得a24-4A/3x-^-bcsinA=（64-c）2,即〃=（54-c）2—2V36csin/4,

由余弦定理得d2=b2+c2-2bccosA,

所以（b+c）2-2/bcsin力=b2+c2-2bccos/,

贝]2bc—2V36csin/l=-2bccosAf

所以V3sinX—cosA=2sin（工一专）=1,即sin（4—点）=-y,

因为46（0,兀），则4一£

6'66，

所以Z一巧.=*，即4=母

663

（2）由正弦定理得-07=]%=^^=4=2,

smAsmdsmGV3_

2

所以b=2sinB,c=2sinC,

所以b+c=2sinB+2sinC,=2sin2?4-2sin（专—Bj=2sinB+2（-^-cos254-^-sin/?j

=3sinB+V3cosB=2V3sin（5+-1-）,

因为△力6C为锐角三惭形，

0<B<f

所以，解得票V6V专,

0〈。=与一6V专I)乙

所以会＜8+京V等，

所以sin（6+5）G（夸,1],则b+c=2〃3sin（B+5）6（3,2〃3],

所以三角形周长为a+b+c€(3+通,：”际］

13.(24—25高一下•重庆渝北•期中)在锐角△46。中，内角A3。所对的边分别为a,b,c,且满足(sinA-

sinB),(sirM+sinB)=sinC(sin?l—sin。).

⑴求角8

(2)求幺萨的取值范围；

(3)当b=1时，角6的平分线交力。于求6M长度的最大值.

【答案】⑴6=多

O

⑵•2］；

【详解】(1)因为(sinA-sinB)•(sinX4-sinB)=sinC(sin?l—sinG),

由正弦定理，可得(Q—b)(g+b)=c[a—c),整理得d2+c2—b2=ac,

又由余弦定理，可得8sB==-L,

Zac2

又因为BE(OK),所以B=告.

•J

⑵由⑴可知，6=母，所以/+。二与

•5J

由正弦定理，可得咛==sin：+,『。=[sinM+sin;(A+y)]

4[l-cos2A,l—cos(2A+等)142+乎sin2ATcos2力42.f9A7c\

==X

--------2-------JJ-----------2-----------=-+-sm(2A--),

0v/v工

2

”1r，解得微■v/v”,

{0V争一AV与62

则£V2工一£〈雪，可得《Vsin(24-则:V系sin(2力一系,

6662v6733v673

所以年十卷sE(2A弋)C信吟即半€(f,2],

⑶

如图，由S—BC=SgAM+S&JCA/，

可得JacsinN4BC=-yc-BMsinZ.ABM+Ja•BMsinzLCBM®

因为B=q■，所以乙4BM=4cBM=%

36

所以①式：V3ac=a•BM+c•■,可得BM=冬邑，

Q+C

由(1)可得Cl?+"—"2=0tc,

员J(a+c)2=b2+'3ac=14-3QC,即QO=-i-[(a+c)2—1]

o

所以⑹嗓白=^[(a+c)—一I],

Q+C3LQ+C」

令a+c=£，则2?”=乎(£一；)，

因为a+c=si：.(sinH+sin。)=-^^-[sini4+sin(i4+y)]

=(告sin4+卑cos")=2sin(A+匀，

«,j乙乙u

由(2)可知，弓"VAV[，则《"〈工+:V*Vsin(4+DV1,

623632'6/

............即

所以a+c=±e(V3,2],

因为4a—十)在tE；A/3,2]上单调递增，

所以£=2时，6"=当为最大值，

所以3"长度的最大值为4.

14.(24—25高一下•广东惠州•期末)在△ABC中，已知a,b,c分别是△ABC的内角4B,。所对的边，记

m=(2c,1)»n=(2a—6,cosB)»H.rn,