专项提优（平行四边形中的折叠问题）同步练习-2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专项提优（平行四边形中的折叠问题）同步练习

一、单选题

1.如图，A8CD中，ZBAD=]\O0,E,尸分别为AB,C。的中点，将A8CO沿直线所

折叠，点C落在边A。上点G处，则/GE）的度数为（）

A.70°B.55°C.50°D.40°

2.如图，在‘ABC。中，AO=8,E为边BC上一点,连接AE,DE,BE=3,将阳沿

AE折登，点8恰好落在。£上的点夕处，则的长为（）

A.5B.4.5C.4D.3

3.如图，将.A8CO沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点尸处，AF交BC于点E,

有下列结论：①“AB&CFB；②AE=CE；③BFHAC；④BE=CE,其中正确结论的个

数是（）

4.如图，4c是，A8C。的对角线，将48co折叠，使得点A与点。重合，再将其打开展

平，得折痕防，E尸与AC交于点O、G为C/的中点，连接OG、CE.则下列结论:①OE=OF；

®ZFGO=2AFCOx③DF=BE；@OG=-AB；⑤，BCE的周长=AO+CD.其中正确

5.如图，在oA8C。中，ZACB=25。,现将，A8c。沿M折叠，使点C与点A重合，点。

与点落在点G处，则NGFE的度数是（）

A.135°B.120°C.115°D.100°

6.如图，在平行四边形4BCO中，AB=6,AO=8,将ACD沿对角线AC折叠得到△ACE,

AE与BC交于点F,当F恰好为8c的中点时，则平行四边形人8CO的面积为（）

A.30B.60C.6x/7D.12万

7.将一个平行四边形纸片ABC力进行折叠，第一次折叠经过点4使NA的两边重合，折

痕交边。。于点E，第二次折叠经过点B,使N4的两边重合，折痕交边C。于点R如图是

种折叠后的效果，当点C,。，E,尸相邻两点间的距离相等时，若A6=6,则AZ）的长

DFE厂

二

A.2B.4C.2或4D.2或4或12

8.如图，将.A8CO沿AC所在直线折叠,点8恰好落在8A延长线上的点8'处，CB'^AD

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于点E.若N84O=130。，则NB'C。的度数为（）

A.50°B,45°C.40°D.35°

二、填空题

9.如图，将平行四边形A8C。沿对角线AC折叠，使点3落在点8'处，若N1=N2=46。,

则N8=°.

10.如图，在平行四边形A8CD中，将.58沿着AC所在的直线折叠得到AAC。，4y交

BC于点、E,连结8Z）',若N/SC=60。，ZDAC=45°,AB=2,则8。'的长是.

11.一个Rt二4JC中，NAC8=90。，AC=6,BC=3,。为斜边A8的中点，七为直角边AC

上的一点，连接OE,将沿。£折叠至LA'OE,A'E交BD于点F,若_DEF是一ADE

面积的一半，则CE=.

Af

12.如图，把平行四边形纸片人AC。沿对角线AC折叠，点B落在点夕处，8'C与AO相交

于点石，此时.C7）?恰为等边三角形，若A3=6cm,则AO=cm.

13.如图，在平行四边形/W8中，/8=60。）8=4,4）=3,点£在边8C上，连接A£,

将三角形A5E沿4E折叠，若点3落在5c延长线上的点尸处，则。尸的长为（

14.如图所示，在cA8CD中进行折叠操作，使得点。恰好落在A。边上的点C处.已知

Zl=60°,N2=42。，那么-C的度数为。.

15.如图，将一张A8CD纸片沿着4E折叠，点4的对应点?恰好落在A力上，连接所,

若NC=120。，CD=2f则图中阴影部分卜田）的面积是

16.如图，四边形A4c。是平行四边形，AB=BC=2,N"C=30'，点E是线段D4上一

点，把沿CE折叠，点。的对应点为连接若，OBC为等边三角形，则

DE=.

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17.如图，在，ABCD^,将A4DC沿AC折叠后，点。恰好落在。。的延长线上的点E处,

若N8=60°,AB=4,贝！VAO石的面积为.

18.如图，平行四边形48C。中，NA=45。，A8=4,BC=2迷,七为44的中点，产分别

为4。边上的动点，将NA沿E尸折叠，点A落在平面内的点4处，且点4在N84D外部,

当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段。尸的长为

19.如图，在cA8c。中，BALAC,将A3CO进行折叠，折叠后AO恰好经过点C,得

到A£>',DE=\0,CE=8,ZBAC=90°,则线段AC的长度为.

20.如图，将平行四边形AACD进行折叠，折叠后AO恰好经过点C得到A。，若

NB4C=90。，DE=5,CE=4,则线段AC的长度为.

21.如图，将四边形纸片八BCD沿过点4的直线折叠，使得点分落在CD上的点。处，折痕

为AP；再将△PCQ,A4DQ分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,。落在八户上的同一点R处，

则4Q2的大小为一。；当四边形APC。是平行四边形时，笑的值为一.

22.在平行四边形4BC。中，点E,尸在3c边上，把..ABE沿直线AE折叠，-CO尸沿直

线。尸折叠，使点3,C落在对角线4c上的点G处，若ZAG£>=110。，则N3的度数为_.

23.如图，在：A4C。中，点E在边8c上，将一A8E沿AE折叠，点"的对应点方恰好落在

边OC上；将二403'沿/I"折叠，点。的对应点ZX恰好落在AE上.若NC=a,则

NC?E=.（用含。的式子表示）

24.如图，将四边形纸片A4co沿过点A的直线折叠，使得点3落在8上的点。处.折痕

为”；再将△尸CQ,△AOQ分别沿P。，4Q折叠，此时点C,。落在北上的同一点R

处.NPAQ=。；若四边形APCO是平行四边形，则苛的值为.

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25.如图，将.A8CO先沿跖折叠，再沿3b折叠后，A点落在线段3"上的4处，C点落在

E处，连结E4LEF.若恰有M_L£4',则44=.

26.如图，将一张平行四边形纸片A8CD折叠，折痕为8D,折叠后，点A的对应点为点E,

DE交BC千点、F.若A8=2,AD=4,ZA=120°,则所的长为

三、解答题

27.如图I,在「A8c。中，AB=6,AD=4,NA=60。，点E厂分别为边CD4B上异于

端点的动点，且DE=BF,连接£尸，将四边形C比E沿着E尸折叠得到四边形"EFG.

图1图2备用图

(I)如图2,当点。落在点A处时，求折痕七厂的长；

(2)当点G落在A8CO的边上时，直接写出点B,G之间的距离.

28.如图I,在.ABO中，^OAB=90°.ZAOB=30°,OB=2.以OB为一边，在△OA4外作

等边三角形O8C,。是。8的中点，连接4。并延长交OC于日

⑴求点8的坐标;

⑵求证：四边形ABCE是平行四边形;

(3)如图2,将图1中的四力形A3C。折叠,使点。与点A重合，折痕为AG,求OG的长.

29.如图，将平行四边形A8CO纸片沿E尸折叠，使点C与点A重合，点。落在点G处,

⑴求证：AE=AFx

⑵求证：AABEGF.

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30.综合与探究

问题情景：如图1,是平行四边形AKC。的对角线，ZA=ZC=90°,将A4沿跖折叠，

使人点落在AZ）上的点G处，将边CO沿折叠，使点C落在BZ）上的点〃处，求证：四边

形BED厂是平行四边形.

图1图2

初步探究：

（I）郭鹏同学的证明过程如下：

在平行四边形4BCO中，AD//BC,AB=CD,

ZADB=/DBC,

7折直，：.AB=GB,CD=HD,N8G£=ZA=90°,ZD//F=ZC=90°,

「•BG=DH,ZDGE=/BHF=90。，

/.DG=BH,

：.△DEG*ABFH（依据一），

ADE=BF,

又DE〃BF,

••・四边形BED厂是平行四力形（依据二）.

问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是；依据二是；

（2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明.请按赵斌的想法

写出证明过程；

深入探究：

（3）如图2,连接FG,若A8=6,8C=8,请直接写出四边形EGF”的周长.

31.问题情境：为了探究折纸过程中绰含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完

全相同的一张四边形纸片，如图.

探究实践1：

老师引导同学操作：把纸片八BCD沿过点A的直线折叠，使得点8落在C。上的点。处.折

痕为心，再将△PCQ,aA。。分别沿QQ,AQ折叠，此时点C,。落在4＞上的同一点R

处，如图.老师让同学们探究：

(1)NPQ4的度数是

探究实践2：

完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的•张平行四边形的纸片，如图，在探究实

践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和

讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：

(2)小虎发现：“如图，将平行四边形A4S沿着8/(F为。。的中点)所在直线折叠，点

。的对应点为C,连接。C并延长交A4于点G,则AG与相等.”

请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由.

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32.如图，在平行四边形ABC。中，点E是BC边上的动点，现将..ABE沿4E折叠，点8'是

点8的对应点.

图1

⑴如图1,当点8'恰好落在AO边上时，求证：四边形ABE8'是平行四边形;

(2)如图2,若？860?,AB6,9C=9,点8,落在OE上时，求9方的长；

(3)如图3.若？B60靶BAC=907,AB6,取&。的中点R连接CF,求CF的取值范围

参考答案

1.D

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平

行四边形的性质可得出A6〃cr>,AB=CD,得出/54£>+/6。/=180。，求出NGD/，由

题意可得出£尸ADBC,再利用平行线的性质得出NEFC=NGDF=70。，由折叠的性质

可得出NEFC=NGFE=70。,最后利用平角的定义即可求出NGFD.

【详解】解：.••四边形八88是平行四边形，

AAB//CD,AB=CD,

•••N8AO+NGDb=180。

VZBAD=110°

ZGDF=70°,

YE,尸分别为AB,CO的中点，

?.EFADCB,

工NE尸C=NGO产=70°,

由折叠的性质可得出NEFC=NGFE=70。,

，GFD=180°-NEFC-NGFE=40°,

故选：D.

2.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等角对等边.根据平行四边形的性质

和折叠的性质可求出〃4E=NA&),BE=BE=3,得到£>E=AQ=8,据此求解即可.

【详解】解：:ABCD,

・•・AD//BC,

/.ZDAE=ZAEB,

•••将ABE沿AE折叠，点8恰好落在线段上的点B'处，

；・ZAEB=ZAED,BrE=BE=3,

JZDAE=ZAED,

/.DE=AD=Sf

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/.DH=DE-BE=5,

故选：A.

3.C

【分析】根据SSS即可判定△ABF也△CEB,根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得

到EC=E4,根据NE8F=NEF8=NEAC=NECA,即可得出8/〃AC.根据E不一定是

8c的中点，可得BE=CE不一定成立.

【详解】解：由折叠可得，AD=AF,DC=FC,

又・・7卜行四边形A8CO中，AD=BC,AB=CD,

：,AF=BC,AB=CF,

在△人所和4CFB+，

AB=CF

<AF=CBt

BF=FB

:.丛ABF9RCFBCSSS),故①正确；

:./EBF=/EFB,

:・BE=FE,

：.BC-BE=FA-FE,BPEC=EA,故②正确；

：,ZEAC=ZECA,

XVNAEC=NBEF,

：.NEBF=NEFB=ZEAC=NECA,

：.BF//ACt故③正确;

YE不一定是BC的中点，

不一定成立，故④错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解

题时注意：折叠是一种对祢变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，对应边和对应角相等.

4.B

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和折叠问题，通过折叠能过得到轴对称图形，对

称轴垂直平分对应点的连线，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分.熟练地掌握平

行四边形和折叠的性质是解题的关键.

根据四边形4KC。是平行四边形，得出A3〃CDAB=CD,BC=AD,即可得

ZOAE=NOCF,/OEA=NOFC,根据折叠得所垂直平分AC,CE=AE,可得。4=OC,

故.8CE的周长=AO+CD,判断选项⑤；证明△AOEgaCO尸，得出OE=O凡AE=CF,

即可判断①;根据/CO尸=90。，G为CF的中点，即可得OG=CG===AB,

即可判断④：根据N尸CO=NGOC,得出NFGO=2NFCO,即可判断②；根据

CD-CF=AB-AE,得出DF=BE,即可判断③；

【详解】解：•・•四边形A8c。是平行四边形，

AAB//CD,AB=CD,BC=AD,

：./OAE=/OCF,NOEA=NOFC,

•・•将，A8CO折叠，点A与点C重合，

：.CE=AE,OA=OC,

・•・BCE的周^:=BC+BE+CE=AD+BE+AE=AD+AB=AD+CD.

故⑤正确；

在AAOE和二COF中，

N0AE=40CF

<ZOEA=NOFC,

OA=OC

：.AOE^COF(AAS),

：.OE=OF,AE=CF,

故①正确；

VZCOF=90°,G为C产的中点，

，OG=CG=FG=-CF=-AE^-AB

222t

故④错误；

・•・4FC0=4G0C,

/./FGO=ZFCO+4Goe=2ZFCO,

故②正确：

'：CD-CF=AB-AE,

:•DF=BE,

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故③正确，

故选：B.

5.C

【分析】首先根据折叠找到对应相等的角

NE4C=NECN=25。,NFEC=/AEF/DFE=NGFE,然后根据三角形内角和可算出

Z4EC=130°,进而得出/FEC=65。，再根据平行四边形的性质即可求出答案.

【详解】解：由折叠性质可得：NEAC=/ECA=25o,/FEC=/AEF/DFE=/GFE,

VZ.EAC+ZEC4+ZAEC=180°,

・•・ZAEC=130°,

AZFEC=65°,

•・•四边形A8CO是平行四边形，

・••AD//BC,

/.ZDFE+ZFEC=180°,

/.ZDFE=1I5°,

•••ZGFE=115°,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应

相等的.

6.D

【分析】本题考杳的是平行四边形的性质，勾股定理及翻折变换.由折叠得。AC=NE4C,

AD=AE=8,进而得出？人加90?,求得人C的长，根据平行四边形面积公式求面积即可

【详解】解：・・・/wc力是平行四边形，

・•・AD//BC,AD=BC=S,

・•・乙FCA=々DAC,

由折叠得NOAC=NE4C,A£>=A£=8,

/.ZFCA=ZFAC,

:.AF=CF,

•・•尸为BC的中点,

:・BF=CF,

:.AF=BF,

:.AFAB=ZFBA,

:.ZFAB+/FBA+ZE4C+/FCA=180。，

:.ABAC=90°,

AB=6,

.\AC=JBC?-AB2=277，

平行四边形ABCD的面积为ABxAC=\277.

故选：D.

7.C

【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识.分二种情况画出图形,

利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可.

【详解】解：如图1,

图1

•••四边形4BCO是平行四边形，AB=6,

/.CD=AB=6,AB//CD,

/•^AED=ZBAE,

•・•点C,D,E,产相邻两点间的距离相等,

/.DF=EF=CE=2f

DE=DF+EF=4,

由折叠可知，NBAE=4)AE,

ZAED=NDAE,

••・AD=DE=4,

如图2,

图2

•・•四边形A8CQ是平行四边形，AB=6,

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：.CD=AB=6,AB//CD,

JZAED=/BAE,

•・•点C,D,E,”相邻两点间的距离相等，

，DE=EF=CF=2,

由折叠可知，ZBAE=ZDAE,

:・ZAED=ZDAE,

，AD=DE=2,

综上可知，AO的长为2或4,

故选：C.

8.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后

对应角相等是解题的关键.

由平行四边形的性质可得八。BC,ABCD,再由/成。二130。，可得N£=NB=5()。，

再由折叠的性质和平行线的性质即可求解.

【详解】解：•・•四边形ABCO是平行四边形，

AADIBC,ABCD,

AZZ?+ZM£>=180°,

VZ&4Z>=130°,

•••ZB=180°-ZB/\D=180o-1300=50o,

由折叠的性质可知，Ng=NB=50。,

•/AB]CO,

，N&CD=N8=50。.

故选：A.

9.Ill

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性

质是解题关键.先根据平行四边形的性质可得48〃。，AD//BC,根据平行线的性质可

得N849=N1=46。，ND4C=N2=46。，再根据折叠的性质可得

ABAC=ZB'AC=^BAB'=23°,从而可得/朋。=69。，然后根据平行线的性质得出

【详解】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AB//CD,AD//BC,

AZBA^=Z1=46°,ZmC=Z2=46°,

由折叠的性质得：

NBAC=NB'AC=-/BAB'=23°,

2

・•・/BAD=Z2DAC+zlBAC=46。+23°=69°,

,/AD//BC,

，N8+44)=180°,

/.NB=180°-ZHAD=1«)°-69O=111°.

故答案为：111.

10.V2

【分析】由平行四边形的性质得4CB=ND4C=45。，48=120。，进而求出

^BAC=ZACD=15°,由折叠的性质得NACD=NACD=75。，CO'=CQ=2,

ZADfC=ZD=60°,求出N4s=30。得。£=，CD'=1,求出NBAE=30°得=1,

22

然后由勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•四边形4BCO为平行四边形，ZABC=60°,

，N£)h48C=6O。，AD//BC,AB//CD,CD=AB=2,

JZACB=ZDAC=45°,/BCD=180°-6()o=l20°,

:.ZACD=120°-45°=75°,

・•・NBAC=ZACD=750,

•・•将.ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACD,

・•・ZACD'=ZACD=75。8=CD=2,ZAD'C=ZD=60°,

・•・乙BCD=75n-45n=30%

・•・幺所="£。=180。-60。-30。=90。，

AD'E=-CD,=\,/BAE=90。-60。=30。，

2

・•・BE=-AB=\,

2

**-BD'=VF+l7=V2；

第18页，共42页

故答案为：6.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形.熟练掌握平行四边形

和折叠的性质，得到AC1AE是解决本题的关犍.

11.、

2

【详解】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

通过勾股定理可得人8的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可

得A£>=AD=2D凡AF=EF,可求。〃=1石，可得

42

BF=BD-DF=^=DF,可证8ED4'是平行四边形，可求得8E=AO,根据勾股定理

4

可得CE的长度.

【解答】解：如图，连接BE、A8,

A9

•・・/4C8=90。，AC=6,BC=3,

•*-AB=ylAC2+BC2=3N/5，

二。是AB中点,

BD=AD=>6

2

,/将..ADE沿DE折叠至ADE，

***A0=A'D=—>/5,S.AI)E=SA，DE»

.S.DEF=5S50E,

:・AD=2DF,SDEF=^S

A'DE'

ADF=-y/5,A!F=EF,

4

•••BF=BD-DF=-45=DF,

4

J四边形BEQA是平行四边形，

AA!D=BE=-4st

2

在RlBCE中，根据勾股定理得：CE=^BE2-BC2=1,

2

3

故答案为：另.

12.12

【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角

三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；

根据等边三角形的性质可得/。=/£心石=/。£/)=60。，根据折叠的性质和平行四边形的性

质可得NE4C=NEC4,结合三角形的外角性质可得NE4C=NEC4=30。，进而得到

NDC4=90。，再利用30度角的直角三角形的性侦即可得解.

【详解】解：：CDE为等边三角形，

•••ZD=ZDCE=ZCED=60。,

•・•折叠,

/.ZBC4=ZEC4,

•••4AC。是平行四边形，

AB=CD=6,AD//BC,

••・NE4C=N8C4,

JZE4C=ZEC4,

•・•ZE4C+ZEC4=ZDEC=60°,

，ZE4C=Z£C4=30°,

・•・N力GA=90。，

，AD=2CD=\2cm；

故答案为：12.

13.1

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，线段的和差，解题的关键是熟练

掌握以上性质.

利用翻折的性质和条件证明为等边三角形，求出B尸=4,再利用平行四边形的性质

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和线段的和差求解.

【详解】解：根据翻折的性质得，AB=AF,

V/8=60。，

••・△AB/为等边三角形，

，BF=AB=4,

•・•四边形A4c。是平行四边形,

/.BC=AD=3,

：.CF=BF-BC=4-3=\,

故答案为：I.

14.108°a08度

【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求

出NC£C=60。，再利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求解.

【详解】解：如图,

四边形A8CO是平行四边形,

/.AD//BC,

.\Z1=ZCEC=6O°,

由翻折变换的性质可知NCEF=4CEF=gNCEC=30°,

/.ZC=180°-N2-NFEC=180°-42°-30°=108°.

故答案为：1。8。.

15.V3

【分析】由平行四边形的性质可得AB〃CO,AB=CD=2,ZBAD=ZC=1200,再由折

叠性质可得N84E=NF4E=gNB4O=60。，.ABE"AFE,即有&八腔=又八房，从而可证

明44M是等边三角形，过A作A〃_L8c于点，，然后由勾股定理和面积公式即可求解，

掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：由题意可得：AB//CD,AB=CD=2,/物力=NC=120。，

・'•N8+NC=180°,

由折叠可知ZBAE=ZFAE=|ZBAD=60°,aABEgAFE，

乙

:.ZB=ZBAE=6O°,SVABE=S\,,"E，

•'..ABE是等边.二角形，

:.AB=BE=AE=2,

过A作A”_L8C于点”，

/BH=EH=l,

C

AH=飞AB=BH*=722-l2=6，

S.八,bHeF=2-BEAH=-2x2xyf3=yf3,

S.八"=S冲£=有，

故答案为：忌.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，

正确进行计算是解题关键.

16.2石-2

【分析】先判断ABC。是菱形，根据菱形的性质可得：NO=NABC=30"NBCD=150°，

然后根据UBC为等边三角形,可得N8CD=60°,然后根据折叠的性质可得：

&DCE^QCE,进而可得NOCE=45\然后过点E作即工CO,垂足为凡然后解直角

三角形DEF即可求出。石的值.

【详解】解：如图（1）所示，

二四边形A3CQ是平行四边形，AB=BC=2,

••・四边形A46是菱形，

・・・A4=2,NA8C=30°，

：.CD=AB=2,NQ=ZA8C=30'，ZBC£>=150\

D8C为等边三角形，

ZBCD1=60\

NOS=90",

.CDE沿CE折叠,得到CD'E,

第22页，共42页

DCE^DCE,

1.NDCE=DCD'=45”,

过点E作所/CO,垂足为F,则NC在=90、

\?CEF?DCE45",

:.CF=EF,

在心，。所中，ZD=30°.

:.EF=-DE,

2

设瓦'=x,则力E=2x,CF=x,由勾股定理可得：FD=6X,

vCF+FD=CD=2,即工+4=2,

解得：x=>/3—1,

\DE=2x=2yf3-2,

故答案为：2百-2.

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及等边三角形的性质等知识，解

题的关键是：添加辅助线，构造两个特殊的直角三角形，然后解直角三角形即可.

17.166

【分析】由平行四边形的性质得CO=A8=4,ND=N8=60。，由折叠得CE=CO=4,

ZACE=ZACD,因为点。恰好落在。C的延长线上的点E处，所以Q石=8,NACDj0。，

所以NC4O=30°,则AO=2CD=8,AC=4>/3,即可求得S八珑=16>Q.

【详解】解：四边形人BC。是平行四边形，ZB=60°,AB=4,

：.CD=AB=4,ND=NB=60°,

由折叠得CE=CD=4.ZACE=ZACD,

丁点。恰好落在DC的延长线上的点E处，

/.ZACE+ZACD=180°,DE=CE+C£)=4+4=8,

/ACO」xl800=90。，

2

・•・/040=90。一/。=90°-60。=30°,

•二AD=1CD=2x4=8,

•••AC=YJAD2-CD2=VS2-42=473，

・•・S.ftF=-DEAC=-x8x4x/3=16^,

故答案为：16>/J.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30。角所对的直角边

等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键.

18.V6-V2

【分析】过E作EHJL4D根据NA=45。，EH1AH得AH=6,设NA，FE=m

可得180“一〃=45。+〃,得q=30。，在RdEFH中,可求出“尸的长，从而得出答案.

2

【详解】解：过E作E”_A。于"，

•・・AB=4,£为AB的中点，

：.AE=EB=2,

・1NA=45。，EH工AH,

为等腰直角三角形，

.\AH2+EH2=AE2=4,2AH2=4,

*.AH=y/2，

•••点4在/BAD外部，

则由题意知△FQE为等腰三角形，

；・NFEB=NFQE,

设

•••△£"的△上用根据EF'对折，

，ZAFE=^A'FE=a,

•/orr1800-a

..ZBEF=----------,

2

又•••/BEr为△AEF的外角，

/.乙BEF=NA+NE"=45u+a,

第24页，共42页

:•幽口=45。+〃,

2

.*.67=30°,

在EHF中,ZAFE=a=30°,EH=AH=72»

:.EF=2EH=2五，

,HF=^EF2-EH1=x/6,

又,：BC=AD=2R,

/.DF=AD-AH-HF=2而一0—G

故答案为：x/6-V2.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折

叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

19.24

【分析】由平行四边形的性质可得">=4C,AB=CD=DE+CE=18,AB〃CD,可得N

EC/y=90°,由折叠的性质可得。"=。£=10,AD=A17,由勾股定理可求S的长，AC

的长.

【详解】解：〈四边形AB8是平行四边形，

AD=BC♦AB=CD=DE+CE=18»AB//CD,

.,.N8AC=NAC£）=90°,

:.NECD'=90°,

・；将平行四边形ABC。进行折叠，折叠后AO恰好经过点C得到AU,

■.DrE=DE=\0,AD=Aiy,

CD1=4D'E2-CE2=6,

AI7=AC+6=AD=BC>

222

•・•BC=AB+ACf

(AC+6)2=I82+AC2,

..AC=24,

故答案为：24.

【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CO的长是本题的关键.

20.12

【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得

AD=BC,AB=CD=DEtCE=9,AB//CDf由折置可得OE=5,由勾

股定理求出。'=3,得出八£>'=AC+3=AO=3C,最后用勾股定理解Rt.BAC即可.

【详解】解：•・•四边形人BCD是平行四边形

AAD=BC,AB=CD=DE+CE=9,AB//CD,

・・・N8AC=Z4CD=90。，

JNEC。=90。，

•・•将平行四边形A3CD进行折叠，折叠后AO恰好经过点。得到

:.D'E=DE=5,AD=ADf,

:・CD=gE?-CE?=3,

/.Aiy=AC+3=AD=BCf

vBC2=AB2+AC\

•••(47+3)2=81+3,

・•・AC=\2

故答案为：12.

21.90I

【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质

解决问题是本题的关键.由折叠的性质可得=皿。=/QAP=/PAB,

ZDQA=ZAQR,4CQP=NPQR,ND=NARQ,NC=NQRP,由平角的性质可得

ZD+ZC=180°,4QP=90。，可证AO〃8C,由平行线的性质可得ND4B=90。，由平

第26页，共42页

行四边形和折叠的性质可得/V?=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR,即可求

解.

【详解】解：由折叠的性质可得：ZB=ZAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB,ZDQA=ZAQR,

NCQP=/PQR,NQ=NAR。，NC=NQRP,

•：NQRA+NQKP=180。，

AZD+ZC=180°,

・•・AD//I3C,

AZB+ZmB=180°,

•・•/OQR+NCQR=180°,

・•・ZDQA+ZCQP=9Q0,

：.ZAQP=9O。，

Z.NB=/A0P=90°,

.\ZDAB=90°,

・,.乙DAQ=NQAP=/尸AB=30°,

由折叠的性质可得：AD=AR,CP=PR,

•••四边形APCQ是平行四边形，

••・AD=PC,

，AR=PR,

又NAQP=9()。，

：.QR=^APt

VZPAB=3O0,IB90?,

工AP=2PB,

:,PB=QR,

•丝=1

**QR'

故答案为：90,1.

22.75。/75度

【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握翻折的性质是解题

的关键.

利用平行四边形的性质和折叠的性质得到线段之间的关系，再利用等腰三角形的性质和平行

线的性质，得出角之间的数量关系，求解即可.

【详解】解：•・•四边形ABCO是平行四边形，

AAB=CD,ABCD,BCfAD,

•・・一/沿直线4七折叠，心a乃沿直线。尸折叠，点8,C落在对角线AC上的点G处,

AAG=AB,DG=DC,

,/ZAGD=11O0

180°—/AG。180°-110°

/GAD=NGDA==35°,

2-2

/.NBAC=ZDCA=ZDGC=180°-Z4GD=180°-l10°=70°,

・•・/BAD=ZBAC+NG40=70°+35°=105°,

：.Z.B=180°-^BAD=180°-105°=75°,

故答案为：75°.

23.-

3

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCQ是平

行四边形，得N8AD=NC=a,AB//CD,由折叠性质可知，

/DAB=NBAE=NBAE,ZABE=ZABfE,4WZ>=N/WD,故有

ZDAB1=ZB'AE=ZBAE=1,根据平行线的性质得乙4*。=/BAB'=与，ZABE=180-a,

最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•・•四边形A8CQ是平行四边形，

：.4BAD=/C=ct,AB//CD,

由折叠性质可知，ZDAH=4FAE=/BAE,ZABE=ZABE,/4夕。=/49。，

V/DAB+N&AE+/BAE=/BAD=a,

a

NDA?=NB'AE=NBAE=-,

3

*/AB//CD,

)a

・・・N/W'Q=NH4Zr=—,ZABE=180°-a,

3

・•・ZABE=ZASE=180。-。，

ACB'E=180°---(180°-«)=-,

33

故答案为：y.

第28页，共42页

24.30

【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得AO〃8C,

AB

根据平行线的性质即可求NPAQ；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求仄石的值.

【详解】解：由折叠的性质可得：ZB=ZAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB,ZDQA=ZAQR,

NCQP=NPQR,ZD=ZARQt/C=NQRP,

,/NQRA十zLQRP=180°,

/.ZD+ZC=180°,

:.AD//BC,

・•・4+"48=180。，

•；/DQR+NCQR=180。，

・•・/。。4+/。。0=90。，

乙4Q产=90。,

・•・NB=NAQP=90°,

o

•••ZDAB=9()f

NDAQ=ZQAP=NPAB=30°；

由折叠的性质可得：AD=AR,CP=PR,

•••四边形APCO是平行四边形，

AAD=PC,

；・AR=PR,

又•・•NAQP=90。，

：.QR=^AP,

VZPAB=30°,?B90?,

AAP=2PH.AB=JiPR.

:.PB=QR,

,・QR'，

故答案为：30：石.

25.126°

【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得

AD//BC,NA=NC,再由由折叠的性质得，ZABE=ZABE=NCBF,ZA'EB=ZAEB,

/BEF=/C=ZA,根据平行线的性质得N/rEA=ZA£B=/EBC=2NA'AE=2Z4BE,进而

MZA-2ZABE=90°,再根据NA=180。-3ZA8E,利用等量代换求得加石=18。，进而求

解即可.

【详解】解：:四边形ABC。是平行四边形，

AAD//BC,ZA=ZC,

由折叠的性质得，ZABE=ZABE=NCBF,ZAEB=ZAEB,NBEF=NC=ZA,

，NA'EB=ZAEB=NEBC=2ZABE=2ZABE,

VEF±EA\

I.?A花F90?,

；・NBEF-ZAEB=90°,

JZA-2ZABE=90°,

VZA=180。-ZABC=180°-3ZABE,

/.18()°-3ZABE-2ZABE=9()0,

/.ZABE=18°,

:.ZA=180°-3xl8°=126°,

故答案为：126。.

26.9

5

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角

的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

作OHJ.8C,交8C的延长线于点〃，求出N6H=30°得C"=gcO=l,由勾股定理求

出。H,由折叠的性质得，AD=DE,ZADB=NBDE，得出族=,设4"=。"=x,

根据切2+。〃2=。尸求出工=£,进而可求出石尸的长.

【详解】如图，作£W_LBC,交BC的延长线于点”，

E

V四边形A8C。是平行四边形,

第30页，共42页

ACD=AB=2,BC=AD=4,=ZA=120°,AD//BC,

：.ZDCH=60°,ZADB=zLCBD,

・••NCDH=30。,

：.CH=-CD=\,

2

JDH=ylcD2-CH2=V3•

由折叠的性质得，AD=DE,ZADB=NBDE,

・"CBD=/BDE,DE=BC=4,

••・BF=DF.

设区b=。/=文，

ACF=4-x,

/.FH=4-x+\=5-x.

VFH2+DH2=DF2^

/.(5-A-)2+(V3)2=X2,

解得行段14,

146

Z.EF=DE-DF=4一一=-.

55

故答案为:

27.⑴巨

2

(2)4或3G或2s.

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定

和性质，含30度角的直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键.

(1)连接AC交所于点。，过点4作A〃_LCO延长线于点〃，根据平行四边形的性质和

勾股定理，得到人"=2右，AC=2j历，设DE=BF=x,由折叠的性质可知，

AE=CE=6-x,EF1AC,根据勾股定理列方程，求出x=?,再求出OE=叵，然后证

44

明,COEg1Mop(ASA),得到缈=。“，即可求出折痕功的长；

(2)分三种情况求解：①当点G落在A8边上时，连接OG,根据折叠的性质证明四边形

。瓦6是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形求解即可:②当点G落在A。边上时，

连接4。交仪于点。，连接06、BG,根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出

ZBGD=90°,再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可；③当点G落在边上

时，连接BD交EF于点0,过点。作。MS于点M,根据全等三角形的性质和折叠的

性质，推出点G与点。重合，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图，连接AC交所于点。，过点A作A”_La）延长线于点”，

在（A8CZ）中，AB=6,AD=4,/A=60。，

/.AB//CD,AB=CD=6,

.\Z//+Z/MB=180°,ZACE=ZCAB,

NHAB=90°,

.•.Z«4D=30°,

:.HD=^AD=2,AH=\IAD：-HD，=26，

/.CH=8,

:.AC=NAH、CH?=2x/l9，

设DE=BF=x,贝l]CE=6-x,

由折叠的性质可知，AE=CE=6-x,EFLAC,

.-.OA=OC=-AC=4i9,

2

在RtAHE中,AH2+EH2=AE2^

.\（2>/3）2+（2+X）2=（6-A）2,

解得：x=