2026高二数学寒假复习讲义：直线与圆中的最值（范围）问题（解析版）

专题04直线与圆中的最值（范围）问题

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n?串讲知识：思维导图串讲知以点，有的放矢

;1】重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

..考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

口复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

/知识点1：与直线有关的最值问题

1、根据直线有交点来确定直线斜率

画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。

找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。

转化求解:若已知的是斜率k的范围,则根据k=tana的单调性求解。在（0。,90。）和（90。，180。）匕

tana分别单调递增。若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，

再转化为倾斜角范围。

注意：时刻检查是否存在斜率不存在（a=90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。

2、两点间距离与点到直线的距离的最值

在求距离最值问题上，我们从几何角度出发，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线

段最短”这两个最基本的几何公理。

吆知识点2：与圆有关的最值问题

1

1、圆上的点到定点的距离的最值问题

圆上的点到定点的距离最短跟最长的均是过圆心的直线与圆交点的位置

2、圆上的点到直线距离的最值问题

圆上到直线距离最短的距离为过圆心与直线垂直的线|PA|的氏度

3、将军饮马求距离最值

当定点分布在动点所在轨迹的两恻时，可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。

A、B在直线同侧时,|AP|+|BP|的最小值|APk|BP|的最大值

4、圆的弦长的最值问题

过某定点A的直线与圆相交，截得的弦长，在过圆心时最长，在被直径垂直平分时最短。

5、圆的切线长的最值问题

过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，可以由PC（动点.与圆心连线），半径AC长来决定。由

2

于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候PA也是最短的切线长。

CJ知识点3：代数式的几何意义

1、与距离公式有关的代数式J（无一a）2+（y-b）2离

2、与斜率有关的代数式3

x-a

3、与圆有关的（x—a1+（y-b）2=「2

4、与点到直线的距离有关的代数式甯

Q必考题曼

【题型1根据有交点判断斜率或倾斜角的取值范围】

高妙技法

将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率k或倾斜角a的不等式（或方程），

然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。

1.（25-26高二上•广西玉林・月考）直线/过点*1,0）,且与以“2,1）,川0,码为端点的线段有公共点，则

直线/的斜率范围是（）

A.［一石,1B.（T,一百］可1,+8）

C.卜8,一年卜［1，+8）D.一冬1

【答案】B

【分析】分别计算直线/过点A,B的斜率，数形结合，即得解

当直线/过点6时，设直线的斜率为K，则｛=叵心=一右

当直线/过点4时，设直线的斜率为心，则网=g=1

故要使直线/过点P（l，0）,且与以42.1）,3（0,6）为端点的线段有公共点,

则直线的斜率的取值范围为：kNl或kW-6.

3

故选：B.

2.(25-26高二上・贵州・期末)设点42,-3),8(-3,-2),直线/过点P(W)且与线段A4相交，则/的斜率A

的取值范围()

3333

A.—或&WYB.—<A:<4C.-4<^<-D.k>4^k<——

4444

【答案】A

【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案.

【详解】如图所示：由题意得，所求直线/的斜率k满足AN《小或&«攵/“，

即上？工1+2=巳3，或&w1+g3=-4,3=,或

1+341-24

即直线的斜率的取值范围是人整3;或kWT.

4

3.(25-26高二上•广东潮州・月考)已知点火-1』)、*1,2)、C(O,-1),过点。的直线/与线段/W有公共

点，则直线/的斜率攵的取俏范围是()

A.(-2,3)B.(-Z0)u(0,3)

C.(y,-2]u[3,+e)D.(^O,-2](J(3,-KO)

【答案】C

【分析】结合图象分析过点C与线段4/3有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值

范围.

4

若过点C的直线，与线段A5有公共点，则直线/的斜率243°或女2金「

/一1一1。—|—2

.・Fc=西二D=—2,限=衍=3'

.,•直线，的斜率心-2或ZN3,

・•・直线/斜率攵的取值范围是（-8,-2}43,+8）,故C正确.

故选：C.

4.（25-26高二上•江苏常州•月考）已知直线/：（m+2）x+（fn-\）y+m-l=0t若直线，与连接4。,-2）,

8（2/）两点的线段总有公共点，则/的倾斜角范围为.

【答案】［。（卜件，J

L4」14J

【分析】首先根据题意得到直线/过定点P（O「1），再画出图形，结合图形求解即可.

【详解】直线/的方程可化为“（工+y+l）+（2A-y-l）=0,

X+\，+l=0K-0

由C「八，可得"I，所以直线/过定点P（O，T），

2x-y-l=0p,=-l

因为直线的斜率为「J（-2）=-1,倾斜角为1九，

0-14

直线厚的斜率为=N=l,倾斜角为

0-24

将人（1,一2）代入方程：（〃?+2）x+（"7-l）y+〃Ll=O,

可得：3=0不成立，A（b2）不在直线/上，

所以直线倾斜角不能为:叫

4

由图知：OKaK巴或史兀.

44

故答案为：个,「

L4」14

5

【题型2点到直线距离问题的最值】

高妙技法

找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。

找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。

根据点到直线的垂线是距离最短来解决问题。

1.(25-26高二上•吉林长春・月考)已知点4(1,2),直线/：(4+2)x+(l-/l))，+2/l+7=0(/lwR),直线/随

着力取值变化而发生变化过程中，A到/的距离的最大值为()

A.3B.V10C.72D.5

【答案】D

【分析】整理直线方程得到直线经过定点8,当时，此怔点A到动直线的距离最大，由两点的距离

公式求出最大距离.

【详解】直线方程可以整理为/：%一尹2"+(2工+丁+7)=0,

令]；；；；：；;)，解得匕二二;即直线/过定点以-3,-1)，

当时，点A到直线/的距离最大，

最大距离为J(l+3)2+(2+iy=5.

故选:D.

2.(25-26高二上•湖南永州•期中)己知定点何(1,5)和直线M1+〃Z)X-)，-2/〃+1=0(〃?WR),则点“到直

线/的距离d的最大值为()

A.2后B.2GC."D.6

【答案】D

【分析】求得直线/所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算.

【详解】直线l：(\+m)x-y-2m+\=0(/??eR),

即〃?(x-2)+x-y+l=0,

由x-2斗=0八解得〈(x=2小

x-y+1=0[y=3

所以直线/过定点Q(2,3),

所以d的最大值为|加。|=>/(2-1)2+(3-5)2=逐.

故选：D.

3.(25-26高二上•湖北武汉•期中)已知直线/过定点(0,，〃)，点A(4,3)到直线/的距离的最大，直为5,则实

数卅=()

6

A.0或6B.T或7C.6D.7

【答案】A

【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可.

【详解】设定点80，〃?)，则点44,3)到直线/的距离的最大值为|人同=』6+(3-川)2=5,

解得〃?=0或6.

故选：A.

4.(25-26高二上•重庆•期中)点尸(-1,2)到直线/:(1+22卜+(1+/1))，一1一3之=0(/l£R)的距离的最大值

为()

A.VioB.V5C.3&D.旧

【答案】C

【分析】求出直线/所过定点。，点P到直线,的距离的最大值为|P0.

【详解】直线/:(1+2为x+(l+4)y-l-3/l=0(4eR),

…-八[2x+y-3=0f.r=2

即人(2x+)，-3)+x+)，-1=0,由।八，解得|，

x+y-1=0[y=-l

所以直线/过定点。(2,-1),|P0|=7(-1-2)2+(2+1)2=372,

点P(-1,2)到直线/:(l+22)x+(l+#y-1-34=0(&R)的距离的最大值为3及.

故选：C

【题型3圆上点到定点距离的最值】

高妙技法

圆上点到定点距离最大最小的线均为过圆心跟定点的直线。

1.(25-26高二上•湖南长沙•月考)已知圆M:(x-2)2+()，+l『=9,点尸(-1,3),点。是圆”上的一个动

点，则线段归。的最大值为()

A.2B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.

【洋解】依题意，点P在圆例外，圆加的圆心为加(2,-1),半径为3,

7

如图，⑷=卜］_2）'+（3+1），=3,因为|尸@可州十|MQ|=5十3=8,

当P，M，Q三点共线且M在尸。之旬时取等号；所以|PQ|的最大值为8.

故选:C.

2.（25-26高二上•北京・月考）在平面直角坐标系中，已知点4-2,0）,3（-2,2）,若点〃为圆C:/+丁=1

上的动点，则34-2四的最大值为（）

A.3B.V13C.2行+2D.272+1

【答案】C

【分析】设出尸点坐标，分析|通-2码的几何意义，将问题转化为“单位圆上的点到点（-2,1）的距离的最

大值”，由此可求解出结果.

【详解】圆C的圆心坐标为（0,0），半径为1,

设P（x,y）,则丽=（0,2）,而=（x+2,y）,

所以而-2而=（0,2）-2（x+2,），）=（-2（x+2）,2-2），），

则,了一2而卜,4（』+2）+4（y-1）2=2^+2）2+（y-l）2,

上式表示（X,V）到（-2,1）的距离的2倍，

（x，N）到（-2,1）的距离的最大值为^（-2-0）2+（1-0）2+1=6+1,

所以睁-2时的最大值为2石+2,

故选：C.

3.（25-26高二上•江苏盐城•期中）点尸（T1）在动直线以+〃）­〃-〃=0上的投影为点例，若点N（3,3）,

那么|MN|的最小值为.

【答案】2逐-2

【分析】易知.直线〃氏+〃）」〃?-〃=。过定点4（1,1）,再由题意得PMJLAW,进而得到M的轨迹是以P.4

为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解即可.

【详解】因为直线=0即〃心-1）+〃（丁-1）=0过定点

8

因为点尸（-3,1）在动直线〃“+=0上的投影为点M,

所以所以M的轨迹是以尸，人为直径的圆，

且圆心为C（T1）,半径R=2,

由|MC|=J（3+l）「+（3-炉=26>2得,点N在圆C的外部,

侬二|CN|F=J(3—(—l)y+22—2=26一2，

4.（25-26高三上•贵州遵义・月考）2（X）0多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也意思

是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希脂数学家欧几里得给圆下定义要早100

年.已知点4（-1,2）|即=逐,若M（3,4）,则归M|的最大值为（）

A.石B.36C.2石D.4石

【答案】B

【分析】根据条件判断出尸的轨迹，然后将1PM的最大值表示为M到圆心的距离加上半径，由此可求结

果.

【详解】因为A（-1,2）,|E4|=石,所以点尸的轨迹是圆心为A（T2）,半径「=石的圆,

因为J（3+l『+（4-25>小,所以M（3,4）在圆外，

3+I：+422

所以|PM1nm=V（）（-）+==2石+6=3石，

故选：B.

【题型4圆上点到直线的距离的最值】

高妙技法

圆上点到定点距离最大最小的线均为过圆心跟定点的直线。

1.（25-26高二上•江西上饶•月考）长度为2的线段A3的两个端点分别在％轴及旷轴上运动，则线段

的中点到直线版-4），-10=0距离的最大值为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】确定线段AB的中点的轨迹为以（0,0）为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案.

【详解】设4肛0）,8。〃），由题意可得：毋+“2=4,

9

m

x=一

2m=2x,»

设AA的中点坐标为（芭y）,贝小,所以(2x)-+(2)，)-=4,即f+),2=i,

nn=2y

y=2

即线段/W的中点的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，

|-10|

2

圆心到直线3x—4），-10=0的距离为：,2+1）2=，

所以线段八8的中点到直线3%-4），-10=0距离的最大值为2+1=3,

故选:C

2.（25-26高二上•宁夏•月考）在平面直角坐标系中，三点4（-1,0）,*1,0）,C（0,7）,动点p满足

爆=血，则点P到直线AC距离的最小值为（）

A24x/2R1472「80n4x/2

5555

【答案】D

【分析】根据瑞二血可求得点”轨迹方程为"-3）2+〉，2=8,再求AC方程后，利用圆上点到直线距离

最值的求解方法可解.

【详解】设尸（乐曰,由微=应得:I网2=2|尸城,

B|j（x4-l）2+/=2［（x-l）2+/］,

化简可得：（4-3）2+9=8,即点月轨迹方程为（工-3）2+;/=8,

|7x3-0+7|14y/2

直线AC的方程为7x-y+7=。，则圆心（3,0）到直线AC的距离为“十（了=一^一,

「•点尸到直线AC距离最小值为此g-2&=逑.

55

故选:D

3.（25-26高二上•福建福州•期中）已知me2,直线4：+l=0与直线qx+my-3加-1=0相

交于点P,则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是（）

A.［3,2伺B.［夜，3、可C.［忘，3夜）D.［百，2@

【答案】C

【分析】求出两直线所过定点，确定动点尸的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得

答案；

【详解】直线4：=一k3m+1=0（阳wR）整理可得,,n（x-3）-（y-l）=0,

10

即直线A恒过(3,1),同理可得4：X+，ny_3m-\=0(,〃eR)恒过(1,3),

又"7X1+(-1)x〃?=0,二直线4和4互相垂直，

二两条直线的交点?在以(L3),(3,1)为直径的圆上，

即P的轨迹方程为(x-2>+(y-2产=2,去掉(3,3),

(这是因为4：/?ix-y-3/n+l=0(weR)不能表示直线x=3,A：x+my-3m-I=(XeR)不能表示直线>,=3)

设该圆心为M,则M(2,2),则

由于MO垂直于直线x+y=0,故M到x+y=O的距离即为|MO|,而|MO|=2&,

即而当4=3五时，点尸的坐标为⑶3),不符合题意.

故d的取值范围是

故选:C.

4.(多选)(25-26高二上•江西南昌・期中)已知点尸(cosdsin。)(OeR),直线/：x+〃少-4=(),下

列结论正确的是()

A./恒过定点(4,0)B.\OP\=\(。为坐标原点)

C.P到直线/的距离有最小值，最小值为0D.P到直线/的距离有最大值，最大值为4

【答案】ABC

【分析】令，=。时，得至Ux=4,可判定A正确；由|O“=Jcos2e+sin2e=l,可判定B正确；由

|。耳=1,可得点P的轨迹圆，结合圆的性质，可得判定C正确、D不正确.

【详解】对于A,由直线工+/町-4=(),当)，=0时，x=4,所以/恒过定点(4,0),所以A正确；

对于B,由点P(cose,sin。)，可得|08=>/^加M7万=1,所以B正确：

对于C,由|。8=1,可得点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为1的圆，直线/过定点(4,0),当直线/与

圆相切且尸为切点时，点尸到直线/的距离最小，最小值为0,所以C正确;

对干D,当直线/与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4,

所以P到直线/的距离有最大值，最大值为5,所以D不正确.

故选：ABC.

【题型5将军饮马求|P*±|PB|的最值】

II

高妙技法

动点与两定点的距离和或距离差的最值（如|P*±|PB|）,若两定点分布在动点轨迹线的同侧，通常可以

做对称，根据将军饮马来求最值。

1.（25-26高二上・江西宜春•月考）已知直线/：x+y-1=（）和点A（-2,1）,B（-l,-2）,P是/上一点，则

|八4|+|P6I的最小值为.

【答案】V26

【分析】首先求解点A关于直线/的对称点时,再根据|外㈤因二|?"|十|正耳之忸照即可求解答案.

Azl=1

”。+2,解得.x=0

［详解】设点4关于直线/的对称点为M（%,为），则a°C，即M(0,3),

AZ2+A11—I=()%=3

22

则|则+|即=\PM\+\P^>\BM\=y/26.

故答案为：^26

2.（25-26高二上•江西•月考）已知直线圆C:（x+l）2+（y+1）=l,点尸在直线/上运动，Q是圆

C上一动点，点A。,。），则|网+P。的最小值为（）

A.V13-1B.V13+1C.2>/3-1D.26+1

【答案】A

【分析】先作出4关于丁=1的对称点4,然后根据|%|+|PQ|=|RV|+|P结合三点共线求解出最

小值.

【详解】圆C:（x+1）2+（y+iy=1的圆心C（T-l）,半径r=l.

A（1,O）关于y=1的对称点为4（1,2）,

所以俨4|+归@=俨4|+俨02|尸川+|尸1一厂2|。4［一「=7?方-1=旧一1，

当且仅当4,RC共线时且Q位于线段PC之间时取等号,

所以|Q4|+|PQ|的最小值为加一1,

故选：A.

3.（25-26高二上.淅汀.期中）己知动点M在直线乙：x+y-l=O±,动点N在直线（x+y+l=O上,

12

记线段MN的中点为尸，圆C：(汇一1)2+(5一1丫=1,圆G：(x-4)2+(.y+l)2=l,A,4分别是圆

上的动点.则|必|+|阳的最小值为()

A.3B.士C.V14-3D.V13-3

2

【答案】A

【分析】先求出点〜的轨迹方程为x+)，=0,然后求出圆心距，根据圆的性质有

|^|+|ra|>|pc1|-/i+|pc2|-^,要求|朝十|盟的最小值，则求|PCJ十|PG|的最小值.

［详解］设M(%,y),%(々,2)，P(M)').

因为P是线段MN的中点，根据中点坐标公式22.

y=2i±21

I2

又因为M在直线/［：x+)，-1=。上，所以x+y-i=o①，

N在直线，2：X+，+l-。上，所以勺+，2+1一。②，

①+②得(N+9)+(，+为)=0，所以得到点。的轨迹方程为3+y=0.

圆心G(1,1)到直线X+y=0的距离为4=，=&；

圆心G(4,-1)到直线x+y=o的距离为4=否=］&；

圆心距为|Gc2I=7(1-4)2+(1+1)2=而.

根据圆的性质有|网+|刊沦|PG|F+|PG|一&=|PG|+|PG|-2,

要求|/刈+|/叫的以小值,则求|八。十pq的最小值，那么要先求C关丁直线“十)」o的对称点G，

然后连接CG与直线的交点即是P，此时|PG|+|PC21最小等于cq.

G(i,i)关于直线x+y=o的对称点为C(T-1),所以|GG|=J(T—4『+(—I+I)2=5,

所以|PG|+|PQ的最小值为5,那么|网+归8|的最小值为3.

故选:A.

13

4.(25-26高二上.重庆九龙坡•期中)已知两点A(—2,0),8(1,0),如果点M满足|阚=2|M8|,点N为圆

。:。-1)2+。7)2=；上一动点，点尸为y轴上一动点，贝的最小值为.

【答案】Vio-1

【分析】求出点例的轨迹方程，隼出圆。关于y轴对称的圆C',转化为求两圆上的动点之间的距离的最

小值问题，结合图形分析即可.

【详解】设点M(x,y),因为=所以J(x+2y+y2=2&一1)2+丁,

整理得(》-2『+丁=4,表示圆心为。(2,0),半径为4=2的圆，

圆C:(x-l)2+(y-l)2=：的圆心为半径为

记点N关于)，轴的对称点为N',则点N'在圆C'：。++(y-杼=：,

4

圆C的圆心为C'(—1,1),半径为

贝+|尸M=l尸M+|/W12|C'Q卜4―4=J(2+I)2+(0T)2_2_：=加_1,

当且仅当c,N：P,M,D五点共线,且M,P,M在线段CD上时等号成立，

所以|PM|+|PN|的最小值为J而-1.

【题型6构造阿氏圆来解决A|P4|±|PB|的最值问题】

高妙技法

当遇到求/dP4|±|P8|(AH1)时，需要通过构造阿氏圆来转化其中的PA或P8,使得两线段的系数一致,

14

然后再根据将军饮马来求两距离和或差的最值

1.（25-26高二上•四川成都•期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历

山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之•.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点M与两定

点。,P的距离之比|篝卜那么点M的轨迹是圆.已知动点”与定点。（利0）和定点

《一最可的距离之比为2,动点M的轨迹方程为x2+9=].若点4在直线y=-3x+4上，则|八〃>|+加川

的最小值为____.

【答案】叵

2

【分析】令way）,应用两点距离公式列方程求“轨迹，结合已知圆的方程求出/〃及点Q的坐标，再由

+=+|M4|）,数形结合求目标式最小值.

【详解】设M@，y）,依题意，需=2,即（x-,〃）2+y2=4口+小+/，

m2-l,

2-----二1

整理得炉+产+上网.工=竺二1,则3,解得〃?=_2,即Q-2,0),

334+2m八

------=0

3

点0(-2,0)到直线产-3x+4的距嘀为d=上绫=M,

v10

由21MH得|〃P|+_L|M4|='(2|MP|+|M4|)三，(|M2|+|M4|)之=

22'2'22

当且仅当AM,Q三点共线时取等号，

此时直线AM的斜率为:，直线AM的方程为尸!（工+2）,即3），+2=0,

JJ

2

圆心（0,0）到直线AM的距离为4=右<1,故存在点例使得A",Q三点共线,

15

故答案为:当

2.（25-26高三上•安徽・月考）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值〃%>（），且2工1）的点的轨

迹是圆，此圆被称为点A和8相关的阿波罗尼斯圆.现已知点4和8相关的阿波罗尼斯圆为圆

O:X2+/=4,其中点A（-4,0）,且点尸在该圆上，点Q在圆M:（X-5『+（），-8）2=4上，则2照+四

的最小值为（）

A.16B.8C.12D.6

【答案】A

【分析】设P*。，％），表示出:|胡|，根据阿波罗尼斯圆定义得出点8（-1,O）,；|P4|=|P5],再根据两点之间

线段最短求出最小值.

【详解】2|PQ|+|%|=2（|PQ|+g|PH）,

故二,十：十%=1。+4）；4-1=*+2.=幅+y：）+2r。+1=J（x0+,

可得仇—1,0）,则;|PA|=|P8],

故|PQ|+；|PA|=|PQ|+|P8闫+-k@"=1。-2=8，

当且仅当8,P,Q,M四点共线时，|PQ|+；|P4|取得最小值8,

则2|「。|十|用的最小值为16.

故选：A

3.（25-26高二上•湖北•期中）已知点人（一2,0）,M（l,l）,圆+丁='.在圆N上求一点尸，使

得5pAi+|PM|的值最小，则点P的坐标是.

<9-Vn7+如、

【答案】

44

16

【分析】根据阿氏圆的知识，设户(X,)，)，B(a,O),^\PA\=\PB\,进而待定系数得。=2,所以*2,0),进

而将问题转化为求|PB|+|PM|的最小值问题即可求解.

【详解】根据题意，设P(x,y),8(«0),^\PA\=\PB\t

所以;J(x+2j+y2=^(x-«)2+v2,

整理后得：X2+/-^^X+^y^=0,

又因为点尸的轨迹为圆N:=,即圆N:X2+),2—5I+4=O,

[9a+2

----=Jc

所以94'解得〃=2,所以3(2,0).

所以g|=|尸81+1PM|21MB|=y](2-\)2+(\-0)2=02

当且仅当三点共线时取得最小值加,即点P为图中6点时•，取得最小值.

此时，直线MB的方程为：)，=g(x-2),即)，=T+2,

1—2

9-5/179+67

x=------x=------

所以，联立方程Iy=能-x仁+25»4=。得4或＜4

-1+V17-1-V17

＞，=^^

9-x/17-1+717"’9+后-1

即直线MB与圆N的交点坐标为或

444

故j组亘，三叵]舍去,

由题知1＜勺＜2

I44J

所以点P的坐标为(土”，土芈

'44

4.(25-26高二上•广东广州•期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历

17

山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》

一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,B的距离之比为入

(2>0,北1),则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点例与两定点4-2,0),8(2,0)的距离之比为

&时的阿波罗尼斯圆为(x-6)2+丁=32.我们来研究与此相关的一个问题：已知圆。/+『=4上的动

点M和定点A(-l,0),5(1,1),则21MAi+|则的最小值为()

A.2+VwB.V2TC.V26D.V29

【答案】C

【分析】取点N(T,0),推理证明得|MN|=2|M4|,把问题转化为求点M到定点B,N距离利的最小值作

答.

【详解】如图，点M在圆Y+V=4上，取点N(Y,0),

连接MO、MN,有|QN|二2|OA7|=4,

|A/7V|\ON\_

又ZAOM=NMOV,收AAOMS^ON,则有扇=标j=2；

\MN

当点。、M、N共线时，有商=2；

故MN=2|M4卜恒成立，

则2\MA\+\MB\=\MN\+\MB\>|NB|=^(1+4)：+(1-0)2=而，

当Fl仅当点M是线段用V与圆。的交点时取等号.

所以2|M4|十|M用的最小值为病.

故选：C.

【题型7与圆的弦长有关的最值与范围】

高妙技法

通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。

1、当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度

18

当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。

1.（25-26高二上.山东临沂.期中）已知圆C:（x-4『+y2=9,直线/：5）+2,当圆C截直线/所

得的弦A8最短时，k的值为（）

A.2B.JC.--D.-2

22

【答案】C

【分析】结合直线与圆相交所得范长、直线过定点、两直线的位置关系等知识求得攵的值.

【详解】由圆C:（x—4）2+y2=9,可得圆心为C（4,0）,半径为r=3,

直线/过定点M（5,2）,且点M在圆C内.

当直线CM_L/时，圆心C到直线！的距离最大，弦AB最短.

因为直线。/的斜率Q“=§=2,所以&=-4一=-；.

故选:C.

2.（多选）（25-26高二上•安徽池州♦期中）已知直线/：丘7+24=0,圆C:（X+1）2+（），-2）'=8,则下

列说法正确的是（）

A.直线/过定点（-2,0）

B.直线/与圆C恒相交

4

C.直线/被圆C截得的弦长为4时，k=--

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/的方程为X+2），+2=0

【答案】ABD

【分析】直线变形为y=2（x+2）可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径

定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到火的值，选项C错误；当直线/与圆心和

定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线/的斜率，却可得到选项D正确.

【详解】直线/：京一），+2氏=0,即），=&（1+2）,直线恒过定点P（—2,0）,故A正确；

由|“『二（一2+1）2+（0-2）2=5<8,可知*-2,0）在圆C内部，故直线,与圆C相交，故B正确；

如图，直线/与圆C相交于A"两点，连接C4,则。人=2拒，人8=4,

19

过点C作CO_LAB于点D,则AQ得A8=2,所以=2?=2,

4

即点。到直线/的距离d=2,由7=与：+列=2得%二—1或人•=(),故C错误;

y]k2+\

由图知，直线/于尸C垂直时，直线/被圆C截得的弦长最短，因?(-2,0),

此时限=若？可=2,=所以直线/的方程为)，=-#+2),

整理得x+2y+2=0,故D正确.

故选：ABD

3.(25-26高二上•河北邢台•期中)当直线/：/+(2〃?+1)尸4,〃+4=0被圆0：/2+产=9所截得的弦长最短

时，实数加二.

【答案】0

【分析】先确定直线/过定点，再确定弦长最短时，直线/的斜率，可求加的值.

【详解】对直线/：x+(2/w+l)>,+4/72+4=0=>(x+y+4)+2/A2(y+2)=0.

x+y+4=0(x=-2

由jy+2=0，)，=-2，

所以直线/过定点M(-2,-2).

又(-2)2+(-2『=8<9,所以点M(-2,-2)在圆。内.

所以当/_LO河时，圆。被直线/截得的弦长最短.

此时七”=1，所以勺=T.

20

即------=-1=，〃=0.

2/w+l

故答案为：0

4.(25-26高二上•河北张家口•期中)当直线/：x+(2〃?+l)y+4〃z+4=0被圆0：/+,，2=9所截得的弦长最

短时，实数川=.

【答案】0

【分析】确定直线/过定点A(-2,-2),由QIJJ时，弦长取最小值，即可求解.

【详解】直线/的方程变形为〃z(2y+4)+x+y+4=0,

2），+4=0x=-2

则由•

x+y+4=0y=-2

所以直线/过定点4(-2,-2).

圆。”2+),2=9,因为(—2)2+(_21<9,

所以点A在圆。内.

设直线/与圆。交于M,N两点，

则当。4，/时，|加用取最小值，

由40a号=—1,得1X--=—1,

2m+l

解得〃7=0.

故答案为：0.

【题型8与圆的切线长有关的最值与范围】

高妙技法

根据切线、动点与圆心的连线，半径构造的勾股定理，讨论切线长的最值可以由动点与圆心的连线的长的

最值来决定。

1.(25-26高二上•黑龙江哈尔滨•月考)已知点P在*+1)2+()，-4)2=9上，过点尸作圆

C:(x-5)2+()，-4)2=l的两条切线，切点分别为A8,则四边形丛C8面积的最大值为()

A.4石B.3石C.377D.4不

【答案】A

【分析】/“点在圆上，分析可得，要使四边形P4C8面积取到最大，只需|尸。取得最大值，根据点与圆的

位置关系，分析计算，可求出|P。_，进而可得1例心，计算即可得答案.

【详解】设圆。+1)2+(,-4)2=9的圆心为。，则圆心坐标为。(-1,4),半径13,

圆C:(x—5尸+()，—4)2=1的圆心坐标为C(5,4),半径4=1，

所以点尸到圆心。的最大距离为+,dp+3=9,

21

因为A为切点，所以E4_LAC,

所以照四=（尸。\-Md=存丁=4逐,

所以四边形以CB面积的最大值S=gx|AC|x|PA|1mx'2=1x4石=4后.

故选:A.

2.（多选）（25-26高二上•安徽•期中）已知圆例：*-2）2+（），-2）2=4,宜线/：2X一），一7=0,过/上的动

点P作圆用的切线PAPB,切点分别为44,则（）

A.圆”上的点到/的距离最大值为2+6

B.|PA|的最小值为G

C.sinZAPB的最大值为I

D.的最小值为4

【答案】ACD

一.Z.APBR

【分析】由圆心到直线的距离可判断ABD,对于C,根据解直角三角形可得sm—^—=网，根据

归此曲可算出上4总的最大值为钝角，故可判断正误.

【详解】连接

对干A,由题设有M（2,2）,圆的半径为R=2,

圆心M（2,2）到直线/的距离为凶

，4+1

而后＞2,故直线与圆相离，故圆M上的点到/的距离最大值为逐+2,故A正确:

对于B,因为|PA|=J|尸—,而仍昭小为“到直线/的距离

故四1的=54=|，故B错误；

对于C,因为$小二等=向"专，当且仅当|PM|=6时等号成立,

Z.APBA2?

（sin^-J=耳，设sina=忑且。为锐角，

22

则由sina="^>也可得a>T，而为锐角,故=a>7f

x/5242I2入.4

故（乙针3）a=2a>],结合OvZAPBK2a可得sin/APB的最大值可为1,

故C正确；

对于D,由对称性可得

故|PM,|A8|=2S,其中S为四边形0/U仍的面积，

而S=2x-x\PA\x\AM\=2小尸Ml",

由B的分析可得|加|11dli为M到直线/的距离石，故S22,

故仍加卜卜可的最小值4,当且仅当PM_U时取最小值，故D正确；

故选:ACD.

3.（多选）（25-26高二上•安徽芜湖•期中）已知圆C过点A（T1）,8（3』）,C（L3）,动点2直线

/:2x+y+2=O上任意一点，过尸向圆C1引两条切线，切点分别为为M,N,记cos/MPN的最小值为

"gin/MPN的最大值为〃.下列说法正确的是（）

A.圆C1的标准方程为G：*T）2+（y—I）2=4

B.m+n=--

5

c.四边形MPNG的面积范围为[26,+8）

D.当C7_L/时，四边形"PNG的外接圆与圆Ci的交点所在的直线为2入一+丹1=0

【答案】AD

【分析】对于A项，根据条件判断得AB的中点即为圆心C-从而求出半