广东省惠州市2025届高三年级下册4月模拟考试数学试题（解析版）

广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，选对得5分，选错得。分.

1.已知集合M={x|-3<%<!},/V={x|-1<%<4],则MUN=()

A.{x|-l<x<1}B.{x\x>—3}C.{x|-3<x<4}[x\x<4}

【答案】C

【解析】【解答】解：集合M={x|-3Vx<1},N={x\-l<x<4},

则MUN={x|-3VXV4}.

故答案为：C.

【分析】根据集合的并集定义求解即可.

2.已知复数z满足z(l—i)=2,则z=()

A.1—iB.l+iC.-1—iD.-1+i

【答案】B

【解析】【解答】解：由z(l-i)=2,可得z=(2喜)=1+L

故答案为：B.

【分析】根据复数代数形式的除法运算求解即可.

3.已知单位向量获满足忖一同=、②则方与石的夹角为()

A&B—C—D37r

A.84L.2T

【答案】C

【解析】【解答】解：设，与瓶夹角为。由口一同=四，

两边平方可得：2=(五一=a2-2d'b+b2=2-2xlxlxcos0»

则cos。=0,即。

故答案为：C.

【分析】根据向量数量积的性质求解即可.

4.已知cos(a+夕)=J,cos(a—£)=一^,则sinasing=()

A.1B.?C.-iD.

【答案】D

【解析】【解答】解：cos(a+6)=cosacos^-sinasinp=2①，

cos(a-/?)=cosacosp+sinasinp=-i@,

•J

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①②两式相减可得：s出as沆夕=

故答案为：D.

【分析】利用两角和、差的余弦公式展开后消去cosacosB求解即可.

5.2024年惠州马拉松赛事期间，蛆委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指

引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共

有（）

A.9种B.12种C.15利।D.18种

【答案】D

【解析】【解答】解：若甲不入选，则其他3人随意安排有眉=6种不同的安排方法；

若甲入选，甲不能安排在物资分发服务点,12种不同的安排方法,

根据分类加法原理可得：共有64-12=18种不同的安排方法.

故答案为：D.

【分析】由题意，分为甲入选和甲不入选，结合分类加法计数原理求解即可.

6.如图，在正方体力8。。一48]6。1中，E,F,M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中错

误的是（）

A.平面EFG，平面4&G。B.MP〃/6

C.MP1G。D.EF〃平面4D1见

【答案】C

【解析】【解答】解：A、因为瓦尼分别为CD,BC的中点,所以EF〃BD,

由正方•体的性质易知ACJ_B。，4411平面ABC。，EFu平面48C0,

所以/UilEF,AC1EF,AC（\AA1=/l,u平面AAiG。，

所以EF1平面44传修，E"u平面EFG，

所以平面EFCiJ■平面/M1C1C,故A正确；

B、因为P为下底面48传1。1的中心,所以P为4的,4皿的中点,

又因为M为所在棱的中点，所以MP〃/1G，故B正确；

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C、若MP1GO,由B选项知则4Q1CM

由正方体的性质如：△4G。为直角二角形，AD±DCj,贝ijAgJ.G。不满足，故C错误;

D、由A选项知：EF//BD,由正方体的性质易知SO"/'。，

则BiDJ/EF,当小u平面力。/1，EFC平面ADiZ，即EF〃平面他故D正确.

故答案为：C.

【分析】由题意，根据正方体的特征结合空间线面位置关系逐项判断即可.

7.已知函数/(幻是定义域为R的偶函数，且/(%+1)为奇函数，若/'(0)+/(3)=3,则()

A.f(x-1)=/(x+1)B./(2025)=3

C.函数/(x)的周期为2D.”2024)=3

【答案】D

【解析】【解答】解：A、因为/Q+1)为奇函数，所以/(一%+1)=-/(%+1),

又因为/(%)为偶函数，所以/•(—(4—1))=f(x—1),所以/•(>—1)=一/(工+1),故A错误；

C、由f(%-1)=-f(%+1),令x=x+l,可得/(无)=一)(％+2),

令x=x+2,可得/'(x+4)=-/(x+2)=/a),则函数f(x)是周期为4的周期函数，故C错误；

B、由/(-%+1)=-/■(%+1)，令％=0，

得/(1)=0,/(3)=/(-I)=/(I)=0,则/(2025)=/(I+506x4)=/(I)=0,故B错误；

D、因为/(0)+/(3)=3,所以/(0)=3,所以f(2024)=/(0+506x4)=f(0)=3,

故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据函数的奇偶性化简得-1)=-f(x+1)即可判断A；由-1)=-/(X+1)求得周期即可

判断C；再由函数外幻的周期为4,代入计算即可判断BD.

8.已知a,夕均为锐角，且a+夕一号>sin/?—cosa,则()

乙

A.sina>sin/?B.cosa>cos0C.cosa>sin/?D.sina>cos/?

【答案】D

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【解析】【解答】解：由a+夕一?>sin/?—cosa,可得/?一sin/?>?-a-sin-a),

构造函数/(%)=%-sinx,%E(0,0»f\x)=1-cosx»

易知/㈤=1—COST>0,即函数f(x)在(0,当上单调递增,则0>1—a,

因为a,夕均为锐角,所以cos.Vcos怎—a),sin0>sin(为一a),

所以cos。<sina,sin/?>cosa.

故答案为：D.

【分析】原式变形为夕一sin/?>为一a-sin修一a),构造函数/'(x)=x-sinx,x€(0,分求导，利用导

数判断函数/(%)在(0,£)Hl勺单调性，从而可得夕>5-。，再由正余弦函数的单调性判断即可.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(%)=比以|,则()

A./Xx)为偶函数B./(-4)<f(3)

C.f(x)无零点D.f(x)在(-8,0)上单调递减

【答案】A,D

【解析】【解答］解:A、函数/(1二加］灯的定义域为(-8,0)u3+8),

且满足/(-%)=ln|-x|=ln|x|=fM，则/(%)为偶函数,故A正确;

B、因为函数/(%)为偶函数,所以/•(-4)=/(4),当—>0时,函数/(x)=lnx,且f(%)在(0,+8)上单调递增,

所以〃4)>r(3),故B错误；

C、令f(x)=0,解得x=±l,则函数/■(均有2个零点，故C错误；

D、由B选项可知：函数人0在(0,+8)上单调递增，又因为函数/(x)为偶函数，所以/(x)在(-8,0)上单调递

减，故D正确.

故答案为：AD.

【分析】先求函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义判断奇偶性即可判断A；利用分段函数及对数函数的

单调性即可判断BD：直接解方程求零点个数即可判断C.

10.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面

(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点.若抛物线C必=轨的焦点

为F,O为坐标原点，一条平行于x轴的光线匕从点M射入，经过C上的点401，%)反射，再经过C上另一

点8(鹤,为)反射后，沿直线％射出，则()

A.C的准线方程为％=-1

B.yxy2=-4

C.若点则历例=¥

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D.设直线OA与C的准线的交点为N,则点N在直线L上

【答案】A,D,D

【解析】【解答】解：A、易知抛物线C：y2=4%的焦点为尸(1,0),准线方程为工二一1,故A正确；

B、设直线A8的方程为x=my+l,联立卜^瑞/消元整理可得y?-4my-4=0,

则为、2=-4,故B正确；

C、若点M(2,l),则力6,1)，8(4,-4),|阴=/(4一，+(1+4)2=+

故C错误；

D、直线04的方程为y=?%,由y；=4%i，可得y=^x,

xi1y1

4

令％=-1,可得y=一亓=丫2，即N(-1,丫2)，而直线，2的方程为y=丫2，则点N在直线&上，故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】根据抛物线方程确定准线方程即可判断A；设直线A8的方程为工=小丫+1,联立方程组，结合韦达

定理即可判断B；由例(2,1)求出由两点间的距离求解即可判断C；直线04的方程为y=*，又状=

4打，联立求解即可判断D.

11.设随机变量X的所有可能取为1,2,3,…，n,且P(X=i)=Pi>0(i=l,2L,n),p.=1,现定

义H(X)=-2之iPilogzPi，则下列说法正确的是()

A.若ri=1,则H(X)=0

B.若p,=：(i=1,2,…,几)，则H(X)随着n的增大而增大

C.若n=2,则H(X)的最小值为1

D.若几=2m,随机变量Y的所有可能取值为1,2,m,且P(Y=力=p,+口/+租。=1,2,…,m),则

H(X)>H(Y)

【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、当兀=1时，P]=1,则H(X)=-pjog2Pl=0,故A正确；

B、若P[=.(i=12…，几)，则H(X)=-7ix[log2l=log2E

则”(X)随着荏的增大而增大，故B正确；

C、当九=2时，P]+P2=l,则p?=l—Pl，其中0<PlVI,

H(X)=-[pilog2pi+(1-Pi)log(l-pi)].

设/(X)=-xlog2x-(1-x)log2(l-x),xe(04),

则/(x)=-lug2x一焉十log2(l一力)+焉=他版G-1)'

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当％Gfi,1)时，/(%)<0；当％w(。1)时，fM>0；

故当P[6(()4)时，H(X)随着Pl增大而增大；当P[£&1)时，〃(X)随着Pl增大而减小,

当P1二?寸,H(X)max=-G为2S地2)=1,故C错误;

D、若n=2m,随机变量Y的所有可能取值为1,2,…，m,

且p(y=y)=Pj+Pj+m(J=1,2,…,加),

H(x)=-c就P“og2Pi=log2=P1log2+p2log2+...+p2mlog2

m]]

尸](Pj)l0g2Pj=(P1+Pl+m)10g%+pi+m+(P2+P2+m)l0g2叱+&+_+…+(P/n+

Z2

则"⑺二小，Og2+P2，°g2由匕*…*Pj°g2布片

111

+P*诉肃+P2+m脸由+…+P2m^2“得,

因为%>0。=L2,…,2m),所以---，所以H(X)>H(V),故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】将当九二1代入，根据题中定义求H(X)的值即可判断A；利用对数函数的单调性即可判断B；当〃=

2时，构造函数/(%),求导，利用导数判断函数的单调性即可判断C；求得“(X)和”(丫)的表达式，利用对数

函数的单调性即可判断D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在锐角/48c中，8c=1,8=24则的值等于.

【答案】2

【解析】【解答】解：在锐角zMBC中，8=24BC=1，由正弦定理盖二篇，可得痣=益=

2^A=1,叫时=2.

故答案为：2.

【分析】由正弦定理，结合正弦的二倍角公式化简求值即可.

13.已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布N(90«2),且p(xv70)=0.2,从试

验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布，则X的方差

为.

【答案】2.1

【解析】【解答】解：随机变量X服从X~N(90R2),且p(x<70)=0.2,则P(X>110)=0.2,

即P(90<X<110)=0.5-0.2=0.3,

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由题意可得：X〜8(10,0.3),则X的方差为10x0.3x(1-03)=2.1.

故答案为：2.1.

【分析】由生长果实的个数x服从正态分布，求得P(90<X<110)=0.5-0.2=0.3,

则随机变量服从二项分布X〜B(10,03),利用二项分布的方差公式求解即可.

14.已知函数/(%)=/1+1呜工(血>0,九>0且九看1),若/⑶恒成立，则号的最小值为

【答案】e

【解析】【解答】解：函数f(1=”+logn%的定义域为(0,+8),

m>0.当n>1时，函数/'(%)在(0,+8)上单调递增，旦/'(1)=1,不合题意；

当0<n<1时,/(X)=+焉=式产+焉)，

易知?>0,九(%)=%巾+上在(0,+8)上单调递增，

人TRinn

令/⑺=o,解得(1a,

当x€(0,%o)时，/(%)<0»/(%)在(0,4)上单调递减，

当工€(即),+8)时，/(x)>0»/(X)在(3,+8)上单调递增，

则当》=见时，函数/•(%)有极小值，也是最小值，

又因为f(X)>1恒成立，旦/"(1)=1,所以f1,

1皿!

%。=C)而=「得=f所以钎质二言，

设。00=备。>1)，令。'(%)=0，得%=。，

I”人(inxj

当为w(l,e),g'(x)<0，则g(x)在(l,e)上单调递减，

当工€[e,+8),g\x)>0,则g(x)在(e,+oo)上单调递增，

所以g(x)min=g(e)=e,即巧的最小值为e.

故答案为：e.

【分析】分九>1和0V九<1进行分类讨论，易知当几>1时，不合题意，贝iJOVnVl,对f(x)求导，利用

1

导数判断函数的单调性，求得最小值为/WminM/■⑴=1，从而=进而由华=1总=点，令

。⑺=急(》>1)，求导得到g(x)的最小值即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且Sn=7l2(7lW/\r).数列出〃｝是公比为3的等比数列,且比=%.

(I)求数列Sn｝和数列｛%｝的通项公式：

(2)令cn=an也,求数列&｝的前n项和丁…

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【答案】(1)解：数列｛斯｝的前n项和为Sn，且Sn=n2(nGN*),

当n=1时，的=S[=1,

2222

当九>2时，an=Sn-S?l-i=n-(n-l)=n-n+2n-1=2n-1,

经检验，九=1时，%=1,符合上式，则0n=2n-l；

因为数列｛为｝是公比为3的等比数列，且比=%，所以历=%=1,则b=3"T；

n-1

(2)由(1)可得：cn=an-bn=(2n—l)3»

则%=14-3x31+5x32+-4-(2n-1)x371T①，

37^=3+3X32+5X33+•••+(2n-1)X3n②，

11n-1nn

用减得一27n=1+2x(3+32+…+3)—(2n—l)3»=1+2x3)_(2f-l)3=

1—3

-2+(2-2n)3n,

则〃=5-1)3"+1

【解析】【分析】(1)利用即与S〃的关系式求得数列｛Q“｝的通项，再根据等比数列的定义求数列｛九｝的通项公

式即可；

⑵由⑴可得q=斯・瓦=(2n-l)3nT，再利用错位相减法求和即可.

(1)当n=1时,即=Si=1,

当九>2时，一S,LI=n2—(n—I)2=n2-n24-2n-1=2n—1,

当九=1时也符合上式，

所以0n=2n-1,

比==1，所以以=3nT.

n-1

(2)cn=an-bn=(2n—l)3,

所以几=1+3x31+5x32+-+(2n-1)x3n-1，

23n

3Tn=3+3x3+5x34--+(2n-1)x3,

两式相减得一27；=1+2X(3】+32+•••+3〃T)-(2n-l)3n,

3(l-3n-1)

=1+2x1)-(2n-l)3n=-2+(2-2n)3n,

所以臬=(n-l)3n+1.

16.体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测

试，则该同学必须进行50次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为看每次是否投中相互独立.

(1)求甲同学通过测试的概率；

(2)若乙同学每次投中的概率为手每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮

训练的投篮次数之和记为X.求X的分布列与数学期望E(Y).

【答案】(1)解：记事件A廿甲同学通过测试”，即甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，

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且投的次数服从二项分布X〜B（3$）,

则p（m=或陷）2（1-加以.出3=各

（2）解：若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，

23

则乙通过测试的概率为a②.（­；）+信口=手

由题意可知，随机变量X的可能取值有0,50,100,

P（X=0）=5x»9P（X=50）=X（1-+（1-XJ=i,

P（X=100）=（l-^）X（l-1）=iy,

X的分布列

X050100

7110

P

54227

E（X）=0x^-4-50xj+100x^=

【解析】【分析】（1）先记事件，由题意可知甲投中的次数服从二项分布，利用二项分布求甲通过测试的概率

即可；

（2）求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列，再计算数学期望即可.

（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，

则「⑷人版小扔济宣当

（2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，

23

所以乙通过测试的概率为或6）.（1_口+或6）=;,

由题意可知，随机变量X的可能取值有0,50,100,

P（X=0）=。X±=备,P（X=50）=X（1-i）+（1-Xi=i,

P（x=100）=（1=务）x（D=3

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X050100

7110

p

54227

故E(X)=0x^-+50x1+100x|5=11Z5.

17.已知函数f(x)=ax3—3x2+1—2.

（1）讨论函数/'（X）的单调性;

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(2)若曲线y=/(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段A8与x轴有公共点，求实数a的取值

范围.

【答案】(1)解：函数/(%)=。/一3然+1一2定义域为凡且。工0,

f(x)=3ax2-6x=3ax(%一看)，

令fQ)=O，解得x=0或%=今

当Q>0时，当％<0或时，/(x)>0>当OVxV：时，/(X)<0»

函数/•(%)在(-8,0)或弓,+8)上单调递增，在(o1)上单调递减；

当QV0时，当无>0或％<:时，/(X)<0，当，<x<0时，/(J)>0，

函数/'⑺在(0,+8)或O上单调递减，在60)上单调递增，

综上，当Q>0时，/(%)在(一8,0)和仁,+8)上单调递增，在(0,：)上单调递减；

当a<0时，/(X)在(0,+8)和(一9兮上单调递减，在弓,0)上单调递增；

(2)解：由(1)可知曲线y=f(x)上的两点4B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f(%)在x=0,%=：处

分别取得极值,/(。)=1一'J弓)=一去一看+1，

因为线段4B与x轴有公共点，所以f(O)/QwO，

所以(一去_〉1)(1-1)E0，即(0+1)(93)(°-4)10,

整理可得。3伍+1)伍一3)仅一4)W0,且aH0,解得一1WaVO或3WQW4,

则实数a的取值范围为[一1,0)U[3,4].

【解析】【分析】(1)求函数的定义域，再求导，分Q>0、QVO利用导数的正负求函数的单调区间即可；

(2)日题意可得函数在点A、B处取得极值，再根据线段48与x轴有公共点，可得/XOV弓)式0,从而可求

出实数a的取值范围.

(1)由题意得QH0,f(x)=3ax2-6x=3ax—»

令f(%)=0，得％=0或%=

①当Q>0时，当％<0或X>断寸，f\x)>0，当0<%<(时，f(%)<0，

所以f(x)在(一8,0)或值,+8)上递增，在(o1)上递减，

②当QVO时，当％>0或xv机寸，f'(x)vO，当[VxVO时，f'(x)>0，

所以/'(%)在(0,+8)或(一4)上递减，在弓,0)上递增，

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综上,当Q>0时，/>”）在（一8,0）和得,+8）上递增,在（0婚上递减；当Q<0时，/（X）在（0,+8）和（一就）

上递减，在6,0）上递增；

（2）由（1）可知曲线y=f（x）上的两点4B的纵坐标为函数的极值，

且函数y=f（x）在x=0,%='处分别取得极值，

因为线段与x轴有公共点，

所以八0）/©工0，

所以（-今-/1）（14）”

（a+l）（g-3）（a-4）

?-0,

所以Q3（Q+1）（。-3）（Q—4）W0,且a工0,

解得一1<a<0或3<a<4,

所以实数a的取值范围为[一1,0）U[3,4].

18.如图1,△A8C是等边三角形，△OAC为等腰直角三角形，DA=DC=将△ZX4。沿AC翻折到△

PAC的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2）,点F在线段PB上（不含端点）.

（2）若PB=2.

（i）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小;

（ii）设平面ACF与平面PBC的夹角为a,求cosa的取值范围.

【答案】（1）证明：取AC中点为E,连接PE,8E,如图所示:

因为PA==BC,所以PE141AC,

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又因为PECi8E=E,PE,8Eu平面P8E,所以AC_L平面P8E,

乂因为PZ?u平面PSE,所以ACJ.PB；

(2)解：(i)因为△ADC为等腰三角形，DA=DC=V2»^VPA=PC=A/2,所以4c=2,

因为△/IBC为等边三角形，所以4B=4C=BC=2,

则PE=1,BE=近,PB=2,满足PE?+EB2=PB2,即PEj.EB,

又因PE1AC,BE1AC,所以E4EP,EB两两互相垂直，

以E为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

4(1,0,0),8(0,6,0),。(一1,0,0),尸(0,0,1),F为线段PB的中点，

则?(。享。丽=(0,75,-1)扇=(2,0,0),而=(-1,亨&,疗=(l,V5t,lT),

cX-m=-2x\=0

设平面ACF的法向量为沅=(孙％,々)，则《一Q1,

AF-zu=Xj+~2~y^-l-，2=0

取=1，得沅=(0,1,-6),

所以cos(而,m)=薪嵩=墨*=等，

设直线PB与平面4c尸所成角为则sin®=|cos(PF•m)\=冬

又因为6c[0,皆，所以6=小则直线PB与平麻4”所成角为多

(ii)设平面PBC的法向量为五=(%2，、2,22)，

PB=(O,V3,-l),PC=(-1,0,-1)»

-n=V3y2-z2=0^=i,=(-V3,1,V3)，

•n=­X2—z2=0

设麻=亡丽(0Vtv1)，所以再：=(O,J5匕一£)，所以F(0,b

则平面48的法向量为访=(xi，ypzi),

CA-m=2Xi=0„

.1-,、，取y1=£一1,得记=(0,t—1,V3t)»

•m=+V3ty]+(1—t)Zj=0

|t—1+3tl|4£-1|_J_16t2-8t+l

cosa=|cos(m,n)|=2

J(t-i)2+3tz-y714*-2计1•次">J4f-2C+l

第12页

令％=4产一2%则一"三工＜2,

16*一址+1_4%+1_3

4t2-2t+l-x+1~#+]，

因为—」WxV2时，0W4-丫＜3,所以OWcosaV^

则COSQ6[0,乌

【解析】【分析】（1）取4C中点为E,由题意可得PE14C,BE1AC,结合线面垂直的判定定理及性质定理证

明即可；

（2）（i）以E为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；

（ii）利用二面角的向量求法可得cosa=2x竺。二更±1,令K=4t2-23则一可得0W4-

47J4t2-2t+l4

常＜3,所以Oleosa〈镇，即可求解・

人IJL/

（1）证明：取AC中点为E,连接PE,BE,

因为24=PC,AB=BC,

所以PE_L4C,BE_L4C,

又因为PEClBE=E,PE,BEu平面PBE,

所以AC1平面P8E,

又因为P8u平面P8E,

所以AC1PB.

（2）（i）因为△工。。为等腰三角形，DA-DC-五,即2力一户。一口，所以4c=2,

因为△4BC为等边三角形，所以AB=AC=BC=2,

故PE=1,BE=V5，因PB=2,则PE?+EBi=PB2,即p/±EBt

又因尸E1AC,BE1AC,所以两两互相垂直，

以E为原点，以｛前，百瓦并｝为基底，建立空间直角坐标系，

71（1,0,0）,8（0,V3,0）,C（一1,0,0）,P（0,0,l）,F为线段PB的中点，

则尸（0，苧弓），PB=（0,V3,-1）,CZ=（2,0,0）,而=（一1,硬;,CF=(l,V3t,l-t)

设平面ACT7的法向量为万=（必,，1，21）,

CA-rn.=-2x1=0

则AF-m=Xi+苧=0

取、i=l，得沆=（0,1,-6），

所以cos（而,in）=箫施=乌挣=辱,

设直线PB与平面A6所成角为仇则sin®=\cos（PB.in）\=卓，

乙

第13页

又OW,O,部则”不

所以直线PB与平面46所成角为生

(ii)设平面P8C的法向量为五=(々，力*2)，

PB=(O,V3,-l),PC=(-

.n=V3y2-z2=0^

•五=—x2-z2=0

取<为=1，得五=(一6,1,国)，

设方=£丽(0V£V1)，所以方=(0,6£,T),

所以F(0,百亡,1-£),

则平面ACF的法向量为访=(x1,yr21),

(CA-m=2%i=0

、〔存•fn=%i4-V3ty1+(1—t)zx-01

取力二t-1,得沅二(01一1,0t).

।/—>一\||t-1+3tl|4t—1|

所以……=扃尔"向中

116t2-8t+l

=-=x2

0J4t-2t+l

令％=4/一23则一

16*-g+14x4-13

所以=4-

4t2-2t+l-%+rx+l，

因为一女WxV2时，044—%j]<3♦

所以0<cosa<，

所以cosaW[o,^

19.已知椭圆C：＜+鸟=1(匕＞Q),71(0,b),8(0,-b).椭圆C内部的一点7(心)(£＞0),过点T作直线

AT交椭圆于M,作直线BT交椭圆于N.M、N是不同的两点.

第14页

(I)若椭圆C的离心率是孚，求b的值；

(2)设△B7M的面积是Si，ZkATW的面积是S2，若3=5,力=1时，求t的值；

(3)若点U(x〃,y〃)，，(与，%)满足aVg且九>九，则称点U在点V的左上方.求证：当匕时，点

N在点M的左上方.

【答案】(1)解：椭圆。的离心率是字，

当b>2时，百_1庐一4,解得b=4；

~2~-b-

当0<bV2时，8_J4f2,解得b=i；

则b的值为1或4；

(2)解：由题意，直线/1M的斜率心时存在，直线BN的斜率々BN存在,

kAM=ZZ^=__L»直线AM的方程y=-4工+1,设例即，叫），

t2t

mJ华+*=1=产+1xM__4t

v-L+1,

。一左5+1

5出=卷,直线BN的方程y=方工—1,设N(孙,VN)，

£2t

2

?+以=1t+923%^__12t

则《N—O~XN---丁—un%JV—F—，

y=^-XN-l4t2%t理+9

V2tN

由图‘如瑞黑黑’因为WM+HN”,所以sin的M=sWN,

又|TB|=J（%T-物）2+（W-%）2=J1+嘛|打-XB\^

M

同理可得17*=J1+/I打-XA\,\TM\=Jl+k辅打-XM\,\TN\=Jl+%|打一4J，

4£,3.3t|

同S1一I78H7MI_|打r训打r“l.石_红_”一

-\TA\-\TN\-\xT-xA\\xT-xN\-f_12L_-再T-50”1.

必+9|同

(3)解：由题意，直线4M的斜率心时存在，直线BN的斜率岫N存在，

心乂=匕=与独，直线4M的方程y=青％+匕，设MOM，'")，

t2t

第15页

(=V-2b,

川(l—2b)2+b2124b(1_2m__4b(2b-l)t

,争+*=15+^^--。=「-(1二2犷+7涔

丽川=邑=上必，直线8N的方程？=竽工一匕，设N（M，yN），

t2£

l+2b,

y=-^x-b

N史呼』一曲吟=0="鹏稔，

则《

鼎+埃-1=£,（l+2b）+b-

,不+记一1

(2b-l)(2b+l)2+d2t2|-(2/)+l)(l-2b)2+b2t2

(2b-l)________(2b+1)

则X”-x=4bt:Aht__________________i_-_________________

N(l-2b)2+b2t2(Zb+lj+b2t2l(l-2b)2+Z?2t2l(2b+l)2+b2t2

8bt(4b2-l-/?2t2)

(l-2b)2+b2t2][(2b+l)24-b2t2'

2

又因为7（tq）在椭圆内部，所以专■H—^2V1=4b2—匕2t2—i>0,

故>XN，

又根据题意知>W>所以所以当b>*时，点2在点M的左上方,

【解析】【分析】（I）由题意，分0<匕<2,b>2两种情况讨论，结合椭圆离心率公式计