浙江省衢州、丽水、湖州三地市2025届高三年级下册4月教学质量检测（二模）数学试题（含答案）

浙江省衢州、丽水、湖州三地市2025届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学

试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={0/x-2<0},B={x|y=In%),则An8=()

A.(0,2]B.(0,2)C.[-1,2]D.(0刀

2.已知i为虚数单位,复数z=a2-4+(a-2)i(aG/?)是纯虚数，则a=()

A.2或一2B.2C.0D.

3.已知向量彳=（1,1）,石=（一1,1）,则向量五+5在向量方上的投影向量为（)

A.(1,1)B.(—1,1)C.(0,1)D.(0,0)

4・若(1一%)，=CIQ+CZjX++…则。2+。4+。6=（)

A.31B.32C.63D.64

5.飞in2a<0”是“3摩>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

6.正方体4BC0-4B1GD1中，点M,N分别为正方形48修1。1及4BB1%的中心,则异面直线BD与MN所成

角的余弦值为（）

A.0BQQ1D.8

mT。2T

在中，角所对的边分别为已知成等差数列,卦成等比数列,则

7.ZM8Ca,b,c.A,B,Ca,c,cosA=

()

A.1D后

JTT

8.过抛物线C:y2=4x焦点F的直线与抛物线交于4,8两点，过点4作C的切线I,交x轴于点M,过点8作直线

/的平行线交汇轴于点N,则尸M|+4尸N|的最小值是（）

A.12B.10C.9D.8

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/'（%）=sinx+cosx,贝i|（）

A./'（X）的最大值是鱼B./（久）在（0,当上单调递增

C.D./（》）在［0,扪上有两个零点

10.若函数/（%）与函数g（x）的图象关于直线x-y+l=0对称，则函数/Xx）的解析式可能是（）

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A./(X)=3%+2B./(x)=eX~^~X

乙

c./(x)=ex-2xD./(X)=ln(x4-+x2)-%

IL如图，多面体P48CQ由正四面体P-ABC和正四面体Q-ABC拼接而成，一只蚂蚁从顶点P出发，沿着多

面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记M欠爬行后，该蚂蚁落在点P的概率为Pn，落

在点Q的概率为q”，则()

A

-P2=1B.p3>q4C.pn=qnD.p2n+1<1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等差数列｛a〃｝的前ri项和为S”，卬=2,%0=20,贝IJS1。=.

13.已知斜率大于零的直线，交椭圆「.+y2=i于48两点，交x,y轴分别于C,。两点，且C,D是线段48的三

等分点，则直线/的斜率为.

14.若定义在R上的函数f(%)满足/(x+1)=1+J2/Q)-(/(乃)2,则/(2025)+2/(0)的最大值

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直角梯形力中，AD||BC,ABLAD,BD1DC.将△480沿8。折起，使ABJ.4C,连接

AC,得到三棱锥A-BCD.

(1)求证：CD1平面4BO；

(2)点E是BC的中点，连接/IE、DE,若AB=AD=&,

(i)求二面角B—4。—E的正切值；

(ii)求三楂锥4-8C。的外接球体积.

16.某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在4B两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点

可在48两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在4点投中

得2分，在/?点投中得？分，未投中均得。分，各次投中与否相互独立.

(1)在参赛的同学中，随机调查5()名的得分情况，得到如下2x2列联表：

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得分之3分得分V3分合计

先在A点投篮20525

先在8点投篮101525

合计302050

是否有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)小明在4点投中的概率为0.7,在8点投中的概率为0.3.

(i)求小明第一次投中的概率;

(ii)记小明投篮总得分为X,求X的分布列及数学期望.

2

参考公式:2_______一(ad--c)______

X~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

22

17.已知双曲线(Q>0,b>0)的左，右焦点分别为%,“2，且尸/2I=2e，圆(％-短，+

y2=1与E的渐近线相切.

(I)求双曲线E的标准方程;

(2)若E上两点4B满足用=方］1),且四边形力居府的面积为偿存求溯值.

18.已知函数/。)=e>a(aeR),。为坐标原点.

(1)当a=1时,

(i)求曲线y=/(x)在点(一1,/(一1))处的切线方程；

(ii)若点P是函数/'(%)图象上一点，求|OP|的最小值；

(2)若函数/(无)图象上存在不同两点48满足|。力|=|。8|=/可用，求a的取值范围.

19.对于给定的n项整数数列4Maifa2,-an(n>3),定义变换H(i)：①若i=1,则外加2,册,电均加1，

其余项不变；②若1ViVri,则④加2,Qji,ai+i均加1,其余项不变：③若i=zi,则即加2，。“_1，曲均加

1，其余项不变.例如，对数列：一1。1做变换”(1)得到Ll,2,即变吧⑴1,1,2；而对数列：2,573先

后做变换〃(3),“(4)可得到3,6,10,6,即257,3变吧⑶乙6,9,4变吧⑷3,6,1。,6。

(I)找出一系列变换，使得数列：1,2,3经过这系列变换后成为常数列：

(2)是否能找出一系列变换，使得数列：0,2,2经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具

体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当九为奇数时，对于任意数列是否总存在一系列变换能使

该数列成为常数列(无须证明).

(3)当九为偶数且数列/是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给

出具体的变换；若不存在，请说明理由.

第3页

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：解不等式（工一2）（¥+1）W0,可得一1WXW2,即集合力={划一14为工2},

集合8={x\y=In%}={x\x>0},则AC\B=（0,2].

故答案为：A.

【分析】先解不等式求得集合4B,再根据集合的交集定义求解即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：卜2-f=?,解得。=一2.

故答案为：D.

【分析】根据纯虚数的概念，列方程组求解Q的值即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：由向量五=（1』），石=（一1,1）,可得2+1=（0,2）,网=an=鱼,

^0x(-l)2xl；_

则向量2+另在向量B上的投影向量为=+b==(11)

bb

故答案为：B.

【分析】由题意，根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算计算即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解；（1—x）7=。0十a/十十…十乐一，

令x=0,a。=（1—0）7=1,

令X=1,Qo+Q1+。2---^a7=0①，

令X——1，—Q1+。2—。3+…+。6—=2^（2）>

①+②=2（。0+做+。4+a6）=27»则劭+。2+。4+。6=2‘=64，

因为劭=1,所以。2++怒=64-1=63.

故答案为：C.

【分析】利用赋值法求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：由sin2a<0,可得加+2/nrV2aV2TT+2k",kWZ,

则£+<aVzr+而，kWZ,即三+竽<§<5+竽，kWZ

当k=1时，tan^<0,即充分性不成立：

由tan叔>1,可得kzr+与V*V"+*keZ,

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则2/nr+兀V2aV2/CTT+2兀，kEZ,此时sin2aV0,即必要性成立,

则“sin2a<0”是七吟>1”的必要不充分条件.

故答案为：B.

【分析】解不等式sin2aV0与tan^Al，求得。的取值范围，再利用充分、必要条件的定义判断即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：以点。为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体边长为1,则D(0,0,0),8(l,l,0),M(Hl),Nm),

MN=&0,一舒，丽=(-1,-1,0)，

则即硒码I=犒尚■广露=4,

即异面直线BD与MN所成角的余弦值为、

故答案为：C.

【分析】以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线所成角余弦值即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：在△ABC中，因为成等差数列，所以2B=4+C,

乂因为A+8+C=TT,所以B=M，

J

又因为a,c,专匕成等比数列，设其公比为q,所以c=qa,b=包鲁，

由正弦定理可得^=镰=/薄7

整理可得sin/=1,cos4=意管一志)，

又因为Sin2/+cos24=1,所以点+第一/)2=1，

整理可得(q-2)(3q3+5q2+4+(q-2)2)=0,解得q=2,

则sinA=即'—故cosA=尊

故答案为：D.

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【分析】由4B,C成等差数列可得8=不再由a,成等比数列，设公比为q,可得c=-匕=再包，

0V*54

由正弦定理可得sin4=1,8$力=盍仁一/)，结合三角函数的平方关系求得q=2,代入求得角A,即可

得cos力的值.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：易知抛物线C:y2=4x的焦点F(l,0),如图所示：

设力(£2,2。，M

由题意，设直线力B方程为x=my+1,联立，)为1，

消元整理可得y2—2my—4=0,由韦达定理可得y超=一牝x：x2=^-^=n

则蚱T，

设在点4处的切线方程为y-2t=k\x-t2),

联立o一2£：Mx-消元整理可得A2一4y一4/女+8t=0,

yL=4x

由△=16—4k(-4t2k+8f)=0,解得k=i,

则在点A处得切线方程为y-2t=1(x-t2),即ty=x+t2,

V

令y=0,求得％=-产，则用=(一0,0),则|FM|=1-(—产)=i+产，

过点8作直线/的平行线BN,易知kBN=S，直线8N的方程为y+绊小一地)，

令y=0,则尤=2+4,即N(2+/,0),

贝+4MN|=1+/+4(1+£)

当且仅当/=2时等号成立,故|FM|+4尸N|取到最小值9.

故答案为：C.

【分析】易知抛物线的焦点厂(1,0),设4(产,2t),设直线方程为x=77iy+l,联立直线与抛物线方程，

求得W-9,设在点A处的切线方程为2t=k(x-“)，联立切线与抛物线方程，由于A=16-

4k(—4t2k+8£)=0,解得k的值，从而求得点M的坐标，过点B作直线，的平行线8N,故跖N="可得直

线BN的方程为y+”张一切从而求得点N的坐标，故而求得尸M|+4|FN|=£2+*5,再利用基本

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不等式求最小值即可.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】函数/<(X)=sin.+cosx=Vising+.),

A、易知/(x)的最大值为鱼，故A正确；

B、当.W(0g)时,工+太尊第，函数/⑺先增后减，即函数/(%)在(0以上不是单调递增的,故B错

误；

Cf售-%)=V2sinG-%+今)=in(竽一%)=V2sin［一咛+%))=V2sin偿+x)

满足/'(?一%)=/(%),故C正确;

乙

D、令f(x)=0,则Vising+1)=0,即sin(x+g=0,解得工+,=/九,kWZ,即得x=—左+/CTT,kG

Z,则/(%)在[0,河上恰有1个零点X二当，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】先利用辅助角公式化简函数/(%),再利用三角函数的性质及诱导公式逐项判断即可.

10.【答案】A,B,D

【解析1【解答】解：因为函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x-y+l=0对称，

所以函数“支)需满足在定义域上单调；

A、函数/'Q)=3x+2定义域为R,且单调递增，故A正确；

B、函数/(%)=竺/定义域为R,且单调递增，故B正确；

C、函数/'(%)=靖一2%定义域为R,f\x)=ex-2»

当％>ln2时，/(%)>0»函数/(%)单调递增；

当XVIn2时，/(x)<0>函数/(%)单调递减，故C错误；

_1

D、函数/•(x)=ln。+^/T不港)一x定义域为R,/⑴=1+%。+/)._]=-^=—1，

x+Jl+x2Jl+x2

,1

易知f1工)=右/-1W0,则函数fO)在R上单调递减，故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】由题意可知：函数f(x)在定义域上单调，再逐项求定义域，判断单调性即可.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：设蚂蚁几次爬行后，落在点A或B或C的概率为％,

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（Pn+l=/rn

由题意口J得：（%+i=Pn+/%+qn，其中Pi=。，=1=Lq1=5

r

易得P2==*，%=/23=g，3=・4=3<?4故A、C正确,B错误:

由原方程组可得r“+2=+%“，

乙乙

则％+2+；心+1=%+1+4丁”,所以卜n+1+：6｝为常数列,且厂计1+；%=1①,

同理％+2一%+1=一1（%+1一小），且厂2Tl=，则％+i—小=（一；）②，

由①②可知，「n=H（-J），则P2n+1=/⑵=J一1，：V卷,故D正确.

D4I

故答案为：ACD.

【分析】蚂蚁从点P出发，第一次爬行后只能到达48,C中的一个，从而可确定pi和q1，从月,8,C中的任一

点出发，均有从该点出发的四条棱，到达点P或Q的概率为主设蚂蚁九次爬行后，落在点A或B或C的概率为

rn,只能从4B,C中的任一点出发到达点P或Q,则可确定%+1、％+1与rn的关系；到达4B,C中任一点，可

能是从其它两点中的其一，或者从点P或Q到达，从而可以表达厂”，代值化简即可.

12.【答案】110

【解析】【解答】解：等差数列｛an｝的前n项和为％,即=2,alo=2O,

则。=（）

Si严乙°）=5x2+20=110.

故答案为：110.

【分析】根据等差数列的前几项和公式计算即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：设直线48方程为y=kx+b,1>0,点4（打,%）,8（必）2），易知b工0,

y=kx+b

联立W+4_1消元整理可得（1+4户）％2+Qkbx+4户一4=0,

A=64k2b2-4（1+4k2）（4炉-4）>0,解得4k2-b2+1>0,

由韦达定理可得：均+%2=4.右=弛3,则4+%2_4kb

1+软1+4/21+4户

直线y=k%+b中,令％=0,得y=匕，则D（0,b）,

令y=0,得%=-1则》（-也0），

则CO的中点坐标为。（一义」）,

因为C,。是线段48的三等分点，所以线段C。的中点为线段48的中点,

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则一4=一普2,解得kJ

Zk1+4/2

故答案为:

【分析】设直线48为丫=kx+b,A>0,点5(右,力),8(外,力)，易知法。0,联立直线与椭圆方程，由韦达

定理可得修+次=一一逊2,直线y=kx+b中，令x=0,y=0分别求出思点C,。的坐标，线段C。的中点

l+4/c

为线段48的中点，列方程求解即可.

14.【答案】3+V5

【解析】【解答】解：由/(%+1)=1+J2f(x)-(f(x))2,可得产先二拿?「°，

即1式〃幻42,

原式两边平方得(fQ+1))2=1+2j2f(x)-(f(x»+2/(x)-(/'(x))2①，

又2f(x+1)=2+2,2/(工)-(/(乃)2②,

②-①可得2/Q+1)-(T(x+I))2=1-(2/(x)-(/(x))2),

即[2/。+1)-(/(x+1))2]+[2/@)-(/3))2]=1,

即[/(x+2)_lf+[/(%+l)-l]2=i

又[/(%+1)-1]2=2/(幻一(/(乃)2,

则[/Q+2)-I]2=2f(x+1)-(/(%+I))2

IKx+1)-1]2+[/(x)-I]2=[/(%+I)]2+1-2/(x+1)+[/(x)]2+1-2/(z)

=-[fix+2)-l]2+1-[/(X+1)—1]2+1,

所以2，(尤+1)-I]2+[/(X)-I]2+[/(X+2)-I]2=2

所以[/(%+2)-I]2=[/(x)-I]2,即/(%4-2)-1=/(X)-1,即/。+2)=/(%),

则函数/'(X)时周期为2的周期函数，即“2025)=f⑴,

又因为[f(0)-I]2+[/(I)-I]2=1,

设/(0)—1=cos6,/(l)—1=s\n0,66[0,刍，

则.(2025)+2/(0)=3+V5sin(J+(p),tanw=2,

故/'(1)+2/(0)最大值为3+V5.

故答案为：3+通.

【分析】由/'(X+1)=1+J2f(x)-(f(%))2,求得lwr(x)W2,推得/'(%+2)=八>),函数/'(%)时周期为

2的周期函数，求得/(2025)=/(1),再由[/(0)一1]2+[/(1)一1『=1,设/'(0)-1=cos8,/(l)-1=

sin0,6»e[0,刍，贝iJ/'(2025)+2f(())=3+V§sin(e+8),tan9=2,从而求得f(2025)+2M0)的最大值.

15.【答案】(1)证明：在直角梯形A8C。中，因为48JLAC,ABLAD,ADCiAC=A,AO,ACu平面

ACDf

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所以AB_L平面ACO,又因为CDu平面ACO,所以A8_LC0,

乂因为30_LC。，BDC\AB=Z?,3D,ASu平面430,所以CD_1_平面43。；

(2)解：(i)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示：

则A(1,0,1),E(l,l,0),9=(1,0,1),屁=(1,1,0)，

设平面40E的一个法向量为五=(",z),则R•黑;取“1,则元=(1,一1,一1),

{Jr•uc—x十y一u

由⑴可知，平面480的一个法向量为沅=(0,1,0),

则c°s值，万)=襦=一*，

由图可知：二面角8-A0-E平面角是锐角，

设二面角8—4。-E平面角为凡贝i]c0sJ=*，即

故二面角B—AD—E的正切值为鱼：

(ii)因为乙/MC=乙BDC=冬，所以E为三棱锥4-BCO的外接球的球心，且球半径为企，

乙

故三棱锥力-BCD的外接球体积为孥7r.

【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判断定理证明ABJ■平面力CD,即可证得CD1平面A8D；

(2)(i)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。—xyz,求得平面40E的一个法向量与平面.48。的一个法向

量，利用空间向量法求二面角8-40-E的余弦值，再求正切值即可；

(ii)由题意可知，E为三棱锥4-BC。的外接球的球心，且球半径为金，根据球的体积公式求解即可.

(1)因为力B14C,AB1AD,ADHAC=A,u平面AC。，

所以AB1平面ACO,

又CDu平面ACO,所以AB1CD

又因为80_LC。，BD(yAB=B,8D,A8u平面ABO,

所以CD_L平面48D.

(2)(i)以0为坐标原点，以0&DC,Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一

xyz,

则4(1,0,1),F(l,l,0),所以育=(1,0,1),

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DE=(1,1,0),设平面4DE的一个法向量为记=(x,y,z),则言：器：：：：：；，

取％=1,则元=(1,-1,-1),

由(1)可知，平面480的一个法向量为沅=(0,1,0),

所以cos伍，沆)=]§=一孚-

由图可知二面角8-4D-E平面角是锐角，记为。，则cos6=§，所以tan。=企,

故二面角B-AD-E的正切值为四.

(ii)因为484c=480c=去

所以E为三棱锥4-BCD的外接球的球心，且球半径为企,

故三棱锥A-8C。的外接球体积为华小

16.【答案】(1)解：零假设为Ho：投篮得分与第一投篮点选择无关，

2

2=50(300-50)=25>6635,

/25x25x30x203:0000

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断入不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断

犯错误的概率不超过0.01;

(2)解：设事件A为第1次选择在点A投篮；记事件8为在点B投篮；记事件E为投中，

由题意可得：。(力)=2，P(B)=)P(矶4)=0.7,P(E|B)=0.3,

(i)P(E)=P(EA)+P(EB)=P(4)-P(EfA)+P(B)•P(E|B)=*,则小明第一次投篮命中的概率为0.5；

(ii)由题意可知：小明投篮总得分X可取0,2,3,4,6,

13717321

P<X=O)=2XTOXTO+2XTOXTO=TOO,

P(X=2)=ix^x^+ix^x^=^,

P(X=3)=；1x寻3备3+1会不3访7=家3

17749

P^=^)=2XWXW=200,

P(X=6)=lx^x^=^

y的分布列为

X02346

第12页

2173499

P

1002020200200

+2X+3X+4X

则E(X)=0X而2020200+6X200=T,

【解析［【分析】(1)先进行零假设，再计算/的值，与临界值比较判断即可；

(2)设第1次选择在点A投篮记为事件A,在点B投篮记为事件B,投中记为事件E,

(i)根据题意结合全概率公式计算小明第一次投中的概率即可；

(ii)由题意可得X的所有可能取值，计算出对应的概率，列分在列，求期望即可.

(1)零假设为Ho：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异

2_50(300-50)2_25

X~25x25x30x20~>6,635

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯

错误的概率不超过0.01

(2)设第1次选择在点A投篮记为事件A,在点B投篮记为事件B,投中记为事件E,

则P⑷='P⑻=4，P(E|A)=0.7,P(E|8)=0.3.

(i)P(E)=P(EA)+P(EB)=P(A)•P(EIA)+P(8)•P(E|8)=L

所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.

(ii)小明投篮总得分X可取可2,3,4,6,则

P（X=O）=2XTOXTO+2XIOXTO=TOO,

1731777

^（^=2）=2XioxTo+2XToXW=2O,

…n133,1373

P（X=3）=2X10X10+2X10XT0：=：20,

P（X=4）=^xToxTo=篇，

P（X=6）=2Xioxio=2oo-

AX的分布列为

X02346

2173499

p

1002020200200

・21,7,3,.49,,912

,•F^^=°AXTOO+2oX2O+3oX20+4X2OO+6X2OO=T,

17.【答案】(1)解：由题意可得：2c=2&，解得c=&,易知双曲线的渐近线为ay±bx=O,

因为圆(%—鱼)+产=1与E的渐近线相切，所以卢=旨=1,解得b=1,

Ja2+Z)

又因为Q2—b2=c2,所以a=l,则双曲线方程为：x2-y2=l；

第13页

（2）解：由尸28="\4，可得FiA，用同向，直线「状、与E均有两个交点，

设:直线“遇：/="一遮，它与£的另一个交点记为C,

由双曲线的对称性可知：|FiC|=|&B|,则三角形AF28面积等于三角形C&F2面积,

四边形4F1&B面积等于三角形力C0面积，设4（与，月）（。2，丫2），

联立方程：1；21；2二/；‘消元整理可得（£2-1）外一2鱼少+1=0，易知4=4（d+1）>0,

由韦达定理可得y1+y2=黑，y/2=是彳，

C—1c—1

2

△ACF2面积为：S另•2\[2-|y1-y?\=V2V（Vi+Y?）-4yry?=；=宇，

整理得14产一37t2+5=0,解得户=,或产=1

5

->1时

经检验£22yl百〉。，即4c均在洌上方或下方,

272+735（2^2-735

不妨令亡=孚，此时"=h'一/，解得勺=「一或与=~^^

2x2-y2=l_2相+E巧_2店—E

丫1=-3—[y2=-3-

作出图象，如图所示：

此时不，后片反向，舍去;

同理可得t=_理也不满足要求，当产=；时，可验证得用，用同向，符合题意,

—包,由x=-^-y-\[2,解得y=一半或半,

(x2-y2=l

由于4>1,所以力=一半，丫。=孚，

叨一屿g_"

敌人一MF/|A尸i||力|3,

第14页

若“多同理可得"儒!=隅=3，

综上，A=3.

【解析】【分析】（1）由题意可得c二式，再根据点到直线距离公式列方程，求得6=1,最后根据双曲线中

a,b,C的关系求得Q=1,即可得双曲线方程；

（2）设直线FiAx=ty-虎，它与E的另一个交点记为C,由对称性可知，四边形力吊尸?®面积等于三角形

4CF2面积，设做与,为）,以久2，丫2），联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方

程，求出产.或产=；,经检验产奇不合要求，/另时，求出交点纵坐标，即可得到;I的值.

（1）由题意得2c=2或，解得c=戌，

•・•双曲线的渐近线为ay±bx=O,

[!2b\，

・・・P=^=1,解得力=1,所以Q=l,故双曲线方程为：必一2=1；

Ja2+b2

（2）由用,无豆同向可知，直线鼻,4、尸28与E均有两个交点.

设直线「通：x=ty—它与E的另一个交点记为C.

由双曲线的对称性可知，|%C|=|&B|,故三角形/IF2B面积等于三角形。居户2面积，

所以四边形力FIAB面积等于三角形工。?2面积.

设4。”1），。。2斤2），

联立方程：卜：ty~鱼=(产-l)y2-2V2ty+1=0,得1=4(t2+1)>0,

-yz=1

,2图1

丫1+%=;^/仍==

t—it—1

三角形AC尸2面积s=I-2V2-lyi-y21=+、2)2-4yly2=

整理得14J-37理+5=0,解得廿=擀或亡2=1,

经检验£2=?>1时，为%=/二〉°，故4c均在工轴上方或下方，

乙t—1

不妨令t=孚，此时

第15页

2、泛+俄

解得《.七3或

了二2店+J14

画出图象如下:

此时不，取反向，故舍去；

同理可得亡=一乎也不满足要求,

当/=;时，可验证得不(，所同向，符合题意,

_V7/Q

若"-冬由％=_7y_鱼，解得

x2-y2=l

由于4>1,所以力=一半，生=孚，

故"一|4%|一|4尸11一回|3,

若"?同理可得"解=错|=3,

综上，A=3.

18•【答案】(1)解：(i)当Q=1时，函数/0)=靖+1定义域为8/(x)=ex+i,且/(_1)=1，

则切线方程为y-x-2=0；

(ii)设点尸(x,e”+])，由题意可得|OP|=)N+e2x+2Q£R),

记g(x)=%24-e2x+2,g(x)=2(x+e2x+2),易知g'(X)=2(x4-。2*+2)单调递增且g'(—i)=o.

当工G[-8,vO,g(x)单调递减；当工€(一1,+8),g<x)>O,g(x)单调递增，

则g(x)最小值为g(-1)=2,得IOPI的最小值及；

(2)解：记函数Zi(x)=/+e2"2a定义域为R,h'(%)=2(x+e2x+2a),

易知从㈤单调递增，且存在负实数如使得九'(%)=0,则。=罟皿-%0,e2xo+2a=To,

当%€[一8,与),"(无)<0,九(%)单调递减;当xG(%o,+8),»Q)>O,/i(x)单调递增,

则函数b(r)最小值为h(x0)，

limh(x)=+8

X->+8、)且上几"町=+8,

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为使h(x)=1+⑷有两个不等实数解，则九(%)<l+|a|,

ln(Y)lnX

即好+/xo+2a<1+|-0-xo|«xg_xo<1+|(-0)一Xo|,

函数p(x)=In5%)—%单调递减,且p(—}>o,p(—<0»

故该函数存在唯一零点a满足aw(一与一也)，则皿/=心

①若QVO,即皿<。)v0,则aVx()vO,

由/1(&)<1+|a|化简得就一2x0+皿丁)一1<0，

记?(为=3一2%+皿/_1，注意到F(x)在区间(一8,0)的减函数，

所以F(x0)<F(a)VF(一}=，一竽V0，

故aVxVO时，h(xo)V1+|a|恒成立，即aV0满足，

②若QZ0,即一(["°)_勺N0,则与Wa.由九(X。)V1+|a|化简得就一蛆尹2一1V0，

记做%)=/_-i(x<0)，则k'(x)=

所以k(x)在区间(—8,—小单调递减，在区间(―，a)单调递增，且A(—l)=0,«)=。2_吗g_1=

a2-a-1<0,

由焉」11(产)一iv0,解得一ivxoWa,

而。=生血2一%0,故Q€[0,l)满足，

综上所述QV1.

【解析】【分析】(1)(i)将a=l代入，求函数的定义域，再求/。)的导数，利用导数的几何意义结合点斜

式求切线方程即可；

(ii)设点P(x,e"+1)，根据两点间距离公式可得|OP|=yjx24-e2x+2(xGR)，

记函数g(x)=%2+e2A2,求导，利用导数判断函数单调性,求g(©的最小值即可;

(2)记何无)=/+e2*+2Q/GR,结合导数判断函数单调性，可得存在负实数的使得h'(xo)=0,为使h(x)=

1+⑷有两个不等实数解，则有人(々)<1+3,推导可得有就一功<1+电竽应一均，分析可知函数p(x)=

皿尹一X存在唯一零点a满足ae(一与一命，分类讨论Q<。和。>0时，使得h(&)<1+|a|恒成立时Q的取

值范围即可.

(1)当a=1,/(x)=ex+1,

(i)因为fQ)=e"+i，则f(―1)=1,/(-l)=1»故切线方程为y—%—2=0

(ii)设P(x,e*+i),则10Pl=&2+e2"2(xWR)，记g(x)=/+小工+2

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则g(%)=2(X+/x+2),易知g'(x)=2(X+/x+2)是关于％的增函数且/(_])=Q

所以当xe(-8,-1),4(工)<O,g(x)单调递减；当%6(-1,+8),g<x)>O,g(x)单调递增,

故g(x)最小值为g(-l)=2,得|0P|的最小值我.

(2)记/l(X)=/+e2x+2Qj£R,则九'(%)=2(x+e2x+2a),易知九,(%)是关于％的增函数且存在负实数均使

得九(勺)=0，则。=1叱无0)_q，e2xQ+2a__%0

乙

所以当%e(-8,&),“(%)<o,/i(x)单调递减，当%6(%,+8),九口)>0,九(%)单调递增,

故/i(x)最小值为伏飞),

注意到，工一>+8XT-8且工吗J(%)=+8，

为使h(x)=1+|a|有两个不等实数解,则有九(3)<1+\a\.

即焉+/》。+2。<1+—勺|o焉一3v1+-x0|.

考虑到函数口(%)=皿/7是关于%的减函数，且p(—》>0,p(-^)<0,

故该函数存在唯一零点a满足aE(-*/),则皿/=戊

(此处只需给出p(x)零点a的一个合理估计即可.)

①若QV0,即—(二>)/0,则aVKo<0.

乙

由九值)<1+|可化简得就-2x0+吗也一1<0，

乙

记FQ)=/一2%+皿/一1，注意到FQ)在区间(一8,0)的减函数，

所以F(%)<F(a)V尸(一》=,一竽<0,

故a<x<0时，九(久0)<1+|a|恒成立，即Q<0满足.

(几何法：由QV0时，f。)经过点(0,1)，且0<e。V1,而48两点在以原点为圆心，+为半径的圆

上，且J1+|Q|>1,因此点(0,e。)在圆％2+丫2=1+|3内，结合外口图像，知函数/(不)图象与圆好十旷2=

1+3的图象必有两个不同交点，故a<0满足)

②若QN0,即E([河)_无0.0,则与三①由九(%0)v1+同化简得郎一奥弓辿一1<0，

记伙为=X2_1B(Z£)_1(x<0),则k4)=空，

乙CtX

所以k(x)在区间(一8