与圆相关难点综合题（7大题型）解析版-2026学年九年级数学下册（沪教版）

与圆相关难点综合题（7大题型）

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、连半径构造等腰三角形（难点）..........................................1

题型二、遇弦加弦心距（难点）..................................................13

题型三、遇切线，巧作过切点的半径（难点）.....................................21

题型四、圆与三角形、四边形的综合（难点）.....................................23

题型五、圆与函数的综合（难点）...............................................40

题型六、动态问题（难点）......................................................47

题型七、圆与几何模型综合（难点）.............................................60

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、连半径构造等腰三角形

1.（24-25九年级下•上海青浦•月考）如图，在OO中，长度为16cm的弦E/与直径48交于点O,已知

BD=4cm,且=/厂.

⑴求证：ADA.EF；

⑵求。。的半径长.

【详解】（1）证明：连接。E、OF,

1/122

A

:.OE=OF,

,//E=AF»

.：AB是EF的垂直平分线，

/.AD1EFi

（2）解：设半径为rem,

OD=r-4,OE-r,

ADA.EF,

DE.EF=8,

2

：.0D2+DE2=OE2,

.\（r-4）2+82=r2,

解得:厂=10,

故。。的半径长为10cm.

2.（24-25九年级下•上海•月考）已知：。。的直径月8=8,与。。相交于点C,D,。。的直径CF

与O"相交于点E,设。4的半径为X,OE的长为

⑴如图，当点E在线段。。上时，求y关于X的函数解析式，并写出定义域;

⑵当点E在线段。尸上时，如果OE的长为3,求公共弦CQ的长：

【详解】（1）解：连接3E,

2/122

•・。。的直径48=8,

-.OC=OB=-AB=4.

2

：BC=BE,OB=OC,

•.ZBEC=ZC=Z.CBO.

,•ABCESAOCB,

CEBC

~CB~~OC

:CE=OC-OE=4-y,

•与=二

x4

•少关于x的函数解析式为），=4-!/,定义域为ovxK4；

4

（2）解：作8M_LCE,垂足为

•••CE是。4的弦，

:.E\I=-CE.

2

设两圆的公共弦C。与AB相交于〃，则AB垂直平分CQ.

：.CH=OCsinZCOB=OBsinZCOB=BM,

当点E在线段OC上时，£M=1CE=1（OC-OE）=1（4-3）=1,

17

OM=EM+OE=-+3=-

22

3/122

=>IOB2-OM2=

•••CD=2CH=2BM=屈.

当点E在线段OE上时，EM=；CE=+Of）=；（4+3）=J,

乙乙乙L

71

.•.OM=EM-OE=--3=-

22

'-BM=>!OB1-OM2=

:CD=2CH=2BM=3后.

3.（22-23九年级下•上海•月考）如图，已知。。的半径长为3,点力是。。上一定点，点尸为OO上不同

于点A的动点,

⑵如果。。过点尸、。，且点0在直线力夕上（如图2）,设/p=x,QP=y,求）'关于X的函数关系式,

并写出函数的定义域；

⑶在（2）的条件下，当lan/=：时（如图3）,存在O/与。。相内切，同时与。。相外切，且

4

OMLOQ,试求。.”的半径.

【详解】（1）解：如图，作尸8104交4。的延长线于4,连接。尸，

vtan/(=—,

2

4/122

,PB1

tanA=----=—

AB2

：・AB=2。，

:.0B=AB-OA=2a-3,

由勾股定理可得：OP?=BO2+PB?,

.-.32=(2a-3)2+a2,

解得；。=1；或。=0(不符合题意，舍去)，

/./15=y,PB=*

­■AP=ylPB2+AB2

(2)解：如图，连接OP、OQ,

则力O=PO,PQ=OQ,

."P=NA,4P=/POQ,

:.4=/POQ=4A,

XOPs^PQO,

QPOP^

'OP~7P,

.q=3,即y=2,

3xx

••・O。的半径长为3,点彳是。。上一定点，点尸为。。上不同于点4的动点,

0<x<6,

9

/.y=—(0<x<6)；

X

(3)解：如图，作OC_L/1。于C,

5/122

p

tanJ=—,

4

.•.设OC=48，AC=3b,

在RS40C中，由勾股定理可得:AC2+OC2=OA2,

.•.(〃『+(3叶=32,

解得：b=?3

J

129

:.OC=—,AC=-

55f

9

由垂径定理可得：PC=AC=-,

9

设。。的半径为。，则C0=QP-PC=c-w，

在Rtz\CO0中，由勾股定理可得：CQ2+OC2=OQ2,

I5JUJ

解得：eg

设。M的半径为，

••・OM与。。相内切，同时与。。相外切，

MO=3-r,MQ=「+：,

在RS。“。中，由勾股定理可得：M。2+002=,必°2,

9

解得：7•=5，

9

即的半径为五.

4.（2025•上海松江•二模）已知是半圆。的直径，尸是弦4。延长线上一点.

6/122

pr

2占二

AQBAoBAQB

图1图2备用图

⑴设结夕o与半圆交于点o.

①如图1,如果点。是弧的中点，且lanP=；,PC=2五,求的长;

②如图2,如果点C是弧力。的中点，且"=PO,求丽的值.

⑵设“是弦XC的中点，如果以点力为圆心、力尸为半径的圆与。。相切，以点月为圆心、尸以为半径的圆

与直线48相切，求sinNP/18的值.

【详解】（1）解：①连接OC,过点。作OE_L/C于点E,如图,

点。是弧的中点,

•/OA=OC,OE±AC,

।72

/.OE=EC=AE=-AC=—OA,

22

设OE=EC=x,则PE=PC+CE=2VI+x，

OE1

,/tanPn=---=一

PE3

x_1

…77^=5，

/.X=y/2，

:.PE=3品，OE=C，OA=6OE=2,

PO=>jPE2+OE2=2J5，

:.PD=PO-OD=2y/5-2.

②连接OC,CD,80,如图，

7/122

p

vZ5=-ZJ0D,

2

^AOC=ZBOC=.

PA=PO,

/.ZPAO=NPOA,

OA=OC,

:"PA0=40CA,

:"OCA=NPOA,

,/ZJ=ZJ,

：.EAOC^£\APO,

;.UOC=NP,

NP=NDOC,

PC=OC,

:.PC=OC=OA=OD,

v四边形ABDC为圆的内接四边形，

£PCD=4B,

:.乙PCD=£P,

PD=CD,

:.AC=PD.

^：PC=OC=OA=OD=xtPD=AC=y,贝ljPO=x+y,

•「△XOC's△月PO,

.OAPO

"AC=OC，

..二x+y

••♦

y%

,-.x=^-y（负数不合题意，舍去），

2

8/122

.X1+75

••—=-----1

72

...-P-C=-\-+--4-s

PD2

(2)设PM为半径的圆与直线45相切于点E,连接OM,PE,如图,

•••点/为圆心、尸为半径的圆与相切,

；.AP=AB,

设AP=4B=2r,贝=

•••”是弦1C的中点,

0M1AC,AM=MC=—AC,

2

vPM为半径的圆与直线48相切于点E,

/.PEI.AB,PE=PM,

在心△PMO和Ri△PEO中，

PM=PE

'PO=PO'

Rt△0MOgRl△PEO(HL),

：.OM=OE,

设OM=OE=ay

•••N月=4,==

/.AOAMs△PAE,

.OMOAr\

"~PE~^4E~~AP~2r~2,

:.GM=-PEAM=-AE,

2t2

/.AE=AC=AO+OE=r+«,PE=la,

：.PM=2a,

\AM=AP-PM=2r-2at

9/122

r+a

'/AM

5.（2025•上海浦东新•二模）如图1,力8和C。是半径为2的0。的两条直径，点尸是A4延长线上的一

点.连接尸C交。。于点E（点£■在线段尸。上，且不与点P、点。重合）.

⑴当PC=尸。时，求证：CO2=CECP；

（2）连接OE,交半径。/于点A/,已知产力=2.

①连接尸。，如图2,当点"是△PCO的重心时，求/8O。的余弦值;

②连接80、BE，当△SOE为等腰三角形时，求线段尸E的长.

【详解】（1）解：连接。E,

£0EC=Z0CE,

PC=PO,

NPCO=/POC,

ZOEC=AOCE=Z.POC,

'：NC=NC,

.••△POCs^OEC,

10/122

OCPC

CEOC

.CO?=CE,CP；

(2)解:①过。作PHI。。于〃,

A\M

是直径,

ZDEC=90°,

/.DELPC,

■.•点M是△PCD的重心,

PE=CE,

PD=DC=4,

vPA=2,半径为2,

.•.尸。=4,

:.PO=PD,,

PH1OD

:.OH=-OD=\,

CH1

・•.cos/BOC=cos4P0H=——=-

PO4

②当80=BE时，如图,

BD=BE,

D

图2

:.BD=BE>

0M1DE,

由(1)知。E_LPC,不符合题意;

当EO=8E时，连接E0,EA,

11/122

什c—

NBEA=NDEC=9。。，

•/ED=BE,

.•.访=“，

:.CD1BD,

NBEO=/DEO,

♦;OE=OB,

£EBO=/BEO=ZDEO,

NEOP=ZDEB=2NDEO,

/PEA+NAED=NBED+NAED=90°,

/PEA=NBED,

ZEOP=NDEB,

£P=4P、

△PE/S^POE,

EPAP

•••=,

OPPE

:.PE2=APOP，

.•./=2x4=8,

:.PE=2人，

当DE=08时，连接EX,设。。与“交于G,

=DB^

CD1BE,BG=EG,

•/是直径,

...乙4EB=90°，

12/122

AE1.BE,

EA//CO,

PE_PA

"~CE~^4O'

PA=AO,

PE=EC,

是△POC的中位线,

:.EA=-CO=\,

2

♦;OA=OB,BG=EG,

OG是的中位线，

OG=-AE=-,

BE=>/AB2-EA2=y/15，

.”1V15

..EG=-BE=-----,

22

:.PE=EC=JCGrEG?=J图+孚=巫、

综上所述，线段尸£的长痛或2&.

题型二、遇弦加弦心距

6.（24-25九年级下•上海・月考）如图，ZU8C的外接。。的半径为5,8。=8,点P为8C的中点，以点尸

为圆心作OP,若OP与。。相切，则。尸的半径为.

【详解】解：连接O。，OB,PO,

•：OC=OB,PC=PB,

13/122

：.0P1BC,

：0C=5,PC=-5C=-x8=4,

22

在直角三角形OPC中，由勾股定理得：OP=』OC2-PC2=也2"=3,

当。夕在。。内部时，两圆相切于M,如图，

此时。尸的半径为2；

当。尸在0。外部时,两圆相切于N,如图,

：.PN=ON+OP=5+3=8,

此时O尸的半径为8,

产的半径为8或2,

故答案为：8或2.

7.（24-25九年级下•上海•月考）已知弓形的弦长为30,半径为17,那么弓形的高为

【答案】9或25

【详解】解：根据题意画草图如下：则。。=17-8,

过点。作的垂线OO,垂足为C,交。。于D,则4CO=90。.

14/122

•••4B=30,

AC=—AB=15.

2

在RS40C中，04=17,00=17—。。，AC=\5,

由勾股定理，得0。2+力。2=。/，即（17-8『+152=172,解得：8=9或25.

••・弓形的高为9或25.

故答案为：9或25.

8.（24-25九年级下•上海•月考）如图，在梯形48CO中，AD；/BC,AB=CD,AD=2,BC=6,

cosB=1,点2在边力8上，以BP为半径的OP交边BC于点E,当四边形尸EC。是一个等腰梯形，且。。

与。尸有公共点时，则。。的半径长，•的取值范围是.

【详解】解：如图，作〃尸Z）交。C于过点P作P〃_L6C于点〃,

BH=BE=PB.3sB=；x,

:.BE=2BH/x,

3

vPE//DC,

四边形尸。ME是平行四边形，

PE=DM=x,即MC=6-x,

■.•四边形PECZ）是等腰梯形，

:.PD=EC,4PDC=4C,

PD=ME,ZPDC=/EMC=ZC,

15/122

•••PD=EM,EC=PD,

EM=EC,

Z.C=NEMC=ZB=NPEB,

4PBES^ECM,

2

，&经，即+=工

ECMC6-A6-x

3，

1Q

解得：X=不，

即BE=一,

5

“sn1218

55

当两圆外切时.，PD=%+R,即R=0（舍去），

当两圆内切时，PD=rp-R,即凡=0（舍去），&=£，

，f

即两圆相交时，O<R<M，

CD与。。有公共点时，。。的半径长的取值范围0<7?<y,

故答案为：OVAwg.

9.（2025•上海杨浦•模拟预测）如图，己知在。。中，是O。直径，点C是40的中点，点。是弧力8

的中点，点E是弧8。上一点，DE1CD,过点E作在_LOE,交力8于点尸，那么竺的值是

【详解】解：连接O。，DF,过O作0G1QE于G,

16/122

/.DC//OG//EF,

DGCO

ZCDO=/GOD,

~GE~~OF

设圆。半径为2,

点C是49的中点,

...JC=C(?=1,

•••点。是弧力5的中点,

ZCOD=90°,

.-.DF,=CD=y/OCr+ODi=45，

•••Z.CDO=Z.GOD,4cOD=4DGO

•••^COD^DGO,

生二型，即正=_L

DODG2DG

，知还

5

4亚

-DE=DG+GE=—

5

：.EF=NDF'DEI=¥

36

3.

5

10.（24-25九年级下・上海•月考）如图，已知点。是两个同心圆的圆心，大圆的弦48与小圆交于点C、

（2）如果48=8,CD=4,大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长.

【详解】（1）解：过点。作于£,

17/122

/.AE=BE,CE=DE,

在RtAUOE与Rt^COE中，由勾股定理得：OE2=OA2-AE2,OE2=OC2-CE2,

2222

:.OA-AE=OC-CEt

:.OA2-OC2=AE2-CE2,

•.•川？=8,CD=4,

/.AE=4,CE=2,

:.OA2-OC2=42-22=\2①，

,•,大圆面积是小圆面积的3倍，

：.nOA2=3nOC\^OA2=3OC2②，

根据①②可得：。屋=]8，

:.GA=3叵.

11.（24-25九年级下•上海•月考）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面48=274cm

（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为72cm（台面，"与地面之间的距离），直线型支架『7:与。尸

的二端E、产与台面下方相连，P尸与的下端尸、。接触地面，直线型支架CG与。，的上端C、D

与台面48下方相连，下端G、H与PE、。尸相连，圆弧形支架G"分别与PE、。厂在点G、，相连，且

AC§

PCLAB,DQLAB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,CE=DF,已知E/=106cm,—

CE9

o

tanzfECG=tan/FDH=

3

18/122

⑴求CG的长度.

(2)而所在的圆经过点A。时，求丽所在的圆的圆心到台面之间的距离.

【详解】(1)解：过点G作GM_L4?,交4B于点M,连接CP.

又・•£』

乂,CE9'

99

.•.CE=-48=—x84=54cm,

1414

乂,:CP=72cm,

GMPC724

tanNPEC=~ME~EC~~54~3

3

..ME—jGM,

4

X-.tanZ£CG=—=-,

CM3

3

：.CM=-GM,

8

33

：.CE=CM+ME=-GM+-GM=54.

84

解得GM-48cm,

3

:.CM=—GM—18cm,

8

•••CG=4CM--rGM-=7182+482=6万cm；

（2）解：设点。为所在圆的圆心.连接G"、PQ,过点。作OK_LGH,交GHf点K,交尸。于点M

19/122

由题意可得：GK=+54-18+gx106=89（cm）,

/.PV=1p2=icD=1（FF+2C£）=1x（106+2x54）=l07（cm）.

:.KN=CP-MG=72-48=24（cm）.

•：OP=OG,

•­PN2+ON2=GK2+OK2,

:.PN2+ON2=GK2+（KN+ON》,即1072+ON2=89?+（24+ONJ

解得ON=61.5.

.•.ON+CP=61.5+72=133.5（cm）,

12.（2025•上海•模拟预测）如图，在△力8C中，AB=AC,圆。的圆心在A/BC内部,与△出C的边顺时

针分别交于点£、D、F、G、N、M（点£在线段上），射线力。交边MN于点P.如果DE=FG；

【详解】（1）证明：作OH21AC,

二。4平分/84C,

•/AB=AC

20/122

;.BP=CP,OAIBC,

:.MP=NP

BM=CN

(2)证明：如图所示:

•/0/7,1AB,OH21AC,

N/IHQ=N/iH8=90。,

'：AO=AO,0H1=0H>

:^.4OH^AOH2；

/.AH}=AH、,

♦:DE=FG,HiD=H1E,H2F=H2Gf

H\D=HF,

:.AHx-HxD=AH2-H2Ft

即43=AF,

AE-AG,

•••AB-AC,

:.BE=CG,/B=/C,

BM=CN

:ABEM知CGN,

/.NBEM=/CGN；

题型三、遇切线，巧作过切点的半径

13.（2025・上海虹口•二模）如图，在RIZX48C中，/C=90。，AC=4,AB=5,如果以点8为圆心的

与以边AC为直径的。。外切，那么OB的半径长是.

21/122

【答案】713-2

【详解】解：如图，连接0B,

A

•••o与OO外切,

在向△力8c中，ZC=90°,/1C=4,AB=5,

•**BC=ylAB2-AC2=3»

•.•/c为o。的直径,

0C=-AC=2,

2

•*-OB=doc?+8c2=722+32=屈，

­：()B=OP+BP=OC+BP,

BP=OB-OC=yf^-2,

.•.08的半径长是Ji5一2：

故答案为：V13-2.

14.（24-25九年级上•上海•自主招生）如图，PA、心为。。的切线，割线1交。。于C,交线段48于点

D、PC=2,DE=l,则C7)=

【答案】学

【详解】解：连接力。，AE,MCO,EB,连接P。交43于点

22/122

vZ-ACE-Z.ABE,Z.ADC=Z.BDE

''AACDS^EBD，

ADDE

：'~CD~~BD，

：.ADDB=CDDEX

•：OC=OA,

；ZCO=NCAO,

40C=180°-NACO-Z.CAO=180。-2ZCAO,

-ZAOC=2ZAEC,

:.2/AEC=180°-2ZCAO,即ZAEC=90°-ZCAO

・••P4为。。的切线，

.•.NE4O=90。，

.-.APAC=900-ZCAO,

4AC=NAEC,

•••ZAPE=Z.CPA,

1△APEsACPA,

CPPA

'~PA~~PE

'-P,42=PCPE

设CQ=x,

.'.PA2=PCPE=2(x+3),ADDB=CDDE=x,

故(AH-+DH)=(AH+DH)=AH?-DH?=x,

X*.PA2=%”?+PH*，

23/122

.'.PA2=x+DH2+PH2=x+PD2=x+[2+x)2,

「.2(x+3)=x+(x+2)2,

解得：玉=出页，-3-Vn（负的舍去），

2*2

即8=-3+炳,

2

故答案为：土姮.

2

题型四、圆与三角形、四边形的综合

15.（2025•上海浦东新•二模）如图，在口48CO中，48=4,BC=6,点E在边力。上，且AOEC是等边

三角形，点。是对角线力C上一点.如果。。经过点E且与边4c没有公共点，那么。。的半径，•的取值范围

是.

【答案】^-<r<2

7

【详解】解：作巾交8c于点

在口力88中，

/./R=/D=60°,AD//RC.,AD=RC=6.DC=4R=4.

NEAC=NACB,

•••eQEC是等边三角形,

/.ZD=60°,DE=DC=4,

在直角中，

:.BM=g/!B=2,AM7AB'-BM?=2后,

•••8c=6,

/.CM=BC-BM=6—2=4,

在直角△4CM中，

•**AC=<4M2+MC2=2"

在直角△XCM中,

AM273

sin4c8=

AC~247~41

作EGJ.HC交力C于点G,

24/122

/.sinZEAC=—

AE

.EG6

.TTF

:.EG=23=巫.

币7

7

当点。与点力重合时，4£=/。-。£=6-4=2,即r=2,

丁石<2，

一•0。半径最大为2,

综上所述，巫AW2.

7

16.（2025♦上海普陀•三模）如图，在△力8。中，ZJCB=90°,CA=CB,点、D为边AB上一盘,连结

CD,作点8关于C。的对称点£连结CE、AE,延长C'。、AE交于点、F,若AE=DE=2,则£T=

【答案】6+1

【详解】解：作于点H，

•••4C8=90°,CA=CB,

/.ZCJ5=ZB=45°.

由折叠的性质得BC=CE/CED=NB/BCD=NECD,

25/122

NC/1B=NCED=45°,AC=CE

••.A,C,D,£四点共圆，

vAE=DE=2,

AE=DE，NEAD=Z.EDA,

NACE=/ECD,

•••AACE=ZBCD=NECD=30°,

-AC=CE,ZJCE=30°,

:.NCAE=ACEA=75°,

:.Z.EAD=NEDA=75°-45°=30°,ZF=180°-60°-75°=45°,

.-.ZZ)E//=60o,

=30。，

：.EH=-DE=\

2f

DH—\l22—I2=x/3»•

•••DHLAF,ZF=45°,

是等腰直角三角形,

:.FH=DH=B

•••EF=6+1.

故答案为：JJ+1.

17.(2025•上海•模拟预测)如图，在OO中，直径48垂直于弦。。于点

(1)联结/C、AD,求证：AC=ADx

AT)

(2)若四边形。。是菱形，求行的值.

【详解】(1)解：如图，

26/122

A

R

■.•直径彳8垂直于弦CZ)于点H.

:.CH=DH,

•••AB垂直平分。力，

:.AC-AD；

(2)•.•四边形。C8O是菱形，

：.OH=BH=-OB=-OC=-AB,

224

：.AB=4OH

:.CH=DH=；CD=y/C02-0H2=^(2OH^-OH2=®)H,

•♦.CD=26。”，

AB40H2G

CD~2y/3OH~3

18.(2025・上海松江•二模)如图，在△月8c中，乙1=90。，/6=30。，点。在边8c上，以。为圆心，OC

为半径的圆与边力C交于点。，与边力8相切于点£.

(1)当8c=12时，求。。的半径长：

An

⑵求方的值.

【详解】(1)解：:。。与边相切于点£,

;.4BLOE于点E,

ZOEB=90°,

VZB=30°,OE=OC,

:.GB=2OE=2OC,

27/122

•;GB+OC=BC=12,

1.2OC+OC=\2,

OC=4,

0。的半径长为4.

(2)连接O。、ED,则。。=。。=。七,

ZBOE=NC=90。-NB=60°,

.•.z^c。。是等边三角形，

ZCOD=60°,

ZDOE=180°-/COD-NBOE=60°,

:.AEOD是等边三角形,

ZOED=60°,

ZAED=1800-ZOED-NOEB=30°,

:.AD=-ED,

2

•；ED=OD=CD,

：.AD=\-CD,

2

二.一AD=-1,

CD2

谓的值为.

19.(2024•上海•三模)某款“不倒翁〃的主视图如图1,它由半圆O和等边AP/IB组成，直径48=8cm,半

圆。的中点为点C,为桌面，半圆。与相切于点0,拨动“不倒翁〃后它在桌面上做无滑动的滚

图1图2图3

28/122

⑴如图1,AB//MN,请直接写出尸C的长为cm（结果保留根号）：

（2）如图2,当尸时，连接。。，OC

①直接写出N。。。的度数，并求点C到桌面的距离（结果，呆留根号）

②当4或P3垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到产力LWN（图2-图3）过程中,

点。在MN上移动的距离.

【详解】（1）解：如图L连接P。，0C,

图1

/.PO±ABQB=；AB=4,PB=AB=4,

1.OP7PB2-OB?=43

•••工圆。与MN相切于点。，半圆。的中点为点C,

OQ±MN,OCLAB,

vABIIMN,

:.OQLAB,

•・。，C重合，0c_LA/N,

.••NC08+/P08=I80°

：.P,0,。三点共线，AB,MM之间的距离为OC=O8=4,

•••PC=PO+OC=4+4y/3

故答案为：4+4石；

（2）解：①如图2：延长。。交力。于。，过点。作CE_L。。，CF1MN,

,:笔边APAB,

ZJBP=60°,

•；0Q工MN,PB1MN,

DQ//PB,

29/122

ZAOD=ZABP=ZBOQ=60°,

•••半圆o的中点为点c,oc为半径,

4OC=90°,

ZCOQ=4BOC-/BOQ=90°-60°=30°；

♦:CEIOQ,CF1MN,OQIMN,

•••四边形CE。尸为矩形，

：.CF=EQ,

在RaOCE中，NCO0=3O。，

.-.CE=-OC=2,

2

由勾股定理得，OE=20

：.CF=EQ=4-2>5,

・•・，点C到桌面MV的距离为（4-2百）cm:

②如图：当尸8JLMN时，

由①可得4。。=60°,

ZCOQ=300,

MPBLMN滚动到PA±MN过程中OQ经过的圆心角为30。乂2=60°,

/.点。在MN上移动的距离等于空产=".

20.（2025•上海普陀•三模）如图，△力8c内接于。。，4c为直径，在U延长线上取一点E使得

AE^AB,连结6E,在/E下方，作/力比=/8。，连结。尸交。。于点。，连结80.

图1图2

30/122

(1)如图1,若NBDC=ZAEF.

①求证：&ABC处EAF；

②若｛E=2,力产=4,求CO的长度；

(2)如图2,若4F=EF,2NCBD=3NBC4时,求证：BD=EF.

【详解】(1)①证明：,••蕊=应，

£BDC=4BAC,

•;ZBDC=/AEF,

Z.BAC=Z.AEF

ZBAC=ZAEF

在Zi/BC和△£>!产中<N8C4=44庄,

AB=AE

:.“BCmEAF(AAS)；

•••AC为直径,

...ZABC=ZADC=90°,

\^ABC^EAF(AAS)f

.../EAF=90。，

/C4斤=90°,

BA=AE=2,BC=AF=4,

在RtZUBC中,ACABA'BC。=26,

在Rt"FC中，CF=>lAC2+AF2=7(2^5)2+42=6，

丁S4ACF=g4C"4尸=gADxCF,

力。=2L逑，

（2）解：取e的中点G,违纪AG、AG,

31/122

B

"AB=AB，

NG=NBCA,

•••ZAFE=NBCA,

NG=Z.AFE,

=AG，

BG=AG,

ZGAB=/GBA,

vAF=EF,

...ZFAE=Z.FEA,

:.NGAB=NGBA=Z.FAE=/.FEA,

Z.GBA=AFAE

在△G48和△/£4中4=AE

NGAB=NFEA

AG4B会AFEAIASA),

AG=EF,

2/CBD=3ZBCA,

.,.设N8C/=2x,ZCBD=3x,

...ZG=/BCA=2x,

ZCBG=ZCBA-NGBA=90-(90-x)=x,

ZGBD=ZCBD-ACBG=3X-A=2x,

ZGBD=NBCA,

32/122

连接08,0G,OD,

..NAOB=2/BCA,/GOD=2/GBD,

..NGOD=NAOB,

AB=GD^

\AG=BD^

\AG=BD,

\BD=EF.

21.(2025・上海青浦•二模)已知：44为。。的直径，力8=5,点。在。。上.联结OC、BC,过点。作

OD//BC,交。。于点。.

(1)如图，联结。8,当/力次:=60。时，求证：四边形OC8。是菱形；

(2)作。E108,垂足为£

①如图，联结力C、DC,OC交半径08于点R当NOCD=；Nai8时，求线段E厂的长:

②如图，联结力C、4。、08,设A。。石的面积为四边形/C8。的面积为S2,如果$2=7。，求线段4c

的长.

33/122

D

【详解】（1）证明：-OB=OC,/48C=60°,

・•・A50c是等边三角形,

：.OC=BC=OB.

•••OD//BC,

ADOB=ZABC=60°.

同理，△80。是等边三角形，ODDB.

又"0D=0C,

：.OC=BC=OD=DB.

•••四边形0C8。是菱形.

(2)解：①：物。。，

Z.0DC=Z.0CD.

■：0D//BC,

：20DC=2DCB.

:"0CD=/DCB.

：2OCB=24)CD.

•：OC=OB,

:.Z.OBC=NOCB=2NOCO.

vZ.CAB=2Z.OCD,

："CAB=ACBA.

CA=CB.

又・.O力=08,

.-.Z5OC=90°.

-DELOB,

••.NOE。=90。.

；2OED=BOC.

：.OC//DE.

EFDE

'~OF~~OC'

•：OB=OC,400=90。，

34/122

，NO4C=45°.

：・3OE=NOBC=45。.

.EFDE应

••=-^―^―

OFOC2

.M10-5^2

••EF=-----------.

4

②过点O作OHJ.BC于点H,得BH=CH,

­.OD\\BCt

："DOE=NOBH,

•••ZD£O=NO”5=90。，OB=OD,

:.QDE知BOH.

^ACBD~S^BC+S^BD=7',S^0D=SMOf)=~S^BD，

红U,OE=-

•••△ODE知BOH,

.-.OH=DE=-y[5.

6

•.•在△ABC中，OB=OA,BH=CH,

:.AC=20H=3卡.

35/122

22.（2025・上海崇明•二模）如图，Rt△力8c中，48C=90。，BC=2,tanZJCj?=1,过点/的直线/与

边8C平行，点O在射线8力上，00是以。为圆心，为半径的圆.

a_______.,/_______

――「，

BCBCBC

（备用图1）（备用图2）

⑴当直线彳。与OO相切时，求。8的长；

⑵当直线/与。。相交时，交点记为点E、F,且点E在点尸的右边；以。为圆心、C七为半径长作OC与

O。的另一个交点记为G.

①若四边形48CE是矩形，求。占的长；

②若是以力£为腰的等腰三角形，求NAEG的正切值.

【详解】（1）解：作于，，

4口______________/

与<30相切

BC

.•・设。8=0〃=〃，

在RtZ\48C中

BC=2,tanAACB=-,

2

AB=BCtan//lC8=1,

2/7

AC=y/5fsinzfBAC=--»

OA=\-r,

在RtZXOX”中

OH

sinzfBAC=---,

OA

r2>f5

1-r5

.7=2后-4,

（2）①•••四边形48CE是矩形

AE=BC=2,

设OB=0E=r,则。力二厂一1,

在RlZXOZ〃中，OA2+AE2=OE2,

36/122

.\(r-l)2+22=r2,

5

r=-,

2

2

②若△/EC是以为腰的等腰三角形，

那么/£=力。或力E=CE,

设。。与/相交于点P，

•••00与。C相交于氏G,

0C1EG,

又・：NO4P=90。，

/A0P+/APO=/EPC+/AEG=90°,

又♦:/APO=/EPC,

NAOP=NAEG,

(/)当4E=4C=遂时，

•/OA2+AE2=OE",

.,.(r一+(6)=r~,解得：r=3,

.•.08=3,

vtanzfAEG=tan/AOP=%-,

OB

2

tan/AEG=—.

(Zi)当IE二CE时，作ENIAC,

AN=-AC=—^

22

•••l//BC,

:"EAC=/ACB,即cos/E4C=cos/4C6,

75

•-2_=_3_,

••AEy/5

解得力E=：,

4

设OB=0E=r,则Q4=r-1,在RtZ\O4E中,

37/122

41

32

.'.tan/AEG=—

41

264

综上所述，tan/4EG=二或二.

341

23.（2025•上海•模拟预测）在半圆408的直径力8延长线上取一点C,8力是半圆力。3的一条弦，过点。作

BD的平行线口和半圆AOB从右至左交于点E,F.

备用图

（1）若O8=8C,取E/的中点时，求证：四边形08"。是菱形:

⑵当sinC=¥，8O=8,尸£=6时，求EC的长;

⑶延长产。交池的延长线于点G,作过点力的圆G交DG于点H.若/DAH=NG,且2DF=DH,求不片

oC

的