大题07 新定义题型（10大题型）原卷版

大题06新定义题型

继2025年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试接受了该结构考试。2025年的新高考

试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。新定义题型内容新颖，题目中经常伴随有“定义”

“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自

己认真揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与

运算、信息迁移的力量。

题型1集合的新定义问题题型6数列的新定义问题

题型2函数与导数的新定义问题题型7立体几何的新定义问题

题型3复数与不等式的新定义问题<—新定义题型一,题型8平面解析几何的新定义问题

\、一题型9概率统计的新定义问题

题型4三角函数的新定义问题

题型5平面向量的新定义问题题型10高等数字背景下的新定义问题

题型一：集合的新定义问题

龙麓》大题典例

(2025・广东・惠州一中校联考模拟猜测)已知集合A中含有三个元素XKZ,同时满足①x<y<z：②i+y>z；

③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S.二{1,2,3,…对于集合力的非空

子集8,若S”中存在三个互不相同的元素a,b,c,使得a+b/+c,c+a均属于8,则称集合B是集合S”的“期

盼子集

(1)试推断集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性质并说明理由；

(2)若集合8={3,4,公具有性质/»,证明：集合6是集合其的“期盼子集”；

(3)证明：集合用具有性质尸的充要条件是集合M是集合5。的“期盼子集”.

茏》瞿去揖导

集合新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简洁的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，假如能清楚描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发觉新信息与所学学问的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）假如新信息是课本学问的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么状况下可以使

用书上的概念.

蔻龙》受其训纸

1.（2025•北京・北京四中校考模拟猜测）己知集合加={123,…N）,若集合人={4，4,…

且对任意的力wM,存在”,GA（l</<j<m）,使得匕=4勾+4%（其中乙乙金{一1,0,1}）,则称集合A

为集合M的一个〃?元基底.

（1）分别推断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；

①人二u⑸，M={123,4,5}；

@A={2,3},M={1,2,3,4,5,6}.

（2）若集合A是集合M的一个〃1元基底，证明：〃?（6+1）2"；

（3）若集合A为集合"={123,…19}的一个机元基底，求出力的最小可能值，并写出当加取最小值时M

的一个基底A.

2.（2025•北京海淀•高三人大附中校考开学考试）设机为正整数，集合

Aa{a\a=（e2，L,0M£{T*J=l,2,L,/〃}.任取集合A中的2〃+l（〃eN）个元素（可以重复）

%=（%，/2,…0m），«2=（%」以2,2,…，%，”），•••，=（。2，，+1」，%，+1.2，..・，％田，，3

仞%川）=（%）’2，，£”），其中X+*'++」（J=1,2,…,加）.

4/+%+...+4/[./

(1)若(—1,—1),4=(—1,1,1,—1),。3=(-1,一1,一1,1),4=(1』,一1,1),%=(—1,—1,—1,1),直接写出

知|4,403)，加(%，。2,%/，%)；

(2)对于a,P,/eA,证明：Ma,…,a,夕,…，夕,7=M(a,/7,/)；

、VJJ——J

\上个人个7

(3)对于某个正整数〃，若集合A满足:对于A中任意2〃+l个元素％%，…，%山，都有…，%,+JwA,

则称集合A具有性质产⑺.证明：若子eN',集合A具有性质P(为)，则V/2GN“，集合A都具有性质夕(〃).

题型二：函数与导数的新定义问题

龙莪》大题典例

(2025•陕西安康•高三校联考阶段练习)记函数/("的导函数为/(力，/'(X)的导函数为/"(x),设。是

“X)的定义域的子集，若在区间。上尸(x)«O,则称/1(")在D上是“凸函数”.已知函数〃x)=asinx-

(I)若小)在［(用上为“凸函数”，求〃的取值范围；

(2)若〃=2,推断g(x)=/(x)-l在区间(0,兀)上的零点个数.

茏塞》避选揖号.

函数新定义问题，命题新颖，经常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在学问点交叉，

会和导函数，数列等学问进行结合，很好的考虑了学问迁移，综合运用力量，对于此类问题，肯定要解读

出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为生疏的问题来遂行解决。

龙A夷型崎

1.(2025•上海浦东新•统考二模)设P是坐标平面入Qv上的一点，曲线「是函数y=/(x)的图象.若过点尸

恰能作曲线「的k条切线(无£N),则称尸是函数y=/(x)的“度点”.

(1)推断点0(。，。)与点A(2,0)是否为函数)，=lnx的1度点，不需要说明理由；

(2)已知0<,"<兀，g(x)=sinx.证明：点B(0㈤是尸g(x)(0<x<〃?)的0度点；

(3)求函数y=的全体2度点构成的集合.

2.(2025•广东茂名,统考一模)若函数/(X)在，肉上有定义，且对于任意不同的％,七句4句，都有

|/'«)-/(占)|<爪一回，则称"X)为句上的“&类函数

(1)若〃x)=5+x，推断/(£)是否为口，2］上的“3类函数1

(2)若/(x)=a(x-l)e=5TMi为［但上的“2类函数”，求实数。的取值范围；

(3)若/(x)为［L2］上的“2类函数“，且/⑴=/(2),证明：曲,A2al,2］,|/(%)-/(占)|<1.

题型三：复数与不等式的新定义问题

龙莪》大题典例

(2025・全国•高三校联考竞赛)设股是由复数组成的集合，对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆，

使得A的全部数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且。源中的数对应的点都在圆外，则称4是一个

M的“可分别子集”.

(1)推断｛123｝是否是3｝的“可分别子集”,并说明理由;

(2)设复数z满足0<Re(z)vl,0vIm(z)vl,其中Re(z),Im(z)分别表示z的实部和虚部.证明：｛z,刃是

｛l,iz,z,司的“可分别子集“当且仅当Izkl.

茏皿避魂揖号.

新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或商定•种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景,

要求考生在阅读理解的基础上，依据题目供应的信息，联系所学的学问和方法，实现信息的迁移，达到机

敏解题的目的：遇到新定义问题，应急躁读题，分析新定义的特点，弄清爽定义的性质，按新定义的要求,

“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

蔻龙》莫兴训级

1.(2025・湖南邵阳•高三邵阳市其次中学校考开学考试)设/(z)是一一个关于复数z的表达式，若

/(刀+川=%+卯(其中x，y,公，yeR”为虚数单位)，就称/将点P(x,y)'了对应”到点Q(x，y).例

如"z)=g将点(0,1)，了对应”到点(0,-1).

(1)若〃Z)=Z+1(Z£C)点爪1,1)7'对应”到点如点土下对应”到点。2(1/)，求点2、〃的坐标；

(2)设常数-FR,若直线/：)，=依+/,/(z)=z2(zeC),是否存在一个有序实数对(口),使得直线

/上的任意•点P(x,y)“对应”到点Q(x，y)后，点。仍在直线/上？若存在，试求出全部的有序实数对(左」)：

若不存在，请说明理由；

(3)设常数〃，bwR,集合。={z|zeC且Rez＞0^|]A={oM€C且网＜1},若/回=与叱满足：①对

于集合。中的任意一个元素Z,都有/(z)e4：②对于集合A中的任意一个元素。，都存在集合。中的元

素2使得勿=/(z).请写出满足条件的一个有序实数对(。/),并论证此时的〃z)满足条件.

2.(2025・全国•高三专题练习)已知由实数组成的数组(3卬知…1)满足下面两个条件:

①2七=。；②

1=1J=l

(1)当〃=2时，求/，%的值；

(2)当〃=3时，求证附+4+引41；

〃I

设％2生2/2…且a】＞q["522）,求证：内43（4-4,）.

题型四：三角函数的新定义问题

龙莪》大题典例

(2()25•高三课时练习)定义非零向量两=应力的“相伴函数”为f(x)=asinx+b8sx(xeR),向量

=而称为函数〃x)=asinx+Acosx的“相伴向量”(其中。为坐标原点).记平面内全部向量的“相伴

函数”构成的集合为s.

(1)已知点M3,b)满足。+足-5=0,求I丽的最小值;

⑵设〃(x)=cos卜+£|-2cos(x+a),其中aeR,求证：h(x)wS,并求力。)的“相伴向量”的模的取值范

围；

(3)已知(8工0)为圆C：(x-2)2+y2=l上一点，向量丽的“相伴函数”,3在x=/处取得最

大值.当点用在圆。卜运动时.求tan2%的取值范围.

蔻龙》莫兴训级

1.(2025上•上海浦东新•高三华师大二附中校考期中)记max{4%，…，玉}表示数组：z,冬,…匕中

的最大值.

(1)推断函数)，=maxk2,x-l},xtR的奇偶性，并说明理由；

(2)争辩函数丁二^^乂卜山尤工(^耳，xeR的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点(不需要证

明)；

(3)已知函数/(力，g(x)与都定义在实数集R上，且函数/("是单调递增函数，g(x)是周期函数,

人(工)是单调递减函数，求证：M(x)=max{〃x),g(.“M.r)}是单调递增函数的充要条件是：对任意xwR,

2.(2025•上海杨浦•高一夏旦附中校考期中)对于函数y=/(x),xwR,假如存在一组常数乙，G，…，般

(其中A为正整数，且0=八<..<")使得当人取任意值时，有/(x十/J十/("十4)十.••十/(4十4)二0则

称函数y=/W为级周天函数

3)推断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①/(x)=sinx：②£(x)=x+2；

(2)求证：当/=3〃+2(〃wZ)时，g(x)=cos(1)是“3级周天函数”;

(3)设函数/?(x)=a+Z>cos2x+ccos5x+dcos8x,其中〃，c,d是不全为0的实数且存在/〃wR,使得

h(m)=4a,证明:存在〃wR,使得M〃)<0.

题型五：平面对量的新定义问题

龙麓》大题典例

（2025•全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，对于函数/（x）=asinx+Z?cosx,称向量的'=（〃,/?）为函

数f。）的相伴特征向量，同时称函数/（A）为向量。府的相伴函数.

（1）若拼'=卜6|）为/?*）=〃?sin（x-高的相伴特征向量，求实数机的值；

（2）记向量溺=（1,@的相伴函数为小），求当/（'）=[且4-全方）时sinx的值；

⑶已知从一2,3）,仅2,6）,/心）为（1）中函数，。⑺=呜一21）‘请问在>'=。（幻的图象上是否存在一

点儿使得击丽，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

加演》逐式训级

1.（2025•全国•高三专题练习）对于向量X0=（%也,c0）,若即,%,C。三数互不相等，令向量

x川=（%],%<+]），其中4M=kf|,bM=|^-c],%=|G-q|,/'=。，1，2,3，….

（1）当X0=（5,2,l）时，试写出向量乂皿；

（2）证明：对于任意的iwN,向量Xj中的三个数q,4,q至多有一个为0；

（3）若%,4,c°eN,证明：存在正整数1,使得X,=X,+3.

2.（2025・湖南常德•高三临澧县第一中学校考阶段练习）对于给定的正整数小记集合

炉=同々=（0占，不，…，£），马€艮/=1，2,3「小｝,其中元素〃称为一个〃维向量.特殊地，0=（0,0,…,0）称

为零向量.设kwR,々=（即见，…，4）《*，£也,…也）eR",定义加法和数乘：鲂二（%，肛，…,他），

戊+万=(%+"生+8,….对一组向量a；，a；，…，4($eN+，s22),若存在一组不全为零的实数勺，

Q…,&,使得幅+4苕+…+2商="则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(1)对〃=3,推断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

®a=(l,U),£=(2,2,2)；

②4=(,1,1),4=(2,2,2),7=(5,1,4).

(2)已知a,6,7线性无关，准断S+九江+/是线性相关还是线性无关，并说明理由.

(3)已知加(m之2)个向量可，&....二线性相关，但其中任意〃L1个都线性无关，证明：

①假如存在等式上商+&司+•••+%,/=0(^-€R,/=1,2,3,...»m),则这些系数K，&2，…,。或者

全为零，或者全不为零；

②假如两个等式&吗+自4+…+勺。二=。，4%+4。；+…+J%.=。(eR,/.eR,/=1,2,3,…，/〃)同

时戊立，其中#0,则，=)=…=｝.

12m

题型六：数列的新定义问题

基丽......................

(2025•江苏南通・高三统考开学考试)设正整数”23,有穷数列｛叫满足4>0(i=L2「.,〃)，且

%+%+L+4“=〃，定义积值S=44••…%.

(1)若〃=3时，数列与数列的S的值分别为S，S”

122J1636J

①试比较号与邑的大小关系；

②若数列｛叫的S满足miH'SkScmax.Sj,请写出一个满足条件的｛《｝；

(2)若〃=4时，数列｛%,%,/，%｝存在"仁｛1，2,3,4｝,使得a,将内,勺分别调整为4=q+勺-1,可=1,

其它2个a"",./),令.数列｛4，6如《｝调整前后的积值分别为S,S',写出S,S'的大小关系并给出证

明；

(3)求S=qy••…4的最大值，并确定S取最大值时49,…4所满足的条件，并进行证明.

茏皿避魂揖号

数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

依据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但

是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学学问，所以说“新题”不肯定是“难题”，把握好三基，以不变

应力变才是制胜法宝.

1.（2025•江苏•校联考模拟猜测）在数列｛q｝中，若存在常数/，使得川=6〃必…凡+4〃£7）恒成立，

则称数列｛4｝为““⑺数列

（1）若c“=l+1,试推断数列｛《｝是否为“"⑺数列”，请说明理由；

⑵若数列｛4｝为“〃⑴数列”，且6=2,数列也｝为等比数列，且%;=6向+1喉4-，求数列也｝的

/=!

通项公式；

（3）若正项数列｛q｝为“”⑺数列"，且4>1,r>0,证明：1「％<凡-1.

2.（2025・安徽•高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一-般的情形：对于〃个正数

%，出，…4,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即之而生…?，当且仅当

n

…=％时，等号成立.若无穷正项数列也｝同时满足下列两共性质：①土3>0,%<〃；②｛q｝为

单调数列，则称数列｛q｝具有性质尸.

（1）若%=〃+，，求数列｛q｝口勺最小项；

1n

（2）若"=k?，记S〃=Z"，推断数列｛S,,｝是否具有性质产，并说明理由；

2-11=1

（3）若%=[+：）,求证：数列｛%｝具有性质人

题型七：立体几何的新定义问题

茏麓》大题典例

（2025・河南•高三校联考期末）三阶行列式是解决简单代数运算的算法，其运算法则如下:

1

qa2%jk

b2by=2c3+a263cl+a3ble?-a362cl-%4J_q&c?.若"x〃=不贝4称2x6为空诃向量3与5

Gc2Gx?HZ2

的叉乘，其中2"；+乂/+4/（玉,加4£口），«=A；z'+y2J+z2A-（x2,y2,z2GR）,{"，耳为单位正交基底.以

。为坐标原点、分别以7，j,工的方向为x轴、V轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B

是空间直角坐标系中异于。的不同两点

（1）①若A（l,2,l）,以0,-1,1）,求为x都；

②证明Ex丽+丽x西=0.

（2）记》03的面积为S.AOB，证明：SAAOR=^OAXOB\.

（3）证明：（画X丽了的几何意义表示以“04为底面、|5ix词为高的三棱锥体积的6倍.

1.（2025・重庆•校联考一模）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO,中底

面长轴4?=AA'=4,短轴长26,4,鸟为下底面椭圆的左右焦点，£为上底面椭圆的右焦点，A4'=4,P为

86'上的动点，E为ATT上的动点，MN为过点工的下底面的一条动弦（不与AB重合）.

（1）求证：当。为88’的中点时，片区〃平面刖

（2）若点。是下底面椭圆上的动点，Q'是点。在上底面的投影，且Q'JQE与下底面所成的角分别为a,/,

试求出tan（a+Q）的取值范围.

（3）求三棱锥的体枳的最大值.

2.（2025・全国•高三专题练习）很多次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年、建党百年天安门

广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈上纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄重……171金帆合唱团，

这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星灿烂！这是开

学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心憧憬之.图1就是金帆排练厅，大家都亲

切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图

3）,正六棱柱的侧棱。”交AA的延长线于点〃，经测量=且A8=10，Ag=8.（sinl2,a0.2）

图1

（1）写出三条正六棱台的结构特征.

（2）“六角楼”•楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽视墙壁厚度,

估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：v=：Ms'+网7+S））

（3）“小模糊”站在“六角楼”下，沉醉在歌声里.“大聪慧''走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.

学好数学方能更好的观赏音乐，匕如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数

S(.r)=sinx+；sin2.r(xeR),你看这多奇特!”

“小模糊”：”..…”友爱的同学们，快来帮“小模糊”求一下S（x）的最大值吧.

题型八：平面解析几何的新定义问题

茏塞＞大题典例

（2025•云南昆明・昆明一中校考模拟猜测）椭圆方程「：E+《=1S>/A0）,平面上有一点PG，%）.定义直

ao

线方程/：1+誓=1是椭圆「在点PC%，为）处的极线.已知椭圆方程C:《+f=1.

a~b~43

（1）若P（L兄）在椭圆C上，求椭圆C在点〃处的极线方程；

（2）若代飞,%）在椭圆C上，证明：椭圆C在点尸处的极线就是过点尸的切线；

（3）若过点2-4.0）分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X,Y,割线交椭圆。于M,N两点，

过点M,N分别作椭圆。的两条切线，且相交于点Q.证明：Q,X,丫三点共线.

蔻龙》莫兴训级

I.（2025•宁夏银川•统考模拟猜测）已知椭圆七:二十二=1（。>〃>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角

a'h'

三角形的三个顶点，且椭圆E过7（2,1）,直线/:），=4+〃?与椭圆后交于4、B.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线以、78的斜率分别为用，k-证明：勺+&=0；

（3）直线厂是过点下的椭圆石的切线，且与直线/交于点P,定义NP7B为椭圆石的弦切角，N7AB为弦

对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角NP78与弦7B对应的椭圆周角N刀W的关系，并证明你的论.

2.（2025,上海黄浦•高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆C:/+£=im>〃>0）上的两个点

4师），1）1（马,），2）满足竽+等=0,则称A,8为该椭圆的一个“共规点对”，记作[AA].已知椭圆。的一

个焦点坐标为£（-2夜,0）,且椭员IC过点A（3』）.

（1）求椭圆。的标准方程;

(2)求“共枕点对"A8]中点8所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ〃OA,(2)中的直线/与椭圆C交于两点稣鸟,且四点

的纵坐标大于0,设四点4,尸，火。在椭圆。上逆时针排列.证明：四边形4P4Q的面积小于86.

题型九：概率统计的新定义问题

(2025・河北•高三泊头市第一中学校联考阶段练习)信息端是信息论之父香农(S7“〃s〃)定义的一个重要

概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排解了冗余

后的平均信息量称为“信息端”，并给出了计算信息嫡的数学表达式：设随机变量X全部可能的取值为

,且?(X=i)=0>0(，=1,21.,〃),力凡=1,定义X的信息烯〃(X)=-力Blog?".

'7f=lr=i

(1)当〃=1时，计算”(X)；

(2)若p,=』(i=12…,〃)，推断并证明当〃增大时，"(X)的变化趋势；

n

(3)若〃=2〃?(〃7£N)随机变最y全部可能的取值为12…山，且?(y=j)=Pj+p2,n+“(/=i2…,M，

证明：H(X)>H(Y).

蔻卷》莫兴训级

1.(2025・辽宁•校联考一模)十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数

法的人，用二进制记数只需数字。和1,对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为

(11,2表示为(10)『3表示为(1),5表示为(I。町发觉若〃©N.可表示为二进制表达式…

则〃+4"T+…+/_]2+C”,其中q)=l,q=0或|(，=1,2,…k).

⑴记S(〃)=%+q+•••+%+q.,求证：S(8〃+3)=S(4〃+3)；

(2)记/(〃)为整数〃的二进制表达式中的0的个数，如"2)=1,Z(3)=0.

(i)求1(60)；

（ii）求之2/⑻（用数字作答）.

〃二1

2.（2025•江西南昌・南昌二中校联考模拟猜测）给定正整数N23,已知项数为〃？且无重复项的数对序列A：

（N、y）,（/,%），…，（/，后）满足如下三共性质：①七,£w{L2,…,N},且％H"1=1,2,…，孙②

匕+i=y（i=l，2/'〃z-l）;③（P，qj与（4，P）不同时在数对序列A中.

（1）当N=3,,〃=3时，写出全部满足再=1的数对序列A；

（2）当N=6时，证明：m<\3；

（3）当N为奇数时，记〃?的最大值为丁（N）,求T（N）.

题型十：高等数学背景下的新定义问题

龙薨》大题典例

（2025・河北•高三张北县第一中学校联考开学考试）设〃，。为非负整数，机为正整数，若〃和/，被机除得

的余数相同，贝IJ称。和b对模加同余，记为〃三〃（mod，〃）.

（1）求证:233+l=65（mod7）；

（2）若〃是素数，〃为不能被〃整除的正整数，则〃『三］（modp）,这个定理称之为费马小定理.应用费马

小定理解决下列问题：

①证明：对于任意整数X都有d_彳三0（mod546）；

②求方程f+丁-丁-1三O（mod35）的正整数解的个数.

蔻龙》要其训级

1.（2025•湖北襄阳•高三襄阳五中校考开学考试）“物不知数''是中国古代有名算题，原载于《孙子算经》卷

下其次十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”问题的意思

是，一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,那么这个数是多少？若一个数x被,〃除余「，我们可以

写作x三厂(modm).它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术(也称作“中

国剩余定理“)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序.中国

工三彳（mod）

x=r（modm.）

剩余定理：假设整数小，吗，…,以两两互质,则对任意的整数:小弓，…,〃方程组2

x三5（mod〃L,）

M

肯定有解,并且通解为x弘弧+…+*/，其中、为任意整数,M=/n]m2--mn,M,=—

右为整数，且满足M,4=l(mod〃?J.

(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第〃个满足条件的正整数；

(2)在不超过4200的正整数中，求全部满足条件的数的和.(提示：可以用首尾进行相加).

2.(2025・重庆•高三重庆八中校考开学考试)假如函数尸(力的导数Fr(x)=/(x),可记为尸(x)=]/(x)dt.若

八>0,则£/工处二r(〃)_"⑷表示曲线y=直线x=a,x=A以及x轴围成的，，曲边梯形”的面积.

(1)若/(%)=],公，且产(1)=1,求网力；

X

⑵己知°<a4,证明：acosa<[cosxdx<a,并解释其几何意义;

(3)证明:〃eN*.

茏麓》姮模拟.

1.(2025・湖南长沙•长沙一中校联考模拟猜测)已知集合4={4，〃2M3……其中〃eN且

〃23,4<生<。3<……<4,若对任意的都有以一引之^,则称集合A具有性质M.

K,

（1）集合A=｛l,2,a｝具有性质求〃的最小值；

（2）已知A具有性质MI5，求证：----;

a\an।。

（3）已知A具有性质AZ.求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.

2.（2025•北京朝阳•高三统考期末）已知｛，“｝是各项均为正整数的无穷递增数列，对于AcN,定义集合

4=｛iGN・|qY〃｝,设“为集合々中的元素个数，若叫=0时，规定"=0.

（1）若勺=2”,写出4也也及九的值；

（2）若数列｛"｝是等差数列，求数列｛《J的通项公式：

（3）设集合S=｛s|s=〃+%,〃cN'｝,7=｛”i=〃+",〃eN'｝,求证：S5=N♦且ScT=0.

3.（2025・山东•高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列｛4｝中，令7；=4%L勺，若v〃eN.,方仪q｝,

则称｛q｝对前〃项之积是封闭的.

（I）试推断：任意一个无穷等差数列｛q｝对前〃项之积是否是封闭的？

（2）设｛为｝是无穷等比数列，其首项q=2,公比为q.若对前〃项之积是封闭的，求出4的两个值;

（3）证明：对任意的无穷等比数列应｝，总存在两个无穷数列也｝和£｝,使得q="£（〃eN）其中低｝

和｛%｝对前〃项之积都是封闭的.

4.（2025•全国•校联考模拟猜测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式

伯努利不等式（BernoulTslnequahty）,又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等

式，由瑞士数学家雅各布・伯努利提出：对实数在〃41,”）时，有不等式（1+力”并+,“成立；

在时，有不等式（1+x）"41+/比成立.

（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；

（2）当时，对伯努利不等式进行证明：

(3)考虑对多个变量的不等式问题.已知4M”…,4(〃£1<)是大于_1的实数(全部同号)，证明

(144)(1+%).一(1+%)21+4+叼+.••+«,

5.(2025・全国•高三专题练习)约数，又称因数.它的定义如下：若整数。除以整数〃？(〃件。)除得的商正好

是整数而没有余数，我们就称〃为〃，的倍数，称小为〃的约数.设正整数。共有攵个正约数，即为

4，出，…，％(4〈阻V…<4)

(1)当攵=4时，若正整数。的k个正约数构成等比数列，请写出一个。的值；

(2)当2之4时,若生一勺生一生,…,《一%构成等比数列，求正整数。；

(3)记4=4生+…+，求证：A<cr.

6.(2025•江苏•徐州市第一中学校联考模拟猜测)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有

应用.设A,B,C,。是直线,上互异且非无穷远的四点"则称真・矍(分式中各项均为有网线段长度,

例如4?=一射)为A,B,C,。四点的交比，记为(A8;C,O).

⑴证明：i.'d百方

⑵若…2,4,。为平面上过定点P且互异的四条直线，右，乙为不过点尸且互异的两条直线，。与人

4,，3，L的交点分别为A，用，c，D\,—a，4的交点分别为&，B「c2t4,证明：

(A,"；C］,Q］)=(A2,4；C2,02)；

(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若AEPG与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一

点，则△ER7与△£「”0对应边的交点在一条直线上.

7.(2025・全国•高三专题练习)已知<=皿曾是定义在5,4］上的函数,假如存在常数M>0,对区间［P©〕

的任意划分：p=x0<X］<A;2<...<Vi<-r„=<7(//GN,/Z>3),£山(七)一机(工1)tM恒成立，则称函数

1=1

y=6(r)为区间［〃国］上的“有界变差函数”;

(1)试推断函数/0)=sinx-co"是否为区间［。用上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；若不

是，说明理由；

(2)若y=g(x)与y=Mx)均为区间［P闯］上的“有界变差函数”，证明:尸⑶=g(x)+h(x)是区间［p,g］上的“有

界变差函数”：

xcoS2Lo<v<I

(3)证明：函数>(x)=2x'"不是［OJ上的“有界变差函数”.

0,r=0

8.(2025•重庆•校联考一模)如图1,已知4—3,0),,£>(3,0),E(l,-l),F(-l,-l).

图1图2

⑴求将六边形A4CQM绕x轴旋转半周(等同于四边形48CZ)绕x轴旋转一周)所围成的几何体的体积；

(2)将平面/W/绕断旋转到平面AT/,使得平面平面。EC,求异面直线A'户与C。所成的角；

(3)某“UbO”可以近似看成，将图1中的线段8C、所改成同一圆周上的一段圆弧，如图2,将其绕了轴

旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.

9.(2025•安徽合肥•统考一模)“4-数”在量子代数争辩中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意〃eN,

定义，，q—数，，(〃L=l+q+…+/T利用，，“一数，，可定义”4一阶乘，，(〃/=⑴q(2)g…且(0儿=1.和“夕一组合

“二(〃儿

数”，即对任意

⑴计算：

Z\/!\/

n(n-\k(n

(2)证明：对于任意一+

，〃+〃?+1](n'nt

（3）证明：对于任意太mwN/cNX+iq?,

、E厂I",1=0

发涵如真题.

1.（2018・北京・高考真题）设〃为正整数，集合A={a|a=（/］J2,…,4）/«G{0，1},2=1,2,…,〃}.对于集合4

中的任意元素。=（小々，…，天）和夕=（凶，必，…，”），记

M〔a,B）=g［（芭+）；卡_刈+（占+必一卜2一%|）+-+（与+&一上一以|）］.

（I）当〃=3时，若。=（1/,0）,尸=（0,1,1）,求M（%a）和M（a,〃）的值；

（II）当〃=4时，设3是A的子集，且满足：对于8中的任意元素a.4，当a,4相同时，M（a，B）是奇

数;当6/不同时，M（a，B）是偶数.求集合8中元素个数的最大值：

（HI）给定不小于2的〃，设8是A的子集，且满足：对于8中的任意两个不同的元素a,4