2026年人教版中考数学一轮复习《圆的相关证明与计算》学案（含答案）

类型一与切线相关的证明与计算

例(2024・龙岩模拟)如图,在锐角NMON内部取一点A,过点A分别作AB_LOM1•点B.作

AC1ON于点C,以AB为直径作OP,CA的延长线与OP交于点D,连接BD.

(1)求证:NMON+NABD=90°.

(2)若OB=BD,点D在OP的延长线上，求证:ON是OP的切线.

⑶当tanZMON=l时，连接OA,若CP1OA于点F,求三的值.

至对训练

1.如图,AB是。O的直径,P是弦AC上一动点(不与点A,C重合)，过点P作PEJ_AB,垂足为E射线

EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.

⑴求证:DC=DP.

(2)若NCAB=3()o,AB=4,F是弧AC的中点，求CP的长.

I针班III练

2.如图，在△ABC中.AB二AC,以AB为直径的OO分别交AC.BC于点D,E,点F在AC的延长线上,

且BF是。O的切线.

⑴求证:NBAC=2/CBF.

(2)若OO的半径为5,sinNCBF=|,求CD的长.

类型二园的综合探究

(2024•福建)如图，在AABC中,NBAC=9(r,AB=AC,以AB为直径的。O交BC于

点D,AE_LOC.垂足为E,BE的延长线交部于点F.

⑴求器的值.

AE

(2)求证:△AEB^ABEC.

(3)求证:AD与EF互相平分.

।针对训练

3.(原创)己知△ABC内接于OO,D是公的中点，连接AD,CD,BD,AD与BC交于点P.

(1)如图1,若/DBC=28o,NACB=74。,求/APB和/ABC的度数.

(2)如图2,当AB为。。的直径时，过点D的切线与AB的延长线交于点E,若CD〃AB,求/BDE

的度数.

针对训练

4.已知四边形ABCD内接于。O,AC_LBD,垂足为E,CF_LAB,垂足为F,交BD于点G,连接AG.

DD

A

C

图1

⑴求证:CG=CD.

⑵如图1,若AG=4,BC=10,求的半径

(3)如图2,连接DF,交AC于点H,若NABD=302CH=6,试判断*总是不是定值.若是，求出该定值;

若不是，说明理由.

,针对训练

5.如图,AB是OO的直径,CD为OO上不同于A.B的两点，并旦点C,D位于直径AB的两

侧,CA=CD.

图2

⑴如图1,连接BD,求证:NABD=2NBDC.

(2)如图2,AB,CD交于点E,过点E作EF1DB于点F,延长FE交AC于点M,求证:CE=CM.

(3)在(2)的条件下，若tan/CDB=1,EB=5,求线段CE的长.

针对训练

6.【问题呈现】阿基米德折弦定理:阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年,占希腊）是有

史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图LAB和BC是。O的两条

弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC>AB,M是忒的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折

弦ABC的中点，即CD=DB-BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.

图2

•・・M是赧的中点,JMA=MC.

XVZA=ZC,BA=GC,

••・△MABg△MCG,：・MB=MG.

又•••MD_LBC,.'.BD=DG,

••・AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.

【理解运用】如图1,AB、BC是OO的两条弦,AB=4,BC=6.M是流的中点.MD_LBC于点D,则

BD的长为.

【针对训练探究】如图3,若点M是部的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB与

BA之间存在怎样的数量关系,并加以证明.

图3

［实践应用］如图4,BC是OO的直径,A为圆上一定点,D为圆上一动点，且满足NDAC=45。,若

AB=6,0O的半径为5,则AD的长为.

图4

参考答案

例1解析:(1)证明:'.・AB是OP的直径，

・・・NADB=90。,即AD1BD.

VCD1ON,

•・・BD〃ON,

AZMON=ZMBD.

VAB1OM,

.\ZABD+ZMBD=90°,

.\ZMON+ZABD=90°.

(2)证明:如图1,连接OD,则点P在OD上，过点P作PE1ON于点E.

VOB=BD,

/.Z1=Z2,

AZMBD-Z1+Z2-2Z1.

由(I)可知NMON二NMBD=2N1,

，OP平分NMON.

VPE1ON,PB1OM,

・・・PE=PB,

・•・ON是OP的切线.

(3)解法一:如图2,过点P作PH±AD丁点H,过点B作BR±ON丁点R,

则AH=DH.ZPHC=ZCRB=90°.

设AH=x.AC=y.

由(1)得NOCD=ZCDB=90°,

ZCOB=ZBAD,

••・四边形CDBR是矩形.

ABR=CD=

2x+y.

V(anZMON=l,

.,.tanZPAH=L

JPH=x,BD=CR=2x.OR=BR=2x+y.

•・・CP_LOA于点F,

ZCFO=ZPHC=90°,

AZ3+Z5=90°.

VAC1OC,

:.N4+/5=90。，

/.Z3=Z4,

AAOCA^ACHP,

.•.更二2£,即

PHCH'xx+y'

，y=2x,

・•.OA=VOC24-CA2=7(6X)24-(2x)2=2^x,

CP=VCH2+PH2=7(3X)2-I-x2=VT0x,

.一广OCCA6x-2x3V10

•・CF=------=,—=-----x,

OA2同x5'

解法二:丁ZACO=ZAFC=90",

cosNCAO专华,・•・AC2=AFAO.

ACAO

*/ZABO=ZAFP=90°,

AFAR

cos/BAO喘嗡,・•・APAB=AFAO,

AAC2=APAB.

VAB=2AP.AC2=2AP2.，AC=V2AP.

如图3,过点P作PH1AD于点H.

图3

设PA=r,AC=V2r,

VtanZMON=l,.*.ZMON=45°.

由(1)可知NBAD=45。,在RtAAPH中,AH=PH=4r,

/.CH=AC+AH=^V2r,PC=VPH2+CH2=x^5r.

VACAF^ACPH,

.CFCA.CF_>/2r,CF=：回

,CHJ

PF=CP-CF=V5r-^V5r=1V5r,

・PF_部r_2

・消•一手

针对训练1.解析：

⑴证明:如图，连接OC.

VDC切O0于点C,・・・半径OCJ_DC・・・ZDCP+ZACO=90°.

VPEIAB,

/.ZOAC+ZAPE=90°.

*/ZDPC=ZAPE,.\ZOAC+ZDPC=90A.

VOA=OC,AZOAC=ZOCA,

ZDCP=ZDPC,ACD=PD.

(2)如图，连接OF,CF.

*/ZCAB=30°,AZBOC=2ZCAB=60°,

.,.ZAOC=120o.

•；F是废的中点,・•・ZFOC=ZFOA=60°.

•JOF=OC,，AOFC是等边三角形,JFC=OC=2.

ZAPE=90°-ZBAC=60c,AZDPC=ZAPE=60°.

VDP=DC,AADPC是等边三角形.

,/NCFO=NAOF=6()°,；・CF〃BE.

VBE1DE,ACF1DP.

VsinZCPF=^=^,FC=2,；•PC=#.

IL/*5

针对训练2.解析：

⑴证明:如图，连接AE.

VAB为OO的直径,，NAEB=90。,，/BAE+NABE=90>.

VAB=AC,.\ZBAE=ZCAE=|zBAC.

•・・BF是OO的切线,・・・NCBF+/ABE=90°,

，ZCBF=ZBAE=|ZBAC,AZBAC=2ZCBF.

(2)如图，连接BD.

*/AB=AC=2OB=10,sinNCBF4

o

・•・sinZBAE、,BE=4,Z.BC=2BE=8.

设CD=x，则AD=10-x.

VAB是OO的直径,，ZADB=90°,AZBDC=90°,

J82-x2=l0<(lO・x)z,解得X=Y，ACD4.

例2解析:(1)TAB=AC,且AB是。O的直径，

AAC=2AO,

•・•ZBAC=90°,

在RtAAOC中,tan/AOC晚=2.

VAE±OC.

在RSAOE中,tanNAOO^,

.OE_1

••康f

(2)证明:如图1.过点B作BM〃AE,交EO延长线于点M,

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=9()°.

VAO=BO,

/.△AOE^ABOM(AAS).

・・・AE=BM,OE=OM.

..OE_1

*AE-2*

ABM=20E=EM,

AZMEB=ZMBE=45°,

NAEB-ZAEO+NMEB-135。，

ZBEC=180°-ZMEB=135。，

/.ZAEB=ZBEC.

VAB=AC,ZBAC=90°,

/.ZABC=45°,

AZABM=ZCBE,

AZBAE=ZCBE5

.'.△AEB^ABEC.

⑶证明:如图2,连接DE,DF.

c

图2

VAB是OO的直径,

/.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.,.BC=2BD,ZDAB=45°.

由(2)知,△AEB^ABEC,

普嘿嗡嗡，NEAOMEBD,

AAAOE^ABDE,

.,.ZBED=ZAEO=90°,

/.ZDEF=90°,

，NAFBnNDEF,

，AF〃DE,

由⑵知,NAEB=135。,

/.ZAEF=180°-ZAEB=45°.

VZDFB=ZDAB=45°,

Z.ZDFB=ZAEF,

，AE〃FD,

・•・四边形AEDF是平行四边形,

AAD与EF互相平分.

针对训练3.解析:⑴•・•ZDBC=28°,/.ZCAD=28°,

/.ZAPB=ZCAD+ZACB=28°+74°=102°.

•；D是优的中点，，%二的，

AZDAB=ZCBD=28°.

在^ABP4,,ZDAB=28°,ZAPB=102°,

ZABC=1800-ZDAB-ZAPB=50°.

.,.ZAPB=102°,ZABC=50o,

⑵如图，连接OD.

VCD^AB,

AZDCB=ZABC.

YD是前的中点，

.*.CD=BD,.*.ZDCB=ZDBC=ZDAB.

VAB为OO的直径,，NADB=90。，

，ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,AZDAO=30°.

•・・》£为。0的切线,・・・0口_1口已

AZBDE+ZODB=90°.

•••ZADO+ZODB=90°,AZBDE=ZADO.

VOD=OA,.\ZADO=ZDAO,

AZBDE=ZDAO=30°.

针对训练4.解析:⑴证明:如图I.

D

图1

VAC±BD,CF1AB,

/.ZAEB=ZAFC=90°,

・••Z2+ZBAC=90A,Z1+ZBAC=90°,

AZ1=Z2.

VZ1=Z3,

AZ2=Z3.

*/ZDEC=ZGEC=90°,

JZ3+ZCDE=90°,Z2+ZCGE=90°,

.".ZCDE=ZCGE,

/.CG=CD.

(2)如图2,连接CO并延长交OO于点Q,连接BQ,

D

图2

由(1)知,CG=CD,N2=N3,

・・・AC是DG的中垂线，

/.AG=AD.

VAC1BD,

/.ZCED=90°,

/.ZCDE+ZECD=90°.

YCQ为OO的直径，

ZCBQ=90°,

AZCQB+ZQCB=90°.

VZCQB=ZCDB.

/.ZQCB=Z3,

・・・BQ=AD.

ABQ=AD=AG=4.

在RtACQB中，根据勾股定理得CQ=V424-102=2729,

・・・OO的半径为期.

⑶亲+2的值是定值.

如图3,过点H作HM〃CD交CF于点M,

图3

/.ZCHM=Z3.

由(1)知,N2=N3,

AZCHM=Z2,

ACM=HM.

VHM//CD,

/.△FMH^AFCD,

.FM_HM_CM

,*CF-CD-CD

..FMCMCF,

・一+—=—=1,

CFCFCF

.CMCM,

i।i=i

CDCFCM

过点M作MN1CH于点N,则CN=1CH=3.

在RtACMN中,COSN2=M=2.

LMGM

VZABD=30°,

.\Z1=Z2=Z3=3O°,

ACM=—^-=2V3,

cos300

针对训练5.解析:⑴证明:如图I,连接OCQD.

图I

在4OCA和4OCD中，

0C=0C,

CA=CD,

0A=0D,

/.△OCA^AOCD(SSS),

:.ZACO=ZDCO.

VOA=OC.

.\ZA=ZACO.

VZA=ZCDB.

/.ZCDB=ZOCD,

，OC〃DB,

AZABD=ZBOC.

VZB0C=2ZBDC,

.\ZABD=2ZBDC.

(2)证明:如图2,连接AD.

图2

VMF1BD,

ZMFB=90°.

「AB是OO的直径,

ZADB=90°,

・・・NEFB=NADB,

，MF〃AD,

・•・ZCME=ZCAD,ZCEM=ZCDA.

VCA=CD,

AZCAD=ZCDA,

AZCME=ZCEM,

..CM=CE.

(3)如图3,连接AD,BC,CO,延长CO交AD于点H,

图3

由(1)知,/ACO;NDCO.

VCA=CD,

.,.CH±AD,AH=DH.

VZCDB=ZCAO=ZACH,

tanZCDB=tanZCAO=

tanZACH=1,SBC=2a,则AC=4a.AB=2V5a,AH=^a.CH=^