二次根式（章节复习）（知识+20个题型讲练+中考题演练+难度分层练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题19.3二次根式（章节复习）

（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）

【解析版】

♦目录导航

知识荟萃.................................................................................2

知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质..............................................2

知识点梳理02：二次根式的运算........................................................4

题型讲练.................................................................................5

题型1：二次根式的识别...............................................................5

题型2：求二次根式的值...............................................................5

题型3：求二次根式中的参数...........................................................7

题型4：二次根式有意义的条件.........................................................8

题型5：利用二次根式的性质化简.......................................................8

题型6：二次根式的乘法...............................................................9

题型7：二次根式的除法..............................................................10

题型8：二次根式的乘除混合运算......................................................11

题型9：最简二次根式的判断..........................................................13

题型10：化为最简二次根式...........................................................14

题型11：已知最简二次根式求参数.....................................................15

题型12：同类二次杈式...............................................................16

题型13：二次根式的加减运算.........................................................16

题型14：二次根式的混合运算.........................................................17

题型15：分母有理化.................................................................19

题型16：已知字母的值，化简求值.....................................................21

题型17：已知条件式，化简求值.......................................................22

题型18：比较二次杈式的大小.........................................................23

题型19：二次根式的应用.............................................................24

题型20：复合二次杈式的化简.........................................................25

中考真题...............................................................................28

分层训练...............................................................................31

基础夯实............................................................................31

培优拔高............................................................................33

♦知识替萃

知识点梳理01:二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如后3NQ）的式子叫做二次根式，如应•"等式子，都叫做二次根

式.

【易错点拨】

二次根式皿有意义的条件是三可，即只有被开方数匹©时，式子皿才是二次根

式，京才有意义.

2.二次根式的性质

(1)>0(a>0)；

(2)(疝)=(2((2>0);

a(a>0)

(3)=\a\=<

-a(a<0)

【易错点拨】

（1）一个非负数回可以写成它的算术平方根的平方的形式，即L=（砂（隆必

2=(0))；=

如（辰°卜.

（2）近中囱的取值范围可以是任意实数，即不论回取何值，回一定有意义.

（3）化筒0时，先将它化成回，再根据绝对值的意义来进行化简.

(4)忑(画,

的异同

不同点：近中国可以取任何实数，而

4^=H].（[a?』）.

相同点：被开方数都是非负数，当回取非负数时，团揽丫

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能升方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如应，疯，34.、/?+必等都是

最简二次根式.

【易错点拨】

最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指

数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根

式.

【易错点拨】

判断是否是同类二次根宜，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再

判断,如应与困，由于圆函，典与曲显然是同类二次根式..

知识点梳理02：二次根式的运算

1.乘除法

(1)乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法及x，？=出1320,6A0)一

-Jab=>/ax^(a>0,i>0)

商的算术平方根化简公式:

二次根式的除法20Q。）

（。20,八0）

【易错点拨】

(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，

如4/C石

(2)被开方数a、b一定是非负数(在分母上时只能为正数).如

J(-4)X(-9)BQXQ

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数

不变，即合并同类二次根式.

【易错点拨】

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，

最后合并同类二次根式.如|。+城-5点=(1+37)企=一□

♦题型拼练

题型1:二次根式的识别

【典例精讲】（23-24八年级下•贵州遵义•月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A..V=T2o„•VZ4Lxr•0n•Vl4

【答案】B

【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，形如°）的式子叫作二次根式，熟练掌握

二次根式成立的条件是解答本题的关键.根据二次根式的定义分析即可.

【规范解答】解：A.目）的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意：

B.5是二次根式，故符合题意；

C.v的根指数是3,不是二次根式，故不符合题意；

D.旧的根指数是3,不是二次根式，故不符合题意.

故选：B.

【变式训练】（24-25八年级下-广西南宁-期中）下列根式是二次根式的是（）

V2\V32-2

A.B.C.D.

【答案】C

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如低9‘°）的式子，叫二次根式，

逐一判断得到答案即可；

【规范解答】解：首先排除B和D,而、,的根指数是3,故选项A错误，

故选：C.

题型2：求二次根式的值

【典例精讲】（2024八年级下-全国・专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间〉与下落

的高度'血满足关系式4犬

⑴用含/,g的式子表示‘；

⑵当"=4%9=9%,求t的值

【答案】⑴丫9；

⑵"

【思路点拨】（1）根据算术平方根把公式变形即可；

（2）把'=49。，9=9-8代入即可求解：

本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键.

【规范解答】（1）解:

•・•99

产出

（2）解：当/=49。9=9.8时，

卜后=符=】。

••

【变式训练】（24-25八年级下•山东德州•开学考试）当”二-6时，‘6・3"的值是

【答案】2a

x=-6-J6—3x

【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握

二次根式的性质是解题的关键.

【规范解答】解：・・产=-6,

.46^3X=76-3x（-6）=V24=2>/6

2V?

故答案为:

题型3：求二次根式中的参数

【典例精讲】（24-25八年级下-江苏扬州・期末）若场是一个整数，则正整数力的最小

值是.

【答案】3

【思路点拨】本题考杳二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的

3w

关键.得出是一个平方数，进而求解即可.

【规范解答】解：•・•厮是一个整数，

3m

，是一个平方数，

，初的最小值是3.

故答案为：3.

【变式训练】（24-25八年级下•河南许昌•期末）若师是整数，则正整数〃的最小值是

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【思路点拨】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.要使师

为整数，需满足初是完全平方数，由师=2件即可确定〃的最小值.

24=4x6

【规范解答】解：：，

.V24=2在

••，

.V24?i=2、笳

••9

二师是整数，且〃是整数，

则6篦是完全平方数，

・•・〃的最小值为：6.

故选：D.

题型4：二次根式有意义的条件

■Jx—2

【典例精讲】（2025-浙江杭州・二模）若代数式、.有意义，则x的取值范围

是.

【答案】"之2

【思路点拨】此题考杳了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数丰负，

进行计算即可，解题的关健是列出不等式并正确求解.

r-2>0

【规范解答】由题意得，一，

解得:"之土

故答案为"NA

【变式训练】（24-25八年级下-黑龙江牡丹江-期末）要使式子73r有意义，则”的取值范

围是______

【答案】且

【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义

的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可.

v,x+3

【规范解答】解：•・•式子=有意义，

俨+3>0

,卜一1工0

••9

故答案为产-3且"I.

题型5：利用二次根式的性质化简

【典例精讲】（23-24八年级下-四川内江・月考）实数如〃在数轴上的位置如图所示，化

简|九一m|一而的结果为（）

,<,__________।斗.

-I01

n—2m—n—2mn—n

A.B.C.D.

【答案】D

【思路点拨】本题考查化海绝对值问题，先根据加、〃在数轴上的位置判断出勿、〃的符号,

再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可.

n<0m>0

【规范解答】解：•・・由图可知，，，

.|n-m|-vm2

••

=m-n-m

=­n

故选：D.

【变式训练】（24-25八年级下•广东江门•月考）］（一>2=

【答案】s

【思路点拨】本题考查了二次根式的化简.直接化简二次根式即可.

【规范解答】解：斤芬=5.

故答案为：三

题型6：二次根式的乘法

y/6Xy/7-5

【典例精讲】（24-25八年级下•四川南充•期末）估算"Y的值在（）之间.

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】A

【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算得、'I2一5,估算出

6<V42<7再进一步计算出结果即可.

【规范解答】解：后、"-5=房-5,

•:36<42<49

6<V42<7

・••1<V42-5<2

9

的值在i和2之间，

故选：A.

【变式训练】（23-24八年级下•山西吕梁•期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一

名成员希帕索斯发现了无理数,2导致了第•次数学危机.人们发现两个无理数的和.积，

6-2A/5

商不一定是无理数.已知一个无理数与的商是有理数.这个数可以是.

【答案】17-24A/5（答案不唯一）

6-2>/5

【思路点拨】本题考查二次根式的运算，令商的值取一个有理数，与的乘积即为所

求.

【规范解答】解：当这个无理数与6-2、‘亏的商是2时，

这个数为：2*6-百）=12-4次

12—4北

故答案为：（答案不唯一）

题型7：二次根式的除法

【典例精讲】（23-24八年级下-山东-期末）下列等式成立的是（）

.V2+^=V5RVIS=2V3G•近=后

x/6-rV3=V2

Lx・

【答案】D

【思路点拨】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根

式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、

乘除及化简规则逐一分析选项.

【规范解答】解：选项A：'眨和、'弓不是同类二次根式，不能直接相加，不

符合题意；

诬不口vl8=v/93?2=3V2«8工2H（曲人明•菩

选项B：,,不符合题意；

啡口，4=-2x3=\后V2-V3*V5才舛人的音

选项C：，,不符合题总；

选项D：n,小际成符合题意;

故选：I）.

【变式训练】（23-24八年级下•河南濮阳•期中）g+"2二

【答案】3

【思路点拨】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可.

【规范解答】解：厮互=而二=炳=3

故答案为：3.

题型8：二次根式的乘除混合运算

ABCDX4=/T=00°

【典例精讲】（24-25八年级下•四川泸州•期中）如图，四边形中，"一’

4DC=135°4/?=1fl40=6一,ARCD,,,

,，,则四边形的面积为

【答案】46

【思路点拨】本题主要考瓷了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理,利用割补法求面积,

二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则.

AD.BCE£1ABE△CDE

延长交于点，判定出与为等腰直角三角形，得出相等的边，假设

rn=CE=xx

■一，利用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出的值，最后利用割补法

求四边形的面积即可.

AD.BCE

【规范解答】解：如图，延长交于点，

AB

NA=々CD=90。

△45E,ACDE

与为直角三角形,

・.4OC=135°

*NCDE=180°-^ADC=45°

△ABE△CDE

与为等腰直角三角形,

CD=CEAB=AE

CD=CE

假设

DE=v'CD:+CE2=岳

则根据勾股定理得

AD+DE=AB

♦*

即6+缶=10

解得x=2"

AB

ABCD\MF-icE.CD=ixlOxlO-lx2折x2&=46

・•・四边形的面积为2

故答案为：46.

【变式训练】（24-25八年级下-上海宝山・期末）计算:UM-粥

2n

【答案】V

【思路点拨】本题主要考在了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式

s<-s),根据二次根式的除法法则进行计算即可.

【规范解答］解二白代楞

嚼“焉

^12(4Vx\

v112x4a

2y/xxV^lS

2g

V18

题型9：最简二次根式的判断

【典例精讲】（23-24八年级下-贵州黔东南-期末）下列式子中，属于最简二次根式的是

（）

A.博D闻V15D,百

【答案】0

【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式，解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的

性质；二次根式的最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子.

【规范解答】解：A."2=门6x2=4衣,不是最简二次根式，故错误;

闻=V4x10=2U715

B.V'不是最简二次根式，故错误;

8被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误:

C.

D."被开方数3是质数，无平方因子，故正确;

故选：D.

【变式训练】（23-24八年级下-山东•期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（

Vb24-ab2V6a2y/Sx质

A.I)••I).

【答案】C

【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式，不含分母，进行判断即可.

【规范解答】解：A、=IWHK,可化简，不是最简二次根式；

B、标=\a\yfi可化简，不是最简二次根式；

C、0,5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式；

D、炳=/*2y=入②可化简，不是最简二次根式.

故选：C.

题型10:化为最简二次根式

【典例精讲】（24-25八年级下-广西南宁・期末）下列是最简二次根式的是（）

V12Ji7i百

八.B・▼C.D.

【答案】D

【思路点拨】本题考查二次根式的化简，最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开

方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次

根式，

据此逐一分析判断，即可解答.

【规范解答】解：A.旧=2、与，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意；

B.丫三一才，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意：

2_2、3

C.即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

D.”是最简二次根式，故该选项符合题意.

故选D.

【变式训练】（24-25八年级下•四川自贡•月考）化简旧的结果是.

【答案】3x1

【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可.

本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键.

V27=\i9V3=<5xvl=3

【规范解答】解：、、x、.

口依e3H

故答案2为tL：

题型11：已知最简二次限式求参数

【典例精讲】（24-25八年级下-安徽安庆・期中）如果最简二次根式标口与。是同类二

a—

次根式，则.

【答案】3

【思路点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方

数相同的二次根式称为同类二次根式.根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列

出方程求解即可.

【规范解答】解：•••最简二次根式、与'是同类二次根式，

a-1=2a=3

,解得，

故答案为：3.

【变式训练】（23-24八年级下哈国•单元测试）若匹是最简二次根式，则自然数'=

【答案】0或1

【思路点拨】本题考查了最简二次根式.熟练掌握最简二次根式是解题的关键.

由v是最简二次根式，可得，由〃是自然数，作答即可.

【规范解答】解：•・•匹是最简二次根式，

n<2

••9

又•・•〃是自然数，

n=0

故答案为：0或1.

题型12：同类二次根式

【典例精讲】（23-24八年级下-福建泉州-期末）最简二次根式匹‘与卢二百是同类二

力用t而产+3y=

次根式，则_____.

【答案】2

【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次艰式的定义解答即可.熟知般地，

把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做

同类二次根式是解题的关迹.

【规范解答】解：•・•最简二次根式"与、3-3y是同类二次根式，

3+x=5-3y

,x+3y=2

解得，.

故答案为：.

【变式训练】（24-25八年级下-吉林长春-期末）最简二次根式0T^与斤可是同类二

次根式，则”+3'一.

【答案】3

【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式

后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.根据

2+%=5-3y

同类二次根式的定义进行列式，再解答即可.

【规范解答】解：:最简二次根式0T'与斤币是同类二次根式，

2+x=5-3y

9

解得x+3y=5-2=3

故答案为：3.

题型13：二次根式的加减运算

【典例精讲】（24-25八年级下-四川泸州-期中）下列运算正确的是（)

£一炳=显加子百=2

A.B.

J(2_V5)-=2-V5

718-78=^

c.D.

【答案】c

【思路点拨】本题考查了二次根式的运算和二次根式的性质化简，解题关键是掌握上述法则

与性质.

先根据二次根式的运算法则及二次根式的性质化简，对四个式子分别作出计算，再作出判断.

【规范解答】解：A："口与v不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；

B：君=贝，故本选项不符合题意；

C：同-网=3&-故本选项符合题意；

D：的=|2-巧=逐-2,故本选项不符合题意.

故选：C.

【变式训练】（23-24八年级下­费州黔东南-期末）计算：

..V4-V8+I-V5I

（20+6）―2（a一⑹

【答案】⑴月

（2）373

【思路点拨】本题考杳了二次根式的运算、绝对值的性质以及去括号合并同类项的法则，熟

练运用相关运算规则是解答本题的关键.

（1）依次进行算术平方根、立方根、绝对值的运算，再进行实数的加减运算；

（2）先去括号，再合并同类二次根式.

【规范解答】⑴解：原式=2-2+\后=

3、皿,卜=2&+百-2、2+26=3、行

（2）解：原式.

题型14：二次根式的混合运算

【典例精讲】（24-25八年级下-广西河池・期末）计算:

⑴所

⑵（百+2）2-（V3-2）（73+2）

【答案】（1）0

⑵8+46

【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）先算乘法，再算加减即可；

（2）先根据乘法公式，再算加减.

【规范解答】（1）”

=V18-V18

=0

9*

/2/

(9)(\3+2)-(V3-2)(V13+2)

=3+4v3+4—(3—4)

=3+4v13+4-(-1)

=3+4V3+4+1

=8+4、3

（VI5-3/1+V48）H-2V3

【变式训练】（23-24八年级下-吉林・期末）计算：\）

s

【答案】2

【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，再合并同类二

次根式，最后计算除法，即可求解.

(V12-3|j+V48)4-273

【规范解答】解：'储)

=(2百-73+4百)+26

=575・2百

_一5

2

题型15：分母有理化

x+3x-1+1

【典例精讲】(2024•湖南长沙•模拟预测)先化简，再求值：二…】不其中

x=l+V2024

1瓯

【答案】二砧

【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化.根据分式的乘法法则、加法法则把

原式化简，把的值代入计算即可.

x+3I+1

【规范解答】解：

x+3%-1

(x-1)2x(x+3)x

1

1

x(x-1)x(x-1)

X

=x(x-l)

x—1

1Zv'SOS巡伏

当31+、谢时，原式l+v2024-l-vf2024—2024—1012

【变式训练】（24-25八年级下•贵州遵义•期中）阅读材料并解决问题:

1__V3-V2_V3W2r?_/=

巡+京（彩+向（依用帚词’像上述解题过程中，百十我与逐一喝乘

的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.

请仿照上面的方法，解决下列问题：

（D&+1的有理化因式是&+1

⑸沙管岛+募+…+?5^）乂（原+1）

LT舁：

2-1v'2-1

【答案】⑴v

（2）49

【思路点拨】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和

计算是解题的关键.

（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；

（2）根据平方差公式，类比例子解答即可.

【规范解答】⑴解：（/+1）（°-D=2T=1

所以企+1的有理化囚式是企T

1

v,2+l

=（V2+1）（V2-1）

V2-1

=--------5--------

gT

=41-1

・

故答案为：Wv'2-\1Vv'』2-\1

,）v=（\泛一VT+-\吃+•••+v^O-V49）X（、雨+1）

=(v5O-l)x(v5O+l)

=50-1

=49

题型16：巳知字母的值，化简求值

【典例精讲】(23-24八年级下•陕西西安•月考)已知+)'=、月一迎，求

…、孙的值.

【答案】"

【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算.先求出再代值即可求

出.

【规范解答】解：•.公冉+&,丫=6-6

.x+y=+&+V5-&=2、月xy=(、5+\12)(vG-、⑵=1

••，，

2

(x+y)2+xy=(2v3y+1=12+1=13

••♦

1

【变式训练】(2024八年级下•湖南长沙•竞赛)已知『那么好+2”-3的值

是.

【答案】-2

【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，先把'土行分母有理化，然后利用完全平方

(X+1)2—4X

公式将所求代数式变形为，最后代入计算即可，正确将进行分母有理化是解题

的关键.

1

=和

【规范解答】解：:x、，

••，

22

%2+2%-3=(x+1)2-4=(v^-1+1)—4=(、％--4=2-4=-2

-2

故答案为:

题型17：已知条件式，化简求值

【典例精讲】（23-24八年级下•山东-期末）计算：

⑴（国子收）+75-VIK+V24

（2）先化简，再求值：（"佝（"佝一吟"1）,其中。=&一1.

2a+2在

【答案】（1）

-a2+a-53a-9

【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正

确的计算，是解题的关键：

（1）根据混合运算的法则进行计算即可：

（2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可.

V'40V5+VS-导15+2遥

【规范解答】（1）解：原式一

=2v12+v'S—+2v石=242+2

=a2-5-2a2+a=-a2+a-5

（2）原式

当°=a-1时,

2

=-1\l2-1）+V2-1-5

原式

=一（2-2立+1）+&-1-5

=-3+2V2+V2-l-5=3V2-9

a+-=V10a--

【变式训练】（24-25八年级F-全国・单元测试）已知。，求a的值.

+V?

【答案】

【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式

变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案.

a+-=VI6

【规范解答】解：•・•°,

(a+£)=a2+2+^-=10

••，

「2+5=8

••・

(a-=/-2+±=8-2=6

■

a--=±v'6

•••a♦

+V?

故答案为一.

题型18：比较二次根式的大小

【典例精讲】（24-25八年级下•四川南充•期末）为了比较旧与遥+3的大小，可以构造

/%皿_&•，-3生廿।口=90°45=1,BC=2,BD=5v/26

如图所系的图形进行推算，其中,.通过计算可r得/A

\医+3><=

.（填“”或“”或“”）

【答案】<

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾

股定理可求出'。='⑸4。=«26,由线段的和差关系可得"根据"+CD>A。即

可得到答案.

【规范解答】解：在中，由勾股定理得4c2+8C2=鸣

Rt△月BD/w…4』="2+52=每

在中，由勾股定理得

△4C。AC-¥CD>ADCD=BD-BC=3

在中，由三角形三边的关系可得

.V5+3>V26

<

故答案为:

【变式训练】(24-25八年级下-江苏南京・月考)比较大小：EI+&(填“>”、

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方府大小

来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

_22

（V10）=10（1+、区）=1+5+2v5=64-275

【规范解答】解:

2V5=V20

16<20<25

•••，

/

.vl6<v^20<>/25（1II4<2v5<5

.10<6+2\巧<11

>•9

.vT6<1+忑

故答案为：.

题型19：二次根式的应用

6\,r3cm

【典例精讲】(24-25八年级下-黑龙江牡丹江-月考)如图所示，有一张边长为v的

正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是

面积相等的小正方形，此小正方形的边长为8cm请解答下列问题：

(1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积;

(2)求长方体盒子的体积；

(3)求长方体盒子的侧面积.

【答案】⑴96cm2

⑵4873cm3

⑶48cm2

【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、长方体的面积与体积计算，熟练掌握正方形、长

方体的相关公式及二次根式运算法则是解答本题的关键.

(1)利用正方形面积公式求出原纸板面积，结合剪掉的小正方形面积，计算剩余纸板的面

积；

(2)先确定长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式，结合二次根式乘法法则计算体

积；

(3)分析长方体侧面的形状与尺寸，利用长方形面积公式计算单个侧面面积，进而求出总

侧而积.

【规范解答】(1)解：制作长方体盒子的纸板的面积为：

22

(6、存)-4x(v,r3)=108—12=96(01?)

(6>/3-2v'l)2x百=4百x4月xV3=48v/3(cm3)

(2)解：长方体盒子的体积为：.

⑶解：长方体盒子的侧面积为：(^-273)x73x4=48(^)

【变式训练】(23-24八年级下•陕西西安•月考)如果一个长方形的长为.m,宽为Em,

求长方形的面积.

【答案】12&cm2

【思路点拨】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形的面积公式列出算式，再根据二次

根式的性质il算可得.

『忸产屹位］碇rz.-fc.flZtyT7E7ttHL.V24x712=2x/6x2V3=4715=4x3V2=12我(cm?)

【规氾解答】解：长方形的面积为.

题型20：复合二次根式的化简

【典例精讲】(24-25八年级下•湖南岳阳・开学考试)化简：

J4-V10+2V5+/4+J10+2汽

【答案】、写+1

【思路点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关

键.

设,4-"0+2云+/+=t将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和

二次根式的性质化筒即可得出结论.

-《10+2+J4++2、店—ttN0

【规范解答】解：设《7，由二次根式的非负性可得一

t2=4-710+2V5+4+，10+2百+2：（4-〃0+2石）（4+710+2^5）

=8+2J16-（10+2>/5]

=8+2V%-2怎

j(V5-l)2

=8+2

=8+2(V5-1)

=6+2、丐

=(代+1/

・•・t=v'5+1

9

【变式训练】（2025•福建宁德•二模）定义：若二次根式0+2"可以表式成（'标+而）的

形式（其中，是整数），则称“+2"为完整根式，标+近是0+2”的完整平

5+2乃=（b+后）-5+2V6百+我5+2VS

方根.例如：因为，所以V是一个完整根式，VW是V

的完整平方根.

（1）判断：花+6是否是完整根式8+2后的完整平方根，并说明理由；

（2）若完整根式Q+2"的完整平方根是标+近，请用含相，舞的代数式分别表示“

⑶若a+2”是完整根式，证明：「一团一定是完全平方数.

【答案】⑴巫+、存是计28的完整平方根，奸恶计息

a=m+/b=mn

（2）,

（3）见解析

【思路点拨】本题考查完整根式，完整平方根的理解；

（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答：

【规范解答】（1）解：⑴、'怎.<3是8+2质的完整平方根，

理由如下：

2

（百+V3）=5+2^15+3=8+2^15.

8+2\,f15=(\弓+、目)~

即

石+区8+2任

足的完整平方根.

•・・0+2”的完整平方根是师+、吊

(2)

2

a+2=（、；而+、吊厂

.a+2v/b=m+7i+2y/inn

••♦

abm九*一一

•・•，，，都是整数，

a=m+力b=mn

•♦,•

（3）・・・。+2”是完整根式,

a+2历=（\标+、阮）“mn

・••不妨设，其中，都是整数.

a=m+力b=mr\

由（2）得,9・

.a*12-4h=(m+n)2-4mn=(m-n)2

”，”都是整数,

.(m-n)2

为完全平方数.

4b

一定是完全平方数.

♦中育真霆

x2p

1.（2024•湖南长沙•中考真题）化去式子小根号内的分母，结果为（）

Ax晒B一际c一厂药D国内

【答案】D

【思路点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，壬确化简二次根式是解题关键.

直接利用二次根式的性质化简得出答案.

x2口=x2•旦=\x\y/xy

【规范解答】解；立⑶

故选:D.

2.（2024-江苏南京•中考真题）若代数式而的F+VS—2023）-的值为3,则

的取值范围是（）

a>2023a<2020a=2020a=2023

A.B.C.或

2020May2023

D.

【答案】D

a<20202020<a<2023a>2023

【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，分，,

三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可.

a<2020

【规范解答】解：当时,

…卜=2020—。+2023—。=4043-2a>3

原式

当2020£”2023时

.=a-2020+2023-a=3

原式，

a>2023、

当时,

...,=a-2020+a-2023=2a-4043>3

原式x.

故选：D.

3.（2024•甘肃甘南•中考真题）观察下列等式，并解答下列问题.

等式］.J1X2X3~2等式2.^2x3x4-3-jl等式3.^3x4x5_

请写出等式6：

(6x7x8~75

【答案】

【思路点拨】本题主要考在了数字变化的规律，能根据所给等式得出第〃个等式可表示为

而）

为正整数是解题的关键.根据所给等式，观察各部分

的变化，发现规律即可解决问题.

【规范解答】解：由题知，

因为91x2x334=层晨幕...

所以第〃个等式可表示为：、“①+”"+2’7」+l』T为正整数）.

,n=6

当时，

等式6为：J6X7X8-7

j6x7x8=7\6

故答案为:

VH+旧x回二

4.（2024•全国-中考真四）计算:

(3>/l2-4>/27)4-2^3=

【答案】

【思