山东省德州市庆云县2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题【含答案】

山东省德州市庆云县2025.2026学年第一学期期末考试

八年级数学试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1.卜.列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（）

A.爱我C.中D华

2.下列运算正确的是（）

A.B.2a+3b=Gib

C.(-2//打=_8/b9D.[-a+b)(a+h)=a2-b

3.一副标准直角三角板（分别含30。、60。角与45。、45。角），如图所示叠放，则图中

C.75°D.85。

记正方形纸片的边长为4,现在进行以下操作:

（1）从正方形纸片中剪去一个边长为人的小正方形，如图1,再沿线段48把纸片剪开.

（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形.从上述活动中，你可以得到的代数结论是

()

A.a1—h~=(tz+—/>)B./+〃=(Q+/))(a叫

C.(a+b)~=a2+2ab+b2D.(a=a2-2ab+b2

试卷第1页，共6页

5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形力4C。是一个筝形，AD=AB,

CD=CB,下列说法：①△力8cgZUOC；②NADB=£CDB；（3）DO=BO：④

S四边形XBCD=a'c,BD.其中正确的是（）

A.①④B.①②③C.①③④D.①②③④

6-已知是方程之一为=的解'那么实数，〃的值为（

3)

A.-2B.2C.-4D.4

7.如图，等边△/4C,点。，E,产分别在边/C,AB,4c上，且DFJ.AC,将

沿直线翻折，恰使点力与点尸重合，下列结论中错误的是（）

A.FC=2CDB.AF=2DEC.EFIBCD.CF=BF+AE

8.如图，大正方形与小正方形的面积之差是48,则阴影部分的面积是（）

C.24D.30

9.如图，在Rt△48c中，ZJC5=90°,JC=6,5C=8,48=10,力。是NB力C的平分线.若

产,。分别是力。和4C上的动点，则尸。+尸。的最小值是（）

试卷第2页，共6页

c

C.4D.5

10.如图，AABC、ACDE都是等腰三角形，且C4=CB,CD=CE,4CB=^DCE=a4D、BE

相交于点。，点M、N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①4。=8£;②匕。03=180。

一出③△CA/N是等边三角形；④连OC,则OC平分乙1OE正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.写出使分式丁二有意义的'的一个值___.

2x-3

12.因式分解2x2y-4xy2+2y3=.

13.如图，△力8c中，BCD=30°,zfJCT=80°,CO是边力4上的高，力上是/。8的平

分线，则乙4£?的度数是,

14.在ZUBC中，乙4=8。。，点。在射线川？上，AD=ACf连接。力，NBCD=10,则

ZABC=度.

15.如图，在。中，/48C=90。，过点C作。。_L/C,^CD=AC,连接8。,

5△86=8,则AC的长为—.

试卷第3页，共6页

A

D

三、解答题(本大题共8小题，共90分)

16.计算：

⑴先化简+学然后在7,0,L2中选一个你认为合适的x的值，代入求值;

Vx-1)x"-x

17.如图，已知AB=CD,点E,产在线段3。上，且//=CE.

请从①BF=DE；②/BAF=/DCE；③力尸=。尸中.五择一个合适的选项作为已知条件,

使得△48"g△COE.

你添加的条件是：(只填写一个序号).

添加条件后，请证明力&|6.

18.如图所示，三个顶点的坐标分别为力(1,1)、4(4,2)、C(3,0).

(1)作关于x轴的对称图形△44G；

2

(2)在X轴上存在点P,使得邑86=ySj8c的面积，求出点P的坐标.

19.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔£按照设计要求，发射塔与两个城

镇48的距离相等，到两条高速公路〃和〃，的距离也相等.发射塔E应修建在什么位置？

在图上标出发射塔£•的位置.(保留作图痕迹，不写作法)

试卷第4页，共6页

n

m

20.如图，在等边△48C中，AD=BE,BD、相交于点尸.

(2)过点“作BG_LCE,垂足为G.若。产=1,FG=3,求CE的长.

21.9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携

载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域.某咬的一个数学兴趣小组看到新闻后,

产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同

学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个

梯形组成，已知K7板(阴影部分)的尺寸如图2所示.

图1图2

(1)用含。、力的代数式表示图2的Kr板模型的总面积(结果需化简)；

25

(2)若。+b=7,ab=—t求KT板总面积.

22.下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题.

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20

元，用2000元购进甲种商品和用120()元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件

试卷第5页，共6页

的进价各是多少元?

方法分析问题列出方程

设……2000_1200

解法一

等量关系：甲商品数量=乙商品数量xx-20

设……20001200”

解法二—^―-----20

等量关系：甲商品进价一乙商品进价=20；X

(1)解法一所列方程中的X表示—(填序号)，解法二所列方程中的X表示一(填序号)；

①甲种商品每件进价X元；②乙种商品每件进价X元；③甲种商品购进x件.

(2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程.

23.已知：平面直角坐标系中，点力在歹轴的正半轴上，点〃在第二象限，AO=AB,BO

与“轴正方向的夹角为150。.

(2)如图1,若BC上BO,4C=80,点。为CO的中点，AC.DB交于E,求证：

AE=BE+CE；

(3)如图2,若点£为)，轴的正半轴上一动点，以8E为边作等边延长G4交x轴于点

P,问：力尸与48之间有何数量关系，试证明你的结论.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断.

【详解】

解：不能看作轴对称图形，故A不符合；

毛£不能看作轴对称图形，故B不符合；

I-1-1能看作轴对称图形，故c符合；

华不能看作轴对称图形，故D不符合，

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了整式的运算，包括豪的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式.根

据同底数鼎乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，枳的乘方，平方差公式逐一计算各选项

的正确性即可.

【详解】A.二不，故选项A计算错误，不合题意；

B.2a与的是不同类项，无法合并为6",故选项B计算错误，不合题意；

C.2)3•(/"/)'=-8血)9,选项运算正确，符合题意；

2222

D.(-a+b)(a+b)=(b-a)(b+a)=b-a^a-bt故选项D计算错误，不合题意；

故选C.

3.C

【分析】本题考查三角形外角，掌握相关知识是解决问题的关键.由三角形外角可知

Na=Nl+N2=30。+45°=75°.

【详解】解：Z«=Zl+Z2=300+45°=75°,

故选：C.

答案第1页，共18页

a

4.A

【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果.

【详解】解：图1的面积为：af,

图2的面积为：(a+b)(a-b),

•••两个图形面积相等，

：.a2-b1=(a+h)(a-6),故A正确.

故选：A.

5.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△MCWAWC即可判断①；

根据力。与CQ不一定相等即可判断②：证明△彳。Oga18O(SAS),得出。0=80,

/力。力=/408即可判断③；求出力。工4Q，结合4cS&ABC=\-ACOB,

4乙

S叫边吻BCD=S△球+S^CD，即可判断④;熟练掌握全等三用形的判定与性质是解此题的关键.

【详解】解：在△力8C和△/4C中，

AB=AD

，BC=DC,

AC=AC

.-.△JBC^A^DC(SSS),故①正确；

,••力。与C。不一定相等，

无法证明乙4。6=NCDB,故②错误；

vAABC@4ADC,

ZBAO=ZDAO,

在△4。。和△480中，

AD=AB

NDAO=NBAO,

AO=AO

答案第2页，共18页

.•.△/。。gA/14O(SAS),

••.DO=BO,ZAOD=ZAOB,故③正确;

•.•4。。+404=180°,

.•.400=404=90。，

:.AC1BD,

.-.SAcn=-2ACA/Oio一D,2SACOB,

V

S四边形48CO=S&ABC+S△"£.，

••』边形2=卜。°8+:4。0。=卜。（08+。。）二为。8。,故④正确；

222z

综上所述，正确的有①③④，

故选：C.

6.B

【分析】将x=l代入方程，即可求解.

【详解】解：将.31代入方程，得白-丁1=3

2—11—2

解得：〃?=2

故选：B.

【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将工=1代入原方程中得到关于机的方程.

7.B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾

股定理；根据等边三角形的性质与折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质得出

FC=2CD,EF1BC,连接力尸，交OK于点G,得出△//）尸是等腰直角三角形，得出

AF=2DG〈2DE,即可判断C,设CO=Q,则EC=2CO=2q,分别求得引^力后的长，即

可判断D选项.

【详解】解：•••等边△"C,

/BAC=/C=NB=60°

•:DFJ.AC,

:"DFC=30°

；.FC=2CD,故A正确:

连接交DE于点、G,

答案第3页，共18页

B

将/力沿直线。E翻折，恰使点1与点厂重合，

•••AD=DF,AG=GF,

△4。尸是等腰直角三角形，

：.AF=2AG=2DG〈2DE,故B错误，符合题意；

•••将/力沿直线OE翻折，恰使点力与点尸重合

•••NEFD=NBAC=60。

又•••NDFC=30°

ZEFC=ZEFD+ZDFC=90°,即石/_Z8C,故C正确，

设CC=4,则^7=200=2”，

•**AD=DF-y/3ci

AB=BC=AC=AD+DC=+^a,

：.BF=BC-FC=16+1"2a=（百-，a

又・：EFIBC,NB=60。

：./BEF=3V,

：.BE=2BF={2>5-2^a

.•.力£=44-8七二（6+1）°—（26一2卜/二（3—6）4

:.BF+AE=（3-6）〃+（73-1）〃=2a

：.CF=BF+AE,故D正确，

故选：B.

8.C

【分析】本题主要考查正方形的面枳，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影

部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键.根据题意，设大正方形的边长

为叫小正方形的边长为方，可得一48，从图示可知阴影部分的面积-S“EC+SJM，

答案第4页，共18页

由此即可求解.

【详解】解：设大正方形的边长为。，小正方形的边长为

:•AB=BC=a,BE=BD=b,

•••大正方形与小正方形的面积之差是48,

.•.”一/=48,

根据图示可得，AE=a-h,

•••S△的《福・叱=；(。叫。，S2ED=；4E・BD=g("b)・b,

・•・阴影部分的面积=S.应+S、刈

=g(a卜a+g(ci-“动

=+6)

="一62)

=-x48

2

=24,

故选：C.

9.B

【分析】由题意可以把Q关于4)对称到的O点，如此「右+尸。的最小俏问题即变为。

与线段彳8上某一点。的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解.

【详解】解：如图，作。关于力。的对称点。，则PQ=P。，连接产。，过点。作S/_LAB

于点〃，所以。、P、C三点共线时，CO=PC+P0=PC+PQ,此时PC+P。有可能取

得最小值，

・••当CO垂直于力4即CO移到CM位置时，CO的长度最小，

・•.PC+PQ的最小值即为CM的长度，

•・•S,.JABXCM=LACXCB,

22

6xX

CM=备=4.8,即PC+PQ的最小值为4.8.

故选:B.

答案第5页，共18页

c

【点睛】本题考直了轴对称最短路径问胭，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转

化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键.

10.B

【分析】①根据全等三角形的判定定理得到AACD三Z\BCE(SAS),由全等三角形的性质得

至l」AD=BE：故①正确：

②设CD与BE交于F,根据全等三角形的性质得到乙NDC=4BEC,得至lj乙DOE=4DCE=a,

根据半角的定义得到430口=180。-乙口(g=180。《,故②止确：

③根据全等三角形的性质得到乙CAD="?BE,AD=BE,AC=BC根据线段的中点的定义得到

AM=BN,根据全等三角形的性质得至l」CM=CN,zACM=zBCN,得至此MCN=a,推出aMNC

不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C作CG1BE于G,CH1AD于H,根据全等三角形的性质得到CH=CG,根据角平分

线的判定定理即可得到OC平分4AOE,故④正确.

【详解】解：①•.•CA=CB,CD=CE,zACB=zDCE=a,

.-.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

.-.ZACD=ZBCE,

ffiAACD^ABCE中

AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

.-.△ACD^ABCE(SAS),

.,.AD=BE；故①正确；

②设CD与BE交于F,

•••△ACDKBCE,

.-.ZADC=ZBEC,

VZCHE=ZDFO,

答案第6页，共18页

.,.z.DOE=z.DCE=a»

.--zBOD=l80°-zDOE=l80°-a,故②正确；

(3)vAACD^ABCE,

.-.ZCAD=ZCBE,AD=BE,AC=BC

乂•・•点M、N分别是线段AD、BE的中点，

,•AM=jAD,BN=yBE,

.-.AM=BN,

在AACM和ABCN中

AC=BC

<NCAM=NCBN

AM=BN

.-.△ACM^ABCN(SAS).

.*.CM=CN,ZACM=ZBCN,

XzACB=a»

•zACM+/MCB=a,

•••△BCN+4MCB=a,

•zMCN=a,

.•.△MNC不一定是等边三处形，故③不符合题意;

④过C作CG1BE于G,CHLXD于H,

.-.zCHD=zECG=90°,-.zCEG=zCDH,CE=CD,

.-.△CGE^ACHD(AAS),

•••CH=CG,

•••OC平分NAOE,故④正确，

故选：B.

答案第7页，共18页

【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性

质和判定等知以点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定

的代表性.

11.1(不唯一)

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题

的关键.

先根据分式有意义的确定X的取值范围，然后确定X的可能取的值即可.

【详解】解：•.•分式不二有意义，

2x-3

3

•••2x-3wO,解得：—.

2

••.x的取值可以为x=l.

故答案为：1(不唯一).

12.2y(x-y)2

【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式打，再利

用完全平方公式进行因式分解.

【详解】解：2x2y-4xy2^-2y3

=2y^x2-2xy+y2)

=2y(x-y)2

故答案为：2y(x-y)2

13.100°##l()0度

【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出/%。。=50。，

结合高的定义，得ND4C=40。，因为角平分线的定义得/。"=20。，运用三角形的外角性

质，即可作答.

【详解】解：•••/BCD=30°,ZACB=80°,

.-.ZJCZ)=50o,

•••CO是边力3上的高，

.­*ZJ£)C=90°,

NDAC=40°,

答案第8页，共18页

••・4E是/。4的平分线，

.•.ZCJE=-ZZ)JC=20o,

2

:.NAEB=ZCAE+^ACB=200+80°=100°.

故答案为：100°.

14.40或60

【分析】题目主要考查等E要三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求

解是解题关键.

根据题意分两种情况，当点。在射线48上时，当点。在线段上时，作出图形，然后根

据等腰三角形的性质得出乙4。。=/力。。=50。，再由三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：当点。在射线力8上时，如图所示：

•:AD=AC,4=80°,

："ACD=ZADC=50°,

•••点。在射线48上，且在点8之外，

：.NACD=NACB+/BCD,口口50。=/4C3+10°,

.•.408=40°,

:.ZABC=\80°-80°-40°=60°:

当点。在线段力B上时，如图所示：

-：AD=AC,ZA=80°,

:"ACD=ZADC=50°,

•・•点。在线段48上，且在点8之内，

:.NACB=Z.ACD+NBCD=60°,

:./ABC=180°-80°-60°=40°；

答案第9页，共18页

B

故答案为：40或60.

15.4

【分析】过点。作。Ml8C交8c的延长线于点证明△力BC咨△CMQ(AAS),根据三角

形的面积公式，开平方解答即可.

本题考查了互余的性质，平角定义，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式，平方根,

熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：过点。作。MJ.8C交8。的延长线于点V,

vCDUC,Z/15C=90°,DM1BC,

.•.48C=NCWQ=90。，N/1CB+NQCM=90。，

•:/BAC+/ACB=90°,

ABAC=ZMCD,

NABC=NCMD

•.­•ZBAC=ZMCD,

AC=CD

.-.△J5C^ACMD（AAS）,

ABC=DM,

'：S4BCD=8,

：.-BCDM=-BC2=S,

22

.•.BC=4,BC=-4（舍去）,

答案第10页，共18页

故答案为:4.

,x2

16.（I）——

x+13

（2）原方程的解为x=g.

【分析】本题考查了分式的化简求值、解分式方程.熟练掌握运算顺序和法则，分式有意义

条件，是解本题的关键.

（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约

分得到最简结果，根据分式有意义的条件把x=2代入计算即可求出值.

（2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，检验即可.

（Y\Y4-1

【详解】（1）解：1一一；一

Vx-lJx*-%

X-1-xx（x-1）

=---------------.

x-1x+\

A

二-77T

---X2-X工0,X+1H0,

二.X工l,x工0,x工-1,

.•.当尤=2时，

原式=_二2=_]2.

2+13

3-2=2（x-l）,

3-2=2x-2,

解得：x=]3,

检验：当x=|■时，2x-2w0,

•••原方程的解为x=^

17.①（或②）

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三

角形的判定定理与性质并灵活运用.利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件

进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可.

【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），

答案第11页，共18页

证明：当选取①时，

在&ABF与KDE中,

AB=CD

AF=CE,

BF=DE

，△力B尸且ACQE(SSS),

/.N8=N。，

•;BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

BE=DF,

在与△CQ/?中，

AB=CD

NB=4D,

BE=DF

:.AABEqACDRSAS),

AAEB=NCFD,

AE//CF；

证明：当选取②时，

在△力8尸与ACOE中，

AB=CD

<NBAF=NDCE,

AF=CE

AABFgACDE(SAS),

..4=/。，BF=DE,

BF十EF=DE+EF,

...BE=DF,

在"BE与ACDE中,

AB=CD

<N8=NO,

BE=DF

出△CQ厂(SAS),

答案第12页，共18页

/.NAEB=NCFD,

/.AE//CF；

故答案为：①(或②)

18.(1)见详解

(2)(2,。)或(4,0)

【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形面积等知识

(1)根据△力4C三个顶点的坐标分别为力(1,1)、8(4,2)、。(3,0)可以得到关于轴的对称图

形的三个顶点坐标为4(1,-1),4(4,-2),C,(3,0),再顺次连接即可;

s2

(2)先求出2业、\,设点P坐标为(砧0),则PC=|x-3],根据列方程得

lx|w-3|x2=|xj,即可求出机=2或〃?=4,问题得解.

【详解】(1)解：如图，△同用G记为所求作的三角形；

(2)解：由题意得5"灰、=2'3—!xlx2—」xlx2—」X1X3=2,

设点P坐标为(见0),则PC=|x-3|,

•.s

•*BCP-6c

—x\m-3|x2=—x—.

21152

.,.|w-3|=1,

二m=2或〃?=4,

・•・点/的坐标为(2,0)或(4,0).

19.见解析

【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作垂直平分线.

答案第13页，共18页

分别作48的垂直平分线，N。的角平分线，交点处即为发射塔E的位置.

【详解】解：发射塔E的位置如图所示.

20.(1)见解析

(2)7

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟

练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)利用等边三角形的性质可得/C=C8=/18,N4=N8CQ=60°,由9)=可得出

CD=AE,最后利用全等三角形SAS判定定理即可讦明ACAE/LBCD：

(2)利用全等三角形的性质可得N4CE=NC8。，CE=BD,利用三角形的外角的性质得

出/8在=60。，利用含30。角直角三角形的性质可得4「=2/G=6,最后利用线段的和差

关系即可求出CE的长.

【详解】(1)证明：•••等边△48C,

：.AC=CB=AB,N4=/8C'O=60。，

•••AD=BE,

:.AC-AD=AB-BEt即S=

在KAE和A.BCD中，

AC=CB

-ZJ=/BCD,

AE=CD

.•.△C4E知BCD(SAS).

(2)解：由(1)得，ACAE必BCD,

AACE=ZCBD,CE=BD,

.・.ZACE+/BCE=ZCBD+ZBCE,

/.NRCD=Z.BFE,

:.NBFE=60。,

•••BG1CE,

答案第14页，共18页

NBGF=90°,

NGBF=90°-NBFE=30°,

BF=2FG=2x3=6,

:.CE=BD=BF+DF=6+1=7,

.•.CE的长为7.

21.(1)3〃+3/

(2)72

【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题

的关键.

(1)根据KT板模型的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+卜.面梯形的面积,

列式计算即可得解；

(2)先利用完全平方公式得出a?+〃2=(。十与J2仍=24,再代入(1)中所求的式子即可

得解.

【详解】(1)解：由图可得：

KT板模型的总面积为：3b/+++6a-26)/

=—ab+3b2+3/--ab

22

=3b2i3a2；

25

(2)解：•.•〃+6=7,«/?=—,

：.a2+b2=(a+/))2-2t//?=72-2xy=49-25=24,

・•・KT板模型的总面积为3h2+3/=3(/+/)=3x24=72.

22.⑴①，③

(2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

(1)根据所列方程和题意即可得到答案；

(2)解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价(x-20)元，根据用2000元

购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，建立方程求解即可；解法二，设甲种

商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种

答案第15页，共18页

商品每件的进价多20元建立方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元,

解法二中x表示甲种商品购进x件，

故答案为：①，③；

(2)解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价(X-20)元,

20001200

由题意得,

x