人教版高考数学一轮复习 第7课时 变量间的相关关系（课时作业）

第7课时变量间的相关关系、统计案例

考纲1.变量间的相关关系.

索引2.统计案例.

1.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方

课标

程.

要求

2.了解独立性检验（只要求2X2列联表）的基本总想、方法及其简单应用.

【知识梳理】

1.相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系,我们将

它称为；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称

为.

2.线性相关

从散点图上看•，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有

线性相关关系,这条直线叫.

3.回归方程

（1）最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的最小的方法叫最小二乘法.

（2）回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据：

（Xi）,（l2，出）「•，（］”，/），其回归方程为歹=加+。,

”X（xi-x）（yi-y）Xxiyi-nxy，

-------=——......—

则-S（x,-X）2SJTLnx2

i=1i=1

4—-—

4.样本相关系数

2（乃一］）（,一y）

J斗工斗y

⑴当rX）时,表明两个变量________;

⑵当r<0时,表明两个变量________;

（3）1•的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性；T的绝对值越接近于0,表明两

个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当"/为.75时，认为两个变量有很强的线性相关

关系.

5.线性回归模型

⑴产"也气中，a"称为模型的未知参数；e称为随机误差.

(2)相关指数

i—W

S(y—y)?

用相关指数〃来刻画回归的效果，其计算公式是:川刁-Hl，〃的值越大，说明残

差平方和越小，也就是说模型的拟合效果.在线性回归模型中，R表示解释变量对预

报变量变化的贡献率,川越接近于I,表示回归效果越好.

6.独立性检验

(1)用变量的不同“值”表不个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，

宗教信仰,国籍等.

(2)列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.

(3)一般地,假设有两个分类变量X和K它们的值域分别为和，其样本频数列联表(称为2X2

列联表)为：

2X2列联表

息计

X\aba+b

Xzcdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

K2________-be)2________________

(a+b)(a+c)(c+cl)Cb+d)(其中〃二且也也打为样本容量)，可利用独立性

检验判断表来判断“X与F的关系”.这种利用随机变量片'来确定在多大程度上可以认为“两

个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

基础自测

1.下面哪些变量是相关关系().

A.出租车车费与行驶的里程

B.房屋面积与房屋价格

C.身而与体重

D.铁块的大小与质量

2.某商品销售量y（件）与销售价格双元/（牛）负相关,则其回归方程可能是（）.

A.1=-21+100B.a=21+100

C.&=一2]—100D.5=2彳-100

3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数〃如下，其中

拟合效果最好的模型是（）.

A.模型1的相关指数"为（）.98B.模型2的相关指数〃为（）.80

C.模型3的相关指数〃为0.50D.模型4的相关指数〃为0.25

4.在一项打鼾与患心脏病的调查中，其调查了1671人，经过计算片的观测值人27.63,根据

这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是的.（填“有关”“无关”）

5.人的身高与手的扎长存在相关关系,且满足&=0・303X-31.364”,为身高,产为

扎长,单位:cm）,则当扎长为24.8cm时,身高约为.

指点迷津

♦两种关系

函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机

变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.

♦常用的三个标准

当*23.841时，则有95%的把握说事件A与6有关;当*26.635时，则有99%的把握说事件

A与8有关；当/W2.706时,则认为事件A与B无关.

考点透析

考向一线性相关关系的判断

例1（2014•湖州联考）为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科

成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线"近似的刻

画其相关关系,根据图形，以下结论最有可能成立的是（）.

）,（英语成绩）

x（语文成物

A.线性相关关系较强，/并勺值为1.25

B.线性相关关系较强，。的值为0.83

C.线性相关关系较强,6的值为87

D.线性相关关系太弱，无研究价值

【审题视点】本题主要考查散点图，线性相关关系.

变式训练

1.（2013•镇江联考）如图所示,有5组5,力数据,去掉组数据后,剩下的4组数据

具有较强的线性相关关系.

y

£（10.12）

D（3,IO）

Q4.5）

.•危4）

4（1,3）

（r---------------------------F

（第1题）

考向二线性回归方程

例2（2014•九江模拟）已知x,y的取值如下表所示,如果y与x线性相关,且线性回归方程

_17

为22,则下表中的所

X234

y5a6

【审题视点】本题主要考杏线性回归直线的性质.

【方法总结】解决本题的关键是回归直线一定过样本中心点，因此求解时要求出变量的均

值,在代入直线的方程.

变式训练

2.（2014・济宁模拟）已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下:

x01234

y2.24.34.54.86.7

且回归方程是5+3・6,则当才与时,旷的预测值为（）.

A.8.46B.6.8

C.6.3D.5.76

考向三独立性检验

例3（2014•马鞍山质检）为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了

50名学生，得到如下2X2列联表：

理科文科

男1310

女720

已知尸（片23.841）10.05,尸（片25.024）10.025.

叱，50（13X20-10X7）2。一

K-=----------------------------------*4844

根据表中数据，得到23X27X20X30,.则认为选修文科与性

别有关系的可能性不低于.

【审题视点】本题考查独立.性检验,列联表,简单题.

【方法总结】利用统计量片进行独立性检验的步骤

第一步根据数据列出2X2列联表；

第二步根据公式计算1的观测值k

第三步比较观测值A与临界值表中相应的检验水平，作出统计推断.

|变式训练

3.（2014•深圳调研）某企业通过调杳问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满

意度进行调查,并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分,如表所示：

女47363248344443474641434250433549

男3735344346363840393248334034

（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；

（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否

则为“不满意”，请完成下列表格：

“满意”的人数“不满意”的人数合计

女16

男14

合

30

计

(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提

下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？

参考数据：

产(片24)0.100.0500.025C.0100.001

k2.7063.8415.024£.63510.828

经典考题

典例某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：

年份20022004200620082010

需求量8吨236246257276286

A

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

【解题指南】将数据进行处理,把数据同时减去一个数代入公式计算;利用公式求回归直线

方程,并进行预测.

【解】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求I口I归直线方程,

先将数据预处理如下：

年份一2006-4-2024

需求量一257-21-1101929

对预处理的数据，容易算得“="'-v=3・

,(-4)X(—2D+(—2)X(—11)+2X19+4X29260

(-4)2+(-2)2+22+4240

=6.5,

a=7=3.2.由上述计算结果•知所求回归直线方程为

§—257=0(7—2006)+«=6.5(—2006)+3.2.

即歹=6.5(i—2006)+260.2.

(2)利用所求得的直线方程,可预测2012年的粮食需求量为

6.5X(2012-2006)+260.2=6.5X6+260.2=299.2(万

吨).

真题体验

1.(2014•湖北)根据如下样本数据

x345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

■

得到的回归方程为、='"+"，则().

A.Z?<0B.<?//(),b^OC.a<0,。①D.力为

2.(2014•江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,

随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量

是().

表1

成绩性别不及格及格总计

男61420

女102232

总计163652

表2

视力性别好差总计

男41620

女122032

总计163652

表3

智商性别偏高正常总计

男81220

女82432

总计163652

表4

阅读量性

丰富不丰富总计

别

男14620

女23032

总计163652

A.成绩B.视力C.智商D.阅读量

3.（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单

位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木

中，有株树木的底部周长小丁100cm.

（第3题）

4.（2014•全国新课标/）从某企业生产的某种产品中抽取】（）0件，测量这些产品的一项质量

指标值，由测量结果得如下频数分布表：

[75,85[85,95[95,105

质量指标值分组[105,115）[115,125）

）））

频数62638228

（1）作出这些数据的频率分布直方图:

Hit

oo.

oo.

o

o.

oo.

o.

o.

o。

oo.

.o

.O

0

o.8595105115125质量指标值

O.

（第4题）

（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的

产品至少要占全部产品的80%”的规定？

参考答案与解析

知识梳理

1.正相关负相关2.回归直线3.距离平方和

4.正相关负相关越强5.越好

基础自测

1.C2.A3.A4.有关5.185.4cm

【感悟考点透析】

[例1]B解析:根据散点图知各点大致在一直线的附近，则得两者的线性相关关系较强,

比较直线的倾斜位置情况可知的值为（（），1）之间的数，结合选项知选项B满足.

—2+3+4—5+6+u

x=------------=3,y=-------------

【例2】4解析：由题意得33，代入回归直线

方程得a=A.

【例3】95%解析：因为旅仁4.844）3.841,

所以P（片23.841）弋0.05,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定“是

否选修文科与性别之间有关系”成立,选修文科与性别有关系的可能性不低于95%.

变式训练

1.D解析：A.B,C,E大致在一条直线上，而D较远.

2.C解析：通过计算，得1=2,工=4.5,即样本点中心为(2,4.5),代入

线性回归方程，得4.5=24+3.6,求得。=0.45,所以回归方程为》=

0.45才+3.6•当E=6时,3=0.45X6+3.6=