江苏省苏州市吴中区2025-2026学年九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省苏州市吴中区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.r+1=0B.x2=2x-1C.2y-x=1D.x2+3=-

JX

2.方程乃2=3%的解为（）

A.X=3B.x=0C.X]=0,x2=-3D.X）=0,x2=3

3.已知亨=鲁则j的值为（）

54「512

AA*DB-5C.正DnT

4.九年级（1）班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数元（分）及方差S2如下表:

甲乙丙T

平均数（分）95979597

方差0.50.50.20.2

老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选（）

A.甲B.乙C.闪D.T

5.若函数、=上好一6工+3的图象与x轴有交点，则〃的取值范围是（）

A.k<3B.k<3且kWOC.k<3D.&W3且女工0

6.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸

出一个球，摸出的球是白球的概率是（）

A.[B.C.D.:

b3Z6

7.如图，在中，DE//BC,若第=|，贝IJSME：SMEC等于（）

A.2:15B.4:15C.4:9D.3:15

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8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=容％2一2门%的顶点为力点，且与x轴的正半轴交于点4,P点、

3+2/3

-4-

二、填空题

9.方程％2=9的解星

10.已知关于x的一元二次方程2«+*一爪=0没有实数根，则根的取值范围是.

11.一组数据4,1,7,4,5,6则这组数据的极差为.

12.三角形两边的长分别是3和4,第三边的长是方程无2-12%+35=0的根，则该三角形的周长为.

13.将函数y=3d的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为.

14.两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27,它们的周长之差为36,则较小三角形的周长是.

15.某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x,

则可列方程为.

16.如图，已知二次函数y=-％2-5%+6的图象交x轴于48两点（A在8左边），交），轴于。点，点、P是

直线/C上方抛物线上一动点（不与4,。重合），则P点到直线.4C距离的最大值是.

17.解方程：(1)/-5x-6=0(2)3(%-2>=x(x-2)

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18.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点4SC的坐标分别为

4(1,2),8(0,1),C(2,0),先以原点。为位似中心在第三象限画一个△A%%使它与△ABC位似，且相似比2:1.

(2)求△&B1G的面积.

19.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养

浩然之气.幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长(单位：小时)的情况，对全班40

名学生进行问卷调查.所得的结果如图所示：

幸福中学七年级1班40名学生

上周在家阅读时长条形统计图

(1)这40名学生上周阅读时间的众数为小时，中位数为小时；

(2)求这40名学生上周在家阅读的平均时长？

20.已知抛物线y=x2-2(zn+l)x22(m-1).

(1)求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点；

(2)若抛物线与x轴的一个交点为(2,0),试求m的值与另一个交点的坐标.

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21.如图，在zMBC中，C014B于。，BE1ACfE,试说明:

⑴△/BE-AACD

(2)4。-BC=DE-AC

22.如图，用红、蓝两种颜色随机地对4,B,。三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种

颜色，请用列举法(画树状图或列表)求力，C两个区域所涂颜色不相同的概率.

23.如图，在矩形X8CO中，E是8C的中点，DFLAE,垂足为F.

(1)求证：AABE-ADFA；

(2)若48=6,BC=4,求的长.

24.“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发现：当售

价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/

件(20<x<40).

(1)请用含售价式元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；

(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元.

①求该商品的售价；

②为了支持“抗疫”行动，李晨投定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元,

求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额.

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25.定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足Nl=42,则称点P为这个三角形的“理想点”.

⑴如图①，若点。是△4BC的边.48的中点，AC=2>[2,AB=4,试判断点。是不是△4BC的“理想点”，

并说明理由：

(2)如图②，在/?£△/BC中，ZC=9O°,AB=5,AC=4,若点。是△力8c的“理想点”，求。。的长.

26.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=%-3的图象与x轴交于点力，与y轴交于点以点5关于x

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图I,平移线段力C,点力的对应点。落在二次函数在第匹象限的图象上，点C的对应点E落在直线

力8上，求此时点D的坐标；

⑶如图2,在(2)的条件下，连接CD,交CD轴于点M,点产为直线4C上方抛物线上一动点，过点P作

垂足为点R连接尸C，是否存在点P，使得以点尸，C,尸为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P

的横坐标；若不存在，请说明理由.

27.【定义与性质】

如图，记二次函数y=a(x-bp+c和y=-a(x-p)2+q(a+C)的图象分别为抛物线C和g.

定义：若抛物线6的顶点Q(p,q)在抛物线。上，则称G是。的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若G是C的伴随抛物线，则C也是G的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在加上.

【理解与运用】

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(1)若二次函数y=-1(x-21+7n和y=-1(x-n)2+g的图象都是抛物线y=:炉的伴随抛物线，则

m=,n=.

(2)【思考与探究】

设函数y=%2-2kx+4k+5的图象为抛物线

①若函数、=一/+(^+。的图象为抛物线之，且C2始终是Co的伴随抛物线，求"，e的值；

②若抛物线。2与x轴有两个不问的交点(与，。)，(“2,0)3<M)，请直接写出％1的取值范围.

备用图

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参考答案

一.选择题

1.B

2.D

3力

4.D

5.C

6.A

1.B

8.B

二、填空题

9.x=±3

lO.m<-1

o

11.6

12.12

13.y=3x2-2

14.45

15.29(1-x)2=23.49

16.1^

三、解答题

17.(1)解：X2-5X-6=0；

分解因式得,(x-6)(x+l)=0,

所以入—6=0或x+1=0,

解得，=6,%2=一1：

(2)解：3(X-2)2=%(X-2),

移项，得3(%-2)2-x(x-2)=0,

分解因式得,(x-2)[3(x-2)-x]=0,即(无一2)(2%—6)=0,

•••x—2=0或2%—6=0,

依不得，巧=2,x2=3.

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18解:(1)依题意,4式-2,-4),%(0,-2),C(-4,0),画出△4刀口,如图所示,

故答案为：(—2,-4)

(2)SA41B1C1=4X4-1X2X4-1X2X4-|X2X2=6

19.,W：(1)•••40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，

.•・众数为7小时，

中位数为第20和第21名学生阅读的平均数，即警=6.5小时，

故答案为:7,6.5；

(2)40名学生上周在家阅读的平均时长==6.375小时,

叱"叱4:0"—

答：40名学生上周在家阅读的平均时长为6.375小时.

20.(1)证明：J=[-2(m+I)]2-4x2(m-1)=4m2+12>0,

故此抛物线与x轴有两个交点；

(2)解：将(2,0)代入y=必-2(m+1)X+2(m-1)得，m=-1,

•••抛物线解析式为丁=必-4,

令y=0得到d-4=0,

解得：x=±2,

••・抛物线与x轴另一交点为(一2,0).

21.解：(1)•••CD148于。，于瓦

Z.AEB=Z.ADC=90°,

在△ABE和△4G5中

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(/.ADC=Z-AEB=90°

tz/1=Z.A

•••△ABESAACD；

(2)-AABE^>AACD,

A^_AB_

■'AD=AC'

在和△4C8中，

AE_AB

AD=AC

乙4=Z.A

:.△ADESAACB

AD_DE

：，~AC=~BC

AD•BC=DE•AC.

22.1?：画树状图如答图:

ABC结果

红红红

红红蓝

红蓝红

红蓝蓝

蓝红红

蓝红蓝

蓝蓝红

diy;#;

.nn.niu.iTTL

・•・共有8种不同的涂色方法，其中4C两个区域所涂颜色不相同的情况有4种,

：,PQ4,C两个区域所涂颜色不相同)=:=9.

O/

23.解：(1)•.•四边形/品'£＞是矩形，

.•"二90。，AD//BC.

•••Z.AEB=Z.DAF,

vDF1AE,

A£DFA=90

:.=Z.DFA,

AABE〜ADFA.

(2)vAABE-ADFA,

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AB_AE

•••DF=AD'

•••BC=4,E是8c的中点，

11

:.BE=TZBC=5X4=2.

乙乙

.•.在/?团8£中，AE=7AB?+BE2=V62+22=2yT10.

X%-AD=BC=4,

62/10

"'DF=4，

6VT0

：•DF=—=—.

KJ

24.解：(1)•••该商品的售价为x元/件(20WxW40),且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且

售价每降低1元，就会多售出3件，

••.每天能售出该工艺品的件数为60+3(40-x)=(180-3x)件；

(2)①依题意,得:(%-20)(180-3x)=900,

整理，得：%2-80%+1500=0,

解得：X,=30,上=50(不合题意，舍去)，

答：该商品的售价为30元/件；

②0.5x(180-3x30)=45(元)，

答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元.

25.解：(1)点。是ZL48C的“理想点”，理由如下：

是力夕中点，力8=4,

:.AD=BD-2,AD-AB=8,

vAC=272,

AC2=8,

•.AC2=AD-AB,

AC__AB_

'AD=AC，

vZ.A=Z.A,

:.AACD-AABC,

:.Z.ACD=乙B,

.•.点。是44BC的“理想点”；

(2)(2)①。在48上时，如图：

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c

ADB

♦“是ZMBC的“理想点”，

Z.ACD=z_B或=乙4,

当乙4co=乙8时，

•；£ACD+£BCD=90°,

.•./夙?。+48=90。，

，乙CDB=90。,即CO是边上的高，

当/BCD=4力时，同理可证NCOB=90。，即CO是边上的高,

在RC/4BC中，/-ACB=90°,AB=5,AC=4,

EC=7AB?-AC2=3,

-SAABC=^AB-CD=^AC-BC,

CD=警,

D

@vAC=4,BC=3,

AC>BC有乙B>Z.A,

”理想点”。不可能在AC边上，

③。在力。边上时，如图：

C

V。是4A8C的“理想点”，

•••4DBC=乙4,

又，C=Z.C,

.%ABDC〜AABC,

CDBCCD3

二行=，n即n

BC7AC73=40

9

ACD=

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综上所述，点。是2M8C的“理想点”，8的长为连或1

54

26.(1)解：•••一次函数y=X-3的图象与x轴、y轴分别交于点力、8两点，

・••4(3,0),5(0,-3),

•・•点8关于x轴的对称点是C,

••"(0,3),

•••二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点C,

...(c=3

19a+3匕+c=O'

•••/?=2,c=3,

•••二次函数的解析式为：y=-X24-2X+3.

(2)•••4(3,0),C(0,3),平移线段4C,点力的对应为点。，点C的对应点为E,

设—3),则。(m+3,m—6),

・•・。落在二次函数在第四象限的图象上，

(m+3)2+2(m+3)+3=m-6,

m1=1,m2=-6(舍去)，

0(4,-5),

(3)•••C(0,3),0(4,-5),

.••直线CD的解析式为y=-2x+3,

令y=0,则％=5，

3

•••次函数y=4-3的图象与x轴交丁A(3,0),C(0,3),

AO=3,OC=3,

.-.£0AC=45°,

过点尸作PFJ_AC,点P作PN_L04交力。于点E,连PC,

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y

AEN都是等腰直角三角形，

设P(m,-m2+2zn+3),E(m,—m+3),

•••PE=PN-EN=-m2+2m+3—(—m+3)=-m2+3m,

EN=-m+3,—TT+3),FE=m2+3m),

CF=AC-AE-EF=苧m？一夺小，

①当△COMs/iPFC,第=器=高=),

CrC/C5Z

m2+3m)i

二郛j)=Q

7

解得mi=0,舍去，m2=

②当△COMs/xCTP时，径=器