北京市某中学2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

北京市中关村中学2025-2026学年第一学期期末调研

初一数学

考试时间：90分钟满分100分

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个.

1.2的相反数是（）

A.--B.gC.-2D.2

22

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数

是只有符号相反的数，然后问题可求解.

【详解】解：2的相反数是一2，

故选：C.

2.下面计算正确的（）

224

A.-3x-3x=0B.丁_冗3=工c.X+X=2XD.-4xy^3xy=-xy

【答案】D

【解析】

【分析】根据整式的加减：合并同类项逐项判断即可.

【详解】A、-3x-3x=-6x»此项错误

B、/与丁不是同类项，不可合并，此项错误

C、%24-x2=2x2»此项错误

D、-Axy+3^=-xy,此项正确

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的加减：合并同类项，熟记运算法则是解题关键.

3.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两

个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖''的一种

模型，它的俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案.

【详解】该几何体的俯视图是：[].

故选A.

【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关

键.

4.“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源，全市现有自

然湿地27900公顷，人工湿地30800公顷，这两类湿地共有()

A.5.87x105公顷R5.87x104公顷

C.5.87X10'公顷D.58.7X102公顷

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点放在左边第一个非零数字的后面确定。，运

用整数位数减去1确定〃值是解题的关键.用移动小数点的方法确定。值，根据整数位数减一原则确定〃

值，最后写成4X10〃的形式即可.

【详解】解：根据题意，得这两类湿地共有30800+27900=58700公顷，

V58700=5.87X104,

故选：B.

5.如图，数轴上点A、B对应的有理数b,下列结论正确的是()

।"IB一

a01b

A.6/+/?<()B.a-b<0C.一〃+〃<()D.-a-b>()

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳数轴，有理数的加减法，解题的关键是根据数轴可以明确八。的符号和与原点的距

离.

根据数轴可知一从而可以判断各选项，解答木题.

【详解】解：由数轴可得一

+a-b<0,-。+〃>0,-a-b<0r

・・・B选项正确，符合题意，

故选：B.

6.下列等式变形正确的是（）

2

A.若2x=7,则x=,B.若戈一1=0,则x=l

C.若3x+2=2x,则3x+2x=2D.若~~-=3,则％-1=3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解.

7

【详解】解：A.若2x=7,则工=一，故该选项不正确，不符合题意;

2

B.若x-l=0,则3=1,故该选项正确，符合题意；

C.若3x+2=2x,则3x—2x=-2,故该选项不正确，不符合题意；

X—1

D.若——=3,则工一1二3x2,故该选项不正确，不符合题意.

2

故选：B.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键.等式的性质1：等式两边加］或减）同一

个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结

果仍相等.

7.一副三角板如下图摆放，能得到Na和N万互补的是（）

4

c.7D.I

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查余角和补角，关键是补角的定义.

如果两个角的和等于180。，就说这两个角互为补角.由此即可判断.

【详解】解：A、根据同角的余角相等，即/a与"相等，故A不符合题意；

B、Za+Z/?=180o-90°=90c,即Na与“互余，故B不符合题意；

C、Z«+Z/7=360°-90°-90°=180°,即Na与“互补，故C符合题意；

D、Za=Z/?=180°-45°=135°,即/a与相等，故D不符合题意.

故选:C.

8.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代」数学家程大位.在《算法统宗》中记载：“以绳测

井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多I尺，绳长井深各几何？

译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳I

尺.问绳长、井深各是多少尺？’’

设井深为4尺，根据题意列方程，正确的是（）

一4

大6

*

八

会

法*

春

普

统*

士

宗

A.3(x+4)=4(x+1)B.3.v+4=4.r+1

C.3(x-4)=4(x-1)

34

【答案】A

【解析】

【分析】用代数式表示井深即可得方程.此题中的等最关系有：①将绳三折测之，绳多四尺：②绳四折测之,

绳多一尺.

【详解】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3(x+4),根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：

4(x+1),

故3(x+4)=4(x+1).

故选A.

【点睛】此题主要考杳了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关

键.

9.计算机利用的是二进制数，它共有0,1两个数码.将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为

若干个2〃之和，依次写出系数1或0即可，例如十进制数19可以写为二进制数10011,因为

19=16+2+l=lx24+0x23+0x22+1x2*+1x2%所以19写成二进制数10011是五位数，则十进

制数60写成二进制数是()

A.六位数B.七位数C.八位数D.九位数

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了有理数的运算.将60写成1X25+1X24+1X23+1X22+0X2\0X2°，继而即可

求得答案.

【详解】解：V60=32+16+8+4=25+24+23+22=1X25+1X24+1X23+1X22+0X21+0X2°，

，二进制数为111100,是六位数.

故选:A

10.已知点P,Q,R,S在数轴上，对应数分别为p<q<r<s,PQ=2,QR=n+2,

RS'=〃+4(n>0,且〃为整数).若〃夕3>0,且PM/，s中有两个数的和与〃+夕+厂+$相等，则下

列说法中正确的有()

①原点可能与点。重合；②原点可能是QR中点；③原点不可能在点尸左侧；④$与〃的和可能为0；⑤。

的值为〃=_]_3或/?=--^-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了列代数式，数轴解题的关键是熟练掌握数轴知识，读懂题意列出正确代数式.根据已知

条件乘积大于0,相等关系可得到四种情况下两数互为相反数，即可写出关于〃、〃的式子，再判断选项的

正误.

【详解】解：•・・/扬”>0,且PM/，s中有两个数的和与〃+g+〃+s相等,

・・・P，d〃，s四数不可能同时为正数或负数，只能是两正，两负，

，只能是pvgvOv/vs,

・•・有四种情况，

〃-s=〃+q+r+s,即4+r=0,q、厂互为相反数,

q-vr=p+q+r+s,即〃+s=O,P、$互为相反数,

q+s=〃+4+r+s,即〃+r=OP、，.互为相反数,

p-r=p+q+r-\-s即q+s=O,令、$互为相反数,

,/PQ=2,QR=〃+2,RS=??+4,且〃<4<0<r<s,

:.q=p+2,r=p+n+4,s=〃+2〃+8,

n

当q+r=O时，〃+2+〃+〃+4=0,解得〃=一耳一3,

当p+s=()时，〃+〃+2〃+8=(),解得〃=一〃一4,此时厂=〃+〃+4=0,不满足p<q<Q<r<s,

n

当〃+厂=0时，〃+〃+〃+4=0,解得〃=_耳_2,

当q+s=O时，〃+2+〃+2N+8=0,解得〃=一〃一5,此时r=〃+〃+4=-1<0,不满足

p<q<O<r<s,

判断说法：

①原点为0,但^<0,故原点不可能与Q重合，错误；

②QR中点=仁2,可能为0,正确；

2

③因为〃<0,所以原点不可能在点尸左侧，正确；

④，与P的和不可能为0,错误；

HH

⑤P的值有两种情况，的值为〃=——3或〃二一一一2,正确.

22

，②③⑤正确，正确说法有3个.

故选：C.

二、填空顾（本题共18分，每3分）

11.下图所示的网格是正方形网格，/BACND4石.（填“〉"，"=''或"<"）

【答案】>

【解析】

【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.

【详解】解：如下图所示，

_4FG是等腰直角三角形，

:./E4G=/B4C=45。，

・•・ABAC>ZDAE.

故答案为〉•

另：此题也可直接测量得到结果.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.

12.若代数式元一3》二一2,则2x-6），+5的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考杳代数式求值，将2x—6y+5变形为2（工-3））+5,然后整体代入x—3y=-2计算即可.

详解】解：•・•x-3y=-2f

・•・2x-6y+5=2（x-3^）+5=2x（-2）+5=-4+5=l.

故答案为：1.

13.如图，某动物园的平面示意图中，猴山4位于大象馆A北偏西35°25'方向，而海洋世界。在大象馆A

【答案】155。鼎155度

【解析】

【分析】本题考查了方向角，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键.

根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定，通过计算即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得：

ABAC=(90°-35°25,)+90°+10。25'=155。.

故答案为：155。.

14.若关于x的方程3x=2x+a的解是方程4x+2=7—x的解的2倍，则。的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出方程4x+2=7—x的解，再根据题意得

到方程3x=2x+。的解，代入求解。的值.

【详解】解：解方程4x+2=7-x,

得4x+x=7—2,即5x=5,

解得x=l，

因为方程3x=2x+a的解是方程4x+2=7—x的解的2倍，

所以方程3x=2x+。的解为戈=2,

将工=2代入方程3x=2x+a,

得3x2=2x2+〃，即6=4+。，

解得。=2.

故答案为：2.

15.如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的几何体的表

面积为.

I

I

I

Jj-

【答案】600

【解析】

【分析】本题考查了几何体表面积的计算.由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等，据此求

解即可.

【详解】解：由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等，

，新的几何体的表面积为1()x10x6=6(X)，

故答案为：60().

16.中关对中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”“迷算巧

想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动.其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学

挑找赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人

数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数

相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加

“音乐互动体验活动”的学生有人.

【答案】42

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设三项都参加的人数为户则参加“音乐互动体验活动”的人数

为7y,同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为2,，，同时参加“数学挑战赛”和

“音乐互动体验活动”的人数为2)，，根据总人数为92,列方程求解.

【详解】解：设三项都参加的人数为)，，则参加“音乐互动体验活动”的人数为7)，，同时参加“中国古代

科技展”和“音乐互动体验活动”的人数为2y,同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数

为2y.已知总人数为92,参加“中国古代科技展”的人数为48,参加“数学挑战赛”的人数为40,同时

参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数为20.

则92=48+7)+40-2、-20—2y+)，，

整理得：92=68+4y,

解得y=6,

故参加“音乐互动体验活动”的人数为7y=42.

故答案为：42.

三、解答题(本题共52分，第17・18题每小题6分，第19・20题每小题4分，第21・25题每

小题5分，第26题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：

(1)-2x3—(—5)+1—2|；

(2)(-2)3x3+6-f-|

【答案】(1)1(2)-28

【解析】

【分析】本题考杳了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键.

(1)先计算乘法，并化简多重符号和绝对值，再计算加减法即可；

(2)先计算乘方，将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可.

【小问1详解】

解：—2x3—(—5)+1—2|

=-6+5+2

=1；

【小问2详解】

解：(—2)x3+6+

2

=(-8)x3+6x

=-24-4

=-28.

18.解下列方程:

(1)9-3y=5y+5；

⑵耳

46

【答案】（1）），=1

（2）x=-l

【解析】

【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是按照解一元一次方程的步骤解方程.

（1）移项、合并同类项、系数化为1即可；

（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为I即可.

【小问1详解】

解：9-3y=5y+5,

移项，得一3），-5y=5-9,

合并同类项，得-8>，=-4,

系数化为1,得），二；；

【小问2详解】

露3x-l5x-l

解：------1=---

46

去分母，得3（31-1）-12=2（5/一7）,

去括号，得9x-3-12=1（及一14,

移项，得9工一10氏=-14+3+12,

合并同类项，得一x=l,

系数化为1,得了二一1.

19先化简，再求值：2（X2），+型）-3（工2丫一包）一5母，其中；r=-l,y=g.

【答案】一/,1

3

【解析】

【分析】木题考查了整式的化简求值，利用整式的加减运算法则，化简代数式，代入数据求值.

【详解】解:2（x2y+-3（x2y-xy）-5A>J

—2x2y4-2xy-3x2y+3xy-5xy

=-x2y，

,1

/x=-l,y=—,

3

；・原式=xg=_]x；=_g.

20.如图，平面上有A、B、C、£）、尸五个点，请根据下列语句画出图形：

（1）直线BC与射线AD相交于点M：

（2）连接4从并延长线段A8至点£使点6为AE中点；

（3）在直线8C上找一点P,使点P到人、尸两点的距离之和最小，作图的依据是:

A•

D.

C•

B

F•

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；

【解析】

【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；

（2）根据线段的延长线的定义以及中点的定义画出图形即可：

（3）连接AF交直线BC于点P,点P即为所求.

【详解】解：（1）如图，直线8C,射线4。即为所求作.

（2）如图，线段8E即为所求作.

（3）如图，点夕即所求作.

理由：两点之间线段最短.

A

DM

A

故答案为：两点之间线段最短.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.如图，NAO6=9()c,ZCOD=90n,OE平分N6OD,/DOE=20°.求ZAOC的度数.请将

以下解答过程补充完整.

解：・；OE平分/BOD,

."BOD=2/DOE.(理由：—)

♦/ZDOE=20°,

:.ZBOD=

QZ4OB=90。，

+ZAOC=90°.

・.・ZCOD=90°,

.../BOC+NBOD=900.

:.ZAOC=Z—（理由：）

【答案】角平分线的定义，40,NBOD,同角的余角相等，40

【解析】

【分析】结合角平分线的定义和同角的余角相等，即可求解.

【详解】解：•「OE平分N6OD,

/.ZBOD=2ZDOE.（理由：角平分线的定义）

・.•Z£X7E=20°,

:"BOD=40°.

QZAO3=90。，

.•.ZBOC+ZAOC=90°.

・・/COD=90。，

/.ZBOC+=90°.

:.ZAOC=ZBOD（理由：同角的余角相等）

,\ZAOC=40°.

故答案为：角平分线的定义，40,ZBOD,同角的余角相等，40.

【点睛】本题主要考杳角平分线的定义，余角，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题

的关键.

22.如图，C为线段A。上一点，点B为CD的中点，且AO=9,BD=2.

I」[1

ACBD

（1）求AC的长.

（2）若点E在直线A£）上，且EA=3,求的的长.

【答案】（1）AC的长为5；

（2）比的长为4或10.

【解析】

【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题

的关键.

（1）根据AC=AO-CO=AC-23C,即可求出答案；

（2）分点E在A的左边和右边两种情形求解即可.

【小问1详解】

解：•・•点8为CO的中点，

.•.CB=BD=2,

:.CD=BC+BD=4,

/.AC=AD-CD=9-4=5,

答：AC的长为5；

【小问2详解】

解：由题意得：AB=AC+BC=7,£4=3,

当点E在线段A力上时，

・1111

AECBD

BE=AB-AE=7-3=4,

当点E在线段D4的延长线上时，

I1111

E'ACBD

BE=AB+AE=7+3=10.

答：8E的长为4或10.

23.列方程解决下列问题：

抗战胜利80周年阅兵观礼斜挎包如图所示，斜挎包背带部分由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过

调节可以使背带的长度（单层部分和双层部分的长度和.其中调节扣的长度忽略不计）加长或缩短，经测

量可得到如下数据：

单层部分的长度

02468...160

（cm）

双层部分的长度

80797877/•?...0

<cm）

（1）表格中用的值为：

（2）根据忐愿者小李的身高和习惯，背带的总长为UOcm时，背起来最舒适，那么此时单层部分的长度

是多少？

【答案】（1）76

（2）此时单层部分的长度是60cm

【解析】

【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确得到单层部分的长度与双层部分的长度的关系是

解题的关键.

（1）设单层部分的长度为xcm,根据表格可得单层部分的长度与双层部分的长度的关系，即可求得“；

（2）根据题意列方程即可解答.

【小问1详解】

/Y、

解：设单层部分的长度为xcm,可得双层部分的长度为80--cm,

Q

所以〃z=80——=76,

2

故答案为：76；

【小问2详解】

X

解：由题意可得x+80--=110,

2

解得x=60,

答：此时单层部分的长度是60cm.

24.在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若公是关于x的一元一次方程办+〃=0（〃工0）的

解，凡是关于）'的方程的解或所有解中的一个解•，且毛+%=1°，则称关于）'的方程是关于x的一元一

次方程的“十全十美”方程.例如:工-1=2的解是戈=6,关于y的方程U|=4的所有解是），二4或

y=T,当y=4时，x+y=Wt所以|），|二4是一元一次方程;x-l=2的“十全十美”方程.

（1）已知关于）'的方程：①2），-2=4；②|），|=3.其中是一2丑1=一25的“十全十美”方程的是

____________（只填序号）；

（2）若关于》的方程|2y+l|=l是关于x的一元一次方程等二三9一1的“十全十美”方程，求。的

值.

【答案】（1）②（2）0或工

3

【解析】

【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键.

（1）根据新定义的要求，解方程验证即可；

（2）分别解方程|2），+1|=1和*=上9-1,根据“十全十美”方程的定义可得关于〃的一元一次方

程，解之即可；

【小问1详解】

解：方程-2%+1=-25的解是x=13,

方程①2y-2=4的解为y=3,

,・,13+3H10,

・•・方程①不是一元一次方程一2工+1=-25的“十全十美”方程；

方程②=3的解为）=-3或y=3,

・.•当丁二一3时，-3+13=10,

・••方程②是一元一次方程-2x+l=-25的“十全十美”方程.

故答案为：②；

【小问2详解】

Y1O丫__

解：方程•~-=---1的解是x=3〃+10,

32

方程|2y+l|=l的解是尸0或尸T,

•・•关于丁的方程|2y+l|=l是关于x的一元一次方程手二一-1的“十全十美”方程，

34

・••当y=o时，0+3«+10=10,解得。=（）；

当）,二一1时，—1+34+10=1。，解得。=：；

；・〃=0或a=L

3

25.如图，甲、乙两台清洁机器人分别固定在数轴型仓库的-5号（路灯甲初始位置）和12号（路灯乙初

始位置），路灯编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“路灯间距”为单位

（1个单位对应I个路灯间距），系统每次下达1条清洁指令，指令类型分为三类，各类指令衣应的机器人

移动规则唯一且固定：

指令名称甲机器人移动规则乙机器人移动规则

向正方向移动3个单向负方向移动3个单

协同清洁指令

位位

用优先清洁指令向正方向移动3个单向正方向移动2个单

位位

向负方向移动3个单向负方向移动2个单

乙优先清洁指令

位位

---------1---------------------------------------------------------1--------->

-512

（1）从初始位置出发，仅执行1条“协同清洁指令”后，甲、乙两台机器人之间的路灯间距为个

单位长度；

（2）从初始位置出发，累计执行人条清洁指令.

①若攵二10,且两台机器人只执行“优先清洁指令”，设“甲优先清洁指令”执行次数为〃.甲最终停留

的路灯编号为（用含〃的代数式表示）；

②若“协同清洁指令”次数与“优先清洁类指令”总次数的比为1:1.设“甲优先清洁指令”执行次数为

乙最终停留的路灯编号为（用含女、〃的代数式表示）；

③在②的条件下，若此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，写出所有符合条件的Z值及对应的各类指令

执行次数.

【答案】（1）11

（2）①6〃一35：②4〃一*%+12；③Z值为8或4；“协同清洁指令”次数为4,“甲优先清洁指令”执

2

行次数为0,“乙优先清洁指令”执行次数为4；“协同清洁指令”次数为2，“甲优先清洁指令”执行次

数为2,“乙优先清洁指令”执行次数为0

【解析】

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解

题的关键是正确读懂题意.

（1）根据“协同清洁指令”的移动方式列式求解即可；

（2）①首先得到“乙优先清洁指令”执行次数为（10-〃），然后列式求解即可：

②首先表示出“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为与，“乙优先清洁指令”执行次数为

2

--H,然后表示出甲最终停留的路灯编号和乙最终停留的路灯编号；

2

③根据甲、乙的位置间距为3个路灯单位列出方程求解即可.

【小问1详解】

解：根据“协同清洁指令”可知，甲移动后的编号为：-5+3=-2,乙移动后的编号为：12-3=9,

二•甲、乙两台机器人之间的路灯间距为：9—（—2）=11,

故答案为：11;

【小问2详解】

解：①设“甲优先清洁指令”执行次数为〃，

“乙优先清洁指令”执行次数为（10-〃），

二•甲最终停留的路灯编号为-5+3〃-3（10-〃）=6〃-35,

故答案为：6/?-35；

②’“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数的比为1:1,

••・“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为V,

2

•••设“甲优先清洁指令”执行次数为〃，则“乙优先清洁指令”执行次数为，

2

二•甲最终停留的路灯编号为-5+3、5+3〃-31]-〃J=6〃-5；

k（k\5

乙最终停留的路灯编号为12-3、7+2〃一2——fi=4〃一二k+12；

2J2

故答案为：4〃—左+12；

2

③•,此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，

6〃-I+2）\=3,

整理得，2〃+：%-17=3,

・・・左和〃都是正整数，且七2〃，

2

k>2n,

54

.•.当2〃+—左—17=3时，整理得，k=S——n,

25

.二〃=5,k=4（舍）或〃=0，k=8»

••・“协同清洁指令”次数为4二号=4,“甲优先清洁指令”执行次数为0,“乙优先清洁指令”执行次数

22

k

为—/?=4—0=4；

2

528-4/?

当2〃+/&-17=-3时，整理得，k=------,

25

.二〃=2,k=4,

L4

.「协同清洁指令”次数町=『2’“甲优先清洁指令”执行次数为2,“乙优先清洁指令”执行次数

综上所述，所有符合条件的攵值为8或4；

“协同清洁指令”次数为4，“甲优先清洁指令”执行次数为0,“乙优先清洁指令”执行次数为4;

“也同清洁指令”次数为2，“甲优先清洁指令”执行次数为2,“乙优先清洁指令”执行次数为0.

26.定义：已知平面内过角的顶点引一条射线，若这条射线与角的两边所形成的两个角恰好满足〃（攵为

（1）如图1,若N8OC=60。，OP是/3。。的“4倍友好线“，则NQOC=

（2）点。是直线E尸上一点，射线04、OB、0C、0。均在直线"'上方，08在0C的左

侧.ZE6M=110°,N3OC=40。，0°<ZEOB<140°,射线。。是NCOF的“1倍友好线”，

①如图2,当（）。</既必<7（）。时，猜想/E08与NAO。的数量关系，并证明；

②射线QM在直线ER下方，射线OE■是的“2倍友好线”，QV是NMQ4的“1倍友好

线”，当NAON与NAOD互余时，直接写出NAOQ的度数.

【答案】（1）12。或48。或20。或80。

（70^（35、

（2）®ZEOB=2ZAOD,理由见解析；@—。叫彳。或35。

【解析】

【分析】本题主要考查余角和补角、几何图形中角度的计算，熟练进行角度的表示是解题的关键.

（1）根据定义分为NPOB=4NPOC或4NPOB=NPOC,且OP在NBOC内，N3O。外，总共四种

情况，分别求解即可；

（2）①设/£O6=a（0<cz<70）,根据角的和差，表示出NAQD即可解答；

②分四种情况讨论，利用角的和差列方程即可解答.

【小问1详解】

解：当。。在NBOC内，

•/OP是ZBOC的“4倍友好线”，

当NPOB=4NPOC时，如图，

ZPOC=-ZBOC=12°；

5

当4NPQB=NPOC时，如图,

4

ZPOC=-ZZ?OC=48°;

当。尸在—6OC外，

・・・0P是N30。的“4倍友好线”，

ABOC=4ZPOC-4Poe=3ZPOC,

ZPOC=-ZBOC=20°；

3

当4NPQB=NPOC时，如图，

:"BOC=4NPOB-ZPOB=3ZPOB，

.•.NPOB」NBOC=20。,

3

APOC=ZPOB+ZBOC=80°；

综上，NPOC的度数为12。或48。或20。或80。，

故答案为：12。或48。或20。或80。；

【小问2详解】

解：①NEOB=2NAOZ）,理由如下：

设./EOB=a（0<a<70）,

•.•N8OC=40°,在OC的左侧，

ZEOC=/EOB+/BOC=a+40,

/.ACOF=1800-ZEOC=140—a,ZAOC=ZEOA-ZEOC=70—a,

•••射线OD是4C0F的“1倍友好线”，

1a

:"COD=4D0F=-ZCOF=70--,

22

Cl

「.NAO。=^COD-ZAOC=-，

2

:"EOB=2ZAOD；

②，射线。石是NMO8的“2倍友好线”，

:"BOE=2