勾股定理 同步练习-2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题训练(一)勾股定理与特殊角问题——作垂线化斜为直

【方法技巧】⑴含30。角的直角三角形中，勾：股：弦：=1:62;(2)含45。角的直角三角形中，勾：股：弦==

1:1:V2

一、30。或45。或60。--------作垂线，

构造特殊直角三角形

1.如图，在△ABC中.NC=60o,AB=15,AC=10,求BC的长.

2.[2024济宁模拟]三角板是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上.点B

在ED上,AB〃CF,NF=NACB=90o,NE=45o,NA=60。.若AC=2,求CD的长.

二、75。或105。--------作垂线，转化为含

30。或45。的直角三角形

3.如图，在△ABCif,ZA=l05o,ZC=30°,AB=4,3<BC的长.

A

BC

三、120。或135°-作垂线转化为含

3()。或45。的直角三角形

4.如图，在△ABC中,NC=12()o,NB=30。，48=2的,,求^ABC的面积.

5.如图.在△ABC中.NC=30o,NB=135。，48=2诿求AC和BC的长.

四、15。或22.5°------------加倍，转化为含30。或45。的直角三角形

6.【阅读材料】

如图①，在RtAADC中,NC=9()o,/D=22.5。,求兴的值

解在CD上截取BD=AB,则NABC=2ND=45。.

设AC=a，则.BC=a,AB=BD=&a,又CD=BD+CB=(诵+\)a,□奈=漆下=企一1・

【实际运用】

如图②，在RtAADC中,NC=9(T,ND=15。,求二的值.

专题训练(二)勾股定理与面积问题

【方法技巧】图形的面积往往与高紧密联系，这时一般要考虑在直角三角形中利用勾股定理来解决.

一、格点三角形——等积变形

1.如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上,若小方格的边长为1,请你根据所学的知识解答下列问题.

求：

(1)△ABC的面积；

(2边BC上的高.

二、不规则图形——面积分割

2.如图，AB=3,BC=4,AD=13,ZB=ZACD=90°,求四边形ABCD的面积.

三、双勾股列方程——求面积

3.如图，SAABC中,AB=7,AC=5,BC=8,求^ABC的面积.

四、分类讨论——求面积

4.已知在△ABC中，ADJ_BC,垂足为D,AB=15,AD=I2,AC=13,求^ABC的面积.

专题训练(三)勾股定理与折叠问题-------单勾股列方程

【方法技巧】折叠-----构造直角三角形一勾股定理

一、折叠一构造直角三角形

1.如图，有一个直角三角形纸片ABC,两直角边AC=6,BC=8.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜

边AB上且与AE重合,你能求出CD的长吗？

二、折叠一构造三垂直图形

2.如图，把长方形ABCD沿AE所在的直线对折后点D落在BC边上的点F处,BC=5,AB=4.

求：⑴CF的长；

(2)EF的长.

三、折叠一构造全等三角形

3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将仆ADE沿AE所在的直线对折至△AFE,延长

EF交BC于点G,连接AG.

(1求证：△ABG^AAFG；

(2)BG的长为.

四、折叠一构造等腰三角形

4.如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=10.将长方形沿AC所在的直线折叠，使点B与点E重合，AD与E

C相交于点F.

(1成证：EF=DF；

(2)EF的长为.

E

BC

专题训练（四）勾股定理与方程思想——双勾股列方程

【方法技巧】当几个直角三角形出现共边时，常考虑连环使用勾股定理.

一、作高--------连环勾--------构建方程

I.JQ^,AC=13,BC=2O,AB=IABC的面积.

二、共边一连环勾一一构建方程

2.如图.在△ABC中2090。,D是BC的中点，4。=2历/8=10,求CD的长.

3.如图，已知在^ABC中,AB=AC、BD_LAC于点D,BD=3,BC=可求AB的长.

A

BAC

4.如图.在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处折痕为

AF.若AD=4,求CF的长.

专题训练（一）勾股定理与特殊角问题——作垂线化斜为直

18c=5遥+5

2CD=3-V3

35C=2>/2+2V6

4s二ABL小

5.AC=4,BC=2V3-2

6芸=2-6

CD

专即训练（二）勾股定理与面积问题

1（1）SABL5

（2边BC上的高为2

2.S四边形ABCD=36

3s

4.AABC的面积为24或84

专迤训练(三)勾股定理与折叠问题——