2026年九年级中考数学创新题专项复习训练：圆的综合问题

2026年九年级中考数学创新题专项复习训练：圆的综合问题

1.如图，48是。。的直径，PA是。。的切线，4为切点，连接。P,过点8作||OP交。。

于点C,连接PC和4C,4c交OP于点D.

(1)求证：PC是O0的切线；

(2)若sinzBAC=%且AC=26，求切线PA的长.

2.如图，△4。0内接于。。，直径4B交CO于点G,过点D作射线DF,使得n力。尸=4/1CD,

延长DC交过点8的切线于点E,连接8c.

(I)求证：OF是。。的切线；

(2)若CD=gcG,BE=3CE=3,求DE的长.

3.如图，AC是O。的直径，PA是O。的切线，点B在00上，且R4=PB,连接PC交弦AB于

点£

P

CB

⑴求证：PB是。。的切线；

(2)若心力PC=34BPC,求第的值.

V*I*

4.如图，在△ABC中，AC=BC=80,点。在AC边上，0C为。。的半径，48是O。的切

⑵求阴影部分的面积.

5.如图，BC是O0的切线，点C为切点，以BC为边作平行四边形48CD,点A,。均在。0

(1)求证：力8是。。的切线；

(2)若4B=2V5,求图中阴影部分的面积.

6.如图，在三角形48C中，。为力8边上一点，AC是。。的切线，延长C0至点。，连接BD,

乙D=90°,且乙8。0与48co互余.

(1)求证：8c是。。的切线

(2)若。力=S,AC=16,求cos4C84的值

7.如图，PA是。。的切线，力为切点，48是直径，BC是弦,连接OP,PC,BCWOP.

试卷第2页，共6页

(I)求证：PC是OO的切线；

(2)连接4C,交OP于D点,连接BD,若8DIICP,PD=2.

①求0。的长；

②直接写出AD的长.

8.如图，已知四边形力8C。为菱形，点A,B,。在。。上，AD为。。的切线.40的延长线

与。。的延长线交干点反与BC交千点F.

(1)求证：CD为。。的切线；

(2)连接0C,若tan/8=4:3,CE=8,求0C的长.

9.已知：如图，圆。的直密48垂直于弦CD,过点C的切线与直线48的延长线相交于点P,

(I)求证：P。是圆O的切线

(2)求证：PD2=PB•PA

(3)若PD=4,AD=2BD,求直径4B的长.

10.如图，48为半。。的直径，弦力C.的延长线与过点8的切线交于力、。，“为80的中点

连接CE.

(2)过点。作CF148,垂足为点尸，AC=5,CF=3,求。。的半径.

11.如图，在山△ABC中，AA=90°,AB=AC=4,。是边BC上的点，。0与相切,

切点为。，AC与。。相交于点E,且力。=4£

(1)求证：4c是。。的切线；

(2)。。的半径为；OC与。。相交于点M,求阴影部分的面积；

(3)F为座上的一个动点(不与点。，七重合)，过点尸作。。的切线，分别与边4B,AC交

于点G,H,连接OG,OH.嘉淇认为：随着点尸位置的变化，4G。”的度数不变.请你判

断他说得是否正确，并说明理由；

(4)在(3)的条件下，设=%(2<x<4),CH=y,亶毯写出,，与x之间满足的函数关

系.

12.如图，力8是。。的直径，4。和分别是。。的切线，C。平分乙8c0,且与。。交于点

E,连接8E.

试卷第4页，共6页

(2)若4。=1,CD=4,求BE的长.

13.如图，四边形OABC是平行四边形，以点。为圆心，。力为半径的团。交A8于点。，交0C

于点£,延长4。交OO于点凡连接CD,CF.

(1)求证：EF=ED；

(2)若CF是团。的切线，求证：CD也是@0的切线.

14.如图1,在。。中，B是弧。E的中点，作直径88交DE于点N.

(1)求证：48IDE；

(2)如图2,过点A作。。的切线/，点尸是弧力E上一点，连接力八E尸，点C在切线，上，连接CD,

Z-DCA+"FA=180°,求证：四边形4EDC是平行四边形：

⑶如图3,在(2)的条件下.连接。口交A8于点M,连接CE交。。于点G,连接DG,若D/1AE,

OM=1,DE=8,求弦OG的长.

15.如图为。。的直径，P为4B延长线上的点，PD为。。的切线，切点为。，CD_LAB,

垂足为E,C在。。上，连接CO,PC.

(I)求证：PC为O0的切线;

(2)如图2,M是线段PC上一点，若0M平分々COP,0M与线段CE交于点N.

①求证：AOMPFONC；

②若CM=10,MN=46，求ON的长.

试卷第6页，共6页

《2026年九年级中考数学创新题专项复习训练：圆的切线证明》参考答案

1.（1）见解析;

（2）PA=3V3.

【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂

径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题

的关键.

（1）根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出△AOPn

△COP,进而得出乙。力尸=40CP,由切线的性质得出乙OAP=90。,进而得出OC1PC即可：

（2）利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可；

【详解】（1）证明：连接OC,

B-------C

是0。的直径，

=90°,

*：BCIIOP,

：.LADO=LACB=90°,

即OP1AC,

：,AD=CD,

・・・OP垂直平分AC,

：.AP=CP,

*：OA=OC,OP=OP,

•••△OAP三△OCP(SSS),

:.“CP=乙OAP,

YAP是。。的切线，

：.^OAP=90。=4OCP,

YOC是。。的半径，

，PC是。。的切线;

答案第1页，共27页

(2)解：-：AC=2V3,由(1)可知。尸垂直平分4C,

'•AD=^AC=V3,

+Z-PAD=90°,Z-APO+Z-PAD=90°,

=/.APO,

Asinzfi/lC=sin乙4P。=

3

，在RtzMCP中，AP=二二=卓=3遮.

Sin^APO

3

2.(1)见解析

(2)9

【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定和性质:

(1)连接等边对等角，结合圆周角定理推出乙。OF=90。，即可得证;

(2)讦明△DE8一△BEC,列出比例式进行求解即可.

【详解】(1)证明：连接则：OA=OD=OB,

:.乙OAD=乙ODA,乙ODB=Z.OBD,

'：Z-ADF=Z.ACD,Z-ACD=Z-ABD,

：.LADF=乙ABD,

•・・AB为直径,

：.Z.ADB=90。，

：.Z.ABD+/-OAD=90°,

：./.ADF+Z.ODA=90°,即：Z-ODF=90°,

：,OD1DF,

;。。是0。的半径，

是。。的切线：

(2);BE为。。的切线,

：,AB1BE,

答案第2页，共27页

+Z.ABC=90°,

•・NB为直径，

：.LACB=90°,

・3C48+乙4BC=90。,

：./.CAB=乙CBE,

*：Z.CAB=乙CDB,

：.Z-CBE=乙CDB,

•・"E=ZE,

△DEBBEC,

tDE_BE

•*BE~CE'

:・BE2=CE・DE,

*：BE=3CE=3,

:.CE=1,

ADE=9.

3.(I)见解析

【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，线段

垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识点,

解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

（1）利用切线的性质得HUPAO=90。，然后证明△P/OwaPB。，利用全等三角形的性质

即可证明;

（2）根据切线长定理得出OP垂直平分线段力氏根据三角形中位线的性质设OK=a,则8c=

2Q,根据相等的角得出8C=PB=/M=2a,然后利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接。P,OB.

•••PA是。0的切线,

答案第3页，共27页

•••PA1.OA,

Z.PAO=90°,

vPA=PB,PO=PO,OA=OB,

PAO"PBO(SSS).

Z.PAO=Z.PBO=90°,

PB1OB,

・•.PB是。。的切线；

(2)解:

设OP交48于K.

•••4C是直径，

:.AB1BC,

vPA.PB都是切线,

:.PA=PB,Z.APO=乙BPO,

•:OA=OB,

•••OP垂直平分线段4B,

OKIIBC,AK=BK,

•••BC=2OK,设OK=a,则8C=2a,

vZ.APC=3Z.BPC,乙APO=^OPB,

Z.OPC=乙BPC=乙PCB,

:.BC=PB=PA=2a,

由直角和公共角易得△PAK八POA,

PA2=PKPO,设PK=x,

•••(2a)2=x-(x+a),

整理得，x2+ax—4a2=0»

解得，工二卓。(舍负根)，

答案第4页,共27页

：.PK=4B

•••PK||BC,

.PE_PK_

•,*==V17-1.

CEBC4

4.(1)见解析

(2)4+4V2-y

【分析】(1)连接OD,由切线的性质可证得4OOC=90。，证得△BC。三△80。得到NOCB二

“DC=90°,根据切线的判定即可证得BC是O。的切线；

(2)根据S阴影=SMBC一SACMD-S扇形08计算即可求出结果.

【详解】(1)证明：连接0D,

是O。的切线，切点为点D，

：.OD1BC,

"ODB=90。，

在ABCO和△BDO中，

BC=BD

OC=0D,

BD=BD

/.△BCO三ABDO(SSS);

：・“CB=Z.ODC=90°,

•••oc为O。的半径，

是。。的切线；

(2)解：:BC是。。的切线，切点为点C,

=90°,

*：AC=BC,

：,Z-CAB=Z.CBA=45°,

••SB是。。的切线，切点为点D,

答案第5页，共27页

：.£ODA=90°,

：.LAOD=180°-LODA-£OAD=45°,

:•乙COD=180°-/.AOD=135°,AD=OD=OC=2,

••Sh0AD=1OD*AD=1x2x2=2,

•；BC=AC=OC+OA=2+2VL

•••S—8c="C•EC=；（2+2V2）2=6+4V2,

..《_1357Tx22_3n

・3扇形OCD=360=T'

・'S阴影=S4ABC-S^OAD-S扇形06=6+4A/2-2-y=4+4V2-y.

【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性

质、扇形面积计算，熟练掌握切线的判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切

线）、全等三角形判定、等腰直角三角形边角关系及扇形面积公式$二喏（"为圆心角

360

度数，r为半径）是解题的关键.

5.⑴见解析

（2）4V3-j7T

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，

菱形的判定和性质，利用锐角二角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，

解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

（1）连接。4OC,AC,AC交8D于点E,利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的

角和边，证明△4。/?三△C08,即可得出结论；

（2）延长C。交力D于点F,根据条件证明CF垂直平分力。，得到力£）=。。=。力，证明44。）

是等边三角形，利用锐角三角函数得出。心缁X2,然后利用作差法进行求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接。4OC,AC,AC交8。于点区

•••"是。。的切线,

答案第6页，共27页

：.0C1BC,即NOCB=90。.

•・•四边形/BCD是平行四边形，

：.AE=EC.

*：0A=OC,

：.LAOE=乙COE.

又，：OB=OB,

••・△AOB三△COB(SAS),

・••乙。力B=Z.OCB=90°,

・・"8是。。的切线；

(2)解：如图，延长C。交AD于点尸,

BC

\*AD||BC,CF1BC,

：,CFLAD.

又・・・。4=OD,

：.AF=DF,

垂直平分710,

：,CA=CD.

由⑴可得,AB=BC,

・•・平行四边形力BCD是菱形，

:.AD=CD=AB=26

AD=CD=CAf

△4CD是等边三角形，

：.Z.ADC=60°,

二Z.ADB=-/-ADC=Z-AOC=2Z,ADC=

230°,120°,

：,/-AOB=60°.

由⑴知,Z-BAO=90°,

答案第7页，共27页

AB

•••OA==2,

tan60°

S阴影=S四边形ABC。-S扇形AOC=2sMB。-S扇形AOC=2x1x2V3x2-^=4V3-

-4n.

3

6.(1)见解析

【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形：

(1)过点。作。E_LBC,对顶角相等，等角的余角相等，得至1叱8。。=4/1。。，切线得到CM_L

AC,角平分线的性质得到OE=OA,即可得证；

(2)勾股定理求出0C的长，根据N4C0=ZDB0=/BCD,得至iJtanzOBD=tan4OCd=

takBCD,进而得到孚=丝=丝=；,进而得到CD=2BD.BD=20D,设OD=x,BD=2x,

CDRDAC2

则：CD=4x,根据。。=。。+。0=8函+%=4%,求出工的值，进而求出BD,CO的长，

勾股定理求出BC,48的长，再利用余弦的定义进行求解即可.

【详解】(1)解：过点。作。E18C,

•2BOD与乙BCO互一余,

•••480。+48。。=90°,

〈AC为。。的切线，

AOA±AC,

・•・乙力。C+乙力C。=90°,

♦:乙BOD=/.AOC,

:,乙BCO=/-ACO,

••・0C平分48s,

*：0ELBC,OAA.AC,

：.OE=OA,

答案第8页，共27页

JOE是。。的半径，

・・・BC是。。的切线；

(2)*：0A=8,AC=16,

：・0C=40A2+AC2=8底

VzD=90°,

:.乙BOD+乙DBO=90°,

■:乙BOD+乙BCO=90°,

:.乙DBO=乙BCO,

由(1)知：LBCO=Z.ACO,

：.LACO=乙DBO=Z-BCO,

AtanzOBD=tanz.OC/1=tanzFCD»即：-CD=—BD=—AC=-2>

:,CD=2BD,BD=2OD,

・••设OO=x,BD=2x,则：CD=4x,

•:CD=OC+0。=86+%=4%,

=蝇

3

；・BD=—,CD=—,

33

：.BC=>]BD2+CD2=拳

：.AB=y/BC2-AC2=g,

，在RtzMBC中：cosz.C8A="=竺=：.

BC805

7.(1)证明见解析

⑵①1②&

【分析】(1)连接OC,由切线的性质定理可得乙PAO=90。，由两直线平行同位角相等可得

4力OP=乙OBC,由两直线平行内错角相等可得“OP=乙OCB,由等边灼等角可得2。8c=

匕。CB,进而可得N/1OP=乙COP,再结合。/1=OC,OP=OP,利用SAS可证得△O/1P三△OCP,

于是可得4PC。=424。=90。，即。ClPC,然后由切线的判定定理即可得出结论；

(2)①由BCIIDP,8DIICP可得四边形8DPC是平行四边形，于是可得BC=DP=2,由切线

长定理可得P4=PC,再结合。力=0C,可得0P垂直平分AC,则IM=DC,再结合。力=0B,

答案第9页，共27页

可知。。是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可得0。=：BC,由此即可求出OD的长；

②由OP垂直平分4C可得/PDA=Z.ADO=90°,由直角三角形的两个锐角互余可得/PAD+

4APD=90°,由（1）得224。=90°,则4PAD+Z.OAD=90°,进而可得N4PD=Z.OAD,

由此可证得△APD^△（MD,于是可得仪=空,即力。2=OD•PD,进而可得力。=y/OD-PD,

ADOD

由此即可求出4。的长.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

•••PA是O。的切线,

：•Z-PAO=90°,

•••BCWOP,

:.Z.AOP=Z.OBC,乙COP=Z.OCB,

vOB=OC,

:.Z-OBC=Z.OCB,

Z.AOP=乙COP,

XvOA=OC,OP=OP,

.••△OAP三△OCP(SAS),

:.Z-PCO=乙PAO=90°,

:.OC1PC,

••・。。是O。的半径，

PC是0。的切线；

(2)解：①•••BCIIDP,BDWCP,

四边形8DPC是平行四边形，

BC=DP=2,

vPA,PC是。。的切线,

二PA=PC,

答案第10页，共27页

又•••OA=OC,

•••OP垂直平分AC,

•••DA=DC,

又OA=OB,

：,。。是△48。的中位线，

OD=-BC=-x2=1；

22

②•••OP垂直平分力c,

:.Z.PDA=4ADO=90°,

:.^PAD+Z.APD=90°,

由(1)得：4PAO=90°,

•••/.PAD+LOAD=90°,

:.Z-APD=/-OAD,

•••△APD~△OAD,

.PD_AD

AD~OD"

:.AD?=OD・PD,

•••AD=y/OD-PD=y/lx2=\[2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形

的判定与性质，切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等

边对等角，线段垂直平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等,

两电线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

8.(1)见解析

(2)。。=6

【分析】(1)连接。C,。。，证明△力。。三△COD(SSS)即可；

(2)根据菱形得到平行,则=则tan4BAE=tanW=3:4,故。C:CE=3:4,

即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接0C,。。，

答案第II页，共27页

•・•四边形48C。是菱形，

：,AD=CD,

••YD与O。相切于点A,

：.AD1OA,

：•WAD=90°,

在△力。。和△C。。中，

(AD=CD

00=OD,

U。=CO

AOD三△COD(SSS),

•••Z-OAD=Z.OCD=90°,

•・•点C在O。上，

・・・CD为。。的切线；

(2)解：•・•四边形力BCD是菱形，

：.AB||DC,AD||BC,

:.LBAE=乙E,Z.AFB=LOAD=90°,

Vtanfi=—=

BF3

*•••

.•.t+anZ/.DFA/lEE*=—BF=-3>

AF4

•・•乙OC0=90\

:.乙OCE=90°,

:.tanz.BAE=tanzF=3:4,

:.OC-.CE=3:4,

•••CE=8,

•••OC=6.

【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的判定与性质，全等二角形的判定与性质，锐角二角

答案第12页，共27页

函数等知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

9.⑴见解析

(2)见解析

(3)6

【分析】(1)连接。0,0C,证明△OOP三△COP,得出乙P。。=4PC。=90。，根据切线的

判定推出即可；

(2)根据圆周角定理得出。=90。,在求出乙/1=乙4。。，〃="0/?,然后求出4刖/?一

△P/W,得出北=黑，即可得出结论；

rDrU

(3)设4B,CD交于点M,根据DC148得出tan4=^=；,根据相似得出的比例式求得巴4,

Au2

PB,利用P/1—PB即可求出答案.

【详解】(1)证明：连接OD,OC,

•••PC是。。的切线，

•••LPCO=90°,

•••AB1CD,AB是直径,

二RD=阮,

:.Z.DOP=乙COP,

在ADOP和△COP中，

(DO=CO

<z.DOP=Z.COF,

(OP=OP

•••ACOP三△COP(SAS),

•••乙PDO=Z.PCO=90°,

•.•。在O。上，

PO是。。的切线：

(2)证明：・・〃B是。。的直径,

答案第13页，共27页

••Z-ADB=90°,

••乙PDO=90°,

••乙ADO=乙PDB=90°-乙BDO,

:OA=00,

,•乙4=乙ADO,

,•乙4=乙PDB,

:乙BPD=乙DPA,

,•△PDBPAD,

PD_PA

'''PB~而‘

：.PD2=PB•PA；

(3)解：设AB,CD交于点M,

A

vDC1AB,

:.Z.ADB=乙DMB=90°,

Z/l+乙DBM=90°,Z.CDB+乙DBM=90°,

:.Z.A=乙CDB,

9：AD=2BD,

.BD1

tanA==:，

AD2

△PDBPAD,

...”=丝=空=工，

PDPAAD2

•••PD=4,

•••PB=2,PA=8,

AB=PA-PB=8-2=6.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆周角

定理，相似三角形的性质和判定的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

答案第14页，共27页

是解题的关键.

10.(1)见解析

【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾

股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径.

(I)连接C。、EO、BC,通过证明△£8。三△ECO(SSS；得出即可NECO=4E8。=901

(2)设=由勾股定理得8〃=鸟尸2+。尸，BC2^AC2=AB2,列方程求出x的值，

则r=^48=^(BF+AF).

【详解】(1)证明：连接C。、EO.BC,

=90°,

,・N8是直径,

：./-BCA=乙BCD=90°,

•••RSBCD中,E是BD的中点,

：,CE=BE=ED,

又・.・OC=OB,OE=OE，

•••△E50wZiEC0(SSS),

J4EC。=LEBO=90°,

,:点、C在圆上，

•••CE是O。的切线；

(2)解：・・・RtaACF中，AC=5,CF=3,

：.AF=yJAC2-CF2=4,

设8F=%,

由勾股定理得：BC2=BF2+CF2,BC2+AC2=AB2,

：.BF2+CF2+AC2=AB2,

答案第15页，共27页

.,.X2+32+52=(x+4)2,

解得％=

4p

则r=1AB=1(5F+4F)=iXQ+4)=J,

即入O。的半径为

FOA

11.(1)证明过程见解析；

(2)2,阴影部分的面积为2-争

(3)他说得止确，理由见解析；

(4)y与％之间满足的函数关系为y=%

【分析】(1)由切线的性质得到乙ADO=90。.再证明AAOD三△AOE(SSS),得到乙4E0=

/-ADO=90°,即0E1AC.则可证得结论；

(2)证明4EOC=Z.C=Z.AOE=Z.OAC=45°,得到EC=OE=AE=-AC=2,即可得O0

2

的半径，再根据阴影部分的面积=SAOEC-S扇形.EM，列式计算即可；

(3)由切线长定理得到GD=GF,HF=HE.再证明△G。。三△GOF,△HOFWAHOE,

得至IJ4DOG=乙FOG,乙F0H=乙EOH,则4GOH=乙FOG+Z.FOH=-Z-DOE.证明匕OOE=

2

90°,则乙GO"=；x90。=45。，即可判断他说得是否正确：

(4)由等腰直角三角形的性质可得，DG=GF=x-2,FH=EH=y-2,则GH=FG+

F/7=x+y-4,根据勾股定理，即可得)，与人之间满足的函数关系.

【详解】(1)证明：如图，连接。。，OE,。力，

•••。。与718相切，切点为。，

・"40。=90°.

在MOD与A/lOE中，

(AD=AE

]0D=OE

(A0=AO

答案第16页，共27页

：.^AOD三△40E(SSS),

：,^AEO=^ADO=90°,^OELAC.

又・・・OE是半径，

•MC是OO的切线.

(2)解：*：LA=90°,AB=AC=4,

"C=45。,

•.•△/OOWA/IOE,

：,Z.OAD=Z,OAE=-ABAC=45°,

2

*：OE1AC,

J.Z.EOC=ZC=^AOE=乙OAC=45°,

:・EC=OE=AE=^AC=2,

2

・・・0。的半径为2,

故答案为：2；

••・阴影部分的面积为，。就一SF词形。石乂Tx2x2-誓=24.

，阴影部分的面积为2-%

(3)解：他说得正确，理由如下：

如图，连接。F，

*：GD,GF,HF,都与O。相切，

:・GD=GF,HF=HE.

又・：OD=OF=OE,OG=OG,OH=OH,

：.^GOD^△GOFt△HOF三△HOE,

：,Z.DOG=Z.FOG,乙FOH=(EOH,

答案第17页，共27页

:•乙GOH=乙FOG+乙FOH=—DOE.

2

*：^A=/.ADO=/-AEO=90°,

:•乙DOE=90°,

.,.zG0//=1x90o=45°,即乙GOH的度数不变.

(4)解：'：Z-A=90°,AB=AC=4,

・"8=NC=45。，

•••。。与48相切，切点为。，

:.乙ODB=90°,

•••△008为等腰直角三角形，

：.OD=BD,

设BG=x(2Vxe4),CH=y,

由(3)知，DG=GF,FH=EH,OE=EC=2,

：.OD=BD=2,

：,DG=GF=x-2,FH=EH=y-2f

:.GH=FG+FH=x+y-4,

\*AG=AB-BGtAH=AC-CHt

：.AG=4一%，AH=4-y,

•・Z=90°,

：,AG2+AH2=GH2,

・・・(4-x)2+(4—y)2=Q+y—4)2,

Axy=8

・・・y与》之间满足的函数关系为y=*

答案第18页，共27页

【点睛】本题考查圆的性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，等腰直角三角

形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定

理.

12.⑴见解析

⑵V5

【分析】（I）过点。作OF1。。于F,根据角平分线的性质可得。尸=0B,再根据切线的判

定定理证明即可；

（2）根据切线长定理可得力。=DF,CF=BC,求得8c=3,再根据矩形的判定与性质可

得CH=2,利用勾股定理求得DH=2V5,从而可得AB=D"=2V5,。8=V5,再利用锐

角三角函数求得乙。CH=60。，再直角三角形的性质可得乙8。。=30。，根据等边三角形的判

定与性质求解即可.

【详解】（1）证明：过点。作。"_LC。于尸，

•••8C是。。的切线，

：,OB1RC于B,

又YC。平分/BCD,

：,0F=OB,

〈OB是。。的半径

••・。尸也是。。的半径

是C。的切线.

答案第19页，共27页

（2）解：由（1）得CD是O。的切线，切点为F,

•・ND和8c分另ij是O。的切线，

：.AD=DF,CF=BC,

：.CD=AD+BC,

：.BC=4-1=3,

••FO和BC分别是O。的切线，

：,Z.BAD=/.ABC=90°,

过点D作D"IBC于"，即4BHD=90。，

・•・四边形力8”。是矩形，BH=AD=1,

：.CH=3-1=2,

在Rt△<?"£）中，乙CHD=90。,

：.DH=V42-22=2V3,

：.AB=DH=2百，OB=V3,

在RtZkDCH中，cos^DCH=-=^

42

"DCH=60°,

:.乙BCO=30°,

:•乙BOE=90°-30°=60°,

又YOB=OE,

「•△OBE是等边三舛形，

:.BE=OB=6

【点睛】角平分线的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、锐角三角函数、

勾股定理、矩形的判定与性质、切线长定理、切斜的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的

关键.

答案笫20页，共27页

13.(1)见解析

(2)见解析

【分析1本题考查平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质,

切线的判定等：

(1)根据平行线的性质正明乙FOE=乙EOD=LODA,根据。4=。。得出乙。/1。二

4OOA,等量代换得出NFOE=4E。。，即可证明EF=EO；

(2)由切线的定义可知NOFC=90。，再证△FOC三4DOC(SAS),推出40DC=4。FC=90。,

即可证明G)也是团。的切线.

【详解】(1)证明：如图，连接OD,ED,EF

•・叫边形04BC是平行四边形,

•••OCHAB,

二Z.FOE=LOAD,Z.EOD=Z.ODA,

vOA=OD,

Z.OAD=Z.ODA,

•••乙FOE=Z.EOD,

:.肝=的，

:.EF=ED；

(2)证明：•••CF是团。的切线，

Z.OFC=90°；

由(1)得乙FOE=乙EOD,即4FOC=乙DOC,

在△尸。。和△DOC中，

(OF=OD

{Z.FOC=乙DOC,

(OC=OC

•••△FOC三△DOC(SAS),

•••LODC=乙OFC=90%

又•.•点。在团。上，

答案第21页，共27页

・•.CD是团。的切线.

14.⑴见解析

(2)见解析

还

、，13

【分析】(1)连接4D,4E,利用圆周角定理即可证明：

(2)连接A。，根据C4是。。的切线，结合可证||AC,再利用圆的内接四边

及平行线的性质，结合三角形内角和定理可证410。=//ME,推出COII/IE,即可得出结

论；

(3)过点。作0〃1CE于点H,设OFME交点为7,CE,48交点为K,连接BD,先证明△DBN三

△DMN(ASA),得到BN=MN,设BN=MN=x，解直角三角形求出8N=MN=2f0A=5,

AM=0A+0M=6,AN=AM+MN=8,ET=等，DT=胃，再证明^ENKCAK,

求出NK=14N=*求出KE=VNE?+NK?=%,解直角三角形即可求解.

【详解】(1)证明：连接

•「AB是。。的直径，8是弧。E的中点，

：.BT)=够

：.A1yB=ARE-即/W=/ta

：.^ADE=Z.AED,Z.BAD=/.BAE,

\'/.AND=180°-/-ADE-Z-BAD,Z-ANE=180°-^AED-ABAE,

・"AN。=Z.ANE,

\^AND+^ANE=180°.

・•・乙力NO=^ANE=90°,

：.AB1DE；

(2)证明：连接4D,

答案第22此共27页

•・PA是。0的切线,

LAC,

*：AB1DE,

：.DE||AC,

•••四边形/IFE。是O。的内接四边形，

：.^EFA+£.ADE=180°,

•・"DCA+ZEFA=180°,

：,LDCA=乙ADE,

,:DE||AC,

Z.DAC=Z.ADE,

由(1)知乙4EO=Z.ADE,

J.^DAC=Z-DCA=/.ADE=^AED,

\,^ADC=180°-^DCA-2LDCA.Z.DAE=180°-^AED-匕ADE,

：,z.ADC=Z.DAE,

:,CD||AE.

••・四边形力EDC是平行四边形；

(3)解：过点。作OH_LCE于点从设DF,AE交点、为T,CE,AB交点为K,连接BD,

B

"BDE=Z.BAD=Z.BAE,

答案第23页，共27页

*：AB1DE,AE1DF,

,"DNM=£ATM=90°,

■:乙DMN=/.AMT,

"EDM=/.BAE,

Z.BDE=乙BAD=Z.BAE=乙EDM,

♦；DN=ON,

.•.△DBN三aOMNlASA）,

：.BN=MN,

设BN=MN=x,

TOM=1,

：,OA=OB=OM+MN+BN=1+2x,

;DE=8,

：,DN=EN=4,

:,AN=OA+OM+MN=3x+2,

•；tan£BDN=咚=tanz.BDA=空，

DNAN

.X4

・♦—="，

43x+2

:.x=2,

:,BN=MN=2,OA=5,

：,AM=OA+OM=6,AN=AM+MN=8,

VtanZ.BDE1=-77=-=t^nz.BAE=tanz_EZ）M,

DN2

；・ET=^DT,

2

'：DE2=64=ET2+DT2=SET2

・・.ET=W（负值舍去），

：.DT=^

5

〈DM=>/DN2+MN2=2V5

由（2）知由EIIAC,DE=AC=8,

•・.△ENK〜△G4K,

答案第24页，共27