2026年高考数学二轮复习：数列递推归类（题型）（天津）原卷版

专题12数列递推归类

i目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

!佟]典例引领囱方法透视性]变式演练

【选填题破译】

।

i题型01叠加法

|题型02叠乘法

I题型03待定系数法

i题型04同除以指数

i题型05取倒数法

题型06已知通项公式an与前n项的和Sn关系求通项问题

i

i第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01叠加法

典例引

【例1-1](2026•天津武清•月考)求下列数列的通项公式

⑴已知数列｛q｝满足q=1,%=+2〃-1(〃wN),求％；

(2)正项数列｛&｝满足卬=1,。向=3(1+：%”,求凡.

【例1-2](2026•天津红桥•月考)数列｛%｝中，%=1,凡=〃+1,贝!1勺=

方依透规

数列有形如。用=%+/(〃)的递推公式，且/⑴+/(2)+…+/(〃)的和可求，则变形为％—,=/(〃)，利

用叠加法求和

，变式窗依

【变式1](2026•天津滨海新•月考)已知数列｛。力满足q二10,也二%=2,则%的最小值为.

nn

【变式1・2】(2025・天津南开•调研)已知数列｛为｝满足q=1,勾一*=2"则数列｛%｝的通项公式

%=-

【变式1・3】(2025•天津•调研)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛

积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项

之差成等差数列.现有二阶等差数列｛4｝,其前5项分别为1,3,6,10,15,设数列•的前〃项和为工，

则§2025=-

题型02叠乘法

舞网引横

【例2-1](2026•天津蓟州•月考)已知数列｛q｝满足q=2,4=孑"，且｛〃｝是公比为2的等比数列,

4=8,贝lj%+/=()

A.222+229B.221+228

C.2"+228D.22,+229

【例2・2】(2025•天津・月考)在数列｛%｝中，％=1,嗅=2(〃wN)则&•=()

n〃+1'7

A.4B.2C.yD.1

方沐透规

数列有形如4=/(〃)•6_】的递推公式，且/(I)形⑵…-/(〃)的积可求,则将递推公式变形为巴」=/(〃)，

%

利用叠乘法求出通项公式巴

变式演依

【变式2-1](2025•天津滨海新•月考)已知数列｛%｝的项满足4l=后勺，而6=1,则。“二()

22〃1

A./,\2B.-77TC.—D.--------

(〃+1)+2"2n-\

-上

【变式2-2]（2025・天津•月考）已知数列｛2｝满足：卬=1吗=，且4+2=丁曾一（〃eN）则数列｛对｝

的通项公式是_______________

【变式2・3】（2026•天津和平•调研）已知数歹U｛4｝满足卬+3%+32/+入+3”&=不数列｛"｝的首项为2,

且满足也”=（〃+1也

⑴求｛q｝和也｝的通项公式

⑵设%二〃,也，求数列｛，“｝的前〃项和此

题型03待定系数法

共例引41

【例3-1]（2025•天津•调研）若数列｛%｝的首项6=1,且满足。的=2a.+l,则数列｛4｝的通项公式

为.

【例3-2]（2025•天津西青•联考）已知数列｛4｝,下列结论不正确的是（）

A.若｛%｝为等比数列，则数列｛Igqj是等差数列

B.若4=1,an+i=2an+1,则

C.若q=2,6f„+1=an+n+\,则%）=211

D.若｛%｝为等差数列，则数列M｝是等比数列

方依透规

形如。的=0。“+9（〃应为常数，P4H0且P/1）的递推武，可构造1+石P&+%）,转化为等比

数列求解.也可以与类比式勺=*^+4作差，由-凡-J，构造｛〃“+「4｝为等比数列，然后

利用叠加法求通项.

变式使珠

【变式3-1]（2025・天津•调研）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为10%,

且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列｛/｝,。=1100,则4大约

为（）（参考数据：1.『=2.1，1.严。2.6,

A.1240B.1260C.1280D.1290

【变式3-2]（2025・天津和平•调研）已知数列｛4｝为等比数列，S”为数列｛%｝的前〃项和，4=^5,+5，

则名的值为（）

A.9B.21C.45D.93

【变式3・3】（2025•天津滨海新•开学考试）已知数列｛叫满足q=l,«n+i=N*）,则以下结论正

确的个数是（）

①为等比数列；②｛《,｝的通项公式为4=千二；③｛q｝为递增数列；④的前〃项和

M2~3

M+2

7；1=2-3H-4.

A.0个B.1个C.2个D.3个

题型04同除以指数

翼例不■

【例4-1]（2026•天津河北•月考）已知数列｛%｝中,％=1,4=凡一1+2"T（„>2）则%=.

【例4・2】（2025•天津武清•模拟预测）已知数列｛%｝中，q=3,且%+1=3。“+3j则出。26=（）

A.2026x32026B.2025X32025C.2026x3*D.2025x32026

方做遗规

形如ae=pa“+cT（〃工。且p工1,d¥1）的递推式，当p=d时，两边同除以d川转化为关于《案•

的等差数列；当〃工"时，两边人可以同除以人得患十»转化为%4也

变式信族

【变式4-1]（2025・天津北辰•三模）设数列｛为｝的前〃项和为S“，S“=2a”-2",则（）

A.5仆>4〃9B.5仆<4丽C.5sxMe%D.5sx<4外

[变式4-2]（2025•天津滨海新•三模）在数列｛4｝中，q=1,%=2自（〃eN*）,记g=3”-2x（-1）"也,

若数列｛%｝为递增数列，则实数/的取值范围为（）

A.（—,1）B.（—2,1）C.（-11）D.（0,1）

2

【变式4・3】（2025・天津•一模）己知正项数列｛q｝中，%=24向=2a.+3x5",则数列｛〃”｝的通项/=

（）

A.-3X2”TB.3X2"T

C.5"+3x2iD.5n-3x2n-,

题型05取倒数法

【例5-1]（2026•天津蓟州•月考）已知数列｛4｝满足：％=2,。，向=号].

n

⑴数列;《，是否为等差数列？请说明理由；

（2）求a20»

⑶判断（是不是数列｛%｝中的项，若是数列｛4｝中的项是第几项，若不是说明理由.

【例5・2】（2026•天津南开•开学考试）数列｛叫中，q=1，J=*■，求4叩

方汝透视

aa„,八、1b+ca„b1e

对干。向二尸一（"=0）,取倒数得——=——-=—•一+-.

b+ca“aanaana

当"=/>时，数列是等差数列；

当"人时，令”=一，则”川=2玄+£,可用待定系数法求解.

久aa

变式演依

【变式5・1】（2025・天津•一模）已知数列｛4｝满足：q=1,%二六；•若"=5，

"/I>t

⑴求证：他｝为等差数列.

⑵求数列｛〃“｝的通项公式

2a

【变式5-2]（2025•天津红桥•调研）在数列｛〃“｝中，=1,〃"T=W，，则%=（）

1।22

A.-B.-C.-D.-

3253

【变式5・3】（2025・天津•模拟预测）已知数列｛q｝满足递推关系。川=台吗=；,则（）

1I1n<..乙

A.—B.C.—!—D.—!—

2016201820172019

题型06已知通项公式。〃与前〃项的和S〃关系求通项问题

其例引颔

【例6・1】（2026•天津蓟州•月考）己知数列｛4｝满足片=2,且qq+*+…+白，等，在数列出｝中,

乙乙乙乙

々=1,点尸（4也+J在函数y=x+i的图象上.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）求数列J甘:的前〃项和邑；

（3）集合4=她共有4个元素，求实数入范围.

*

【例6-2]（2026•天津滨海新•月考）若数歹岂可｝的前〃项和是S,=，J-4〃+2,则数列｛q｝的通项公式

是.

方做遗规

对于给出关于。“与S”的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转

化S”为。”的形式，手段是使用类比作差法，使S“-Si=a“（〃22,〃wN*），故得到数列｛4｝的相关结

论，这种方法适用于数列的前〃项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将%转化为S”-Si（//>2,

先考虑S"与S,』的关系式，继而得到数列电｝的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解｛〃“｝

的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前〃项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解。“与用的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化邑的形式为4的形式，适用

于S”的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化。”的形式为S”的形式，适用于S”的形式不够独立的

情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对〃的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时

加注〃的范围.

变式演在

【变式6・1】（2026・天津和平•月考）已知S”为数列｛凡｝的前〃项和，S向=2S“，eN*,S?=4,则生。等

于（）

A.219B.419C.420D.220

2s

【变式6-2]（2026・天津红桥•月考）已知数列｛6J各项均为正数，S,为数列｛4｝的前〃项和，。田二二上，

a”

则小的值为（）

A.4B.8C.12D.16

【变式6・3】（2026•天津河北•月考）（1）已知数列｛4｝的前〃顶和公式为S”=3"-2,求数列｛%｝的通项

公式

（2）数列｛%｝的前〃项和公式为S“=1-〃，求数列｛%｝的通项公式.

1.（2025•天津河西•模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，满足54+252=353,数

列出｝满足〃"+1-（〃+1应=〃（〃+1）,〃£）\*,且4=1.

⑴求数列也｝,｛4｝的通项公式；

导之，〃为奇数

n~（n+2）

⑵设c”=«。为｛g｝的前〃项和，求Q.

笆/为偶数

2.（2025•天津和平,一模）已知正项数列｛凡｝的前〃项和S”满足25“eN）则生=.

n

3.（2025•天津河北•一模）已知数列｛〃“｝是等差数列，设S,（〃eN）为数列｛凡｝的前〃项和，数列｛a｝是等

比数列，"＞0,若q=3,4=1,4+S2=12,a5-2b2=%.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵求数列储也｝的前〃项和；

2

一，〃为奇数

⑶若%=S”,求数列｛%｝的前2〃项和.

为偶数

2

4.（2025•天津•模拟预测）数列｛4｝的前〃项和S“=2"-'-1,则数列上"log2%中的最大项为

5.（2024•天津河西•模拟预测）已知等比数列应｝的前〃项和为E,,且6*=22+2（〃£"）.

（1）求数列｛4｝的通项公式,

⑵在4与a向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列.

（i）求数列｛〃｝的通项公式及£色产；

A=lak

（ii）在数列｛4｝中是否存在3项以（其中〃?，hp成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的

3项；若不存在，请说明理由.

6.（2024•天津和平•二模）已知数列｛凡｝满足工+—+入+3=〃（〃e叩，则数列｛凡｝的通项公式为

%=______，若数列｛〃”｝的前〃项和为S.，记凡=竺邑二弘•（〃£!＜）,则数列｛4｝的最大项为第______项.

。”+1

7.（2025•天津北辰•模拟预测）设数列｛叫满足q+2%+3%+,一+/=2〃+16£1＜）,则数列｛悬｝的前

5项和为（）

8.（2024・天津•一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S.，q=1,黑|=,+4+1（〃62），数列也｝为正项等

比数列，6也=1,4是12”与5仇的等差中项.

（1）求应｝和他｝的通项公式:

⑵若（〃£N"）,求数列仁｝的前〃项和Mn；

%3%2

⑶设4=（T）”•%+（b一心wN♦）,求数歹ij