2026高考数学复习训练 抛物线（新高考版）附解析

抛物线

基础巩固练

1.（2024•山东潍坊一模）已知抛物线C:f=y上点M的纵坐标为1,则点M到C的焦点的

距离为（）

A.lB.-

4

3

C.-D.2

2

2.（2024•辽宁丹东一模）已知抛物线产2加（4>0）的焦点到准线的距离为1,则〃=（）

A.2B.1

C.-D.-

24

3.（2024•江苏徐州一模）若抛物线）2=2〃如>0）上的动点到其焦点厂的距离的最小值为1,

则〃二（）

A.lB.V3

C.2D.4

4.（2022•全国乙，理5）设尸为抛物线。:产二叔的焦点，点A在。上,点8（3,0）,若|AF|=|8F|,

则|A8|二（）

A.2B.2V2

C.3D.3V2

5.（2024•浙江金丽衢十二校模拟）已知直线/i：3x-4y-6=0和直线注产2抛物线f电上一

动点P到直线/1和直线/2的距离之和的最小值是（）

A.2B.3

C.-D.-

516

6.（2024•河北唐山一模）已知抛物线厂:V=4A•的焦点为F,以尸为圆心的圆与〃交于A乃

两点，与〃的准线交于两点，若|。。|=2属,则|A8|二（）

A.3B.4

C.6D.8

7.（2024.湖南常德一模）已知抛物线方程为V=16x,焦点为E圆的方程为（片5）2+（广1）2二1,

设P为抛物线上的点，。为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（）

A.6B.7

C.8D.9

8.（2024•宁夏石嘴山三模）如图，过抛物线）2=2pMp>0）的焦点/的直线/交抛物线于45

两点，交其准线于CAE与准线垂直且垂足为R若|BC|=2|5F|,|AE|=3,则此抛物线的方程

为（）

A.y2考B.）2=9x

C./=yD./=3x

9.（多选题）（2024•浙江金丽衢十二校一模）设P是曲线。:丁=心。〉。）上的一动点，点F是C

的焦点,44,4）,则（）

A.尸（2,0）

B.若|P用=4,则点P的坐标为（2,4）

C.|AP|+|AF|的最小值为2-2追

D.满足△PFA面积为:的点尸有2个

10.（2021•新高考I,14）已知。为坐标原点，抛物线C:），2=2/»S>（））的焦点为F,P为C上一

点、,PF与x轴垂直,0为工轴上一点，且PQ_LOP.若|FQ|=6,则C的准线方程

为.

11.（2024・陕西西安模拟）设P为抛物线C:y2=4x上的动点,A（2,6）关于尸的对称点为B,记

P到直线1二-14二-4的距离分别为did,则d\+J2+|AB的最小值为.

综合提升练

12.（2024•河北石家庄模拟）古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,

将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线,如图所示的圆锥中为底面圆的直径,M

为PB中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.

若该圆锥的高PO=2,底面半径QA=2,则该抛物线焦点到准线的距离为（）

P

/LX

Ah

A.2B.3

C.V3D.V2

13.(2024.安徽合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C)2=8x,P为x轴正半轴上一

点，线段。。的垂直平分线/交。于A乃两点，若NOA户=120°,则四边形0AP8的周长为

()

A.64V3B.64

C.80V3D.80

14.(2025•北京十一学校段考)已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被

称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通

径.已知圆(心2)2+()，+1)2=4的•条直径与抛物线f=2〃yS>())的通径恰好构成•个正方

形的一组邻边，则p=()

A.-B.l

2

C.2D.4

15.(2024•浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+l=0相切且与圆/+产4工+3=0外切

的圆的圆心坐标.

16.(15分)(2025•北京顺义检测)如图，已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限上一

点/是抛物线C的焦点，以EE为始边,为终边的/4加=60°,且尸M=4,/为抛物线C

的准线，。为原点.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若直线产M与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与/相交于点E求

证:七三点共线.

创新应用练

17.如图，在平面直角坐标系X。)，中,。为矩形ABCD的边CD的中点，且OC=CB=4,H为

AB的中点.对于任意的且〃22,将线段AH和AD分成n等份，设A”,AQ上的分点

为欣和…，〃-1),过AH上的分点欣作与H。平行的直线44与直线OM交于

点4,利用对称性作出4关于OH对称的另一半的点用光滑曲线把它们连接起来，得到

曲线E(过坐标原点0).设7(0,-3),P为曲线E上的一个动点，则|尸7|的最小值

为.

答案：

1.B解析抛物线C的准线方程为＞，=—,又点M在抛物线上且纵坐标为1,所以点M到。的焦点

的距离为1-(—)=*

2.D解析抛物线方程可化为*二3(心0),由抛物线的焦点到准线的距离为1,可得专二1,解得

1

a=-.

4

3.C解析由题得尸(a0),设点P(x,y)为抛物线上一点,则由抛物线的定义知,|PF|=x+：N*所以

1与解得〃=2.

4.B解析设点A(XAJA),由题意知点~(1,0),则逐用=2.由抛物线的定义知|AF|=XA+1,又lAFgBFI,

所以/+1=2,即心=1,所以斤=4.所以|A8|二J(皿-3产+/=2企.

5.B解析由题意可得,抛物缓的焦点F(0,l),准线/:/=/.

设动点P与直线//,/2的距离分别为点F到直线/1的距离为由二竿曾£=2,则

j32+(-4)2

比="1=仍尸|+1,可得d+dzY+IP用+1》4+1=3,当且仅当点P在点尸到直线/］的垂线上且点

P在F与人之间时，等号成立，动点P到直线/1和直线，2的距离之和的最小值是3.

6.D解析由抛物线方程知畀1,所以尸(1,0).不妨设点A在第一象限，如图所示，

直线。。与x轴交于点£由|CQ|=2VH,则陀。|二JH,|£b|=2,所以圆的半径r=J(V21)2+22=5,

所以四|二5,由抛物线的定义可得心+$5,所以心=4,又因为点A在抛物线上，所以A(4,4),所以

|A8|=2X4=8.

7.C解析由抛物线方程得焦点尸(4,0),准线方程为.1-4,

过点?作准线的垂线,垂足为N,因为点P在抛物线上，所以|P用二|PN|,所以|P尸|+|PQ|=|PN|+|PQI,

当点Q固定不动时,P,Q,N三点共线，即QV垂直于准线时|0F|+|PQ最小，即|QN|最小，又因为点Q

在圆上运动,由圆的方程为(45)2+0，-1)2=1得圆心M(5J),半径r=l,所以当MN与准线垂直

时,|QN|min=|MNM=8.

8.D解析如图所示，

过点8作准线的垂线，垂足为D设由F|=〃,则18cl=2|8F|=2a,由抛物线的定义得归。|二山尸在

R38CO中，可得sin/8co=照=3所以N8CO=30°,在RsACE中,|4E|=3,可得|AC|=3+3〃，由

18cl2

|AC|二2|4E|,所以3+3即6,解得。=1.因为8。〃/G,所以工=篝解得〃三,所以抛物线方程为

p3a乙

)r=3x.

9.AB解析因为抛物线C:炉=8.t(.v>0)的焦点为/(2,0),所以A正确;

由|PF|=4三卯+2,解得工产2,所以yP=yj8xp=即点P的坐标为(2,4),故B正确；

取夕(3,2遍),贝力人PI+MQ=J1+(4-2在I+V16+4=441-16巡+26因为256x6-372=167>0,

所以16遥>37,即40-16遍=(4-2遥)2<3,所以JZTi?而<V?=2,即|AP|+|A用<2+2遥，牧C错

误；

因为直线A尸的斜率为上七=2,所以直线A尸的方程为)，=2(42),点P(x,y)到直线A尸的距离为

d=^^^,\AF\=V16T4=2V5,^^PFA面积为则;x空等■x2追=又级=一>0,所以为-2)?-

v522V5244

51或幻-2)2-5=-*解得y=2+V5§或y=2土混，所以满足△户/%面积为?的点P有3个，故D错误.

故选AB.

10.x=-1解析*/PFA.X轴,.二灯二什音，将灯音代入)?=2〃工,得y=±p.

不妨设点P在x轴的上方，则嘿,p),即\PF\=p.

如图，由条件得,△PFOSAQ五p,

P

-­.=募即孑=*解得P=3.故C的准线方程为A?

11.2V37+3解析抛物线C：y2=4人的焦点为c1,0),准线方程为x=-l,如图,

因为心=4+3,且4(2,6)关于P的对称点为所以|PA|二|Pa

所以

22

d]+d2+\AB\=2(h+3+2\PA\=2(d]+\PA\)+3=2(\PF\+\PA\)+3^2\AF\+3=2(2-1)+6+3=2737+3

.当P为线段与抛物线的交点时，上式取等号,4+刈+|4用取得最小值，最小值为2V37-3.

12.D解析因为M是P8的中点，。是48的中点，所以4P〃OM.|OM|=*AP|二四,截圆隹的平面

平行于母线PA且过母线PA的中点M故点O也在截面上,根据对称性可知抛物线的对称轴为

OM,焦点在。例上，以M为原点,OM所在直线为x轴，截面上过点M的OM的垂线为)，轴建立直

角坐标系，设抛物线与底面的一个交点为E,则,3=|OM|=0,冲=|。4|=2.设抛物线方程为

)2=2px(p>0),代入点E的坐标得4=2〃x解得/?=V2,即该抛物线焦点§0)到准线工二段的距离

为应.

13.A解析因为线段OP的垂直平分线/交C于48两点，所以结合抛物线的对称性可得A8与

0P互相垂直平分，则四边形0AP8为菱形.设点P(2/,0)且,0,则直线/的方程为E,令/与x轴

交于点〃，又NO4P=120°,则在RtZ\O4〃中,4O4P=60°,继而可得二平•二叵，所

2V33

以点4的坐标为。,与)，代人抛物线C：)，2=8x,可得，=8/,解得f=24,在Rt^OAH中,|O4|二2|4〃|=2x

日x24=16百，所以四边形O4P8的周长为4|OA|=64V3.

14.C解析因为圆(.1-2尸十。-1尸=4的一条直径与抛物线xL=lpy[p>0)的通径恰好构成一个正方

形的一组邻边，而抛物线丁=2py(p>0)的通径与)，轴垂直,所以圆(x-2)2+G，+l)2=4的这条直径与x

轴垂直，且圆的这条直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(片2)2+°，+1)2=4的圆心为(2,・

1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1),即抛物线f=2〃)，(p>0)经过点(2,1),则

4=2p,解得p=2.经检验p=2满足题意.

15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圆心坐标3力)满足h2=Sa即可)解析设所求圆心坐标为(a力)，圆

「+),2_4什3=0化为(丫-2)2+)?=1,其圆心为(2,0),半仔为1.由题意得,〃+l=/(n-2)2+样/,即〃_(.

2)=J(Z2)才丁，故圆心他力)到点(2,0)的距离和到直线％=-2的距离相等，所以所求圆心的轨迹是

以(2,0)为焦点的抛物线，故人=8”,只要满足该式即可.

16.(1)解过点M作MAJJ