2026高考数学复习训练 抛物线（附解析）

抛物线

基础巩固练

1.（2024•山东潍坊一模）已知抛物线C:x2=y上点”的纵坐标为1,则点M到。的焦点的

距离为（）

A.l4

3

c-D.2

2.（2024•辽宁丹东一模）已知抛物线尸2加（心0）的焦点到准线的距离为1,则〃=（）

A.2B.1

C.jD.J

24

3.（2024•江苏徐州一模）若抛物线V=2pHp>0）上的动点到其焦点厂的距离的最小值为1,

则p=（）

A.lB.^3

C.2D.4

4.（2022•全国乙，理5）设厂为抛物线C.y2=4x的焦点，点A在。上，点8（3,0）,若|/用=田尸|,

则|力罚=（）

A.2氏2、历

C.3D.3\2

5.（2024•浙江金丽衢十二校模拟）已知直线/］：3x-4y-6=0和直线，2：>=-2,抛物线N=4y上一

动点0到直线/|和直线/2的距离之和的最小值是（）

A.2B.3

D卫

6.（2024•河北唐山一模）己知抛物线〃y=4x的焦点为尸，以尸为圆心的圆与「交于A,B

两点，与/'的准线交于C,。两点，若|。|=2"1,则|/8|=（）

A.3B.4

C.6D.8

7.（2024・湖南常德一模）已知抛物线方程为产=质,焦点为五.圆的方程为（六5）2+&-1）2=1,

设尸为抛物线上的点，。为圆上的一点，则|尸川+|尸。］的最小值为（）

A.6B.7

布考教号

C.8D.9

8.（2024•宁夏石嘴山三模）如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点厂的直线/交抛物线于A,B

两点，交其准线于C,AE与准线垂直且垂足为瓦若18cl=2|8nM0=3,则此抛物线的方程

为（）

A./=yB./=9x

C./=yD./=3x

9.（多选题）（2024•浙江金丽衢十二校一模）设尸是曲线C:y2=8x（y>0）上的一动点,点尸是

C的焦点,4（4,4）,则（）

A.F（2,0）

B.若|尸网=4,则点P的坐标为（2,4）

C.I/PI+MQ的最小值为2-2衽

D.满足△尸〃面积为?的点"有2个

10.（2021•新高考I,14）己知。为坐标原点，抛物线。:/=2尸”>0）的焦点为F/为。上一

点,P/与x轴垂直,。为x轴上一点，且P。J_OP.若|FQ|=6,则C的准线方程

为.

11.（2024•陕西西安模拟）设P为抛物线C:f=4x上的动点4（2,6）关于P的对称点为民记

P到直线X=-lb=-4的距离分别为4,42,贝14+“2+|44|的最小值为.

综合提升练

12.（2024•河北石家庄模拟）古希腊的几何学家用一个穴垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,

将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线，如图所示的圆锥中44为底面圆的直径,M

为PB中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.

若该圆锥的高。。=2,底面半径。彳=2,则该抛物线焦点到准线的距离为（）

布考教号

A.2B.3

c73DA/2

13.(2024•安徽合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线。炉=8工,尸为x轴正半轴上一

点，线段OP的垂直平分线/交C于两点，若/。力尸=120°,则四边形OAPB的周长为

()

A.64V?B.64

C.8娟D.80

14.(2025•北京十一学校段考)已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被

称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通

径已知圆。-2)2+什+1)2=4的一条直径与抛物线d=2件(p>0)的通径恰好构成一个正方

形的一组邻边，则p=()

A.1B.l

C.2D.4

15.(2024•浙江名校协作体琰考)写出两个与直线工+1=0相切且与圆/+产叙+3=0外切

的圆的圆心坐标.

16.(15分)(2025•北京顺义检测)如图，己知必是抛物线C:y2=2〃x(p>0)在第一象限上一

点方是抛物线。的焦点,以口为始边尸M为终边的NxbM=60°,且下M=4J为抛物线

C的准线，。为原点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/M与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与/相交于点E.求

证:M,。,七三点共线.

布考教号

创新应用练

17.如图，在平面直角坐标系xOy中,。为矩形ABCD的边CO的中点，且OC=CB=4,H为

AB的中点对于任意的〃£N*且〃22,将线段4H和AD分成n等份，设力”,力。上的分点

为必和M(%=1,2,…，〃-1),过4〃上的分点必作与〃。平行的直线”4与直线。效交于

点4,利用对称性作出4关于对称的另一半的点用光滑曲线把它们连接起来，得到

曲线E(过坐标原点O).设7(0,-3),P为曲线E上的一个动点，则|P71的最小值

为.

答案:

1.B解析抛物线C的准线方程为y=W，又点.”在抛物线上且纵坐标为I,所以点M到C的焦点

的距离为1-(*)=*

2.D解析抛物线方程可化为/二方心。),由抛物线的焦点到准线的距离为1,可得a=1,解得

3.C解析由题得4枭),设点尸(x,y)为抛物线上一点，则由效物线的定义知,|P尸|=r4老，所以

1点解得p=2.

4.B解析设点儿以山卜由题意知点尸(1,0),则由尸|=2.由抛物线的定义知|力尸|=必+1，又|4口=田尸］,

所以%+1=2,即必=1,所以/=4.所以|/阴=痴33产+/=2«2.

5.B解析由题意可得,抛物级/=4),的焦点~0,1),准线/：产/.

布考教号

设动点p与直线的距离分别为4,点尸到直线/1的距离为①=反澎等、2,则

4=d+l=|P尸|+1,可得4+d2Bi+|P产|+124+1=3,当且仅当点P在点尸到直线，1的垂线上且点

P在F与之间时，等号成立,动点尸到直线人和直线为的距离之和的最小值是3.

6.D解析由抛物线方程知所以尸(1,0).不妨设点4在第一象限，如图所示，

直线CD与x轴交于点区由|CQ=2%2I,则区。|*红|防=2,所以圆的半径r=7(V21)2+22=5,

所以"|=5,由抛物线的定义可得"k5,所以必=4,又因为点力在抛物线上，所以4(4,4),所以

|43|=2x4=&

7.C解析由抛物线方程得焦点尸(4,0),准线方程为x=-4,

过点P作准线的垂线，垂足为N,因为点，在抛物线上，所以尸用=|尸网,所以|Pb|+|PQ=|PN|+|尸。|,

当点。固定不动时,P,Q,N三点共线，即0N垂直于准线时|PF|+|尸0|最小，即|0N|最小，又因为点

。在圆上运动，由圆的方程为(x-5)2+(y-l)2=l得圆心M(5,l),半径厂=1,所以当A/N与准线垂直

时,|0Mmin=|MV|*8.

8.D解析如图所示，

布考教号

过点8作准线的垂线，垂足为。，设18H=〃,则18cl=2|8尸|=2”,由抛物线的定义得由D|=|5户|在

R3CD中，可得sin/BC。黑=：,所以/6。。=30°,在RtAJCE中,|力0=3,可得|/C|=3+3q，由

|佝=2|阳，所以3+3。=6,解得4=1.因为切〃/G,所以>兼解得〃=|,所以抛物线方程为产3x

9.AB解析因为抛物线Cy=8x(y>0)的焦点为b(2,0),所以A正确；

由IP/^duxp+Z,解得Xp=2,所以yP=\8xP=，16=4,即点P的坐标为(2,4),故B正确；

取尸(3,2、后),则|4尸|+|力8=(1+(4-2、后产+、口6+4=.41-16\/6+2、，5因为256乂6-37?=167>0,

所以16^>37,即40-1676=(4-2\后)2V3,所以《41-16\''6<\用一2,即+用v2+2、M故C错

误；

因为直线力尸的斜率为左=9=2,所以直线力尸的方程为y=2(x-2),点P(“，)到直线力厂的距离为

d」2熊",|第=、,'16+4=2依若aP77片面积为‘则gxx2"5=又2x=?>0,所以为-2>-

5=3或幻-2)2-5=，,解得y=2r'38或y=2土衣，所以满足△77〃面积为,的点P有3个，故D错误.

故选AB.

10.x=-1解析*.*PFVx轴,，0寸干!，将如,代入俨=2〃.□得y=±p.

不妨设点。在x轴的上方，则喏,p),即\PF\=p.

如图，由条件得,△QFOs△。尸产，

•0•玛=急，即:=s，解得p=3.故C的准线方程为x=-|.

11.2J57+3解析抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-l,如图,

布考教号

因为“2=4+3,且,4(2,6)关于尸的对称点为M所以I尸川=|尸|

所以4+必+38|=24+3+2|刃|=2(4+|4|)+3=2(|P/n+|P川)+322|力用+3=2炉1产量+3=2

、/^+3.当P为线段力歹与抛物线的交点时，上式取等号&4"2+|』8|取得最小值，最小值为2%G7

+3.

12.D解析因为M是P4的中点,0是的中点，所以力夕〃OMQM=TMP尸也,截圆隹的平面

平行于母线左且过母线P5的中点M,故点。也在截面上，根据对称性可知抛物线的对称轴为

0M,焦点在OM上，以M为原点,0M所在直线为x轴，截面上过点M的。M的垂线为y轴建立直

角坐标系，设抛物线与底面的一个交点为瓦则X£=QM=SJ%=Q4|=2.设抛物线方程为

产=2〃.伞>0),代入点E的坐标得4=2〃x«2,解得〃=艰,即该抛物线焦点卷,0)到准线x=g的距离

为近

13.A解析因为线段。尸的垂直平分线/交。于4/两点，所以结合抛物线的对称性可得48与

OP互相垂直平分，则四边形04PB为菱形.设点P(2f,0)且。0,则直线/的方程为x=f,令/与x轴

交于点H,又NO4尸=120°,则在RtZ\O4〃中,NO4/=XQ4P=60°，继而可得叫号=率所

以点A的坐标为/浮)，代入抛物线。:俨=8达可得白沏,解得片24,在R304H中,|0*=2|,4〃|=2

JO

x亭X24=16A所以四边形。力尸8的周长为4|0/11=64^/3.

•J

14.C解析因为圆(#2)2+&7)2=4的一条直径与抛物线r=200>0)的通径恰好构成一个正方

形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与歹轴垂直,所以圆(x-2)2+(y+l)2=4的这条直径与x

布考教号

轴垂直，且圆的这条直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(X-2)2+&+1)2=4的圆心为Q,-

1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(21),即抛物线r=2外。＞0)经过点(2,1),则

4=2p,解得〃=2.经检验p=2满足题意.

15.(0,0),(2,4)(答案不唯一，只要圆心坐标伍⑼满足b2=Sa即可)解析设所求圆心坐标为(〃力),圆

/+产叙+3=0化为(.2)2+y=1,其圆心为(2,0),半径为1.由题意得,1=J(a-2y+1,即〃-(-2)=

、江■炉T京,故圆心(〃力)到京(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等，所以所求圆心的轨迹是以

(2,0)为焦点的抛物线，故〃=也,只要满足该式即可.

16.(1)解过点〃作M4_L/,垂足为力,连接尸4则|"川=|五M、因为NVM=6