4.7.1-相似三角形的性质-初中-数学-教学设计

4.7.1相似三角形的性质吴照西安铁一中滨河学校一．教材分析本节课是北师大版《数学九年级（上）》第四章第七节，主要内容是相似三角形的性质，也是本章的重点之一。本节课是在学完相似三角形的概念、基本性质，三角形相似判定的基础上，进一步研究相似三角形的性质，达到完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。相似三角形的性质是研究相似多边形的基础。本节课从学生已学知识出发，通过生活实际问题，运用从特殊到一般的研究方法，逐步探究得出相似三角形的性质。综合运用以前所学过的研究图形的各种方法，逐步加强逻辑推理的力度，为后面学习奠定基础。本节课通过丰富的数学探究活动，有意识地培养学生积极地情感、态度，促进学生观察、分析、归纳、概括等一般能力。（二）学情分析学生在之前七年级已经学习了全等图形的判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解.在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识.通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究.例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质解决问题的活动经验.本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质.二、教学目标1.经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，知道相似三角形的性质.体会转化的数学思想.2.能用相似三角形的对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比等于相似比解决实际问题.3.经历探索相似多边形的性质的过程，培养探索能力，加强合作意识.4.在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.二、教学重难点重点1：探究“相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比”这个性质及其应用.难点1：相似三角形的性质的探索及应用．三．课前准备自主探究，合作交流，多媒体课件，几何画板。四．教学过程4.1合作探究一（1）探究活动一在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图1，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△，CD和分别是它们的立柱.（1）试写出△ABC与△的对应边之间的关系，对应角之间的关系.（2）△ACD与△相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？解：（1）===；,,.（2）△ACD∽△.∵，，∴.∵，∴△ACD∽△（两个角分别相等的两个三角形相似）.∴===.（3）∵=，CD=1.5cm.∴=3cm.（4）相似三角形对应高的比等于相似比.【设计意图】通过学生熟悉的建筑模型房入手，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.（2）探究活动二如图2，已知△ABC∽△，△ABC与△的相似比为k，AD平分∠BAC，平分∠；E，分别为BC，的中点.试探究AD与的比值关系，AE与呢？要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.解：（1）∵△ABC∽△，∴,∠B=∠,=k.∵AD平分∠BAC，平分∠，∴.∴△BAD∽△（两个角分别相等的两个三角形相似）.∴===k.（2）∵△ABC∽△,∴∠B=∠，==k.∵E，分别为BC,的中点，∴，.∴=.∵==k，∴==k.∵∠B=∠，∴△BAE∽△（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.∴===k.小结：由此可知相似三角形还有以下性质，相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.【设计意图】通过小组合作，类比前面的探究过程，提高学生主动探究意识、发展类比思维与归纳总结的能力.（3）探究活动三如图3，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k（k>0），点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上.（1）若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？（2）若BE=BC，B′E′=B′C′，则等于多少？（3）你能得到哪些结论？解：（1）∵△ABC∽△，∴，∠B=∠，=k.∵，，∴.∴△BAD∽△（两个角分别相等的两个三角形相似）.∴===k.（2）∵△ABC∽△，∴∠B=∠，==k.∵，∴=.∵==k，∴==k.∵∠B=∠，∴△BAE∽△（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），∴===k.（3）相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.【设计意图】通过问题探索，提升学生类比探究与独立解决问题的能力.（5）典例解析例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=BC时，求DE的长．如果SR=BC呢？师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC．∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C．∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴（相似三角形对应高的比等于相似比），即．当SR=BC时，得．解得DE=h．当SR=BC时，得．解得DE=h．1.如图4，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.解：（1）∵四边形PQRS是正方形，∴RS∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC.（2）∵△ASR∽△ABC，∴.设正方形PQRS的边长为xcm，则AE=(40–x)cm，解得x=24.答：正方形PQRS的边长为24cm.例2：两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？解：根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知：相似比为；较长中线的长等于.【设计意图】要求学生能用相似三角形对应高、对应中线、对应角平分的比等于相似比的性质来解决生活中的实际问题.增强学生的应用意识.（6）随堂练习1.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是()A.eq\f(5,6)mB.eq\f(6,7)mC.eq\f(6,5)mD.eq\f(10,3)m2.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比是()A．9∶16B.16∶9C．4∶3D.3∶43.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．（6）布置作业，课堂延伸基础作业：课本P108习题4.11；分层作业：完成课本P123联系拓广22，23五、板书设计：4.7.1相似三角形的性质1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；2．例题；3．小结.六、教学反思：相似三角形的性质（第一课时）1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治