北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习

北师大版数学八年级上册7.1第1课时分层练习一、基础夯实1．下列说法正确的是（）A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否B．推理是科学家的事，与我们没有多大关系C．对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个2．布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是（）A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿3．图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．11 B．10 C．8 D．74．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分5．能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是（）A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝76．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（）A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟7．小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.二、能力提升8．当n＝1时，代数式（n2－5n+5）2＝1；当n＝2时，（n2－5n+5）2＝；当n＝3时，（n9．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手次.10．观察下列各式：22－02＝4×142－22＝4×362－42＝4×582－62＝4×7（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个等式：；（2）如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.在－5，28，2016，2018这四个数中，是“神秘数”的有.11．由幂的乘方的性质，得（ab）2＝a2b2，类比这个等式，能得到（a＋b）2＝a2＋b2也成立吗？三、拓展培优12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此12，20，28都是奇巧数.（1）36，50是奇巧数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n，2n＋2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？

答案解析部分1．【答案】D【知识点】质数与合数；定义、命题、定理、推论的概念【解析】【解答】解：A.经验、观察或实验完全不能够完全判断一个数学结论的正确与否，还要有严格的逻辑证明，故此项错误；

B.生活中也有推理的存在，故此项错误；

C.当n=37时，n2+n+37=372+37+37=1443，它不是质数，故此项错误；

D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，此项正确，

故选：D.

【分析】根据推理、证明的作用即可作出判断.2．【答案】D【知识点】推理与论证【解析】【解答】解：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.

故选：D.

【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决.3．【答案】C【知识点】推理与论证【解析】【解答】解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，

∴从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；

又∵从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点到结点B的最大信息量为3，

∴从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8.

故选：C.

【分析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A-C-B和A-D-B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案.4．【答案】B【知识点】推理与论证【解析】【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．应选B．【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．5．【答案】C【知识点】举反例判断命题真假；猜想与证明【解析】【解答】解：A.n=4，n2+3n+1=16+12+1=29，故本选项错误；

B.n=5，n2+3n+1=25+15+1=41，故本选项错误；

C.n=6，n2+3n+1=36+18+1=55，故本选项正确；

D.n=7，n2+3n+1=49+21+1=71，故本选项错误；

故答案为：D.

【分析】将各选项中的n值代入表达式n2+3n+1，计算结果并判断是否为质数，若结果不是质数则为反例.6．【答案】C【知识点】生活中的简单运算推理【解析】【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟；总计共用：2+7+3=12（分钟），故选：C．

【分析】本题考查时间统筹的优化思想，解题的核心是找出可同时进行的工序以缩短总时间。首先，洗锅盛水是前置工序，必须单独进行，耗时2分钟；接着用锅烧开水的7分钟内，无需持续操作，可同步进行洗菜（3分钟）和准备面条及佐料（2分钟），这两道工序总耗时5分钟，小于烧开水的时间，不会影响后续步骤；最后用烧开的水煮面条和菜需3分钟，且必须在水烧开后进行。将这三个关键步骤的时间相加，即为煮好面条的最少时间。7．【答案】解：小明的猜想不正确.

理由如下：举反例，如当n＝7时，n2－6n＝7＞0【知识点】猜想与证明【解析】【分析】因为n2-6n=n(n-6)，所以只要n≥6时，该式子的值都表示非负数.8．【答案】1；1；1；1；错误【知识点】有理数混合运算的实际应用【解析】【解答】解：将n=1代入(n2-5n+5)2中，得(12-5×1+5)2=1，

故n=1时，(n2-5n+5)2=1成立；

将n=2代入(n2-5n+5)2中，得(n2-5n+5)2=1，

故n=2时，(n2-5n+5)2=1成立；

将n=3代入(n2-5n+5)2中，得(n2-5n+5)2=1，

故n=3时，(n2-5n+5)2=1成立

将n=4代入(n2-5n+5)2中，得(n2-5n+5)2=1，

故当n=4时，(n2-5n+5)2=1成立；

由于当n=5时，(n2-5n+5)2=25≠1，

故不能得到结论：对于所有的正整数n，代数式(n2-5n+5)2的值恒等于1.

故答案为：1，1，1，1，错误.

【分析】结合题意，看能否找出反例，若能找出反例，则说明结论不成立；若不能找出反例，再结合所学知识对结论作出严密的证明后，才能说明结论成立，本题，结合题意可知当n=5时，(n2-5n+5)2≠1，据此即可解答此题.9．【答案】2【知识点】逻辑推理【解析】【解答】解：∵共有5个人，A同学握手4次，∴A与B，C，D，E每人握手一次.∵D同学握手1次，∴B，C一定不与D握手.∵B握手3次，D握手1次，∴B握手3次一定是与A，C，E握手.∵C握手2次，∴C是与A和B握手，∴E一共握手2次，是与A和B握手.故答案为：2.【分析】根据握手次数进行推导是解题的关键，共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定.10．【答案】（1）(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)（2）28【解析】【解答】解：(1)根据题意得：第n(n为正整数)个等式为(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)；

故答案为：(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1).

(2)根据“神秘数”定义得：28=82-62，故“神秘数”是28.

故答案为：28.

【分析】(1)观察已知等式得到规律，写出即可；

(2)利用“神秘数”定义判断即可.11．【答案】解：（a＋b）2＝a2＋b2不成立，

理由如下：（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2【知识点】多项式乘多项式【解析】【分析】根据多项式乘多项式的乘方法则解决此题.12．【答案】（1）解：∵36＝102－82，

∴36是奇巧数.设两个连续偶数为m，m＋2（m为偶数），