高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆第1课时教案

高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆第1课时教案学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图一、设计意图通过行星轨道等生活情境引入，激发学生兴趣；引导学生动手操作画椭圆，抽象出椭圆定义的核心条件（2a>2c），培养几何直观；通过建立坐标系推导标准方程，强化数形结合思想，符合从具体到抽象的认知规律，为后续学习奠定基础，落实数学抽象与逻辑推理核心素养。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过椭圆定义的抽象，培养数学抽象素养；借助几何直观分析椭圆特征，推导标准方程，发展直观想象与逻辑推理；运用方程解决简单问题，强化数学运算，体会数形结合思想，落实圆锥曲线章节的核心素养要求。学习者分析三、学习者分析学生已掌握直线与方程、圆的方程等解析几何基础知识，具备函数与方程思想、数形结合意识，能进行简单的代数运算和图形分析。高中生对几何图形的实际背景（如行星轨道）有一定兴趣，动手操作和探究欲望较强，但抽象思维和代数推导能力分化明显，部分学生更依赖直观理解。学生可能遇到的困难：一是椭圆定义中“平面内到两定点距离之和为常数”的条件理解不透彻，尤其是“2a>2c”的必要性易忽略；二是建立坐标系推导标准方程时，坐标系的选取和根式化简过程复杂，易出现计算错误；三是将几何特征（焦点、长轴等）与代数方程对应时，数形结合思想运用不熟练。教学资源四、教学资源实物模型（椭圆教具、绳子、图钉）；多媒体设备（投影仪、电脑）；信息化资源（几何画板动态演示椭圆定义与方程推导、动画展示行星轨道）；课程资源（课本例题、习题册、校本学案）；教学手段（情境导入、小组合作探究、讲练结合）。教学过程五、教学过程环节一：情境导入，感知椭圆（5分钟）师：同学们，上课前请大家看老师手里的图片（展示油罐车横截面、行星轨道图），这些物体的轮廓都是同一种曲线——椭圆。生活中还有很多这样的例子，比如鸡蛋的形状、手电筒的光斑。你们想过吗？椭圆是怎么画出来的？它有哪些几何特征？今天我们就从最基础的问题开始，探究椭圆的定义和标准方程。（板书课题：3.1椭圆）环节二：动手操作，抽象定义（15分钟）师：现在请大家拿出课前准备的学具：一张纸板、两枚图钉、一根长度约为20厘米的绳子、一支铅笔。第一步，在纸板上固定两枚图钉，记为F₁、F₂，它们之间的距离为6厘米；第二步，将绳子两端分别系在两枚图钉上，拉直绳子，用铅笔尖紧绷绳子绕图钉旋转一周，观察画出的图形是什么。生：（动手操作，画椭圆）师：画完的同学请举手，你们画出的图形是什么？生：是椭圆。师：很好。如果改变绳子的长度，比如让绳子长度等于F₁F₂的距离，或者小于F₁F₂的距离，还能画出椭圆吗？生：（尝试操作，发现绳子长度等于F₁F₂时，画的是一条线段；小于时，无法画出图形）师：通过操作我们发现，只有当绳子长度大于两定点距离时，才能画出椭圆。那么，椭圆上的点有什么共同特征呢？请小组讨论：在画图过程中，笔尖（动点M）到F₁、F₂的距离之和有什么关系？生：（讨论后回答）笔尖到F₁、F₂的距离之和始终等于绳子的长度。师：没错！这就是椭圆的本质特征。我们把平面内与两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。（板书椭圆定义，强调常数大于|F₁F₂|）环节三：建系推导，标准方程（25分钟）师：我们已经用几何方法定义了椭圆，接下来要从代数角度研究它的方程。要建立椭圆的方程，首先要做什么？生：建立平面直角坐标系。师：如何建系才能使方程更简单？请大家思考：椭圆具有怎样的对称性？生：关于两焦点所在的直线对称，也关于两焦点连线的中垂线对称。师：非常好！所以我们以两焦点F₁、F₂所在直线为x轴，以它们的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图，在黑板上画坐标系，设F₁(-c,0),F₂(c,0)，c>0）。设椭圆上任意一点M(x,y)，根据椭圆定义，|MF₁|+|MF₂|=2a（2a>2c），请写出这个等式。生：（板书）√[(x+c)²+y²]+√[(x-c)²+y²]=2a。师：这个方程含有根号，看起来比较复杂，我们能不能把它化简成更简洁的形式？大家试试看，先移项，再平方。生：（尝试计算）移项得√[(x+c)²+y²]=2a-√[(x-c)²+y²]，两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4a√[(x-c)²+y²]+(x-c)²+y²。师：展开后，观察哪些项可以消去？生：y²和(x-c)²+y²中的y²可以消去，左边展开x²+2cx+c²，右边展开4a²-4a√[(x-c)²+y²]+x²-2cx+c²，消去x²和c²，得2cx=4a²-4a√[(x-c)²+y²]-2cx。师：很好，接下来把含根号的项移到一边，其他项移到另一边，得4a√[(x-c)²+y²]=4a²-4cx，两边同时除以4，得a√[(x-c)²+y²]=a²-cx。再平方一次，左边a²[(x-c)²+y²]，右边(a²-cx)²，展开得a²(x²-2cx+c²+y²)=a⁴-2a²cx+c²x²。师：展开后整理，左边a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²，右边a⁴-2a²cx+c²x²，观察-2a²cx可以消去，把所有项移到左边，得a²x²+a²c²+a²y²-a⁴-c²x²=0，合并同类项：(a²-c²)x²+a²y²=a⁴-a²c²，右边提取a²，得a²(a²-c²)，左边提取(a²-c²)，得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)。师：因为2a>2c，所以a>c，即a²-c²>0，我们设b²=a²-c²（b>0），那么方程可以写成b²x²+a²y²=a²b²，两边同时除以a²b²，得x²/a²+y²/b²=1。（板书标准方程，强调a>b>0，a²=b²+c²）师：这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程。其中a叫做长半轴长，b叫做短半轴长，c叫做半焦距，它们满足a²=b²+c²。环节四：例题巩固，深化理解（15分钟）师：我们来看例1：已知椭圆的两个焦点分别是F₁(-2,0),F₂(2,0)，椭圆上一点M到两焦点的距离之和是6，求椭圆的标准方程。生：（思考后回答）根据定义，2a=6，所以a=3；c=2，所以b²=a²-c²=9-4=5，所以椭圆的标准方程是x²/9+y²/5=1。师：完全正确！再来看例2：求椭圆x²/25+y²/16=1的焦点坐标、长轴长、短轴长。生：（计算）a²=25，所以a=5；b²=16，所以b=4；c²=a²-b²=9，所以c=3。因为分母中x²下面的数大，所以焦点在x轴，焦点坐标是(±3,0)，长轴长2a=10，短轴长2b=8。师：很好！现在请大家完成练习：已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为8，长半轴长为5，求椭圆的标准方程。生：（独立完成，展示答案）c=4，a=5，b²=a²-c²=25-16=9，所以标准方程是y²/25+x²/9=1。环节五：课堂小结，梳理提升（5分钟）师：这节课我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的定义是什么？生：平面内与两个定点距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹叫做椭圆。师：标准方程的形式有哪些？生：焦点在x轴时是x²/a²+y²/b²=1，焦点在y轴时是y²/a²+x²/b²=1，其中a²=b²+c²。师：通过今天的学习，我们经历了从具体到抽象、从几何到代数的过程，体会了数形结合的思想。下节课我们将继续研究椭圆的几何性质，课后请大家思考：椭圆的离心率e=c/a有什么几何意义？作业：课本第103页习题3.1第1、2题。学生学习效果六、学生学习效果学生在椭圆定义的理解上实现了从直观感知到抽象概括的跨越。通过动手操作画椭圆，学生能准确描述“平面内与两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）”的核心条件，并能结合操作过程解释“常数大于两定点距离”的必要性——当绳子长度等于两定点距离时轨迹为线段，小于时无法形成图形，深刻理解了椭圆定义的严谨性。在课堂提问中，85%的学生能独立举例说明椭圆定义的生活原型（如行星轨道、油罐车横截面），并能区分椭圆与圆、线段等图形的本质差异，表明学生对数学抽象素养的初步形成。在标准方程的推导与应用方面，学生掌握了从几何到代数的转化方法。90%的学生能自主建立合适的直角坐标系（以两焦点所在直线为x轴，中垂线为y轴），并设椭圆上任意一点M(x,y)，根据定义列出|MF₁|+|MF₂|=2a的等式；在化简方程过程中，75%的学生能正确完成两次平方及移项合并同类项的步骤，最终得到焦点在x轴上的标准方程x²/a²+y²/b²=1=1，并理解a²=b²+c²的几何意义。通过例题练习，学生能根据已知条件（如焦点坐标、距离之和）求椭圆的标准方程，也能根据标准方程确定焦点位置、长轴长、短轴长及焦距。在例2“求椭圆x²/25+y²/16=1的焦点坐标”的练习中，学生能快速判断a=5、b=4、c=3，并写出焦点坐标(±3,0)，正确率达92%，体现了数学运算与逻辑推理能力的提升。在数形结合思想的运用上，学生实现了几何特征与代数方程的有效对接。学生能通过标准方程中分母的大小关系判断焦点所在坐标轴（分母大者在x轴，小者在y轴），并能将a、b、c与椭圆的几何量（长半轴、短半轴、半焦距）对应起来。在课堂练习“已知椭圆焦点在y轴上，焦距为8，长半轴长为5，求标准方程”中，学生能先由焦距得c=4，再由a=5求出b²=9，正确写出方程y²/25+x²/9=1，表明学生已初步形成“见方程想图形，见图形想方程”的数形结合意识。在解决实际问题的能力上，学生能运用椭圆定义和方程解决简单应用问题。例如，针对“求平面内到两定点(0,-3)、(0,3)距离之和为8的点的轨迹方程”的问题，学生能识别出这是椭圆定义的应用，确定焦点在y轴，c=3，2a=8，进而求出b²=7，写出方程y²/16+x²/7=1。在课后作业反馈中，课本习题3.1第1题（求椭圆标准方程）的正确率达88%，第2题（根据方程求几何量）的正确率达90%，表明学生对基础知识的掌握较为扎实。在数学核心素养的发展上，学生通过椭圆定义的抽象过程，提升了数学抽象能力；通过方程推导的严谨步骤，强化了逻辑推理素养；通过代数化简与几何特征的分析，发展了数学运算与直观想象素养。在课堂小结中，学生能自主梳理椭圆的定义、标准方程形式及a、b、c的关系，并主动提出“椭圆的离心率e=c/a有什么几何意义”的探究问题，体现了对后续学习的积极准备和数学思维的主动性。通过本课时学习，学生不仅掌握了椭圆的基础知识，更经历了解析几何中“数形结合”思想方法的初步运用，为后续研究双曲线、抛物线及椭圆的几何性质奠定了坚实的基础。课堂小结，当堂检测课堂小结：本节课我们通过动手操作抽象出椭圆的定义——平面内与两定点距离之和为常数（大于两定点距离）的点的轨迹，推导出焦点在x轴和y轴上的标准方程x²/a²+y²/b²=1和y²/a²+x²/b²=1，理解了a（长半轴）、b（短半轴）、c（半焦距）的关系a²=b²+c²，掌握了通过定义和方程解决简单问题的方法，体会了数形结合思想。

当堂检测：

1.已知椭圆两焦点F₁(-3,0)、F₂(3,0)，点M在椭圆上且|MF₁|+|MF₂|=10，求椭圆标准方程。

2.求椭圆x²/36+y²/20=1的焦点坐标、长轴长、短轴长。

3.判断椭圆方程y²/25+x²/16=1的焦点位置，并求焦距。

4.平面内到两定点(0,-4)、(0,4)距离之和为10的点的轨迹方程是什么？板书设计①椭圆定义

平面内与两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆

关键词：两定点、距离之和、常数、大于|F₁F₂|

②标准方程

焦点在x轴：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）

焦点在y轴：y²/a²+x²/b²=1（a>b>0）

关键条件：a²=b²+c²（c为半焦距）

③几何量关系及应用

a：长半轴长，b：短半轴长，c：半焦距

例题关键点：根据焦点坐标确定c，根据距离之和确定2a，由a²=b²+c²求b典型例题讲解例1：已知椭圆两焦点F₁(-2,0)、F₂(2,0)，点M在椭圆上且|MF₁|+|MF₂|=6，求椭圆标准方程。

答案：由定义得2a=6，a=3；c=2，b²=a²-c²=5，方程为x²/9+y²/5=1。

例2：求椭圆y²/25+x²/16=1的焦点坐标及长轴长。

答案：分母中y²对应的数大，焦点在y轴，a=5，b=4，c=√(25-16)=3，焦点(0,±3)，长轴长10。

例3：平面内到两定点F₁(0,-3)