对口高考数学总复习

中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第一章集合与条件考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握集合√集合的表示法√集合之间的关系（子集、真子集、相等）√集合的运算（交、并、补）√充要条件√命题趋势一真题在线一第一节集合真题在线一知识清单一知识点一集合的概念与表示法知识点一集合的概念与表示法一1.集合把具有某种属性的一些确定的对象看成一个整体，便形成一个集合，常用大写的拉丁字母A，B，C等表示.2.元素集合中的每一个确定的对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a,b,c等来表示.3.元素与集合的关系及性质如果a是集合A的一个元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性的特征.4.常用的集合空集（）、正整数集（Z+或N*）、自然数集（N）、整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）.知识点一集合的概念与表示法一5.集合的两种表示法（1）列举法.把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫作列举法.注意：用列举法表示集合时，要注意以下几点：①元素之间用逗号“，”隔开.②元素不能重复(满足集合中元素的互异性).③元素不能遗漏.④当集合中的元素较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但存在一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.（2）描述法.用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法.描述法表示的一般形式是{x|p(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式，“p(x)”是集合中元素的共同特征，两者之间的竖线不可省略.注意：用描述法表示集合时，要注意以下几点：①写清楚集合中元素的代表形式(一般用小写字母表示).②写明集合中元素的特征或性质.③用于描述元素特征的语句要力求简明、准确，不产生歧义；多层描述时，应当准确使用“且”“或”等关联词.④所有描述的内容都要写在大括号内.⑤在不引起混淆的情况下，用描述法表示集合时有时也可以省去竖线和竖线左边的部分.例如，正整数的集合可简记为{正整数}，但是，集合{x|x>1}就不能省略竖线及其左边的x.知识清单一知识点二集合间的关系一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，那么，集合A就叫作集合B的子集，记作AB或者BA，读作“A包含于B”，或“B包含A”.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作作集合B的子集,记作A⊆B或者B⊇A,读作“A包含于B”,或“B包含A”.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A⊈B或B⊉A.性质:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;空集是任何集合的子集,即⌀⊆Az01.子集知识点二集合间的关系一注意：不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合，因为A的子集包括它本身，而这个子集由A的全体集合组成；空集也是A的子集，但这个子集中不包括A中的任何元素.如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,则A是B的真子集(A包含于B但不等于B),记作A⫋B或B⫌A.性质:空集是任何非空集合的真子集;对于集合A,B,C,若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.注意：元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.02.真子集知识点二集合间的关系一注意：元素与集合之间是属于关系,集合与集合之间是包含关系.一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B(A，B的所有元素均相等).注意：（1）若两个集合相等，则两个集合所含元素完全相同，反之亦然.（2）要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，主要看它们的元素是否完全相同；若是无限集，则从“互为子集”入手进行判断.03.集合相等知识点二集合间的关系一注意：知识清单一知识点三集合的运算一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B｝.性质：(1)A∩B=B∩A.(2)A∩A=A.(3)A∩⌀=⌀.(4)A∩B⊆A,A∩B⊆B.(5)若A⊆B,则A∩B=A.知识点三集合的运算一注意：1.交集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.性质：(1)A∪B=B∪A.(2)A∪A=A.(3)A∪⌀=A.(4)A⊆A∪B,B⊆A∪B.(5)若A⊆B,则A∪B=B.知识点三集合的运算一注意：2.并集（1）用Venn图表示两个集合的交集、并集（见图1-1）。（2）借助数轴表示数集的交集、并集（见图1-2）。知识点三集合的运算一注意：3.图示两个集合的交集、并集图1-1图1-2如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集,通常用U表示.注意：全集是一个相对的概念，在不同的情况下全集的概念也不同.知识点三集合的运算一注意：4.全集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作UA,即UA={x|x∈U且x∉A}.性质:(1)U(UA)=A.(2)U⌀=U,UU=⌀.(3)A∪(UA)=U.(4)A∩(UA)=⌀.知识点三集合的运算一注意：5.补集(1)方程的解集:{x|x2-3x+2=0}或{1,2},一般用列举法表示.(2)方程组的解集:{（3,1）}或一般用后者表示.(3)不等式的解集:{x|3≤x<5}或[3,5),一般用区间表示.(4)点集:{(x,y)|y=2x+1}.(5)具有某种性质的点集:{M||PM|=a}(P为定点).(6)三角函数中角的集合表示:M={α|2kπ<α<2kπ+π,k∈Z}.知识点三集合的运算一注意：6.常见的集合表示(1)我国著名的数学家;(2)超过10的所有自然数;(3)某校2015年招收的高个子学生;(4)方程x2-9=0的实数解;(5)在直角坐标平面内,第二象限的所有点.其中能构成集合的是().A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(4)(5)D.(3)(4)(5)【解析】(1)“我国著名的数学家”不是一个明确的标准,不能构成一个集合;(3)“高个子学生”这一标准也不确定,无法判定某人是高还是矮,也不能构成集合.(2)(4)的对象是确定的;(5)的对象虽然有无限个,但它是确定的.因此选C.【技巧点拨】

判断某组对象能否构成集合,关键看对象是否为整体的和确定的.标准一定要是明确的,不能模糊,否则无法判断.

典例解析一注意：例1下列每组对象:(1)A={x|-2<x<5,x∈Z};(2)B={(x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N}.【解析】(1)A={-1,0,1,2,3,4};(2)B={(0,5),(1,3),(2,1)}.【技巧点拨】掌握集合的两种表示方法.

典例解析一注意：例2用列举法表示下列集合:A.A=0B.A=⌀C.0∈AD.⌀∈A【解析】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系.答案选C.【技巧点拨】正确理解符号∈,∉,⊆,⫋的意义,是正确处理此类问题的关键.典例解析一注意：例3设集合A={0},下列结论正确的是().【解析】由题意得:A={-1,2},因为B⊆A,所以B=⌀或B={-1}或B={2}或B={-1,2}.又因为B={x|x2-4x+p=0},所以B={-1,2}不成立.当B=⌀时,Δ=(-4)2-4p=16-4p<0,解得p>4;当B={-1}时,Δ=16-4p=0-12-4×-1+p=0,无解;当B={2}时,Δ=16-4p=0,22-4×2+p=0,解得p=4.综上,实数p的取值范围是:p∈[4,+∞).【技巧点拨】两个集合包含或相等关系的问题,通过建立方程(组),然后解出未知数,最后利用集合元素的特征进行检验即可.典例解析一注意：例4已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2-4x+p=0},若B⊆A,求实数p的取值范围.A.9B.8C.5D.4【解析】由x2+y2≤3,知-3≤x≤3,-3≤y≤3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈-1,0,1,y∈-1,0,1.所以A中元素的个数为9.【技巧点拨】对于求解集合中元素个数的题目,首先求出集合,然后根据集合中元素的互异性求出集合中元素的个数,或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数.典例解析一注意：例5已知集合A={x,yx2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为().【解析】B=xx2-2x-3<0=x-1<x<3,UA=xx<0或x≥2,所以A∩B=x0≤x<2,A∪B=x-1<x<3,UA∩B=x-1<x<0或2≤x<3.【技巧点拨】考查对集合运算的理解及性质的运用.

典例解析一注意：例6设全集U=R,集合A=x0≤x<2,集合B=xx2-2x-3<0,求A∩B,A∪B,UA∩B.【解析】如图1-3所示,要使M∩N=⌀,必须满足a+3≤5a≥-1,解得-1≤a≤2,所以实数a的取值范围为{a|-1≤a≤2}.图1-3【技巧点拨】解题时利用数轴表示集合,便于寻求满足条件的实数a.特别需要注意的是“端点值”的问题,是能取“=”还是不能取“=”.

典例解析一注意：例7已知集合M={x|a≤x≤a+3},N={x|x<-1或x>5},若M∩N=⌀,求实数a的取值范围.A.(UM)⊇(UN)B.(UM)⊇NC.(UM)⊆(UN)D.M⊇(UN)【解析】根据各集合之间的关系作图(见图1-4),这样就很容易做出判断,故选C.图1-4【技巧点拨】(1)考虑集合之间的关系,用图形解答比较方便.(2)在数学中利用“数形结合”的思想,往往能使问题简单化.典例解析一注意：例8U为全集,集合M⫋U,N⫋U,且N⊆M,则().真题在线一第二节充要条件真题在线一1.命题的概念知识清单一在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句称为命题.正确的命题称为真命题,记作T;错误的命题称为假命题,记作F.T和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题的真值).p与q为等值的命题记作p=q.2.必要条件的定义知识清单一(1)对于两个命题p,q,如果有p⇒q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.注意:p是q的充分条件,是指只要具备了条件p,那么q就一定成立,即命题中的条件是充分的;q是p的必要条件,是指如果不具备条件q,则p就不能成立,即q是p成立的必不可少的条件.(2)如果p⇒q且q⇒p,即p=q,则p是q的充分且必要条件,简称充要条件.注意:(1)当p⇔q时,也称p与q是等价的.(2)与充要条件等价的词语有:“当且仅当”“等价于”“有且只有”“必需且只需”“……,反过来也成立”等.3.必要条件的判断方法知识清单一(1)从逻辑推理关系上判断(定义法).①若p⇒q但qp,则p是q的充分不必要条件.②若pq但q⇒p,则p是q的必要不充分条件.③若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件.④若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法).设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B.①若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的充分不必要条件.②若A⊇B,则p是q的必要条件;若A⊇B,则p是q的必要不充分条件.③若A⊆B且A⊇B,即A=B,则p是q的充要条件.④若A⫋B且A⫌B,则p是q的既不充分也不必要条件.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p:|3x-5|<4⇒p:1/3<x<3,q:(x-1)(x-2)<0⇒q:1<x<2.所以p⫋q但q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.选B.【技巧点拨】判断充分必要条件时,先要分清条件和结论,进而找到条件与结论之间的逻辑推理关系.常用的判断法:定义法和集合法.典例解析一注意：例1已知p:|3x-5|<4,q:(x-1)(x-2)<0,则p是q的().已知集合,,p：x∈A，q：x∈B,并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.【解析】由题意得A=716,2,B=［1-m2,+∞），由于p是q的充分条件，所以AB,所以1-m2≤716，解得m≥34或m≤－34，即实数m的取值范围是（-∞,－34］∪［34,+∞）.【技巧点拨】本题主要考查集合的运算，以及充要条件的判断，根据不等式之间的关系是解题的关键.典例解析一注意：例2ThanksForListening中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第二章不等式考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握比较实数大小的方法√不等式的基本性质√区间的概念√一元一次不等式和一元一次不等式组的解法√一元二次不等式√含绝对值的不等式(c>0)[|ax+b|<c(或>c)]√命题趋势一真题在线一第一节不等式的基本性质及区间知识清单一知识点一不等式的基本性质知识点一不等式的基本性质一1.实数的大小比较基本性质(作差比较法)对于任意两个实数a,b.(1)a-b>0⇔a>b;(2)a-b=0⇔a=b;(3)a-b<0⇔a<b.2.不等式的定义表示不等关系的式子称为不等式,满足不等式的未知数的取值的集合称为不等式的解集.3.不等式的基本性质性质1:如果a>b,并且b>c,那么a>c.性质2:如果a>b,那么a+c>b+c.性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.推论:(1)a>b,c>d⇔a+c>b+d.(同向不等式可加性)(2)a>b,c<d⇔a-c>b-d.(异向不等式可减性)(3)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.(4)a>b>0⇒a>b;a>b>0⇒a2>b2.知识清单一知识点二区间设a,b∈R,且a<b，我们规定：（1）{x|a≤x≤b}=［a,b］，［a,b］称为闭区间.（2）{x|a<x<b}=(a,b),(a,b)称为开区间.（3）{x|a≤x<b}=［a,b),{x|a<x≤b}=(a,b］,［a,b)与(a,b］称为半开半闭区间.注意：（1）实数集R可以用区间表示为（-∞,+∞），符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大”.（2）区间是实数集及其子集的另一种表示形式，区间的左端必须小于或等于右端，而且区间只能表示连续的数集.知识点二区间一【解析】（作差法）2x2-3x+7-(x2+x+2)=x2-4x+5=(x-2)2+1>0.因此2x2-3x+7>x2+x+2.【技巧点拨】本题考查比较代数式大小的方法.作差法是判断两个数（或代数式）大小的基本方法之一，在比较代数式大小的时候要注意变量的取值范围.典例解析一注意：例1试比较2x2-3x+7与x2+x+2的大小.A.若a>b,则ac>bcB.若a>b,且c>d,则a+d>b+cC.若ac2>bc2,则a>bD.若a>b,且c>d,则ac>bd【解析】对于本题选项A,若c=0,则ac=bc=0,A选项不成立;对于选项B和选项D,可以通过特殊值来判断,令a=0,b=-1,c=-2,d=-3,可排除选项B和D.本题选项C正确.【技巧点拨】解答此类题目,要注意不等式性质的正确应用,同时也要考虑其他知识.另外也可用特殊值法来判断.典例解析一注意：例2下列命题中正确的是().【解析】对于a+b，ab的取值范围可直接利用不等式的同向可加性和同向可乘性求得.对a-b和a/b的取值范围，应先求出-b和1/b的取值范围.根据不等式的同向可加性可知8＜a+b＜13；根据不等式的同向可乘性可知12＜a/b＜30；因为2＜b＜3，所以－3＜－b＜－2.又因为6＜a＜10，所以6－3＜a－b＜10－2，即3＜a－b＜8.又因为1/3＜1/b＜1/2，所以6/3＜a/b＜10/2，即2＜a/b＜5.【技巧点拨】利用不等式的性质求取值范围一定要熟练掌握不等式的性质，特别是同向可加性和同向可乘性.典例解析一注意：例3已知6<a<10,2<b<3,求a+b,a-b,ab,a/b的取值范围.真题在线一第二节不等式的解法真题在线一知识清单一知识点一一元一次不等式的解法1.一元一次不等式知识清单一经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后,能化为ax<b或ax>b或ax≤b或ax≥b的形式,其中x是未知数,a,b是已知数,并且a≠0,这样的不等式叫作一元一次不等式.ax<b或ax>b或ax≤b或ax≥b(a≠0)叫作一元一次不等式的标准形式.2.解一元一次不等式知识清单一去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax<b或ax>b的形式）→系数化为1（化成x>b/a或x<b/a的形式）.一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.解一元一次不等式组的一般步骤如下：(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集.(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集.注意：（1）利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点.（2）若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.2.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况知识清单一由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况见表2-1.不等式组（a<b）图示解集口诀x≥ax≥bx≥b同大取大x≤ax≤bx≤a同小取小x≥ax≤ba≤x≤b大小、小大中间找x≤ax≥b空集小小、大大找不到知识清单一知识二一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的定义知识清单一只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.例如,x2-5x<0.任意的一元二次不等式,总可以化为一般形:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).2.一般的一元二次不等式的解法知识清单一一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集可以联系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,图像在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2+bx+c>0的解集,图像在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2+bx+c<0的解集.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则相应的不等式的解集的各种情况见表2-2.注意:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2是相应的一元二次不等式的解集的端点取值,是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标.(2)表中不等式的二次项系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质将其转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决.2.一般的一元二次不等式的解法知识清单一Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像ax2+bx+c=0(a>0)的解集有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1,x2=-b/2a无实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

{x|x<x1或x>x2}{x|x≠-b/2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x<x<x2}⌀⌀3.解一元二次不等式的步骤知识清单一(1)看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数.(2)写出相应的方程ax2+bx+c=0(a>0),计算判别式Δ.①当Δ>0时,求出两根x1,x2,且x1<x2(注意灵活运用因式分解和配方法).②当Δ=0时,求根x1=x2=-b/2a.③当Δ<0时,方程无解.(3)根据不等式,写出解集.知识清单一知识点三简单分式不等式的解法知识点三简单分式不等式的解法知识清单一解分式不等式的基本思想是将分式不等式化为整式不等式.在解分式不等式时,通过恒等变形,先将其化为f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0的形式,再利用商的符号法则转化为整式不等式来求解,即f(x)g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0,f(x)g(x)<0⇔f(x)·g(x)<0.对于f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式,将其化为整式不等式后,应注意分子可取零,而分母不能为零.知识清单一知识点四含绝对值不等式的求解1.绝对值的定义知识清单一(1)代数意义.一个数的绝对值是非负数,即a,a≥0-a,a<0.(2)几何意义.一个数的绝对值|a|表示这个数a在数轴上对应的点到原点的距离.|a|=2.含绝对值不等式的解法知识清单一解含绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号,而去掉绝对值符号的常用方法有以下几种:a,a≥0-a,a<0.(2)零点分段讨论法:通常用于解含有两个或两个以上的绝对值符号的不等式.(3)利用不等式的性质:|x|<a(a>0)⇔-a<x<a;|x|>a(a>0)⇔x<-a或x>a.(4)两边平方法:|f(x)|<a⇔f2(x)<a2;|f(x)|>a⇔f2(x)>a2.|a|=A.{x|x≥3}B.{x|x≥-3}C.{x|x>-3}D.{x|x<-3}【解析】整理后为x>-3,因此选C.【技巧点拨】掌握不等式移项,正负号要改变.典例解析一注意：例1一元一次不等式3x+9>0的解集是().例2解不等式组x+2≤0x-3<0.【解析】考查不等式的性质,经整理得x≤-2.【技巧点拨】掌握不等式“同小取小”.

典例解析一注意：例2(1)|2x-1|≤5;(2)|31-x|>12;(3)|x|+3<0.【解析】(1)由|2x-1|≤5⇔-5≤2x-1≤5,即-2≤x≤3,所以原不等式的解集为[-2,3].(2)由3|1-x|>12⇔|1-x|>4⇔1-x<-4,或1-x>4即x<-3或x>5,所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(5,+∞).(3)由|x|+3<0得|x|<-3,与绝对值为非负矛盾,所以原不等式解集为⌀.【技巧点拨】首先判断是否为标准形式的绝对值不等式,再将绝对值不等式进行等价转化为一元一次不等式(组),从而求解.典例解析一注意：例3求下列含绝对值不等式的解集:解不等式组:

|2x+3|≤5x2-3>2x【解析】由不等式2x+3≤5⇔-5≤2x+3≤5,即-4≤x≤1.又由不等式x2-3>2x⇔x2-2x-3>0⇔x+1x-3>0,即x<-1或x>3.又求交集-4≤x≤1x<-1或x>3得原不等式组解集为[-4,-1].【技巧点拨】

首先分别求绝对值不等式和一元二次不等式的解集,再求两个不等式解集的交集.

典例解析一注意：例4ThanksForListening中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第三章函数考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握函数的概念√求函数的定义域√简单函数的值域√函数的三种表示法√增函数、减函数、单调区间的概念√判断简单函数的单调性√函数的奇偶性√判断简单函数的奇偶性√函数的实际应用举例√命题趋势一真题在线一第一节函数及其表示真题在线一真题在线一知识清单一知识点一函数的定义知识点一函数的定义一如果在某变化过程中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有唯一确定的y值和它对应,那么y就是x的函数,x称为自变量,x的取值范围称为函数的定义域,各x的值对应的y值称为函数值,函数值的集合称为值域(我们称用变量叙述的定义为函数的传统定义).函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,数集B={f(x)|x∈A}为值域.定义域、对应法则、值域构成了函数的三要素.知识清单一知识点二函数的定义域(1)如无特别说明,函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.(2)函数定义域的求法.已知函数解析式,求定义域:①分式形式的函数,分母不等于零;偶次根式被开方式非负;x0中的底数x不等于零②分段函数的定义域是各段中x取值的并集;若f(x)是由多个部分的式子构成的,那么函数的定义域是使各部分有意义的集合的交集.③若f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b解出知识点二函数的定义域一知识清单一知识点二函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时的值域为[(4ac－b2)/4a,+∞）;当a<0时的值域为（－∞,（4ac－b2）/4a].（3）反比例函数y=k/x(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}.知识点三函数的值域一知识清单一知识点二函数的表示方法(1)列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫作列表法.(2)图像法：如果图形F是函数y=f(x)的图像，则图像上的任意点的坐标都满足函数的关系式，反之满足函数关系式的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫作图像法.(3)解析式法：如果在函数y=f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式来表达的，这种方法叫作解析式法.知识点三函数的值域一典例解析一注意：例1与y=x表示相同函数的是().A.y=√x2B.y=x2/xC.D.【解析】因为y=x2=|x|与y=x对应法则不同，排除A；y=x2/x=x(x≠0)与y=x的定义域不同，排除B；y=实质是y=|x|，与y=x的d对应法则、值域不同，排除C；而y=与y=x定义域相同、对应法则相同、值域相同，故选D.【技巧点拨】判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否均相同.其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质.

x,x≥0x,x<0

x,x≥0

-x,x<0

x,x≥0

-x,x<0

x,x≥0x,x<0（1）y=√（x+1）－x/（3－x）；（2）y=√（－3+2x+x2）；（3）y=log2（x2－5x+4）；（4）y=1/（1－sinx）.【解析】（1）,⇒

故定义域为[－1,3)∪(3,+∞).⇒（2）－3+2x+x2≥0，⇒（x+3）（x－1）≥0，⇒x≥1或x≤－3.故定义域为－∞,－3∪1,+∞.（3）x2－5x+4＞0，⇒x-4x-1＞0，⇒x≥4或x≤1.故定义域为－∞,1∪4,+∞.典例解析一注意：例2求下列函数的定义域:x+1≥0

3-x≠0x≥-1

x≠3（4）1－sinx≠0，⇒x≠π/2+2kπ,k∈Z.故定义域为{x|x≠π/2+2kπ,k∈Z}【技巧点拨】求函数的定义域时，应注意以下几个方面：(1)函数式是整式时，定义域为R.(2)函数式含分式时，分母不等于零.(3)函数式含偶次根式时，被开方数大于等于零.(4)函数式含对数式时，真数大于零，底数大于零且不等于1.(5)函数式含零指数式时，底数不等于零，如y=(x-1)0，则x-1≠0，即x≠1.(6)函数式含正切型函数时，如y=tanx，则x≠π/2+kπ，k∈Z.(7)实际应用题中函数的定义域还要受实际条件的限制.典例解析一注意：例2求下列函数的定义域:（1）y=x2-4x+3(2≤x≤3）;(2)y=（1－ex）/（1+ex）.【解析】(1)因为f(x)在［2，3］上单调递增，所以x=2时，ymin=-1,x=3时，ymax=0.所以函数的值域为［-1，0］.（2）因为ex=（1－y）/（1+y）,所以（1－y）/（1+y）＞0,解之得-1<y<1,所以函数的值域为（-1，1）.【技巧点拨】求函数的值域，应根据解析式的结构特点选择适当的方法，常见的有：（1）直接观察法：对于一些比较简单的函数，根据函数的定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.（2）反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.（3）配方法：是求二次函数值域最基本的方法之一，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.（4）换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，然后通过求函数的值域，间接地求解原函数的值域.（5）不等式法：利用几个重要不等式及推论（如a+b≥2√ab，a2+b2≥2ab）来求得最值，进而求得值域.典例解析一注意：例3

求下列函数的值域:【解析】f（2）=2×2-√（22+4×2+4）=4-√16=0;f（-3）=2×（-3）-√[（-3）2+4×（-3）+4）]=-6-1=-7;f（a）=2×a-√（a2+4a+4）=2a-|a+2|.【技巧点拨】此题y=f(x)表达式满足直接代入求值的条件,将x分别替换为2,-3,a即可求出相应值.典例解析一注意：例4设f（x）=2√（x-x2+4x+4,）求f（2）,f（-3）,f（a）.真题在线一第二节函数的性质真题在线一真题在线一真题在线一真题在线一知识清单一知识点一函数的单调性1.函数单调性的概念知识清单一如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)在此区间上是单调递增(增函数);当x1<x2时,有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)在此区间上单调递减(减函数).如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,就说f(x)在此区间上具有单调性,这个区间叫作单调区间.2.单调函数的图像知识清单一增函数的图像从左往右呈上升趋势,减函数的图像从左往右呈下降趋势.3.函数单调性证明的一般过程(1)在指定区间内任取两个自变量的值x1,x2,且x1<x2.(2)作差f(x1)-f(x2),通过因式分解、配方或有理化等手段对差进行变形.(3)判断f(x1)-f(x2)的符号,由定义得出单调性.4.复合函数的单调性知识清单一若y=f(u),u=g(x),对一切x∈区间D,有对应的u∈区间E,则复合函数y=f[g(x)]的单调性见表3-3.这些结论可概括为“同增异减”.表3-3u=g（x）在D上y=f（u）在E上y=f[g（x）]在D上递增递增递增递减递减递增递增递减递减递减递增递减知识清单一知识二函数的奇偶性1.轴对称和中心对称的图形知识清单一一般地,设点P(a,b)为平面上任意一点,则点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b),点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b),点P(a,b)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b).结论:关于谁,谁不变;关于原点都改变.对于函数图像,我们有如下的结论:(1)如果函数图像上任意一点P关于原点的对称点P'也在函数的图像上,那么,函数图像关于原点对称,原点O称为这个函数图像的对称中心.(2)如果函数图像上任意一点P关于y轴的对称点P'也在函数的图像上,那么,函数图像关于y轴对称,y轴称为这个函数图像的对称轴.2.函数奇偶性的定义知识清单一(1)奇函数：如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数是奇函数.(2)偶函数：如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则这个函数是偶函数.(3)如果f(x)是奇函数或偶函数，我们就说f(x)具有奇偶性.3.奇函数和偶函数的性质知识清单一(1)y=f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称；y=f(x)是偶函数，则f(x)的图像关于y轴对称.(2)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.(3)奇函数在其对称的单调区间上具有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间上具有相反的单调性.4.奇偶函数的判定知识清单一(1)检查函数的定义域是否关于原点对称.若定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再考察函数值的关系.(2)判断函数奇偶性的方法.①定义法：若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数.②图像法：根据y=f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称；y=f(x)是偶函数，则f(x)的图像关于y轴对称来判定.5.待定系数法知识清单一(1)定义.一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成一般的形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间的关系式的方法称为待定系数法.(2)一般过程.首先确定所求问题含待定系数的函数解析式；其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程(组)；最后解方程(组)或消去待定系数.（1）函数y=2x-3在R上是函数；（2）函数y=x2-2x+3的单调递增区间是，单调递减区间是;（3）函数y=1/x在（0,+∞）上是函数；【解析】这些初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、对数函数和指数函数（实际上还包括三角函数），可画出所给函数的图像进行判断.(1)增；（2）［1,+∞），(-∞,1］；（3）减.【技巧点拨】熟记常见函数的单调性对解题有很大的好处，上述各函数的图像如图3-1所示.典例解析一注意：例1判断下列函数的增减性.典例解析一注意：图3-1【解析】在(1,+∞)上任取两数x1,x2,且1<x1<x2.f(x1)-f(x2)=(x1x2-1)(x1-x2)/（x1x2),因为x1x2-1>0,x1-x2<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故函数f(x)=x+1/x在(1,+∞)上是增函数.【技巧点拨】函数单调性的证明或者判断的步骤是:取值—作差—断号—做结论.典例解析一注意：例2讨论函数f(x)=x+1/x在(1,+∞)上的单调性.【解析】由题意知此函数的定义域为（-∞,-1］∪［6，+∞）,设u=x2-5x-6.因为y=u在定义域内单调递增，u=x2-5x-6在区间（-∞,-1］内单调递减，u=x2-5x-6在区间［6,+∞）内单调递增.所以函数y=x2-6x-6的单调递增区间为［6,+∞），单调递减区间为（-∞,-1］.【技巧点拨】求复合函数的单调区间要先求函数的定义域，然后在定义域内分析函数的单调性.在判断复合函数的单调性时可根据同增异减的原则.典例解析一注意：例3求函数y=x2-5x-6的单调区间.（1）f(x)=x(x+1);(2)f(x)=2x/(x2+1);(3)f(x)=√(1-x2)/|x|.【解析】判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标原点对称，再判断f(-x)与f(x)的大小关系，结合奇偶性定义给出结论；若函数的定义域不关于坐标原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.（1）因为f(x)的定义域是R，关于坐标原点对称，又因为f(-x)=-x(-x+1)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)=x(x+1)是非奇非偶函数.（2）因为f(x)的定义域是R，关于坐标原点对称，又因为f(-x)=2(-x)/(-x)2+1=-2x/(x2+1)=-f(x),所以函数f(x)=2x/(x2+1)是奇函数.典例解析一注意：例4判断下列函数的奇偶性:（3）由1-x2≥0x≠0，得-1≤x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域是［-1，0）∪（0,1］，关于坐标原点对称.又因为f（-x）=√[1-(-x)2]|-x|=√(1-x2)|x|=f(x),所以函数f(x)=√(1-x2)|x|是偶函数.【技巧点拨】判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤如下：（1）先求出函数的定义域D，如果对于任意的x∈D都有-x∈D（关于坐标原点对称），则可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；如果存在某个x0∈D,但是-x0D,即函数的定义域不关于坐标原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.（2）判断f(-x)与f(x)的大小关系，若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数.当然，对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像对称性的观察来判断函数是否具有奇偶性.典例解析一注意：例4判断下列函数的奇偶性:【解析】当x＜0时，-x＞0.因为当x≥0时，f(x)=2x-x2，所以f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2，又因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2.【技巧点拨】本题中f(x)为奇函数，且f(0)有意义，f(0)=0，即图像过原点.利用奇函数的性质即可作答.典例解析一注意：例5已知y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x-x2,求当x<0时,f(x)的解析式.已知分段函数求函数f(x)的定义域，计算f(3)-f(-2)+f(1)的值，并作出函数f(x)的图像.【解析】分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集.求分段函数的函数值f(x0)时，应该首先判断x0所属的取值范围，再把x0代入相应的解析式中进行计算.函数f(x)的定义域是（-∞,-1］∪(-1,2)∪［2,+∞）=(-∞,+∞).因为3∈［2,+∞）,所以f(3)=2×3=6.因为-2∈(-∞,-1),所以f(-2)=(-2)2=4.因为1∈(-1,2),所以f(1)=1+2=3.所以f(3)-f(-2)+f(1)=6-4+3=5.作出f(x)=x2的图像，取x≤-1的部分.作出f(x)=x+2的图像，取-1<x<2的部分.作出f(x)=2x的图像，取x≥2的部分.由此得到函数f(x)的图像（见图3-2）.典例解析一注意：例6图3-2【技巧点拨】因为分段函数是一个函数，所以作分段函数的图像时应将不同取值范围内的图像作在同一个平面直角坐标系中.典例解析一注意：例6真题在线一第三节函数的实际应用真题在线一1.(2019年·四川对口升学)已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100km/h匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1h，再以80km/h匀速返回甲城市.汽车从甲城市出发时，时间x（h）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（km）表示成时间x（h）的函数为（）.真题在线一真题在线一真题在线一真题在线一知识清单一几种常见的函数模型几种常见的函数模型:知识清单一(1)一次函数模型:f(x)=kx+bk,b为常数,k≠0.(2)二次函数模型:f(x)=ax2+b+ca,b,c为常数,a≠0.(3)幂型函数模型:f(x)=axn+ba,b,n为常数,a≠0,n≠1.(4)“对勾”函数模型:fx=x+a/x（a>0）.小明去上学,一开始乘车,然后剩一段路步行,图中横轴表示小明用的时间,纵轴表示的距离经过,则下列图形正确的是().【解析】这些初等函数:一次函数、二次函数、反比例函数、对数函数和指数函数(实际上还包括三角函数),可画出所给函数的图像进行判断.【技巧点拨】抓住两个变量间的变化规律与函数的性质、图像相吻合即可.典例解析一注意：例1某工厂生产一种产品的总利润L（元）是产量件数x的二次函数：L=-x2+2000x-10000,0<x<1900.试问：产量是多少时，总利润最大？最大利润是多少？【解析】由于a=-1<0,因此上述二次函数在定义域内有最大值.又因L=-x2+2000x-10000=-(x-1000)2+990000,所以可以得出,当x=1000时,L达到最大值990000.答:当产量为1000件时,总利润最大.最大利润为990000元.【技巧点拨】这是一个二次函数的问题,在解题时关键是把它转化为数学问题来解决.典例解析一注意：例2ThanksForListening中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第四章指数函数与对数函数考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握分数指数幂√实数指数幂及其运算法则√幂函数举例√指数函数的图像和性质√对数的概念(含常用对数、自然对数)√积、商、幂的对数√对数函数的图像和性质√指数函数与对数函数的实际应用举例√命题趋势一真题在线一第一节实数指数幂及其运算法则真题在线一(2019年·四川对口升学)计算：(1/16)－1/4+lg5+lg20=（）.A.1B.2C.3D.4知识清单一知识点一指数幂的性质与运算1.定义知识清单一(1)正整数指数幂:an=a·a·a·…·an∈N*.(2)负整数指数幂:a-n=1/an（a≠0,n∈N*）.(3)分数指数幂:am/n=n√am

（a>0,m,n∈N*,n>1）;a-m/n=1/n√am

（a>0,m,n∈N*,n>1）.(4)零指数幂:a0=1（a≠0）.2.有理数指数幂的性质知识清单一（1）aman=am+n（n∈N*）.（2）am÷an=am－n.（3）（am）n=amn（a＞0，m，n∈N*）.（4）(ab)n=anbn（a＞0，m，n∈N*）.3.根式知识清单一一般地，如果xn=a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，n∈N*.n√a称为根式.n称为根指数，a称为被开方数.其性质如下：（1）当n是奇数时，n√an=a；当n是偶数时，（2）负数没有偶次方根.（3）零的任何次根都是零.（4）当n为任意正整数时，（n√a）n=a.知识清单一知识点二幂函数1.幂函数的概念知识清单一形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.2.幂函数的性质(1)图像分布：幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像.幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；是奇函数时，图像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在［0，+∞)上为增函数.如果α<0，则幂函数的图像在(0，+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴与y轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=qp(其中p，q互质，p和q∈Z)，若p为奇数q为奇数，则y=xqp是奇函数；若p为奇数q为偶数，则y=xqp是偶函数；若p为偶数p为奇数，则y=xqp是非奇非偶函数.(5)图像特征：幂函数y=xα,x∈(0，+∞)，当α>1时，若0<x<1，其图像在直线y=x下方，若x>1，其图像在直线y=x上方；当α<1时，若0<x<1，其图像在直线y=x上方，若x>1，其图像在直线y=x下方.(6)几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示.知识点二函数的定义域一(6)几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示.知识点二函数的定义域一典例解析一注意：例1计算：（21/40.5+（0.1）-2-（22）-23-12-3+（2+1）0.【解析】【技巧点拨】进行有理数指数幂运算时，若底数是带分数，则通常将带分数化为假分数；若底数为小数，则将小数化成分数；若底数为根式，则将底数化成有理数指数幂的形式，然后再利用幂的运算法则求解.A.幂函数的图像都经过（0，0），（1，1）两点B.幂函数的图像不可能在第四象限C.当α>0时，幂函数y=xα的值随x增大而增大D.当α=0时，幂函数y=xα的图像是一条直线【解析】当α>0时，幂函数图像才经过（0，0），（1，1）两点，此时函数在（0，+∞）内为增函数；当α<0时，幂函数图像只经过（1，1）点，此时函数在（0，+∞）内为减函数；当α=0时，图像不经过点（0，0）.而当x>0时，y>0.故本题选B.【技巧点拨】首先要明确幂函数的一般形式：y=xα，判断出函数是否是幂函数，然后确定指数α的值，不同的值所对应的图像和性质都会发生变化，然后确定它的定义域.典例解析一注意：例2下列结论中正确的是().真题在线一第二节指数函数真题在线一真题在线一知识清单一1.指函数的概念知识清单一y=ax(a>0,且a≠1),例如,y=2x,y=(1/3)

x.2.指函数的图像和性质指数函数的图像和性质见表4-1.表4-1知识清单一（1）0.7-0.9与0.7-1.2;(2)31/4与31/5.【解析】（1）设f(x)=0.7x,因为0<0.7<1,所以函数f(x)=0.7x是减函数.因为-0.9>-1.2,所以0.7-0.9<0.7-1.2.(2)设f(x)=3x,因为3>1，所以函数f(x)=3x是增函数.因为1/4>1/5,所以31/4>31/5.【技巧点拨】比较两个幂大小的方法：一是转化为比较同一个指数函数的两个函数值，利用函数的单调性得到大小关系（适用于同底异指）；二是利用幂函数单调性得到大小关系（适用于同指异底）；三是借助于中间某个数（如0，1）来比较大小.典例解析一注意：例1比较下列各组中两个数的大小:求函数y=√[(1/3)x-9]的定义域.【解析】解析式中含有二次根式,需被开方式大于或等于零,从而转化为解含有指数幂的不等式:(1/3)x-9≥0,变形得3-x≥32.根据指数函数y=3x在R上是增函数知-x≥2,即x≤-2,所以该函数的定义域是(-∞,-2].【技巧点拨】求解析式中含有指数幂的函数的定义域时,首先由求定义域的法则转化为求含有指数幂的不等式;然后转化底数,使它们底数相同;最后利用指数函数的单调性求出定义域,实际上它的主要过程就是解含有指数幂的不等式.典例解析一例2解下列方程:(1)(1/27)x=91-x;(2)32x+3=3x+1+2.【解析】(1)原方程变形为(3-3)x=(32)1-x,即3-3x=32-2x,有-3x=2-2x,解得x=-2.(2)原方程变形为33×(3x)2-3×3x-2=0,令3x=t(t>0),原方程变为27t2-3t-2=0,解得t=1/3或t=-2/9(不合题意),则3x=1/3,解得x=-1.【技巧点拨】(1)如果两个幂相等,底数相同,则指数也相等.(2)用换元法求出指数幂,然后利用指数形式解方程.典例解析一例3我国某地区对3万公顷荒漠化的草地进行治理,从2013年起,当地政府组织牧民种草,每年将荒漠的20%重改为草地,经过3年的治理还有多少公顷需要改造的荒漠?(精确0.001)【解析】以荒漠为研究对象,它以每年20%的速度减少,故符合指数衰减模型y=c·ax,其中c=3(万公顷),a=1-20%=0.8,x=3(年),y就是x年后还剩的荒漠的面积,于是得y=3×0.83≈1.536(万公顷).【技巧点拨】有关增长率或减少率的问题,解析式一般可设为y=c·(1±b%)x的形式,其中c是基本量,±表示增长或减少,b%表示增长或减少的百分数,x表示增长或减少的次数.

典例解析一例4真题在线一第三节对数与对数函数真题在线一1.(2019年·四川对口升学)已知a=ln12,b=2－3,c=log1213，则a，b，c的大小关系为（）.A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b真题在线一真题在线一真题在线一真题在线一真题在线一1.对数与对数运算知识清单一(1)对数的概念:如果ab=N(a>0,且a≠1),则b称为以a为底N的对数,记作b=logaN(a>0,a≠1,N>0).(2)常用对数与自然对数.①常用对数:lgN,即log10N.②自然对数:lnN,即logeN(其中e=2.71828…).(3)对数的运算性质.如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么①加法:logaM+logaN=loga(MN).②减法:logaM-logaN=loga(M/N).③数乘:nlogaM=logaMn(n∈R).④alogaN=N.⑤logabMn=n/blogaM(b≠0,且b≠1).⑥换底公式:logaN=logbN/logba(b>0,且b≠1).2.对数函数的概念、图像和性质知识清单一(1)对数函数的概念:y=logax(a>0,a≠1,x>0).(2)对数函数的图像和性质.对数函数的图像和性质见表3-2【解析】（1）由logaab=b知，lg(1/100)=lg10-2=-2.(2)由alogaN=N，知(1/2)log23=(2-1)log23=(2log23)-1=3-1=1/3.(3)可设log48=x,转化为指数式得4x=8,将等式两边化为同底数指数幂得22x=23,即2x=3,解得x=3/2,即log48=3/2.【技巧点拨】计算对数值时，一般可用两种方式：一是可将含有对数的式子转化变形，使之能结合对数的一些性质从而解题；二是可将对数式转化为对应的指数式，用比较熟练的指数幂的解题方式解题.典例解析一注意：例1求下列各式的值.【解析】利用对数函数y=log3x,底数3>1,在(0,+∞)上是增函数,因为1.5<1.7,所以log31.5<log31.7.【技巧点拨】底数相同时,利用相同底的对数函数的单调性来判断大小;当底数不同时,通常利用找“中间量”(比如0或1)的方法,将中间量转化为相应的对数,再结合对数函数的单调性来判断.

典例解析一注意：例2比较log31.5与log31.7的大小.(1)y=log5(x-3);(2)lg(x2+2x).【解析】(1)要使函数有意义,则需x-3>0,即x>3.所以函数的定义域为(3,+∞).(2)要使函数有意义,则需x2+2x>0,即x>0或x<-2.所以函数的定义域为(-∞,-2)(0,+∞).【技巧点拨】对数的真数一定要大于零.典例解析一注意：例3求下列函数的定义域:【解析】函数y=log1/3(3-2x-x2)的定义域为{x|3-2x-x2>0}={x|-3<x<1}.令t=3-2x-x2,x∈(-3,1),y=log1/3t在其定义域内为减函数.t=3-2x-x2,x∈(-3,1),对称轴为x=-1.当x∈(-3,-1)时,t=3-2x-x2是增函数,所以y=log1/3(3-2x-x2)在(-3,-1)内是减函数.当x∈(-1,1)时,t=3-2x-x2是减函数,所以y=log1/3(3-2x-x2)在(-1,1)内是增函数.【技巧点拨】本题考查学生对复合函数的单调性的应用技艺以及基本的运算能力.

典例解析一注意：例4求函数=log1/3(3-2x-x2)的单调区间.（1）f(x)=lgx4+lgx-2;(2)f(x)=lg(1/x).【解析】（1）函数的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞)，关于原点对称.又因为f(-x)=lg(-x)4+lg(-x)-2=lgx4+lgx-2=f(x)，所以f(x)是偶函数.（2）函数的定义域为（0,+∞），不关于原点对称.所以函数f(x)=lg1(/x)为非奇非偶函数.【技巧点拨】判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称，则此函数为非奇非偶函数；定义域关于原点对称，如果f(-x)=f(x)，则此函数是偶函数，如果f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.典例解析一注意：例5判断下列函数的奇偶性:一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质是原来的4/5，经过多少年剩余物质是原来的64/125？【解析】依题意，设x年后剩余物质是原来的64/125，则有(4/5)x=64/125,解得x=3.【技巧点拨】解应用题的步骤如下：（1）审题，了解问题背景，寻找实际问题与函数知识的结合点，分析题中的数量关系.（2）建立数学模型.（3）建立方程.（4）解方程，把数学问题还原为实际问题.典例解析一注意：例6ThanksForListening中等职业学校对口升学考试《数学总复习》第五章三角函数考纲要求命题趋势真题在线知识清单典例解析章节要点15234考纲要求一知识内容考试层次要求了解理解掌握角的概念推广、终边相同的角√弧度制√任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数√各象限角的三角函数值的正负判断√同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tanα=sinα/cosα√诱导公式:2kπ+α、-α、π±α的正弦、余弦及正切公式√正弦函数的图像和性质√余弦函数的图像和性质√已知三角函数值求指定范围内的角√两角和与差的正弦、余弦、正切公式√二倍角公式√y=Asin(ωx+φ)的图像与性质√用“五点法”画正弦型函数的图像√正弦定理与余弦定理√命题趋势一真题在线一第一节三角函数的概念和计算真题在线一知识清单一知识点一角的概念的推广1.正角、负角和零角知识清单一角可以看成平面内一条射线从初始位置(始边)出发，绕着它的端点(顶点)旋转到终止位置(终边)而成.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角称为正角，按顺时针方向旋转形成的角称为负角，没有旋转的角为零角.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角.因此，我们在确定一个角的大小时，不仅要看它的始边与终边的位置，而且要看它是如何旋转而成的.2.象限角我们常在直角坐标系内讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限.3.终边相同的角知识清单一任意一个角唯一地确定一条终边.但是，反过来任意一个终边位置都可以表示无数个角.一个角，角增加或减少360°，终边又回到原来的位置，终边相同的角周而复始地出现.当角的终边绕其顶点，按逆时针方向旋转n圈时，就形成n·360°+α的角，按顺时针方向旋n转圈时，就形成-n·360°+α的角，这些角与角α都有相同的终边.因此，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.知识清单一知识点二弧度制1.幂函数的概念知识清单一（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.它的单位符号是“rad”，读作“弧度”.（2）角度与弧度的互化.①360°=2πrad,180°=πrad.②1°=π/180rad≈0.01745rad,1rad=180/π°≈57.30°=57°18′.说明：用弧度表示角的大小时，“rad”或“弧度”可以省略不写.常用特殊角的度数与弧度数的对照见表5-1.注意：采用弧度制后，每一个角都对应唯一的实数；反之，每一个实数都对应唯一的角.这样，角与实数之间就建立起一一对应的关系.1.幂函数的概念知识点二弧度制一(3)角α的弧度数的绝对值等于弧长除以半径，即|α|=l/r.(4)扇形的弧度与面积公式.扇形的弧长公式：l=|α|r或l=nπr/180.扇形的面积公式：S=1/2lr=1/2|α|r2或S=nπr2/360.(5)象限角和轴线角的表示法.第一象限角：{α|2kπ＜α＜2kπ+π/2，k∈Z}.第二象限角：{α|2kπ+π/2＜α＜2kπ+π，k∈Z}.第三象限角：{α|2kπ+π＜α＜2kπ+3π/2，k∈Z}.第四象限角：{α|2kπ+3π/2＜α＜2kπ+2π，k∈Z}.与y轴重合的角：{α|α=kπ+π/2，k∈Z}.与x轴重合的角：{α|α=kπ，k∈Z}.与坐标轴重合的角：{α|α=kπ/2，k∈Z}.知识清单一知识点三任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，设α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是（x,y），它到原点的距离是r=x2+y2(r>0)（见表5-2）知识点三任意角的三角函数一(2)象限角的三角函数值符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”（见图5-1）知识点三任意角的三角函数一(3)特殊角的三角函数值（见表5-3）.知识点三任意角的三角函数一知识清单一知识点四同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1.(平方关系)sinα/cosα=tanα;cosα/sinα=cotα.(商数关系)tanαcotα=1.(倒数关系)知识点四同角三角函数基本关系式一知识清单一知识点五诱导公式同名三角函数的诱导公式如下.（1）第一象限的诱导公式.sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα.(k∈Z)（2）第二象限的诱导公式.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.（3）第三象限的诱导公式.sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.（4）第四象限的诱导公式.sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.记忆此公式口诀：“函数名不变，符号看象限.”知识点五诱导公式一典例解析一注意：例1写出-360°~720°与-330°的终边重合的角.【解析】因为与-330°的终边相同的角可表示为{β|β=-330°+k·360°，k∈Z},所以k=0,1,2.当k=0时，β=-330°；当k=1时，β=30°；当k=2时，β=390°.【技巧点拨